Как известно, решением интегрального уравнения
\[
\varphi(x)=\lambda \int_{a}^{b} f(x, y) \varphi(y) d y+\psi(x)
\]

служит интегральное уравнение того же рода
\[
\varphi(x)=\psi(x)+\lambda \int_{a}^{b} \psi(y) G(x, y) d y,
\]

где
\[
G(x, y)=\frac{N(x, y ; \lambda \mid f)}{D(\lambda \mid f)} .
\]

Из теории Фредгольма мы знаем, что $N$ и $D$ – две целье трансцендентные функции от $\lambda$. Чтобы выписать их разложения в явном виде, обозначим, следуя Фредгольму, через $f\left(\begin{array}{c}x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \\ y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\end{array}\right) n$-рядный детерминант, общий элемент которого есть $f\left(x_{i}, y_{k}\right)$. Полагая
\[
a_{n}=\int_{a}^{b} \int_{a}^{b} \ldots \int_{a}^{b} f\left(\begin{array}{l}
x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} \\
x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}
\end{array}\right) d x_{1} \ldots d x_{2},
\]

получаем
\[
D(\lambda)=\sum_{0}^{\infty} \frac{(-\lambda)^{n}}{n !} a_{n} .
\]

Преобразуем это уравнение, образуя с помощью «итерации» ядро, возникающее из $f(x, y)$. Если положить
\[
f\left(x_{\alpha}, x_{\beta}\right) f\left(x_{\beta}, x_{\gamma}\right) \ldots f\left(x_{\lambda}, x_{\mu}\right) f\left(x_{\mu}, x_{\alpha}\right)=f\left(x_{\alpha}, x_{\beta} \ldots, x_{\lambda}, x_{\mu}\right),
\]

то ясно, что $f\left(\begin{array}{l}x_{1}, \ldots, x_{n} \\ x_{1}, \ldots, x_{n}\end{array}\right)$ примет вид
\[
\sum \pm \prod f\left(x_{\alpha}, \ldots, x_{\mu}\right)
\]

как следует непосредственно из разложения детерминанта. Пусть
\[
b_{k}=\int_{a}^{b} \ldots \int_{a}^{b} f\left(x_{\alpha}, \ldots, x_{\mu}\right) d x_{\alpha} \ldots d x_{\mu},
\]

где $k$ означает число переменных интегрирования. Тогда как нетрудно видеть, мы можем также положить
\[
b_{k}=\int_{a}^{b} f_{k}(x, x) d x
\]

если под
\[
f_{k}(x, y)=\int_{a}^{b} \ldots \int_{a}^{b} f\left(x, x_{\alpha}\right) f\left(x_{\alpha}, x_{\beta}\right) \ldots f\left(x_{\lambda}, y\right) d x_{\alpha} \ldots d x_{\lambda}
\]

понимать $k$-кратно интегрированное ядро.
В силу выписанных выше соотношений имеем:
\[
a_{n}=\sum \pm \prod b_{k}
\]

Заметим, что некоторые из величин $b_{k}$, входящих в произведение $\prod b_{k}$, могут оказаться равными и что, кроме того, некоторые из произведений $\prod b_{k}$ также могут оказаться равными, а именно те, которые получаются одно из другого при перестановке $x_{i}$, в результате чего из комбинаторных соображений для $a_{n}$ получается выражение вида
\[
a_{n}=\sum_{a \alpha+b \beta+c \gamma+\ldots=n} \frac{n !}{a^{\alpha} b^{\beta} c^{\gamma} \ldots a ! b ! c ! \ldots}\left[(-1)^{\alpha+1} b_{\alpha}\right]^{a}\left[(-1)^{\beta+1} b_{\beta}\right]^{b}\left[(-1)^{\gamma+1} b_{\gamma}\right]^{c} \ldots,
\]

а также
\[
D(\lambda)=\sum_{a, b, c, \ldots} \frac{1}{a ! b ! c ! \ldots}\left(-\frac{\lambda^{\alpha} b_{\alpha}}{\alpha}\right)^{a} \cdot\left(-\frac{\lambda^{\beta} b_{\beta}}{\beta}\right)^{b} \cdot\left(-\frac{\lambda^{\gamma} b_{\gamma}}{\gamma}\right)^{c} \ldots,
\]

