Сегодня я хочу посвятить свое сообщение применению интегральных уравнений к волнам Герца, в особенности, к замечательнейшим явлениям дифракции, играющих столь важную роль в беспроволочной телеграфии; достойно удивления, что кривизна земной поверхности, препятствующая распространению света, не мешает распространению волн Герца, и последние могут по земной поверхности дойти от Европы до Америки. То, что волны Герца имеют гораздо бо́льшую длину, чем световые волны, само по себе не объясняет это явление. Объяснение возникает лишь при рассмотрении дифференциальных уравнений проблемы.

Если принять, что скорость света равна единице, и, следуя Максвеллу, понимать
под $\alpha, \beta, \gamma \quad$ компоненты магнитной силы,
под $F, G, H$ – компоненты векторного потенциала,
под $f, g, h$ – компоненты электрического смещения,
под $\psi$ – скалярный потенциал,
под $u, v, w \quad$ – компоненты тока проводимости,
под $\rho-$ плотность электричества,

то имеют место следующие уравнения:
\[
\begin{array}{c}
\alpha=\frac{\partial H}{\partial y}-\frac{\partial G}{\partial x}, \ldots 4 \pi f=-\frac{\partial F}{\partial t}-\frac{\partial \psi}{\partial x}, \ldots 4 \pi\left(\mu+\frac{\partial f}{\partial t}\right)=\frac{\partial \gamma}{\partial y}-\frac{\partial \beta}{\partial z}, \\
\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\
\sum \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial h}{\partial z}=\rho, \quad \sum \frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial \psi}{\partial t}=0
\end{array}
\]

и, следовательно,
\[
4 \pi \mu=\frac{\partial^{2} F}{\partial t^{2}}-\Delta F, \quad 4 \pi \rho=\frac{\partial^{2} \psi}{\partial t^{2}}-\Delta \psi .
\]

Рассмотрим теперь затухающее синхронное колебание. Предположим для этого, что все наши функции пропорциональны экспоненциальным величинам
\[
e^{i \omega t} \text {. }
\]

Из возникающих при этом комплексных решений мы получаем физические решения, разделяя комплексные на действительные и мнимые части. Действительная часть от $\omega$ дает период колебания, а мнимая затухание.
Из нашего представления решений следует, что
\[
\frac{\partial F}{\partial t}=i \omega F, \quad \frac{\partial \psi}{\partial t}=i \omega \psi,
\]

это позволяет записать $F$ и $\psi$ в виде запаздывающих потенциалов следующим образом:
\[
F=\int \mu^{\prime} \frac{e^{-i \omega r}}{r} d \tau^{\prime}, \quad \psi=\int \rho^{\prime} \frac{e^{-i \omega r}}{r} d \tau^{\prime} ;
\]

где $d \tau^{\prime}$ – пространственный элемент в $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$-пространстве; $\mu^{\prime}$ и $\rho^{\prime}$ – значения $\mu$ и $\rho$ в точке $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right) ; r$ – расстояние между точками $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ и $(x, y, z)$.

В большинстве задач встречаются две различные среды – свободный эфир и проводящее тело; относительно последнего мы предполагаем, что оно ведет себя как идеальный проводник, что внутри него поле равно нулю, электрические силовые линии нормальны к его поверхности, а магнитные силовые линии попадают внутрь тела; то, что заряд и ток отличны от нуля только на поверхности проводника, мы учтем тем, что модифицируем приведенные выше выражения для $F$ и $\psi$, заменив интеграл по объему интегралом по поверхности. Для этого запишем
\[
\begin{array}{l}
\psi=\int \rho^{\prime \prime} \frac{e^{-i \omega r}}{r} d \sigma^{\prime}, \\
F=\int \mu^{\prime \prime} \frac{e^{-i \omega r}}{r} d \sigma^{\prime},
\end{array}
\]

где $\rho^{\prime \prime}$ и $\mu^{\prime \prime}$ теперь означают поверхностные плотности заряда и тока, а $d \sigma^{\prime}$ – элемент поверхности.

Обычно мы различаем два проводящих тела; одно мы условимся называть внешним, а другое внутренним проводником; эти проводники порождают, соответственно, внешнее и внутреннее поле; внешнее поле задано, внутреннее требуется найти. Например, когда мы рассматриваем проблему приема электрических волн, передатчик служит внешним проводником, приемник – внутренним проводником; в задаче о дифракции электрических волн возбудитель выполняет роль внешнего проводника, а земной шар – роль внутреннего проводника; в задаче о возбуждении колебаний нет никакого внешнего поля, в этом случае возбудитель следует рассматривать как внутренний проводник.

