Первый частный случай. Первый частный случай, который нам предстоит рассмотреть, это случай нормального распределения, т. е. тот, когда точки пересечения каждой из кривых $x=c$ с соответствующей кривой $X=c$ распределены нормальным образом в смысле $\S 4$. Иначе, что сводится к тому же, этот тот случай, когда номер каждой ветви равен ее рангу (и когда, следовательно, нет ни обратного основания, ни обратной вершины).

В этом случае я утверждаю, что наша сеть не содержит тупика и что, следовательно, можно построить контур $C$. Действительно, если мы рассмотрим кривую $X=c$, то эта кривая не будет содержать никакой определенной дуги, кроме элементарных дуг, которые одновременно будут первичными и конечными и которые попеременно будут положительными и отрицательными (если договориться пробегать $X=c$ в направлении возрастающих $Y$ ). Исключение будет, когда кривая $x=c$ коснется кривой $X=c$ и, следовательно, кривой $X=x$ в основании или в вершине. Действительно, в этом случае две из точек пересечения сольются, элементарная дуга, соединявшая одну и другую, исчезнет, так что мы получим две последовательные дуги одного и того же знака. Это значит, что из двух горизонтальных путей, которые заканчиваются в основании или в вершине, один удаляется от такой точки, а второй приближается к ней.

Итак, здесь не может быть тупика в узле, не являющемся ни основанием, ни вершиной, так как один из двух наклонных путей, которые там заканчиваются, удаляется; однако его не может быть также в основании или в вершине, так как один из двух горизонтальных путей, которые там заканчиваются, удаляется.

Второй частный случай. Предположим, что у нас есть лишь два вида кривых $X=x$ : кривые $L$, примыкающие к внешней окружности $x=a$, и кривые $K$, примыкающие к $x=b$.

Предположим, что, пробегая кривые $L$ от одного конца до другого. мы встретим ветви постоянно возрастающего ранга, и что так же обстоит дело при пробегании кривых $К$. (Это случится, в частности, если мы предположим, что ни в одной точке кривых $L$ и $K$ касательная, при спрямленном изображении, не будет вертикальна.)

Установив это, мы сможем построить контур $C^{\prime}$ следующим образом: пусть $L^{\prime}$ и $K^{\prime}$ преобразования кривых $L$ и $K$; при пробегании кривой $L$ слева направо (на спрямленном изображении), все ветви, пробегаемые вниз, будут, например, четными (т. е. четного номера или ранга), а все те, которые будут пробегаться вверх, окажутся нечетными; для кривых $K$ все будет наоборот.

Кривые $L$ смогут иметь лишь четные основания и нечетные вершины, следовательно, у них не будет ни обратного основания, ни обратной вершины, т. е. здесь номера следуют в том же порядке, что и ранги. Если, наоборот, окажется, что на кривых $L$ нисходящие ветви нечетны, а на кривых $K$ они окажутся четными, то в случае кривых $K$ номера будут следовать в том же порядке, что и ранги; однако будем считать, что перед нами первый случай.

Теперь я предположу (оставаясь при спрямленном изображении) что кривые $L^{\prime}$ — светящиеся, а кривые $K$ — матовые; кривые $L$ будут светиться, но ни одна из их точек не будет испускать свет во всех направлениях; она сможет испускать свет лишь горизонтально (направо если кривые $L$ отрицательны, а кривые $K$ положительны, налево в противоположном случае). Все происходит так, как если бы в каждой из этих точек находился маленький параболический рефлектор, отбрасывающий пучок параллельных лучей. При этих условиях часть плоскости будет освещена, а часть окажется в тени. Граница тени и будет не что иное, как контур $C^{\prime}$. Я не привожу доказательства, так как оно длинное.

Третий частный случай. Имеются лишь два вида кривых $X=x$ : кривые $L$, примыкающие к $x=a$, кривые $K$, примыкающие к $x=b$. На каждой из этих кривых, при пробегании их слева направо, встречаются ветви с постоянно возрастающими номерами.

Этот случай по отношению к $T^{-1}$ составляет то же, что второй по отношению к $T$. Следовательно, можно построить контур $C^{\prime \prime}$ (из которого можно получить $C$ и $C^{\prime}$ ), рассматривая кривые $K$, например, как матовые, тогда как кривые $L$ будут испускать горизонтальные световые лучи в подходящем направлении. Границей тени будет контур $C^{\prime \prime}$.