Теперь рассмотрим, что произойдет, если предположить, что твердая часть Земли является не твердым, а упругим телом. Предположим сначала, что Земля полностью явлнется упругим твердым сфероидом, и затем, что она является твердым упругим сфероидом, заполненным жидкостью.

Рассмотрим сначала первую гипотезу. Будет ли амплитуда некоторых нутаций меняться? Согласно предыдущему параграфу этот вопрос сводится к следующему: какой имеется резонанс – простой или двойной? Другими словами, имеет ли уравнение для $\varepsilon$, аналогичное уравнению $\Delta=0$ предыдущего параграфа, нулевой корень, а все другие при этом являются конечными, или же оно допускает нулевой корень и еще один, очень малый? Ответ можно найти очень быстро. В предельном случае неизменяемого тела, то есть когда предполагается бесконечная жесткость, существует простой резонанс. В этом случае существует один нулевой корень, а другие – конечные; необходимо также, чтобы эти корни были конечными для некоторой жесткости, ибо если бы один из них был очень малым для любой жесткости, он остался бы таковым и для бесконечной жесткости. Значит, имеется простой резонанс, гиростатическая жесткость проявляется полностью, амплитуда разных нутаций является такой же, как и для неизменяющегося тела.

Перейдем ко второй гипотезе, в которой речь пойдет об изучении собственных колебаний системы. Твердая мантия будет следовать законам упругости. Пусть $x, y, z$ – координаты некоторой точки; $x+u$, $y+v, z+w-$ ее координаты после деформации. Положим
\[
\theta=\frac{d u}{d x}+\frac{d v}{d y}+\frac{d w}{d z}
\]

и пусть $\mu$ и $
u$ – два коэффициента, тогда получим
\[
(
u+\mu) \frac{d \theta}{d x}+\mu \Delta u=\frac{d^{2} u}{d t^{2}} .
\]

Кроме того, имеются граничные условия. Обозначим составляющие давления $P_{x x}, P_{x y}, \ldots$ так, что
\[
P_{x x}=
u \theta+2 \mu \frac{d u}{d x}, \quad P_{x y}=\mu\left(\frac{d u}{d y}+\frac{d
u}{d x}\right), \quad \ldots
\]

Пусть $\alpha, \beta, \gamma$ – направляющие косинусы нормали к свободной поверхности, положим
\[
\begin{array}{c}
X=\alpha P_{x x}+\beta P_{x y}+\gamma P_{x z}, \\
Y=\alpha P_{x y}+\beta P_{y y}+\gamma P_{y z}, \\
Z=\alpha P_{x z}+\beta P_{y z}+\gamma P_{z z} .
\end{array}
\]

Вектор $X, Y, Z$ задает силу, действующую на элемент свободной поверхности. На внешней свободной границе этот вектор быть равен нулю. На внутренней границе он направлен по нормали к поверхности и по величине равен гиростатическому давлению жидкости.

Предположим, что внешняя и внутренняя границы будут сферами (или мало отличающимися от них фигурами), и что давление $p$ равно, к примеру, сферическому многочлену $P$ второго порядка. Мы сможем удовлетворить нашим уравнениям, полагая
\[
u=x P R+S \frac{d P}{d x}, \quad v=y P R+S \frac{d P}{d y}, \quad w=z P R+S \frac{d P}{d z},
\]

где $R$ и $S-$ функции от $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$. Можно показать, что $R$ и $S$ удовлетворяют двум уравнениям второго порядка, а четыре постоянные интегрирования определяютея граничными условиями. Следовательно, неизвестные функции $R$ и $S$ могут быть полностью определены и не зависят от сферического многочлена $P$, если оставить неизмененным его порядок.

Общее решение задачи может быть найдено следующим образом: пусть
\[
u=u_{1}, \quad v=v_{1}, \quad w=w_{1}
\]

только что рассмотренное частное решение. Тогда общее решение будет иметь вид
\[
u=u_{1}+u_{2}, \quad v=v_{1}+v_{2}, \quad w=w_{1}+w_{2},
\]

где $u_{2}, v_{2}, w_{2}$ представляют произвольное перемещение, для которого рассматриваемое тело ведет себя как неизменяемое твердое тело. Следовательно, это перемещение является простым вращением. Предположим, что тело вращается вокруг оси, расположенной в плоскости $x y$. В этом случае решение будет зависеть от двух произвольных постоянных.

