Comptes rendus de l’Acadèmie des Sciences, t. 124, p. 713-716
(5 avril 1897 )

Рассмотрим движущуюся точку на плоскости. Уравнения движения могут быть записаны следующим образом
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\frac{dU}{dx},\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=\frac{dU}{dy},$$

а интеграл живых сил
$$\frac{1}{2}({\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2)=U+h,$$

где $U$ является силовой функцией. Нашей целью является изучение периодических решений этих уравнений с новой точки зрения. Траектория, которая соответствует периодическому решению, будет замкнутой кривой $(T)$.

Каждому периодическому решению будут соответствовать два характеристических показателя — равные по величине и противоположные по знаку. Если эти два показателя являются мнимыми, то периодическое решение будет устойчивым. Если они являются действительными, то решение будет неустойчивым. Применение принципа наименьшего действия приведет нас к расширению этой классификации, в которой будут различаться два вида неустойчивых решений.
По принципу Мопертюи известно, что интеграл
$$J=\int \sqrt{U+h}ds,$$

называемый действием, является наименьшим для траектории, удовлетворяющей уравнениям (1), по сравнению с бесконечно близкими кривыми, в окрестности этого экстремума. Это верно для двух экстремумов в окрестности каждого из них. Но, вообще, нам известно лишь то, что первая вариация $\delta J$ интеграла $J$ равняется нулю.

Это условие является необходимым, но недостаточным для того, чтобы имелся минимум.

Если продолжать обсуждение, то необходимо прибегнуть к понятию кинетических фокусов, определение которых мы сейчас напомним. Пусть $M$ — точка, расположенная на траектории $T$. Проведем через эту точку другую траекторию, бесконечно близкую к $T$. Если эта траектория пересекает $T$ в точке $M^{\prime }$, то точка $M^{\prime }$ будет фокусом точки $M$.

Изучение кинетических фокусов в случае периодических решений приводит к следующим результатам.

Сначала положим, что периодическое решение устойчиво. Пусть $s-$ дуга соответствующей замкнутой траектории $(T)$, исходящая из некоторого начала, а $S$ — общая длина этой траектории. Существует постоянно возрастающая функция $f(s)$, увеличивающаяся от 0 до $2\pi$ при длине $s$, возрастающей от 0 до $S$, такая, что
$$f(s+S)=f(s)+2\pi .$$

Соотношение между величиной дуги $s$, соответствующей точке $M$ траектории ( $T$ ) и величиной $s^{\prime }$, соответствующей своему фокусу $M^{\prime }$, имеет вид
$$f\left(s^{\prime }\right)=f(s)+\text{ const. }$$

Если периодическое решение неустойчиво, то различаются два случая:
1) решение будет решением первого вида, если ни одна из точек траектории не имеет фокуса. Тогда траектории, соответствующие асимптотическим решениям, будут спиральными кривыми, обвивающимися вокруг траектории ( $T$ ) и приближающимся к ней асимптотически. Витки этой спиральной кривой не пересекают траекторию $(T)$ и не пересекаются между собой, по крайней мере, если ограничиться частью кривой, которая не слишком удаляется от $(T)$;
2) однако, может представиться и другой случай, в этом случае говорят, что неустойчивое периодическое решение является решением второго вида. При этом замкнутая кривая ( $T$ ) будет разделена на четное число дуг. Пусть $2p$ будет таким четным числом, а $A_0$, $A_1,\dots ,A_{2p-1}$ — точками деления. Достигая большей симметрии в обозначениях, мы для одной и той же произвольной точки $A_q$ будем иметь бесконечную последовательность символов $A_q,A_{q+2p},A_{q+4p},\dots$
Для точек деления предполагается выполнение условий:

$1^{\circ }$. Точка $A_{q+1}$ является фокусом точки $A_q$.
$2^{\circ }$. Если точка $M$ находится на дуге $A_q,A_{q+1}$, то его фокус будет находиться на дуге $A_{q+1},A_{q+2}$.
$3^{\circ }$. Пусть $M_1$ — фокус точки $M,M_2$ — второй фокус точки $M$, т.е. фокус точки $M_1$, а $M_q-q$-й фокус точки $M$. Если точка $M$ находится на дуге $A_0{A}_1$, то на ней будут находится и точки $M_{2p},M_{4p},\dots ,M_{2kp},\dots$ и эти точки будут бесконечно и постоянно приближаться к одной из точек $A_0$ или $A_1$.
$4^{\circ }$. На дуге $A_0{A}_1$ имеется точка $B_0$, которая совпадает со своим $2p$-м фокусом и, когда $k$ будет стремиться к $+\mathrm{\infty }$, то точка $M_{-2kp}$ будет бесконечно приближаться к $B_0$.

Таким образом, асимптотические решения представлены кривыми, которые имеют отличную форму, как в предыдущем случае: они бесконечное количество раз пересекают кривую $(T)$, и точки пересечения имеют в качестве предельных точек точку $A_0$ и ее фокусы или точку $B_0$ с ее фокусами.

Установив это, укажем два момента, на которые следует обратить внимание:
1) необходимое и достаточное условие того, что периодическое решение, представленное замкнутой кривой ( $T$ ) соответствует наименьшему действию, состоит в том, что все замкнутые кривые бесконечно близки. Это именно то условие, при котором решение является неустойчивым решением первого вида;
2) предположим, что функция $U$ и первоначальные условия движения меняются непрерывным образом, и что рассматривается периодическое решение, которое меняется также непрерывным образом. При этом невозможно непосредственно перейти от неустойчивого решения первого вида к неустойчивому решению второго вида. Можно будет лишь перейти от неустойчивого решения одного из двух видов к устойчивому решению, либо наоборот.

То, что мы указали, применимо без изменения для случая относительного движения.

Предположим, что подвижная точка рассматривается в системе двух подвижных осей, приводимых в движение равномерным вращением с угловой скоростью $\omega$. Тогда уравнения движения будут следующими
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}-2\omega \frac{dy}{dt}=\frac{dU}{dx},\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+2\omega \frac{dx}{dt}=\frac{dU}{dy}.$$

При этом в силовой функции $U$ имеется член, происходящий от обычной центробежной силы.
Интеграл живых сил имеет вид
$$\frac{1}{2}({\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2)=U+h,$$

а выражение действия можно записать следующим образом
$$J=\int [ds\sqrt{U+h}+\omega (xdy-ydx)].$$