Чтобы свести задачу к интегральному уравнению, условимся понимать под введенными выше функциями только такие, которые относятся к неизвестным внутренним полям, чтобы, например, выписанные выше интегралы распространялись только по поверхности внутреннего проводника; если мы примем во внимание, что в силу принятого выше предположения внутренние нормальные компоненты вектора электрического поля должны обращаться в нуль на внутреннем проводнике, то, обозначив через $l, m$ и $n$ направляющие косинусы нормали, мы получим из наших исходных уравнений
\[
4 \pi f=\frac{\partial \psi}{\partial n}+i \omega(l F+m G+n H)=N
\]

где $N$ – нормальная компонента внешнего поля, т. е. известная функция.

Если мы обозначим теперь поверхностную плотность вместо $\rho^{\prime \prime}$ через $\mu^{\prime \prime}$, то вследствие выражения для $\psi$ получим
\[
\frac{\partial \psi}{\partial n}=2 \pi \mu+\int \mu^{\prime} \frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{e^{-i \omega r}}{r}\right) d \sigma^{\prime} .
\]

Воспользовавшись далее нашим выражением для $F$ и соответствующими выражениями $G$ и $H$, мы приходим к соотношению
\[
i \omega \sum l F=\int \frac{e^{-i \omega r}}{r} i \omega \sum l \mu^{\prime \prime} d \sigma^{\prime} .
\]

Это выражение в некоторых случаях, интегрируя по частям, можно преобразовать к виду
\[
-i \omega \int L \mu^{\prime} d \sigma^{\prime}
\]

где $L$ – известная функция. В итоге мы получаем
\[
2 \pi \mu+\int \mu^{\prime}\left\{\frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{e^{-i \omega r}}{r}\right)-i \omega L\right\} d \sigma^{\prime}=N
\]

а это – интегральное уравнение второго рода для $\mu$, которое требовалось найти. В самом общем случае мы приходим к двум интегральным уравнениям с двумя неизвестными, которыми могут быть, например, $\mu$ и $
u$, где величина $\mu$ определена выше; мы полагаем $
u=\frac{d N}{d n}$, где $\frac{d}{d n}-$ производная в направлении нормали, $N$ – нормальная компонента магнитной силы.

Функцию $L$ можно образовать особенно просто, если внутренний проводник имеет форму тела вращения, а внешнее поле обладает вращательной симметрией (рис. 3). Если $s$ и $s^{\prime}$ – длины дуг, измеренные от конца оси вращения вдоль меридиана до точек $P$ и $P^{\prime}, \vartheta-$ угол между нормалью в точке $P$ и касательной к меридиану в точке $P^{\prime}$, то $L$ как функция от $\vartheta, s$ и $s^{\prime}$ определяется дифференциальным уравнением
\[
\frac{\partial L}{\partial s^{\prime}}=\frac{e^{-i \omega r}}{r} \cos \vartheta
\]

Рис. 3

Как следует из изложенного выше, проблема приема электрических волн сводится к интегральному уравнению второго рода.

Если мы хотим рассмотреть только проблему возбуждения электрических волн, то внешнее поле следует положить равным нулю, то есть $N=0$, и мы получаем однородное интегральное уравнение; входящую в них величину $\omega$ не следует более интерпретировать как значение произвольного параметра, а как число, которое требуется найти и которое играет роль собственного значения.
Я записываю наше интегральное уравнение в виде
\[
2 \pi \mu+\int K \mu^{\prime} d \sigma^{\prime}=N
\]

с ядром $K$; ввожу неопределенный параметр $\lambda$ и рассматриваю общее уравнение
\[
2 \pi \mu+\lambda \int K \mu^{\prime} d \sigma^{\prime}=N
\]