Прежде всего необходимо вычислить $p$. Для этого воспользуемся результатами второго параграфа. Действительно, можно допустить, что движение жидкости остается простым, для этого достаточно, как мы уже видели, чтобы ее внешняя поверхность оставалась эллипсоидальной, то есть чтобы внутренняя поверхность твердой мантии, первично сферическая, стала вследствие деформации эллипсоидом. Нетрудно показать, что эта гипотеза соответствует тому, что $p=P$ является сферическим многочленом второго порядка.
Следовательно, мы снова получим уравнение
\[
\left\{\begin{array}{l}
\sum x^{\prime \prime} d x=d p-d V, \\
V=k^{\prime} \sum x_{0}^{2}+\left(1-k^{\prime}\right) \sum x^{2} .
\end{array}\right.
\]

Слагаемые в $p$, которые нас интересуют, имеют вид
\[
h x_{0} z_{0}+h_{1} y_{0} z_{0},
\]

коэффициенты при них следует вычислить. Используя способ, изложенный во втором параграфе, из уравнений (1) находим
\[
\begin{array}{l}
\sum \alpha^{\prime \prime} \gamma=\sum \alpha \gamma^{\prime \prime}=k \sum \alpha \gamma+h, \\
\sum \beta^{\prime \prime} \gamma=\sum \beta \gamma^{\prime \prime}=k \sum \beta \gamma+h_{1} .
\end{array}
\]

Если положить $h+i h_{1}=\bar{\omega}$ и вспомнить выражение для $\xi$ и $\eta$, то эти уравнения примут форму:
\[
-\omega^{2} \rho e^{i \omega t} \xi+c \eta^{\prime \prime}=\rho e^{i \omega t} \xi^{\prime \prime}=k\left(\rho e^{i \omega t} \xi+c \eta\right)+\bar{\omega} .
\]

Таким образом для интересующих нас слагаемых получим
\[
p=\mathfrak{R} \bar{\omega} z_{0}\left(x_{0}-i y_{0}\right),
\]

где символ $\mathfrak{R}$ обозначает действительную часть.

Отбрасывая квадраты $\varepsilon, \eta$ и $\bar{\omega}$, можно показать, что
\[
p=P=\mathfrak{R} \frac{\omega}{c \rho} z(x-i y) e^{-i \omega t}=\mathfrak{R} \bar{\omega} z_{0}\left(x_{0}-i y_{0}\right) .
\]

При этих условиях, решение зависит от четырех произвольных постоянных, которые задаются действительной и мнимой частью $\bar{\omega}$ и двумя постоянными, определяющими вращение $u_{2}, v_{2}, w_{2}$.

Теперь необходимо вывести уравнения, аналогичные уравнениям (13) и (14) третьего параграфа, для определения величин, играющих роль $\varepsilon_{1}$ и $\eta_{1}$. Первое уравнение – это уравнение площадей; второе необходимо заменить уравнением упругого равновесия, которое имеет вид
\[
\sum x u=\left(r^{2} R+2 S\right) P .
\]

Легко проверить, что это выражение равно $\sum x u_{1}$, так как $\sum x u_{2}=0$. Таким образом, возвращаясь к уравнению (2), найдем соотношение между $\sum x u$ и действительными и мнимыми частями $\xi$ и $\eta$. Можно представить это уравнение в форме, аналогичной уравнениям (13) третьего параграфа следующим образом: обратимся к случаю с жидкостью и воспользуемся уравнением (1) второго параграфа. Пусть $x$, $y, z$ – значения координат, которые соответствуют решению (10) этих уравнений; $x+u, y+v, y+w$ – значения, которые соответствуют решению, подробно рассмотренному в п. 16 этого же параграфа. Получим
\[
x+i y=\rho\left(x_{0}+i y_{0}\right) e^{-i \omega t}, \quad z=c z_{0}, \quad u+i v=\xi z_{0}, \quad w=\Re \eta\left(x_{0}-i y_{0}\right) .
\]

Отсюда находим
\[
\sum x u=\mathfrak{R}\left(\rho \xi e^{i \omega t}+c \eta\right)\left(x_{0}-i y_{0}\right) z_{0} .
\]

По аналогии, установим также, что
\[
\sum x u=\Re\left(\rho \xi_{1} e^{i \omega t}+c \eta_{1}\right)\left(x_{0}-i y_{0}\right) z_{0} .
\]

