Господа! Сегодня мой доклад посвящен понятию трансфинитного кардинального числа, и прежде всего я хочу поговорить об одном кажущемся противоречии, которое якобы содержит это понятие. Но прежде чем начать, я хотел бы сделать следующее предварительное замечание: по моему мнению, предмет мыслим только тогда, когда его можно определить конечным число слов. Предмет, определимый конечным числом слов, я буду для краткости называть просто определимым. С этой точки зрения неопределимый предмет немыслим. Аналогично, я буду называть закономерность высказываемой, если ее можно высказать за конечное число слов.

Г-н Ришар доказал, что множество определимых предметов счетно, т.е. кардинальное число этого множества есть $\aleph_{0}$. Доказательство совсем просто: пусть $\alpha$ — число слов в словаре, тогда $n$ словами можно определить самое большее $\alpha^{n}$ предметов. Если теперь разрешить $n$ неограниченно возрастать, то, как нетрудно видеть, даже в этом случае невозможно выйти за пределы счетного множества. Следовательно, мощность множества мыслимых предметов была бы равна $\aleph_{0}$. Г-н Шенфлис возразил против этого доказательства, заметив, что с помощью одного-единственного определения можно задать несколько, даже бесконечно много предметов. В качестве примера он приводит определение функций-констант, которых, очевидно, бесконечно много. Такое возражение неприемлемо потому, что определения этого типа задают не отдельные предметы, а их совокупность, в нашем примере — множество функций-констант, и это множество представляет собой один-единственный предмет. Итак, выдвинутое г-ном Шенфлисом возражение необосновано.

Как известно, Кантор доказал, что континуум не счетно-бесконечен; это противоречит доказательству Ришара. Возникает вопрос: какое из двух доказательств верно. Я утверждаю, что оба доказательства верны и что противоречие, о котором идет речь, лишь кажущееся. Для обоснования этого утверждения я приведу новое доказательство теоремы Кантора. Таким образом, предположим, что задан отрезок $A B$ и правило, по которому каждой точке этого отрезка поставлено в соответствие целое число. Для простоты условимся обозначать точки соответствующими им целыми числами. Разделим наш отрезок двумя произвольно выбранными точками $A_{1}$ и $A_{2}$ на три части, которые назовем подотрезками первой ступени; каждую из этих частей в свою очередь разделим на три части и получим подотрезки второй ступени; мысленно представим себе этот процесс продолженным до бесконечности, причем длины подотрезков у каждой границы должны уменьшаться. Точка 1 принадлежит одной или, самое большее (когда точка 1 совпадает с точкой $A_{1}$ или точкой $A_{2}$ ) двум подотрезкам первой ступени, и, следовательно, заведомо существует один подотрезок первой ступени, которому точка 1 не принадлежит. На этом отрезке найдем точку с наименьшим номером, которых должно быть по меньшей мере две. Среди трех подотрезков второй ступени, принадлежащих тому отрезку первой ступени, на котором мы находимся, снова найдется по крайней мере один, к которому не принадлежит последняя из рассмотренных нами точек. Продолжив наш метод на этом отрезке, мы получим в итоге последовательность отрезков, обладающих следующими свойствами: каждый из них содержится во всех предыдущих отрезках, и один из отрезков $n$-ой ступени не содержит ни одну из точек с номерами от 1 до $n-1$. Из первого свойства следует, что должна существовать по крайней мере одна точка, общая длн всех отрезков; тогда как из второго свойства следует, что номер этой точки должен быть больше любого конечного числа, т. е. этой точке невозможно поставить в соответствие ни одно из чисел.

Из какого предположения мы исходили в этом примере? Мы приняли предположение о правиле, по которому каждой точке отрезка поставлено в соответствие некоторое целое число. Затем нам удалось определить точку, которой не соответствует никакое число. В этом отношении приведенные выше различные доказательства теоремы не отличаются. Но прежде всего необходимо установить правило. По Ришару, такое правило, по-видимому, существует, но Кантор доказал противоположное. Можно ли найти выход из создавшейся дилеммы? Проанализируем, как надлежит понимать слово «определимый». Мы берем перечень всех конечных утверждений и вычеркиваем из него все утверждения, которые не определяют никакой точки. Оставшиеся утверждения мы
поставим в соответствие целым числам. Если теперь мы снова просмотрим наш перечень, то в общем случае можно показать, что некоторые из ранее вычеркнутых утверждений теперь придется оставить. Действительно, утверждения, в которых речь шла о правиле соответствия, ранее не имели значения, так как точки не были поставлены в соответствие целым точкам. Теперь же эти утверждения обрели значение и поэтому должны оставаться в нашем списке. Если бы мы изменили правило, по которому устанавливается соответствие между точками и целыми числами, то та же самая трудность повторилась, и так до бесконечности. Но именно в этом и заключается разрешение кажущего противоречия между Ришаром и Кантором. Пусть $M_{0}$ — множество целых чисел, $M_{1}$ — множество точек нашего отрезка, определяемых всеми конечными утверждениями, сохранившихся в нашем перечне после первого вычеркивания, $G_{1}$ — правило, устанавливающее соответствие между $M_{0}$ и $M_{1}$. Правило $G_{1}$ порождает новое множество определимых точек $M_{2}$. Но множеству $M_{1}+M_{2}$ соответствует новое правило $G_{2}$, которое в свою очередь порождает новое множество $M_{3}$, и т. д. Доказательство Ришара учит нас, что там, где я оборву применение нашего построения, всегда существует некоторое правило соответствия, тогда как Кантор доказывает, что наше построение можно продолжать сколь угодно долго. Таким образом, между доказательствами Ришара и Кантора никакого противоречия не возникает.