Первый член зависит от двух неопределенных параметров $\lambda$ и $\omega$. Если воспользоваться обычным методом Фредгольма, то решение нашего приведенного выше интегрального уравнения получается в виде мероморфной функции от $\lambda$, числитель которой – целая функция от $\lambda$. Можно показать, что этот числитель является к тому же целой функцией от $\omega$, такой, чтобы выделенные нами значения $\omega$ были нулями целой трансцендентной функции.
Рассмотрим теперь подробнее более общую задачу о дифракции.
Предположим для этого, что внутренний проводник имеет форму шара (земного шара) радиуса $\rho$ и что внешнее поле (нормальную компоненту которого мы обозначим через $N$ ) создается точечным возбудителем $S$, расстонние $D$ до
Рис. 4 которого от центра $O$ Земли лишь очень немногим больше радиуса $\rho$ (рис. 4). Выберем направление $O S$ за $z$-ось и обозначим через $\varphi$ отклонение направления $O M$, где $M$ переменная точка на поверхности шара, от $O S$. Смысл переменных $\vartheta, \xi, \varphi^{\prime} ; r$ и $r^{\prime}$ ясен из рис. 4 :
\[
\begin{array}{c}
O M=O M^{\prime}=O M_{1}=\rho, \\
O S=D, \quad S M=r, \quad S M^{\prime}=r^{\prime} .
\end{array}
\]

Значение нормальной производной $N$ внешнего поля в точке $M$, как нетрудно видеть, вычисляется по формуле
\[
4 \pi N=e^{i \omega(t-r)}\left[\frac{i \omega}{r} \sin \vartheta \sin \xi+\left(\frac{1}{r^{2}}+\frac{1}{i \omega r^{3}}\right)(\sin \vartheta \sin \xi+2 \cos \vartheta \cos \xi)\right] .
\]

Так как $\omega-$ очень большое число (так как длина волн Герца мала по сравнению с радиусом Земли), в этой формуле достаточно сохранить лишь первый член в квадратных скобках.

Выше мы привели уравнение для волн Герца к виду
\[
2 \pi \mu=\int \mu^{\prime} K d \sigma^{\prime}+N
\]

и показали, как можно вычислить ядро $K$. Если теперь мы разложим $N$ и $K$ по шаровым функциям или, так как наша задача обладает симметрией тела вращения с осью $O S$, по полиномам Лежандра $P_{n}$, то получим из этого интегрального уравнения поверхностную плотность электрических зарядов $\mu$ также в виде ряда по полиномам Лежандра $P_{n}$. В результате получаем:
\[
N=\sum K_{n} P_{n} ; \quad \int_{0}^{\pi} P_{n} N \sin \varphi d \varphi=\frac{2 K_{n}}{2 n+1} .
\]

Величины $K_{n}$ имеют вид
\[
\frac{A_{n} J_{n}(\omega \rho)}{\rho^{2}},
\]

где $A_{n}$ – число, зависящее только от $n$, но не зависящее от $\rho$, а $J_{n}$ функция, связанная с функциями Бесселя.

Действительно, под $J_{n}$ мы понимаем голоморфное в окрестности точки $x=0$ решение уравнения
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y\left(1-\frac{n(n+1)}{x^{2}}\right)=0,
\]

а под $I_{n}(x)$ – тот интеграл этого уравнения, который при больших положительных значениях $x$ приближенно ведет себя как $e^{-i x}$. Так как $J_{n}$ и $I_{n}$ взаимно независимы, мы можем предположить, что
\[
I_{n}^{\prime} J_{n}-J_{n}^{\prime} I_{n}=1,
\]

если под $J_{n}^{\prime}$ и $I_{n}^{\prime}$ понимать производные от $J_{n}$ и $I_{n}$.
Решение нашего интегрального уравнения принимает вид
\[
\mu=A \sum \frac{K_{n} P_{n}(\cos \varphi)}{I_{n}^{\prime}(\omega \rho) J_{n}(\omega \rho)} .
\]

Но поскольку выражение для $K_{n}$ содержит в числителе множитель $J_{n}(\omega \rho)$, и вследствие этого член $J_{n}(\omega \rho)$ сокращается, характеристическое уравнение для собственных частот сводится к
\[
I_{n}^{\prime}(\omega \rho)=0 .
\]

Чтобы придать результатам наглядность, воспользуемся приближенными формулами. Они основаны на том, что при очень больших $\omega$ величина $\frac{D}{\rho}-1$ очень мала. Мы используем следующую приближенную формулу
\[
\int \eta e^{i \omega \theta} d x=\eta e^{i \theta} \sqrt{\frac{2 \pi}{\omega \theta^{\prime \prime}}} e^{ \pm \frac{i \pi}{4}},
\]

где $\theta$ и $\eta$ – заданные функции от $x, \omega$ – очень большое число, $\theta^{\prime \prime}$ вторая производная от $\theta$, и в правую часть в качестве аргумента следует подставлять такое значение, при котором $\theta$ достигает максимума или минимума; в зависимости от того, какой случай представится, в множителе $e^{ \pm \frac{i \pi}{4}}$ следует выбирагь либо знак + , либо знак -. Если функция $\theta$ имеет в интервале, по которому проводится интегрирование, несколько максимумов или минимумов, то выражение в правой части следует заменить суммой аналогичных членов.