то есть

и, следовательно,
\[
D(\lambda)=\prod_{1}^{\infty} e^{-\frac{\lambda^{\alpha} b_{\alpha}}{\alpha}},
\]
\[
\begin{aligned}
\log D(\lambda) & =-\sum \frac{\lambda^{\alpha} b_{\alpha}}{\alpha} \\
\frac{D^{\prime}(\lambda)}{D(\lambda)} & =-\sum \lambda^{\alpha-1} b_{\alpha} .
\end{aligned}
\]

Числитель $N(x, y ; \lambda)$ функции $G(x, y ; \lambda)$ можно определить соотношением
\[
N(x, y ; \lambda)=D(\lambda) \cdot \sum \lambda^{h} f_{h+1}(x, y) .
\]

Эти соотношения, установленные еще Фредгольмом, весьма полезны в качестве исходного пункта многих рассмотрений, которые мы продемонстрируем лишь на нескольких примерах.

Метод Фредгольма непосредственно применим только к таким ядрам $f(x, y)$, которые остаются конечными. Если ядро в некоторых точках обращается в бесконечность, то может представиться случай, что какое-то итерированное ядро, например, $f_{n}(x, y)$, остается конечным. В этом случае интегральное уравнение с итерированным ядром может быть решено по методу Фредгольма, и, как показал Фредгольм, первоначальное интегральное уравнение (1) может быть сведено к такому уравнению с итерированным ядром. Решение также дается формулой вида ( $1 a$ ), только на этот раз следует положить
\[
G=\frac{N_{1}(x, y ; \lambda)}{D_{n}(\lambda)},
\]

где
\[
D_{n}(\lambda)=D\left(\lambda^{n} \mid f_{n}\right)
\]

и
\[
N_{1}(x, y ; \lambda)=D_{n}(\lambda) \cdot \sum \lambda^{h} f_{h+1}(x, y) .
\]

При этом $N_{1}$ и $D_{n}$ – снова целые трансцендентные функции от $\lambda$; однако оказывается, что они обладают общим делителем; мы хотим показать, каким образом это следует из наших формул (2) и (3) и как получить представление мероморфной функции $G$ в виде дроби, числитель и знаменатель которой – целые функции, не имеющие общего делителя.

Из нашего предположения относительно итерированных ядер следует, что коэффициенты $b_{n}, b_{n+1}, \ldots$ конечны. Если теперь мы, следуя соотношению $(2 a)$, образуем ряд
\[
K(\lambda)=-\lambda^{n} \frac{b_{n}}{n}-\lambda^{n+1} \frac{b_{n+1}}{n+1}-\cdots,
\]

то этот ряд сходится. Положим теперь
\[
G(x, y ; \lambda)=\frac{e^{K} \sum \lambda^{h} f_{h+1}}{e^{K}} ;
\]

мы утверждаем, что эта формула дает требуемое представление.
Чтобы доказать это, необходимо убедиться в том, что $e^{K}$ и $e^{K} \sum \lambda^{h+1} f_{h+1}$ – целые функции.
Для этого образуем $\frac{d K}{d \lambda}$. Нетрудно вычислить, что
\[
-\frac{d K(\lambda)}{d \lambda}=\lambda^{n-1} \int_{a}^{b} \frac{N_{1}(x, x)}{D_{n}(\lambda)} d x+\sum_{k=1}^{k=n-1} \lambda^{n+k-1} \int_{a}^{b} \frac{N_{1}(x, y)}{D_{n}} f_{k}(x, y) d x d y .
\]

Отсюда мы заключаем, что $\frac{d K}{d \lambda}$ – мероморфная функция от $\lambda$, так как она обладает самое большее полюсами в нулях знаменателя $D_{n}(\lambda)$, т. е. в точках $\lambda=\alpha \cdot \lambda_{i}$, где $\alpha$ – корень $n$-й степени из единицы, а $\lambda_{i}$ собственное значение ядра $f_{n}$. Можно показать, что в этих возможных точках расходимости вычет Коши производной $\frac{d K}{d \lambda}$ равен 1 или 0 в зависимости от того, выбрано ли значение $\alpha=1$ или $\alpha
eq 1$. Мы не станем приводить здесь соответствующие вычисления; воспользуемся тем, что при $\lambda=\lambda_{k}$ вычет функции $\frac{N_{1}(x, y)}{D_{n}}$ равен $\varphi_{k}(x) \psi_{k}(y)$, где $\varphi_{k}, \psi_{k}$ – соответствующие $\lambda=\lambda_{k}$ собственные функции, удовлетворяющие уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\int_{a}^{b} \varphi_{k}(x) f_{p}(y, x) d x=\lambda_{k}^{-p} \varphi_{k}(y), \\
\int_{a}^{b} \psi_{k}(z) f_{p}(z, y) d z=\lambda_{k}^{-p} \psi_{k}(y) .
\end{array}
\]

Отсюда следует, что $e^{K(\lambda)}$ – целая трансцендентная функция, обращающаяся в нуль только в точках $\lambda=\lambda_{k}$.

