Рассмотрим окружность $x=c$ и ее обратное преобразование $X=c$, которое также является кривой, замкнутой в широком смысле. Эти две кривые допускают на круговом изображении четное число $m$ точек пересечения, однако эти точки на ортогональном изображении будут представлены бесконечным числом точек. Начнем с того, что перенумеруем эти точки пересечения, следуя по кривой $X=c$ в направлении возрастающих $Y$. Если мы пройдем затем $x=c$ в направлении возрастающих $Y$, то встретим все эти точки пересечения, однако, в общем случае, в ином порядке. В том случае, когда они следуют друг за другом в точном соответствии с порядком своих номеров, мы будем называть их распределение нормальным.

Мы уже отметили, что число $m$ действительно различных точек пересечения всегда четно; проходя $x=c$ от $y=y_{0}$ до $y-y_{0}+2 \pi$, мы последовательно встретим перенумерованные точки
\[
\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{m} .
\]

Ряд (1) определяет способ распределения точек пересечения; очевидно, его можно заменить следующим рядом:
\[
\alpha_{1}+m, \alpha_{2}+m, \ldots, \alpha_{m}+m,
\]

являющимся рядом номеров точек, встречающихся при пробегании $x=c$ от $y=y_{0}+2 \pi$ до $y=y_{0}+4 \pi$. Если распределение нормально, то числа ряда (1) – $m$ последовате.ьных целых чисел. Во всех случаях эти числа попеременно четны и нечетны.

Дугу линии $X=c$, заключенную между двумя из этих точек пересечения, будем называть элементарной, если она не пересекает линии $x=c$ (хотя оба ее конца, конечно, находятся на этой линии). Элементарные дуги будут внешними или внутренними, в зависимости от того, располагаются ли они на круговом изображении снаружи или внутри окружности $x=c$. Можно предположить, что два конца внешней элементарной дуги всегда имеют номера $2 n-1$ и $2 n$, а концы внутренней элементарной дуги – номера $2 n$ и $2 n+1$.

Элементарная дуга будет прямой, если ее конец более высокого номера находится на спрямленном изображении справа от другого конца; она будет обратной в противоположном случае; иными словами, если дуга прямая, то $Y$ и $y$ изменяются в одну и ту же сторону при переходе от одного конца к другому.

Кривая $X=c$, полученная обратным преобразованием из кривой $x=c$, не имеющей двойных точек, также не содержит двойных точек. Отсюда следует, что две ее элементарные дуги не могут пересечься; это можно было бы выразить так: если $A, B$ и $C, D$ – концы двух внешних элементарных дуг (или двух внутренних элементарных дуг), то два отрезка $A B$ и $C D$ (взятые на горизонтали $x=c$ в спрямленном изображении), могут наложиться один на другой, иначе говоря, точки $C$ и $D$ обе являются внешними или обе внутренними по отношению к интервалу $A B$.

Это условие можно было бы высказать и иначе. Рассмотрим ряд (1) и дополним его, добавив к нему число $\alpha_{1}+m$, так чтобы получилось нечто вроде замкнутого круга (напомним, что перенумерованные точки $\alpha_{1}$ и $\alpha_{1}+m$ идентичны, если не на спрямленном, то во всяком случае на круговом изображении). В ряде, дополненном таким образом, я смогу выделить $m / 2$ пар по два последовательных числа в каждой, из которых первое четно, а второе нечетно. Если мы будем рассматривать некоторые из этих пар, то следовательно, необходимо, чтобы два числа одной пары были заключены между двумя числами другой, или же чтобы между последними не попадало ни одно, ни другое. (Одна из этих пар не может быть, например, равной 14, а вторан 52.) Подобно этому, в составе нашего ряда имеется $m / 2$ пар, по два последовательных числа в каждом, из которых первое четно, а второе нечетно. То же самое условие должно выполняться для любых двух из этих пар.

Итак, мы ознакомились с двумя формулировками необходимых и достаточных условий возможности ряда (1). Обе эти формулировки эквивалентны, и они применимы к пересечению двух произвольных замкнутых кривых без двойной точки. В первой формулировке рассматриваются две замкнутые кривые (в широком смысле) $X=c$ и $x=c$, и предполагается, что $X=c$ разложено на элементарные дуги. Во второй формулировке выполняются роли обеих кривых и на элементарные дуги раскладывается кривая $x=c$.

Рассмотрим две внешние элементарные дуги $A B$ и $C D$. Если два конца $C$ и $D$ лежат на отрезке $A B$ горизонтали $x=c$ при спрямленном изображении, так что дуга $C D$ полностью заключена в пределах области, ограниченной дугой $A B$ и ее хордой, то мы будем говорить, что $C D$ перекрывается $A B$. То же самое определение приложимо, очевидно, и к внутренним дугам.

Элементарная дуга называется первичной, если она не перекрывается никакой другой, и последней, если она не перекрывает никакую другую. Дуга $C D$ непосредственно перекрыта дугой $A B$, если не существует никакой элементарной дуги, которая перекрыла бы $C D$ и сама была не перекрыта $A B$.

Из этих определений легко можно вывести следующие предложения:
1. Если две дуги перекрываются непосредственно, то одна из них является прямой, а вторая – обратной.
2. Каждая первичная дуга – прямая.
3. Если распределение нормально, то все дуги одновременно и первичные и последние.
4. Продолжим бесконечно ряд (1), добавляя к нему точки, которые получатся при замене $\alpha_{i}$ на $\alpha_{i}+k m$, где $k$ – целое положительное или отрицательное число; иначе, что сводится к тому же, образуем продолженный ряд (1), записав номера всех точек, которые последовательно встретятся нам при пробегании горизонтали от $y=-\infty$ до $y=+\infty$.

Если в этом продолженном ряде рассмотрим числа, соответствующие концам внешних первичных дуг, то эти номера будут следовать в порндке возрастания.
5. Разность номеров двух концов некоторой первичной дуги (и, тем более, произвольной дуги) не может превышать $m-1$.
Рангом точки пересечения назовем, по определению, место, которое занимает ее номер в ряде (1). Последнюю дугу характеризует то, что ранги обоих ее концов последовательные числа, равно как и их номера. Что же касается нормального распределения, то оно характеризуется тем, что ранги следуют в том же порядке, что и номера, и что всегда можно устроить так, чтобы ранг некоторой точки стал равным ее номеру.
Можно лучше разобраться в изложенном, Рис. 1 если рассмотреть рис. 1 ; для него было использовано круговое изображение. Две граничные окружности $x=a$ и $x=b$ представлены сплошными линиями, то же сделано и для кривой $X=c$; что касается окружности $x=c$, то она изображена пунктирной линией; внешние элементарные дуги будут $12,34,56$ и 78 , а внутренние элементарные дуги $-23,45,67,81$; дуги $12,78,67,23$ являются первичными, дуги $34,78,45,81$ – последними; дуга 34 перекрыта дугой 56 , а дуга 56 перекрыта дугой 12 .