Итак, преобразование $T$ характеризуется следующими данными, которые нетрудно распознать на спрямленном изображении.
1. Формой кривых $X=x$, числом и расположением ветвей каждой из них, относительной высотой раз.ичных вершин или оснований. Когда задаются формой кривых, ранг каждой ветви оказывается определенным, так как он зависит только от относительного геометрического положения ветвей.
2. Номером каждой ветви.
3. Знаками каждой из кривых $X=x$, которые могут быть положительными или отрицательными в смысле §4.
Эти данные, однако, нельзя выбрать произвольно: они должны удовлетворять некоторым условиям, которые я и перечислю.
1. Предположим, что кривые $X=x$ пересечены произвольной горизонталью $x=c$. Эта горизонталь не пересечет всех ветвей кривых; но если мы выпишем номера ветвей, пересекаемых ею, в том порядке, в котором она встречается с ними, или, что то же самое, в порядке рангов, то получим бесконечную последовательность.
Каждой из пересеченных ветвей соответствует одна из точек пересечения $X=c$ и $x=c$; номер этой ветви вообще не равен номеру этой точки пересечения, так как ряд номеров имеет пропуски, соответствующие ветвям, не пересеченным кривой $x=c$, в то время как ряд номеров точек пересечения таких пропусков не имеет. Однако эти два ряда номеров следуют друг за другом в одном и том же порядке (таким образом, что можно перейти от одного к другому, «смыкая ряды»). Итак, первый из этих рядов, так же как и второй, должен удовлетворять условию $\S 5$, которое можно сформулировать следующим образом.
Рассмотрим ряд номеров, которые попеременно четны и нечетны; отметим в нем две пары последовательных номеров, таких, что в каждой из них первый номер будет четным, а второй – нечетным. Эти две пары не должны налагаться одна на другую в смысле §5; то же самое должно иметь место и для двух пар последовательных номеров, в которых первый номер нечетный, а второй четный.
2. Номера и ранги двух ветвей, которые сходятся в какой-либо вершине или в каком-либо основании, должны быть последовательными на уровне этой вершины или этого основания, в смысле § 6 .
3. Не должны встречаться ни четное обратное основание, ни нечетная обратная вершина.
4. Вблизи граничных горизонталей $x=a$ и $x=b$ номера различных ветвей должны следовать друг за другом в том же порядке, что и их ранги. И действительно, $X=a$, например, совпадает с $x=a$. Итак, если $c$ близко к $a$, то $X=c$ будет мало отличаться от $x=c$, и при этом любая касательная к $X=c$ будет всегда составлять весьма малый угол с горизонталью $x=c$, а когда две замкнутые кривые мало удаляются друг от друга, распределение их точек пересечения будет нормальным в смысле $\S 5$.
5. Две ветви, принадлежащие одной и той же кривой, и, в частности, две ветви, попадающие в одну и ту же вершину или в одно и то же основание, должны быть одинакового знака.
6. Мы видели, что если одна ветвь $X=x$ положительна, то преобразованная из нее $(X)=x$ должна располагаться справа от нее. Итак, пусть даны ветви $A$ и $B$ кривой $X=x$; предположим, что они «обратны», т.е., что номер $A$ больше номера $B$, а ранг $A$ меньше ранга $B$, и что они, кроме того, имеют противоположные знаки. Тогда необходимо, чтобы $A$ было положительным, а $B$ отрицательным. Не может случиться, чтобы $A$ оказалось отрицательным, а $B$ положительным; если бы это имело место, $A$ оказалась бы справа от своей преобразованной $A^{\prime}$, а $B$ – слева от своей преобразованной $B^{\prime}$; но этого не может случиться: $A$ слева от $B$, так как ее ранг меньше, а $A^{\prime}$ справа от $B^{\prime}$, так как номер $A$ больше.