Если таким же образом рассмотреть числитель функции $G$, то станет ясно, что он является мероморфной функцией от $\lambda$, которая может обращаться в бесконечность самое большее в точках $\lambda=\alpha \lambda_{i}$. Однако рассмотрение вычетов показывает, что этого не происходит и, тем самым, что числитель $e^{K} \sum \lambda^{h} f_{h+1}$ – также целая трансцендентная функция. Тем самым приведение фредгольмовой дроби выполнено.

Разложение в ряд числителя и знаменателя фредгольмовой дроби в таком приведенном виде мы получаем, обратившись к способу построения $K(\lambda)$; представляя числитель в виде
\[
e^{K(\lambda)}=\sum(-\lambda)^{n} \frac{a_{n}^{\prime}}{n !},
\]

получаем
\[
a_{n}^{\prime}=\sum_{a \alpha+b \beta+c \gamma+\ldots=n} \pm b_{\alpha}^{a} b_{\beta}^{b} b_{\gamma}^{c} \ldots,
\]

где следует положить
\[
b_{\alpha}=\left\{\begin{array}{ll}
0, & \text { при } \alpha<n, \\
\int_{a}^{b} f_{\alpha}(x, x) d x, & \text { при } \alpha \geqslant n .
\end{array}\right.
\]

Аналогичным образом образуется и числитель. Следовательно, детерминанты следует разложить, как обычно, но при этом отбросить те члены разложения, которые содержат множитель вида $f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{k}\right)$ с числом переменных меньше $n$.

Формулы (2), (2а) и (3) можно использовать и в том случае, когда кроме ядра $f(x, y)$ все итерированные ядра также обращаются в бесконечность, и метод Фредгольма заведомо становится неприменим. Пусть, например, числа $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n-1}$ бесконечны, а числа $b_{n}, b_{n+1}, \ldots$ конечны. В этом случае можно образовать ряд $K(\lambda)$, спросить, сходится ли он, и выяснить, не представ.яет ли $e^{K(\lambda)}$ целую функцию. Мне удалось доказать это в предположении, что $f(x, y)$ – симметричное ядро, т.е. что
\[
f(x, y)=f(y, x) .
\]

При этом я использовал соотношения
\[
b_{n}=\sum \lambda_{i}^{-n},
\]

которые должны выполняться для $n>2$, так как по теореме Адамара род функции $D(\lambda)$ меньше 2.
Доказательство я не привожу из-за недостатка времени.
Для числителя фредгольмовской дроби я не проводил рассуждения.
Несколько слов я хотел бы еще сказать об интегральном уравнении первого рода. Метод Фредгольма непосредственно применим к некоторым из таких уравнений, если их предварительно свести к интегральным уравнениям второго рода. Например, рассмотрим уравнение
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(y)\left[e^{i x y}+\lambda f(x, y)\right] d y=\psi(x), \quad(-\infty<x<+\infty),
\]

где функция $\psi(x)$ задана, $\varphi(x)$ – искомая функция, в то время как составная часть $f(x, y)$ ядра – заданная функция, удовлетворяющая некоторым приведенным ниже ограничительным условиям. Искомую функцию $\varphi(y)$ представим в виде
\[
\varphi(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} \Phi(z) e^{-i z y} d z
\]

из которого по интегральной теореме Фурье, если $\Phi(x)$ удовлетворяет условиям, при которых выполняется эта теорема, следует, что обратное выражение
\[
2 \pi \Phi(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(y) e^{i x y} d y .
\]

Соответственно, (1) преобразуется в
\[
2 \pi \Phi(x)+\lambda \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \Phi(z) f(x, y) e^{-i z y} d z d y=\psi(x)
\]

или
\[
2 \pi \Phi(x)+\lambda \int_{-\infty}^{+\infty} \Phi(z) K(x, z) d z=\psi(x)
\]

где
\[
K(x, z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) e^{-i z y} d y
\]

и мы приходим к интегральному уравнению второго рода. Ядро (2) допускает применение метода Фредгольма, например, если $f(x, y)$ и $\frac{\partial f(x, y)}{\partial y}$ равномерно по $x$ при $y= \pm \infty$ сходятся к нулю, и выполняется неравенство
\[
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}<\frac{M}{1+y^{2}},
\]

