Comptes rendus de l’Acadèmie des Sciences, t. 124, p. 713-716
(5 avril 1897 )

Рассмотрим движущуюся точку на плоскости. Уравнения движения могут быть записаны следующим образом
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=\frac{d U}{d x}, \quad \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=\frac{d U}{d y},
\]

а интеграл живых сил
\[
\frac{1}{2}\left(\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}\right)=U+h,
\]

где $U$ является силовой функцией. Нашей целью является изучение периодических решений этих уравнений с новой точки зрения. Траектория, которая соответствует периодическому решению, будет замкнутой кривой $(T)$.

Каждому периодическому решению будут соответствовать два характеристических показателя – равные по величине и противоположные по знаку. Если эти два показателя являются мнимыми, то периодическое решение будет устойчивым. Если они являются действительными, то решение будет неустойчивым. Применение принципа наименьшего действия приведет нас к расширению этой классификации, в которой будут различаться два вида неустойчивых решений.
По принципу Мопертюи известно, что интеграл
\[
J=\int \sqrt{U+h} d s,
\]

называемый действием, является наименьшим для траектории, удовлетворяющей уравнениям (1), по сравнению с бесконечно близкими кривыми, в окрестности этого экстремума. Это верно для двух экстремумов в окрестности каждого из них. Но, вообще, нам известно лишь то, что первая вариация $\delta J$ интеграла $J$ равняется нулю.

Это условие является необходимым, но недостаточным для того, чтобы имелся минимум.

Если продолжать обсуждение, то необходимо прибегнуть к понятию кинетических фокусов, определение которых мы сейчас напомним. Пусть $M$ – точка, расположенная на траектории $T$. Проведем через эту точку другую траекторию, бесконечно близкую к $T$. Если эта траектория пересекает $T$ в точке $M^{\prime}$, то точка $M^{\prime}$ будет фокусом точки $M$.

Изучение кинетических фокусов в случае периодических решений приводит к следующим результатам.

Сначала положим, что периодическое решение устойчиво. Пусть $s-$ дуга соответствующей замкнутой траектории $(T)$, исходящая из некоторого начала, а $S$ – общая длина этой траектории. Существует постоянно возрастающая функция $f(s)$, увеличивающаяся от 0 до $2 \pi$ при длине $s$, возрастающей от 0 до $S$, такая, что
\[
f(s+S)=f(s)+2 \pi .
\]

Соотношение между величиной дуги $s$, соответствующей точке $M$ траектории ( $T$ ) и величиной $s^{\prime}$, соответствующей своему фокусу $M^{\prime}$, имеет вид
\[
f\left(s^{\prime}\right)=f(s)+\text { const. }
\]

Если периодическое решение неустойчиво, то различаются два случая:
1) решение будет решением первого вида, если ни одна из точек траектории не имеет фокуса. Тогда траектории, соответствующие асимптотическим решениям, будут спиральными кривыми, обвивающимися вокруг траектории ( $T$ ) и приближающимся к ней асимптотически. Витки этой спиральной кривой не пересекают траекторию $(T)$ и не пересекаются между собой, по крайней мере, если ограничиться частью кривой, которая не слишком удаляется от $(T)$;
2) однако, может представиться и другой случай, в этом случае говорят, что неустойчивое периодическое решение является решением второго вида. При этом замкнутая кривая ( $T$ ) будет разделена на четное число дуг. Пусть $2 p$ будет таким четным числом, а $A_{0}$, $A_{1}, \ldots, A_{2 p-1}$ – точками деления. Достигая большей симметрии в обозначениях, мы для одной и той же произвольной точки $A_{q}$ будем иметь бесконечную последовательность символов $A_{q}, A_{q+2 p}, A_{q+4 p}, \ldots$
Для точек деления предполагается выполнение условий:

$1^{\circ}$. Точка $A_{q+1}$ является фокусом точки $A_{q}$.
$2^{\circ}$. Если точка $M$ находится на дуге $A_{q}, A_{q+1}$, то его фокус будет находиться на дуге $A_{q+1}, A_{q+2}$.
$3^{\circ}$. Пусть $M_{1}$ – фокус точки $M, M_{2}$ – второй фокус точки $M$, т.е. фокус точки $M_{1}$, а $M_{q}-q$-й фокус точки $M$. Если точка $M$ находится на дуге $A_{0} A_{1}$, то на ней будут находится и точки $M_{2 p}, M_{4 p}, \ldots, M_{2 k p}, \ldots$ и эти точки будут бесконечно и постоянно приближаться к одной из точек $A_{0}$ или $A_{1}$.
$4^{\circ}$. На дуге $A_{0} A_{1}$ имеется точка $B_{0}$, которая совпадает со своим $2 p$-м фокусом и, когда $k$ будет стремиться к $+\infty$, то точка $M_{-2 k p}$ будет бесконечно приближаться к $B_{0}$.

Таким образом, асимптотические решения представлены кривыми, которые имеют отличную форму, как в предыдущем случае: они бесконечное количество раз пересекают кривую $(T)$, и точки пересечения имеют в качестве предельных точек точку $A_{0}$ и ее фокусы или точку $B_{0}$ с ее фокусами.

Установив это, укажем два момента, на которые следует обратить внимание:
1) необходимое и достаточное условие того, что периодическое решение, представленное замкнутой кривой ( $T$ ) соответствует наименьшему действию, состоит в том, что все замкнутые кривые бесконечно близки. Это именно то условие, при котором решение является неустойчивым решением первого вида;
2) предположим, что функция $U$ и первоначальные условия движения меняются непрерывным образом, и что рассматривается периодическое решение, которое меняется также непрерывным образом. При этом невозможно непосредственно перейти от неустойчивого решения первого вида к неустойчивому решению второго вида. Можно будет лишь перейти от неустойчивого решения одного из двух видов к устойчивому решению, либо наоборот.

То, что мы указали, применимо без изменения для случая относительного движения.

Предположим, что подвижная точка рассматривается в системе двух подвижных осей, приводимых в движение равномерным вращением с угловой скоростью $\omega$. Тогда уравнения движения будут следующими
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}-2 \omega \frac{d y}{d t}=\frac{d U}{d x}, \quad \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+2 \omega \frac{d x}{d t}=\frac{d U}{d y} .
\]

При этом в силовой функции $U$ имеется член, происходящий от обычной центробежной силы.
Интеграл живых сил имеет вид
\[
\frac{1}{2}\left(\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}\right)=U+h,
\]

а выражение действия можно записать следующим образом
\[
J=\int[d s \sqrt{U+h}+\omega(x d y-y d x)] .
\]