Дж. Д. Биркгоф
В этих шести геттингенских лекциях, прочитанных $22-28$ апреля 1909 г. по приглашению комиссии Вольфскеля, Пуанкаре с большим мастерством затронул широкий круг интересных вопросов. Однако, вследствие ряда причин методы и результаты были представлены очень кратко, что сделало эту маленькую книгу трудночитаемой. К счастью, читатель, не удовлетворенный данным конспективным изложением, может в значительной степени пополнить его с помощью недавних статей Пуанкаре ${ }^{2}$. Представленные в них темы в порядке очередности таковы: (1) уравнения Фредгольма, (2) применение теории интегральных уравнений к движению жидкости, (3) применение теории интегральных уравнений к волнам Герца, (4) приведение абелевых интегралов и теория фуксовых функций, (5) трансфинитные числа, (6) новая механика. Шестая лекция, популярная по сути, была прочитана на французском языке.

Уравнения Фредгольма. Известно, что интегральное уравнение второго рода
\[
\varphi(x)=\lambda \int_{a}^{b} f(x, y) \varphi(y) d y+\psi(x)
\]

допускает два формальных решения: решение Неймана в виде степенного ряда по положительным целочисленным степеням параметра $\lambda$, сходящегося при малых значениях $\lambda$, и решение Фредгольма в виде отношения двух целых функций от $\lambda$. Сначала подсчетом комбинаций Пуанкаре выводит фундаментальную формулу для $\log D(\lambda)$, где $D(\lambda)-$
${ }^{1}$ Poincaré’s Göttingen Lectures. Bull. Amer. Society, vol. 17, № 4, Jan., 1911.
${ }^{2}$ Первая лекция: Acta Mathematica, vol. 33 (1909), p. 57-86. Третья лекция: Palermo Rendiconti, vol. 30 (1910), p. 169-259. Четвертая лекция: Palermo Rendiconti, vol. 29 (1909), p. 281-336. Пятая лекция: Acta Mathematica, vol. 32 (1908), p. 195-200 и Revue de Metaphysique et de Morale, 1909, p. 461-482.

знаменатель резольвенты Фредгольма, а затем сразу определяет числитель по формуле Неймана для резольвенты. С помощью этого метода сравнения можно провести явный анализ решения интегрального уравнения. Естественное обобщение этого метода позволяет Пуанкаре обратиться к важному случаю, когда ядро $f(x, y)$ становится бесконечным, но некоторое итерированное ядро $f_{n}(x, y)$ остается конечным. Фредгольм показал, что решение существует; но в его формулах остался общий множитель в числителе и знаменателе, который далее можно устранить с помощью модифицированной резольвенты. Эта резольвента получается очень просто – вычеркиванием определенных членов из резольвенты Фредгольма.

Далее изложены некоторые частные результаты для случая, когда $f(x, y)$ и все итерированные ядра становятся бесконечными, и лекция заканчивается рассмотрением двух особых интегральных уравнений первого рода, приводимых к уравнениям Фредгольма при помощи интеграла и ряда Фурье.

Применение теории интегральных уравнений к движению жидкости. В этой и последующей лекциях рассматриваются типичные и важные примеры из области математической физики, приводящие к уравнениям Фредгольма.

Первая задача – определить движение жидкости в море с изменяющейся глубиной на вращающейся земле под влиянием периодических возмущающих сил. Если пренебречь силами притяжения, возникающими при перемещении воды, то получится неоднородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными. Это уравнение и рассматривается в лекции. Когда море окружено вертикальной стеной, применяется метод Гильберта и Пикара для построения ядра или функции Грина соответствующего интегрального уравнения, которое является уравнением первого рода. Тогда к уравнению можно применить метод Келлогга или метод интегрирования в комплексной плоскости, предложенный Пуанкаре, который заменяет данное интегральное уравнение на эквивалентное уравнение второго рода. Если берег моря невертикальный, то соответствующая прямая является сингулярной для дифференциального уравнения. Теперь необходимо принять во внимание вторую линию (критическую широту). Снова может быть выполнено аналогичное приведение последовательностью из трех шагов. Таким образом доказывается существование решения в обоих случаях. Наконец, показано, что никаких новых затруднений не возникает, если не пренебрегать притяжением вследствие перемещения воды.

Применение теории интегральных уравнений к волнам Герца. Пуанкаре исследует явление криволинейного распространения волн Герца по земной поверхности, которые объясняют возможность передачи радиограмм на значительные расстояния. Это явление связано с большой длиной волны Герца по сравнению с длиной световой волны, распространяющейся по прямой. Проводятся количественные математические рассуждения. Рассматривая землю как внешний проводник и передатчик как внутренний и учитывая затухающие синхронные колебания, можно получить интегральное уравнение второго рода для определения плотности электрического заряда $\mu$, индуцируемого на поверхности земли. Однако это приводит только к теореме существования. Пуанкаре доводит задачу до практического результата, получая приближенное выражение для $\mu$; этот метод зависит от разложения по $\mu$ в полиномах Лежандра и использования асимптотических формул. Оказывается, что кривизна растет с увеличением длины волны и уменьшением расстояния от передатчика до земли ${ }^{1}$.