где $M$ – константа, не зависящая от $x$ и $y$. Например, относительно $\psi(x)$ достаточно предположить, что она обладает лишь конечным числом максимумов и минимумов и абсолютно интегрируема в интервале от $-\infty$ до $+\infty$.
Тот же метод можно применить к ряду
\[
\psi(x)=\sum_{(m)} A_{m}\left[e^{i m x}+\lambda \theta_{m}(x)\right] ;
\]

проблема возникает, если $\psi(x)$ и функции $\theta_{m}(x)$ заданы, а коэффициенты $A_{m}$ требуется вычислить таким образом, чтобы имело место выписанное выше разложение. Если ранее речь шла об обобщении интегральной теоремы Фурье, то теперь нам понадобится обобщение $р я д а$ Фурье.
Подставляя $\varphi(z)$ в виде
\[
\varphi(z)=\sum_{(m)} A_{m} e^{i m z} ; \quad 2 \pi A_{m}=\int_{0}^{2 \pi} \varphi(z) e^{-i m z} d z,
\]

получаем
\[
\psi(x)=\varphi(x)+\frac{\lambda}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \varphi(z) \sum_{(m)} e^{-i m z} \theta_{m}(x) d z .
\]

Относительно ряда, выступающего здесь в роли ядра, следует предположить, что он сходится абсолютно и равномерно, т.е. что ряд
\[
\sum_{(m)}\left|\theta_{m}(x)\right|
\]

сходится равномерно.
Например, если положить
\[
\lambda=1, \quad \theta_{m}(x)=e^{i \mu_{m} x}-e^{i m x},
\]

то получится разложение вида
\[
\psi(x)=\sum_{(m)} A_{m} e^{i \mu_{m} x} .
\]

Условие (3) будет выполнено, если мы предположим абсолютную сходимость ряда
\[
\sum_{(m)}\left(\mu_{m}-m\right)
\]

Наконец, рассмотрим еще уравнение
\[
\int_{0}^{2 \pi} \varphi(y)\left[e^{i x y}+\lambda f(x, y)\right] d y=\psi(x), \quad(-\infty<x<+\infty),
\]

которое отличается от (1) тем, что интеграл берется не в бесконечных, а в конечных пределах. В этом случае функцию $\psi(x)$ нельзя выбирать произвольным образом: если $f(x, y)$ голоморфна, то $\psi(x)$ должна быть целой трансцендентной функцией для того, чтобы уравнение (4) имело решение. Наоборот, значения $\psi(m)$ функции $\psi$ при всех целых числах $m$ по существу можно выбирать произвольно. Действительно, если положить
\[
\varphi(z)=\sum_{(m)} A_{m} e^{-i m z}, \quad \text { где } \quad 2 \pi A_{m}=\int_{0}^{2 \pi} \varphi(y) e^{i m y} d y
\]

то уравнение (4) при $x=m$ переходит в
\[
2 \pi A_{m}+\lambda \sum_{(p)} A_{p} \int_{0}^{2 \pi}\left[e^{-i p y} f(m, y)\right] d y=\psi(m) .
\]

Таким образом, мы приходим к системе бесконечно многих линейных уравнений с бесконечно многими неизвестными, исследованием которых занимались Хилл, Х. фон Кох, Гильберт и др. Решение этой системы, если мы примем относительно ряда
\[
\sum_{(p, m)} \int_{0}^{2 \pi} e^{-i p y} f(m, y) d y
\]

предположение о его абсолютной и равномерной сходимости, окажется полностью аналогичным фредгольмову решению интегральных уравнений и, подобно этому решению, будет мероморфной функцией параметра $\lambda$. Но, как показывает интегрирование по частям, равномерная и абсолютная сходимость ряда (5) имеет место, если сумма
\[
\sum_{(m)} f^{\prime \prime}(m, z)
\]

или интеграл
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} f^{\prime \prime}(x, z) d x
\]

сходятся абсолютно и равномерно.
Отчетливо видны сходство и различие двух случаев – (1) и (2): в зависимости от того, бесконечны или конечны пределы интегрирования, или от того, имеет ли ядро в пределах интегрирования сингулярность достаточно высокого порядка или не имеет сингулярности, «заданную» функцию можно выбирать по существу произвольным образом или приписывать ей бесконечный, но дискретный ряд значений. Было бы небезынтересно исследовать различие между случаями (1) и (2) с помощью итерирования ядра.