Используя эту формулу, мы получаем для полиномов Лежандра $P_{n}(\cos \varphi)$ следующее приближенное выражение, справедливое при больших $n$ :
\[
P_{n}=2 \sqrt{\frac{2 \pi}{n \sin \varphi}} \cdot \cos \left(n \varphi+\frac{\varphi}{2}-\frac{\pi}{4}\right) .
\]

Из него мы получаем для $K_{n}$ при $n<\omega \rho$
\[
K_{n}=\frac{2 n+1}{8 r \sqrt{n}}\left[e^{i \alpha}+e^{i \alpha^{\prime}}\right] \frac{i \omega \sin \vartheta \sin \xi}{\sqrt{D \rho \cos \vartheta \cos \xi}} \sqrt{\frac{\sin \vartheta}{\omega \rho}} .
\]

При этом вместо $\alpha$ и $\alpha^{\prime}$ следует подставлять выражения
\[
\begin{array}{l}
\alpha=n \varphi-\omega r+\frac{\varphi}{2}-\frac{\pi}{2}, \\
\alpha^{\prime}=n \varphi^{\prime}-\omega r^{\prime}+\frac{\varphi^{\prime}}{2},
\end{array}
\]

а $\xi, \vartheta, \varphi, \varphi^{\prime}, r$ и $r^{\prime}$ – их значения, представленные на рис. 4 , для которых
\[
\sin \xi=\frac{n}{\omega \rho} \quad\left(\xi<\frac{\pi}{2}\right) .
\]

Такая же приближенная формула выполняется при $n>\omega \rho$, если в прямоугольных скобках сумму $e^{i \alpha}+e^{i \alpha^{\prime}}$ заменить на $e^{i \alpha}$ или на $e^{i \alpha^{\prime}}$; я не буду останавливаться здесь на соображениях относительно того, какой из двух членов следует сохранить.

Чтобы вычислить приближенно член $I_{n}^{\prime} J_{n}$, необходимо различать случай $n<\omega \rho$ и случай $n>\omega \rho$. В первом случае необходимо положить
\[
I_{n}^{\prime} J_{n}=e^{i \frac{\alpha-\alpha^{\prime}}{2}} \cdot \cos \frac{\alpha-\alpha^{\prime}}{2},
\]

во втором случае –
\[
I_{n}^{\prime} J_{n}=\frac{1}{2} .
\]

Отсюда следует, что и при $n<\omega \rho$, и при $n>\omega \rho$, и больших $n$
\[
\frac{K_{n}}{I_{n}^{\prime} J_{n}}=\frac{\sqrt{n}}{2 r} e^{i \alpha} \frac{i \sqrt{\omega} \sin \xi(\sin \vartheta)^{3 / 2}}{\rho \sqrt{D \cos \vartheta \cos \xi}} \cdot{ }^{1}
\]

В сумме, которой мы представили $\mu$, решающее значение имеют те члены, для которых приближенно $n=\omega$. При этих значениях приближенно выполняются соотношения
\[
\xi=\frac{\pi}{2} \text { и } r=\sqrt{2 \rho D} .
\]

Так как в силу малости величины $\frac{D}{\rho}-1$ угол $\varphi$ всегда близок к нулю, $\alpha$ как функция от $n$ изменяется очень мало, если $n$ ограничено целыми числами близкими к $n=\omega$. Следовательно, если мы хотим выбрать единицу длины так, чтобы $\rho=1$, то можно записать
\[
\mu=C \sum \frac{\sqrt{\omega} \sin \xi(\sin \vartheta)^{3 / 2}}{\sqrt{\cos \vartheta \cos \xi}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\sin \psi}}\left(\cos n \psi+\frac{\psi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)
\]
$\mu$ – значение поверхности плотности электричества в точке $M_{1}$ (см. рис. 4).
${ }^{1}$ Выражение для $\mu$ можно записать в более простом виде, а именно
\[
\mu=\frac{-i}{4 \pi \omega^{2} \rho^{2} D^{2}} \sum n(n+1)(2 n+1) \frac{I_{n}(\omega D)}{I_{n}^{\prime}(\omega \rho)} P_{n}(\cos \varphi),
\]

и это – не приближенная, а точная формула.