Отметим, что это уравнение действительно представляет два соотношения между действительными и мнимыми частями $\xi_{1}$ и $\eta_{1}$, так как коэффициенты при $x_{0} z_{0}$ и $y_{0} z_{0}$ должны быть тождественны в двух указанных выражениях и наше уравнение примет вид
\[
\Re\left(\rho \xi_{1} e^{i \omega t}+c \eta_{1}\right)\left(x_{0}-i y_{0}\right) z_{0}=\left(r^{2} \Re+2 S\right) \mathfrak{R} \bar{\omega} z_{0}\left(x_{0}-i y_{0}\right),
\]

откуда
\[
\rho \xi_{1} e^{i \omega t}+c \eta_{1}=\lambda \bar{\omega}
\]

где
\[
\lambda=r^{2} \mathfrak{R}+2 S
\]

должна быть рассмотрена как заданная постоянная. Действительно, уравнения упругости позволяют нам определить функции $R$ и $S$, и в этих функциях для $r$ следует задать значение, которое соответствует внутренней свободной поверхности, мало отличающейся от сферы.

Перейдем к третьему уравнению (13) из третьего параграфа. Оно показывает, что внутренняя свободная поверхность мантии совпадает с внешней свободной поверхностью жидкого ядра. То же самое условие в данном случае имеет вид
\[
\sum x u=\mathfrak{R}\left(c e^{i \omega t} \xi+\rho \eta\right)\left(x_{0}-i y_{0}\right) z_{0},
\]

где можно взять $\rho=c$, поскольку мы пренебрегаем сплюснутостью,
\[
\mathfrak{R}\left(e^{i \omega t} \xi_{1}+c \eta_{1}\right)-\mathfrak{R}\left(\rho e^{i \omega t} \xi+c \eta\right) .
\]

Тем самым мы окончательно определяем $\xi_{1}$ и $\eta_{1}$. Полагая, что $x_{0}=y_{0}=0, z_{0}=1$, мы имеем
\[
u+w=\xi_{1} z_{0}
\]

Легко видеть, что четвертое уравнение Гельмгольца остается неизменным. Таким образом видно, что деформации твердой мантии зависят только от четырех произвольных постоянных. За них можно принять действительные и мнимые части $\xi_{1}$ и $\eta_{1}$.

Можно выбрать другую систему координат, выбирая ось $z$ таким образом, чтобы новая ось $x$ образовала с предыдущей осью угол $\varphi$. Это сводится к преобразованию $x_{0}-i y_{0} \mapsto\left(x_{0}-i y_{0}\right) e^{-i \varphi}, u+i v \mapsto(u+i v) e^{i \varphi}$ и, следовательно, $\xi, \eta, \xi_{1}, \eta_{1} \mapsto \xi e^{i \varphi}, \eta e^{i \varphi}, \xi_{1} e^{i \varphi}, \eta_{1} e^{i \varphi}$.

Уравнение площадей определяет линейное соотношение между $\xi, \eta$, $\xi_{1}, \eta_{1}$, их мнимыми сопряженными величинами $\xi^{0}, \eta^{0}, \xi_{1}^{0}, \eta_{1}^{0}$ и их производными. Но эти уравнения сохраняются в новой системе координат, то есть при замене $\xi, \eta, \xi_{1}, \eta_{1}, \xi^{0}, \eta^{0}, \xi_{1}^{0}, \eta_{1}^{0}$ в $\xi e^{i \varphi}, \eta e^{i \varphi}, \xi_{1} e^{i \varphi}, \eta_{1} e^{i \varphi}$, $\xi^{0} e^{-i \varphi}, \eta^{0} e^{-i \varphi}, \xi_{1}^{0} e^{-i \varphi}, \eta_{1}^{0} e^{-i \varphi}$. Первое слагаемое можно разделить на две части: первая умножается на $e^{i \varphi}$, вторая – на $e^{-i \varphi}$, и, т. к. равенство выполняется при произвольном $\varphi$, то каждая из этих двух частей должна равняться нулю. Таким образом, приравняем к нулю первую часть, зависящую только от $\xi, \eta, \xi_{1}, \eta_{1}$, и получим уравнение площадей в виде
\[
F\left(\xi, \eta, \xi_{1}, \eta_{1}\right)=0,
\]

