Рассмотрим на спрямленном изображении различные ветви $X=x$; сопоставим каждой ветви $(A)$ число $n(A)$, соблюдая при этом следующее условие.

Если горизонталь $x=c$ пересекает две ветви $(A)$ и $(B)$ и если ее пересечение с $(A)$ будет слева от ее пересечения с $(B)$, то должно быть
\[
n(A)<n(B) .
\]

Нетрудно показать, что это условие не вносит никакого противоречия и что можно подобрать числа $n(A)$ таким образом, чтобы одновременно удовлетворялись все эти неравенства. Число $n(A)$ будет называться рангом ветви ( $A$ ). Можно выбрать эти числа так, чтобы они представили всю последовательность целых чисел, начиная от $-\infty$ вплоть до $+\infty$, причем без какого-либо пропуска; если бы пропуски существовали, то для их заполнения было бы достаточно «сомкнуть ряды».

На спрямленном изображении число ветвей бесконечно, и ранги следуют от $-\infty$ до $+\infty$, но эти ветви соответствуют лишь конечному числу ветвей на круговом изображении, так как каждой точке кругового изображения соответствует бесконечное число точек спрямленного. Итак, достаточно представить себе часть спрямленного изображения, заключенную между $y=y_{0}$ и $y=y_{0}+2 \pi$ и содержащую лишь конечное число ветвей, так как спрямленное изображение при возрастании $y$ на $2 \pi$ воспроизводится периодически.

Аналогично определяется и ранг ветвей $(X)=x$. Номером ветви $X=x$ будет ранг ветви $(X)=x$, являющейся преобразованием первой; номером ветви $(X)=x$ будет ранг ветви $X=x$, являющейся ее обратным преобразованием.

Нетрудно дать себе отчет в том, как такая нумерация ветвей $X=x$ связана с нумерацией пересечений $X=c$ и $x=c$, изученной в предыдущем параграфе.

Рассмотрим окружность $x=c$, представленную на спрямленном изображении горизонталью; ее пересечения с $X=c$ будут находиться на одной из ветвей $X=x$.

Горизонталь $x=c$ не встретится со всеми ветвями $X=x$, но все ее точки пересечения с одной из этих ветвей будут находиться на $X=x$; номера и ранги ее точек пересечения с $X=c$ следуют в том же порядке, что и номера и ранги соответствующих ветвей $X=x$. Но в то время, как последовательность номеров (или последовательность рангов) точек пересечения $X=c$ и $x=c$ не имеет пропусков, последовательность номеров (или последовательность рангов) соответствующих ветвей $X=x$ может их иметь, так как $x=c$ не пересекает всех этих ветвей. Для того, чтобы перейти от второй последовательности к первой, достаточно «сомкнуть ряды». Следует заметить, что, «смыкая ряды», мы не меняем четности номеров (а равно и рангов).

Условимся говорить, что номера (или ранги) двух ветвей являются последовательными на уровне данной горизонтали $x=c$, если эта горизонталь не пересекает никакой ветви, номера (или ранги) которой заключены между номерами (или рангами) этих двух ветвей.

В соответствии со всеми этими соглашениями, номер ветви $X=x$, и ранг и номер соответствующей точки пересечения между $X=c$ и $x=c$ будут всегда одинаковой четности.

Кривые $X=x$ делят круговое кольцо (или его спрямленное изображение) на области; в одних имеем $X>x$, а в других $X<x$. Из соглашения настоящего и предыдущего параграфов вытекает, что области $X>x$ ограничены слева ветвями четного номера, а справа ветвями нечетного номера. Для областей $X<x$ имеет место противоположное.

Рассмотрим основание (или вершину), в котором сходятся две ветви. Пусть $\alpha_{0}$ и $\beta_{0}$ – номер и ранг левой ветви, $\alpha_{1}$ и $\beta_{1}$ – номер и ранг правой ветви; два номера $\alpha_{0}$ и $\alpha_{1}$, так же как и два ранга $\beta_{0}$ и $\beta_{1}$, должны быть последовательными на уровне этого основания (или этой вершины). Будем говорить, что это основание (соответственно, вершина) нечетно, если $\alpha_{0}$ нечетное, и четно при четном $\alpha_{0}$.

Будем говорить, что основание (вершина) является прямым при $\alpha_{0}<\alpha_{1}$ и обратным при $\alpha_{0}>\alpha_{1}$.