Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Comptes rendus de l’Acadèmie des Sciences, t. 124, p. 713-716 Рассмотрим движущуюся точку на плоскости. Уравнения движения могут быть записаны следующим образом а интеграл живых сил где $U$ является силовой функцией. Нашей целью является изучение периодических решений этих уравнений с новой точки зрения. Траектория, которая соответствует периодическому решению, будет замкнутой кривой $(T)$. Каждому периодическому решению будут соответствовать два характеристических показателя — равные по величине и противоположные по знаку. Если эти два показателя являются мнимыми, то периодическое решение будет устойчивым. Если они являются действительными, то решение будет неустойчивым. Применение принципа наименьшего действия приведет нас к расширению этой классификации, в которой будут различаться два вида неустойчивых решений. называемый действием, является наименьшим для траектории, удовлетворяющей уравнениям (1), по сравнению с бесконечно близкими кривыми, в окрестности этого экстремума. Это верно для двух экстремумов в окрестности каждого из них. Но, вообще, нам известно лишь то, что первая вариация $\delta J$ интеграла $J$ равняется нулю. Это условие является необходимым, но недостаточным для того, чтобы имелся минимум. Если продолжать обсуждение, то необходимо прибегнуть к понятию кинетических фокусов, определение которых мы сейчас напомним. Пусть $M$ — точка, расположенная на траектории $T$. Проведем через эту точку другую траекторию, бесконечно близкую к $T$. Если эта траектория пересекает $T$ в точке $M^{\prime}$, то точка $M^{\prime}$ будет фокусом точки $M$. Изучение кинетических фокусов в случае периодических решений приводит к следующим результатам. Сначала положим, что периодическое решение устойчиво. Пусть $s-$ дуга соответствующей замкнутой траектории $(T)$, исходящая из некоторого начала, а $S$ — общая длина этой траектории. Существует постоянно возрастающая функция $f(s)$, увеличивающаяся от 0 до $2 \pi$ при длине $s$, возрастающей от 0 до $S$, такая, что Соотношение между величиной дуги $s$, соответствующей точке $M$ траектории ( $T$ ) и величиной $s^{\prime}$, соответствующей своему фокусу $M^{\prime}$, имеет вид Если периодическое решение неустойчиво, то различаются два случая: $1^{\circ}$. Точка $A_{q+1}$ является фокусом точки $A_{q}$. Таким образом, асимптотические решения представлены кривыми, которые имеют отличную форму, как в предыдущем случае: они бесконечное количество раз пересекают кривую $(T)$, и точки пересечения имеют в качестве предельных точек точку $A_{0}$ и ее фокусы или точку $B_{0}$ с ее фокусами. Установив это, укажем два момента, на которые следует обратить внимание: То, что мы указали, применимо без изменения для случая относительного движения. Предположим, что подвижная точка рассматривается в системе двух подвижных осей, приводимых в движение равномерным вращением с угловой скоростью $\omega$. Тогда уравнения движения будут следующими При этом в силовой функции $U$ имеется член, происходящий от обычной центробежной силы. а выражение действия можно записать следующим образом
|
1 |
Оглавление
|