первый член которого линеен по переменным $\xi, \eta, \xi_{1}, \eta_{1}$ и их производным. Из уравнений (2) и (4) получаем уравнение упругости
\[
\rho e^{i \omega t} \xi_{1}+c \eta_{1}+\lambda k\left(\rho e^{i \omega t} \xi+c \eta\right)+\lambda \rho e^{i \omega t} \xi^{\prime \prime}=0,
\]

последнее уравнение (13) третьего параграфа, остается справедливым без изменений
\[
\omega^{2} \rho e^{i \omega t} \xi-c \eta^{\prime \prime}+\rho e^{i \omega t} \xi^{\prime \prime}=0,
\]

и последнее уравнение
\[
\rho e^{i \omega t}\left(\xi-\xi_{1}\right)+c\left(\eta-\eta_{1}\right)=0
\]

получается из уравнения (5).
Если положить, как в третьем параграфе,
\[
\rho \xi=a e^{i \varepsilon t}, \quad c \eta=b e^{i(\omega+\varepsilon) t}, \quad \rho \xi_{1}=a_{1} e^{i \varepsilon t}, \quad c \eta_{1}=b_{1} e^{i(\omega+\varepsilon) t},
\]

то получим
\[
\left\{\begin{array}{l}
A a+A_{1} a_{1}+B b+B_{1} b_{1}=0, \\
\lambda\left(k+\varepsilon^{2}\right) a+a_{1}+\lambda k b+b_{1}=0, \\
a-a_{1}+b-b_{1}=0, \\
a\left(\omega^{2}-\varepsilon^{2}\right)+b(\omega+\varepsilon)^{2}=0,
\end{array}\right.
\]

где $A, A_{1}, B, B_{1}$ – функции от $\varepsilon$. Чтобы найти эти функции, отметим, что $F\left(\xi, \eta, \xi_{1}, \eta_{1}\right)$ определяет не постоянную площадей, а ее производную по времени. Если $\Phi\left(\xi, \eta, \xi_{1}, \eta_{1}\right)$ представляет эту постоянную, то, заменяя на $\xi$ и $\eta$ их значениями (1), получим
\[
\Phi\left(\xi, \eta, \xi_{1}, \eta_{1}\right)=\left(A^{\prime} a+A_{1}^{\prime} a_{1}+B^{\prime} b+B_{1}^{\prime} b_{1}\right) e^{i \varepsilon t},
\]

где $A^{\prime}, \ldots$ целые многочлены от $\varepsilon$. Продифференцировав это выражение по времени, имеем
\[
F\left(\xi, \eta, \xi_{1}, \eta_{1}\right)=i \varepsilon\left(A^{\prime} a+A_{1}^{\prime} a_{1}+B^{\prime} b+B_{1}^{\prime} b_{1}\right) e^{i \varepsilon t},
\]

и, следовательно, справедливы равенства
\[
A=i \varepsilon A^{\prime}, \quad A_{1}=i \varepsilon A_{1}^{\prime}, \quad B=i \varepsilon B^{\prime}, \quad B_{1}=i \varepsilon B_{1}^{\prime},
\]

показывающие, что $A, A_{1}, B, B_{1}$ делится на $\varepsilon$. Следовательно, детерминант уравнений ( $14 \mathrm{bis}$ ) равен нулю при $\varepsilon=0$, и имеется резонанс. Это нам уже известно. Остается определить является этот резонанс простым или двойным. Для этого первую строку (14 bis) разделим на $i \varepsilon$ и положим $\varepsilon=0$. В результате получаем детерминант вида
\[
\left|\begin{array}{cccc}
A^{\prime} & A_{1}^{\prime} & B^{\prime} & B_{1}^{\prime} \\
\lambda k & 1 & \lambda k & 1 \\
1 & -1 & 1 & -1 \\
\omega^{2} & 0 & \omega^{2} & 0
\end{array}\right| .
\]

Данный детерминант обращается в ноль при $\rho^{2}=c^{2}$, следовательно, он очень мал при $\rho^{2}$, близком к $c^{2}$. Действительно, рассмотрим матрицу, состоящую из трех последних строк детерминанта. Если $c^{2}=\rho^{2}$, то столбцы 1 и 3 этой матрицы будут совпадать, и аналогично столбцы 2 и 4. Следовательно, детерминант равен нулю.

Таким образом, имеется двойной резонанс, следовательно, амплитуда нутаций будет значительно отличаться от аналогичной амплитуды для твердого тела.