Рассмотрим на спрямленном изображении две кривые $x=c$ и $X=c$ и различные области, определяемые ими. Будем различать дозволенные области, в которых знак $X-c$ тот же, что и знак $x-c$, и области запрещенные, в которых оба знака различны и в которые, следовательно, не могут проникнуть кривые $X=x$. Область, заключенная между элементарной дугой $H K$ кривой $X=c$, и дугами, перекрываемыми ею (в смысле §5), является дозволенной, если $H K$ – обратна, и запрещенной при прямой $H K$.

Установив это, возьмем какую-либо вершину $S^{\prime}$ на какой-либо кривой $X=x$; пусть $x=c$ будет горизонталь, расположенная под этой вершиной и пересекающая $X=x$ в точках $A$ и $B$, очень близких к этой вершине. Пусть $A M B$ – элементарная дуга кривой $X=c$, которая идет от $A$ к $B$, и $R$ – область, заключенная между этой дугой и горизонталью $A B$. Если эта дуга является обратной (т.е., если обратная вершина $S$ ), то область $R$ дозволенная, а сопредельные области запрещенные, так что дуга $A S B$ кривой $X=x$ должна пересечь эту область, которая таким образом оказывается разделенной на две частичные области $A M B S$ и $A S B A$.

В первой области мы будем иметь $x>X>c$, а во второй $X>x>c$; следовательно, ветвь $A S$, ограничивающая слева область $X>x$, имеет четный номер, иначе говоря, вершина $S$ является четной. Итак, не может быть нечетных обратных вершин, и, как видим, не можеп быпь пакже чепных обрапных оснований.

С другой стороны, нетрудно обнаружить, что самая высокая вершина любой кривой $X=x$ всегда прямая; то же самое можно сказать и относительно самого низкого основания.

Пусть, в самом деле, $R$ – область, охваченная кривой $X=x$, если эта кривая замкнута в узком Рис. 2 смысле, или же заключенная между этой кривой и горизонталью $x=b$ (соответствующей на круговом изображении внутренней граничной окружности). Пусть $R^{\prime}$ преобразовано из $R$, пусть $S$ – наиболее высокая вершина нашей кривой; преобразованная из нее $S^{\prime}$ будет самой высокой вершиной кривой $(X)=x$, которая ограничивает $R^{\prime}$. Пусть $M$ – точка, описывающая контур области $R$, причем область остается справа; преобразованная из нее $M^{\prime}$ опишет контур $R^{\prime}$, также оставляя эту область справа; когда $M$ попадет в $S$, она будет двигаться слева направо, так как $S$ является наиболее
высокой точкой контура $R$; в это же мгновение $M^{\prime}$ попадет в $S^{\prime}$ и, в силу тех же соображений, будет двигаться слева направо. Сказать, что эти две точки движутся в одном и том же направлении, означает, что вершина является прямой. Это и требовалось доказать.