Видимость противоречия связана с тем, что правилу соответствия по Ришару недостает одного свойства, которое я назову «предикативностью», заимствуя это выражение у одного английского философа. (По Расселлу, у которого я заимствую этот термин, определение двух понятий $A$ и $A^{\prime}$ не предикативно, если $A$ упоминается в определении понятия $A^{\prime}$ и наоборот.) Под предикативностью я понимаю следующее. Каждое правило соответствия предполагает определенную классификацию. Я называю соответствие предикативным, если лежащая в его основе классификация предикативна. Что же касается классификации, то я называю ее предикативной,если она не изменяется от введения новых элементов. В этом смысле правило соответствия Ришара непредикативно; более того, введение предложенного им правила соответствия изменяет классификацию утверждений на имеющие значение и на не имеющие значение. То, что в этом случае имеется в виду под атрибутом «предикативный», лучше всего пояснить на примере. Если мне требуется упорядочить множество, распределив образующие его предметы по некоторому числу коробок, то могут представиться два случая: либо упорядоченные предметы в конце концов окажутся на своих местах, либо мне придется всякий раз, когда я буду классифицировать новый предмет, извлекать какой-то другой предмет (или другие предметы) из той коробки (или тех коробок), в которой он (или они) находились. В первом случае я называю классификацию предикативной, во втором — непредикативной. Хороший пример непредикативного определения привел Расселл: пусть $A$ — наименьшее число, для определения которого требуется более ста немецких слов. Число $A$ должно существовать, так как с помощью ста слов можно определить лишь конечное количество чисел. Но определение, которое мы выше дали числу $A$, содержит меньше ста слов, таким образом, число $A$ и определимо, и неопределимо.

Цермело высказал возражение против отказа от непредикативных определений, ссылаясь на то, что в таком случае пришлось бы отказаться от большей части математики, например, от доказательства существования корня алгебраического уравнения.
Как известно, это доказательство состоит в следующем.
Дано алгебраическое уравнение $F(x)=0$. Доказывают, что у $|F(x)|$ должен быть минимум. Пусть $x_{0}$ — то значение аргумента, при котором достигается минимум, следовательно,
\[
|F(x)| \geqslant\left|F\left(x_{0}\right)\right| .
\]

Отсюда далее следует, что $F\left(x_{0}\right)=0$. Такое определение $F\left(x_{0}\right)$ непредикативно, так как значение $F\left(x_{0}\right)$ зависит от множества значений $F(x)$, к которому оно принадлежит.

Я не могу останавливаться на обосновании этого возражения. Доказательство можно преобразовать так, чтобы непредикативные определения из него исчезли. Для этого я рассмотрю совокупность значений аргумента вида $\frac{m+n i}{p}$, где $m, n$ и $p$ — целые числа. Я могу воспользоваться теми же рассуждениями, что и прежде, но значение аргумента, при котором достигается минимум $|F|$, вообще говоря не принадлежит к рассматриваемым значениям аргумента. Тем самым мы избегаем круга в доказательстве. От каждого математического доказательства можно потребовать, чтобы оно содержало только предикативные определения и т.д., так как в противном случае доказательство нестрого.

А как обстоит дело с классическим доказательством теоремы Бернштейна? Свободно ли оно от противоречия? Как известно, теорема Бернштейна утверждает, что если даны три множества $A, B$ и $C$, такие, что $A$ содержится в $B$, а $B$ содержится в $C$, и если $A$ эквивалентно $C$, то $A$ должно быть эквивалентно $B$. Таким образом, и в этом случае речь идет о правиле, по которому устанавливается соответствие. Если первое правило установления соответствия (между $A$ и $C$ ) предикативно, то, как показывает доказательство, второе правило установления соответствия между $A$ и $B$ также должно быть предикативным.

Что же касается второго трансфинитного кардинального числа $\aleph_{1}$, то я не совсем убежден в том, что оно существует. Мы приходим к нему через рассмотрение множества ординальных чисел мощности $\aleph_{0}$; ясно, что это множество должно иметь более высокую мощность. Спрашивается, однако, замкнуто ли оно, чтобы мы могли говорить о его мощности, не впадая при этом в противоречие. Актуальной бесконечности здесь во всяком случае не существует.

А как обстоит дело с знаменитой проблемой континуума? Можно ли вполне упорядочить точки пространства? Что мы под этим понимаем? Возможны два случая. Во-первых, мы можем утверждать, что правило вполне упорядочения высказываемо за конечное число слов; тогда это утверждение не доказуемо, и даже г-н Цермело не претендует на то, чтобы представить такое доказательство. Но мы допускаем и такую возможность, что правило не выразимо с помощью конечного числа слов. В этом случае я не могу придать утверждению никакого смысла, оно для меня — «пустой звук». В этом и заключается трудность. И в этом же — причина споров по поводу почти гениальной теоремы Цермело. Эти споры весьма примечательны: одни отвергают постулат выбора, но тем не менее считают доказательство правильным, другие считают постулат выбора приемлемым, но не признают доказательство.

Я могу говорить на эту тему еще несколько часов, но не в силах решить проблему.