Приведение абелевых интегралов и теория фуксовых функций. Если дана система $S$ абелевых функций, которая приводима с помощью второй системы $S^{\prime}$, и если как $S$, так и $S^{\prime}$ возникают из алгебраических кривых $C$ и $C^{\prime}$, то существует множество алгебраических соответствий между группами точек на кривых. Рассматривается только тот случай, в котором одной точке на кривой $C$ соответствует одна точка на кривой $C^{\prime}$, тогда как одной точке на кривой $C^{\prime}$ может соответствовать $n$ точек на кривой $C$. В этом случае существуют определенные приводимые интегралы, принадлежащие $C$, и таблица периодов имеет простую нормальную форму. Также доказывается, что число $n$ равно порядку соответствующей тета-функции. Теперь известно, что существует фуксова функция, которая униформизирует любую алгебраическую кривую, в частности, $C^{\prime}$. Фундаментальные многоугольники для кривых $C^{\prime}$ можно взять ограниченными дугами окружностей и так, что каждый многоугольник для $C$ будет образован из $n$ таких многоугольников для $C^{\prime}$. Соответствие между интеграла-

${ }^{1}$ В конце лекции было замечено, что окончательные выводы необходимо модифицировать, поскольку были упущены важные члены.

ми и многоугольниками приводит к многочисленным геометрическим фактам, относящихся к кривым $C$ и $C^{\prime}$ и конгруэнтным многоугольникам в пространстве постоянной отрицательной кривизны. Дано несколько примеров, иллюстрирующих одну красивую теорему, касающуюся кривых $C$ и $C^{\prime}$, которая может быть получена в результате такого анализа.

Трансфинитные числа. В этой лекции Пуанкаре раскрывает свое отношение к некоторым тонкостям в этой противоречивой области математики. Две основные идеи, которые он оспаривает, таковы: первая, что не существует никакой математической сущности, которая бы не определялась конечным числом слов, и вторая, что все определения должны быть, как он их называет, «предикативными». Например, Пуанкаре возражает против известного доказательства того, что любое алгебраическое уравнение $f(x)=0$ имеет корень, зависящий от существования минимума $|f(x)|$. Поскольку с его точки зрения нельзя говорить о совокупности всех значений $f(x)$ иначе, как о тех значениях, для которых $x$ определен конечным числом слов. Это недопустимо, так как понятие совокупности определяемых значений $x$ непредикативно. Трудность заключается в том, что в этой «совокупности» содержатся элементы, которые сами определены в терминах «совокупности», и, следовательно, это понятие приводит к порочному кругу. Разъяснение значения слова «предикативный», данное в лекции, не совсем ясно.

Пуанкаре начинает с рассмотрения очевидного противоречия между доказательством Ришара (основанного на первой из сформулированных выше идей) того, что континуум счетен, и доказательством Кантоpa, что он несчетен, однако показано, что это противоречие несущественно, так как Ришар использует непредикативное определение.

Затем он переходит к тому, как необходимо излагать с его точки зрения доказательство теоремы о том, что любое алгебраическое уравнение $f(x)=0$ имеет корень.

В заключение кратко затрагиваются другие вопросы. По Пуанкаре, теорема Бернштейна верна, а задача правильного упорядочивания континуума (в канторовском смысле) кажется ему не имеющей значения. Кроме того, он не убежден в существовании второго трансфинитного кардинального числа. Все эти выводы находятся в точном согласии с двумя основными идеями.

Принципиальное возражение, которое может быть выдвинуто против таких взглядов Пуанкаре (и многих других математиков), практическое, заключающееся в том, что эти взгляды очень сильно ограничены понятием класса. Однако скорее интуиция, чем логика, восстает против их принятия. Судя по прошлому, этот факт говорит в пользу этих взглядов; они составляют шаг на пути исключения бесконечного из математики, и есть основания сомневаться, будет ли в дальнейшем играть какую-то решающую роль в строгой математике понятие бесконечного класса как объективно существующего.

Новая механика. В этой заключительной популярной лекции рассмотрены те видоизменения, которым может подвергнуться механика в результате последних достижений в физике. Если окончательными уравнениями движения окажутся уравнения электромагнитного поля, а эксперименты, кажется, указывают на это, то следуют поразительные выводы: ни один эксперимент не даст возможность отличить, находимся ли мы в состоянии покоя или совершаем равномерное прямолинейное движение относительно эфира; никто не сможет сказать, что два события одновременны в абсолютном смысле; кроме того, все тела будут испытывать сокращение в направлении своего движения. Вот эту интереснейшую тему, точнее, получающуюся в результате видоизмененную механику, и рассматривает Пуанкаре. Можно надеяться заметить отклонение от законов ньютоновской механики только для тел, имеющих очень большую скорость. Сейчас Меркурий движется с наибольшей из всех планет скоростью, и именно Меркурий обладает небольшой аномалией, не объясненной до сих пор. Новая механика частично объясняет это, как показал Лоренц, однако нигде больше не дает ощутимых изменений в движении планет. Представив эти факты, Пуанкаре заканчивает замечанием, что ньютоновская механика навсегда останется механикой при скоростях, малых по отношению к скорости света, и потому сохранит свое фундаментальное значение.