Из соотношений
\[
\sin \xi=\frac{n}{\omega}, \quad \sin \vartheta=\frac{n}{\omega D} ; \quad \cos \xi=\sqrt{1-\frac{n^{2}}{\omega^{2}}}, \quad \cos \vartheta=\sqrt{1-\frac{n^{2}}{D^{2} \omega^{2}}}
\]

получаем:
\[
\begin{aligned}
\frac{\sin \xi(\sin \vartheta)^{3 / 2}}{\sqrt{\cos \vartheta \cos \xi}}= & \frac{\frac{n}{\omega} \cdot\left(\frac{n}{\omega D}\right)^{3 / 2} \sqrt{D}}{\sqrt[4]{\left(1+\frac{n}{\omega}\right)\left(1+\frac{n}{D \omega}\right)}} \times \\
& \times \frac{\sqrt{\omega}}{\sqrt[4]{\omega-n} \cdot \sqrt[4]{\omega(D-1)}} \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{1+\frac{\omega-n}{\omega(D-1)}}}
\end{aligned}
\]

так что в окрестности $n=\omega$ выражение, стоящее в левой части равенства, имеет такой же порядок величины как и
\[
\frac{\sqrt[4]{\omega}}{\sqrt[4]{D-1}} \cdot \frac{1}{\sqrt[4]{n-\omega}}
\]

Используя это приближение в нашей формуле для $\mu$ и заменяя $\cos (n \psi+$ $\left.+\frac{\psi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)$ экспонентой $e^{i\left(n \psi+\frac{\psi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)}$, мы приходим к ряду
\[
\frac{\omega^{3 / 4} e^{i\left(\frac{\psi}{2}-\frac{\pi}{4}\right)}}{\sqrt{\sin \psi} \cdot \sqrt[4]{D-1}} \cdot \sum_{(n)} \frac{e^{i n \psi}}{\sqrt[4]{n-\omega}}
\]

Полагая
\[
S=\sum_{(n)} \frac{e^{i n \psi}}{\sqrt{n-\omega}},
\]

мы получаем возможность рассматривать
\[
\int_{
u}^{
u+1} S e^{-i \omega \psi} d \omega \quad(
u-\text { целое число })
\]

как среднее значение ряда $S$, и я заменю $S$ этим средним значением. Такой прием заведомо обоснован, если нам требуется лишь установить порядок величины $S$, тем более, что в действительности антенна испускает не только колебания с одной-единственной длиной волны, а целый сплошной спектр колебаний. Мы получаем
\[
\int_{
u}^{
u+1} S e^{-i \omega \psi} d \omega=\sum_{(n)} \int_{
u}^{
u+1} \frac{e^{i(n-\omega) \psi}}{\sqrt[4]{n-\omega}} d \omega=-\int_{-\omega}^{+\infty} \frac{e^{i q \psi}}{\sqrt[4]{q}} d q,
\]

а так как число $\omega$ очень велико, интересующий нас интеграл по существу совпадает с $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{i q \psi}}{\sqrt[4]{q}} d q$.

Аналогичным образом можно показать, что средним значением ряда
\[
\sum \frac{e^{-i n \psi}}{\sqrt[4]{n-\omega}}
\]

можно пренебречь по сравнению с $S$. Тем самым мы приходим к заключению, что
\[
\mu \text { по порядку величины сравнимо с } \frac{\sqrt[4]{\omega^{3}}}{\sqrt[4]{D-1}}
\]

и, следовательно, отношение
\[
\frac{\mu}{N} \text { по порядку величины сравнимо с } \frac{1}{\sqrt[4]{\omega(D-1)}} .
\]

Соответственно, дифракция тем сильнее, чем ближе источник $S$ к поверхности Земли и чем длиннее испускаемые волны. Так объясняется тот удивительный на первый взгляд факт, что используемые в беспроволочной телеграфии волны Герца позволяют передавать телеграфные сигналы с европейского континента, например, в Америку.

Если желательно рассматривать не среднее значение ряда, представляемое некоторым интегралом, а истинное значение ряда, то необходимо провести некоторый анализ на основе теоремы Абеля. Результаты такого рассмотрения оказываются несколько более сложными, но по существу совершенно аналогичными приведенным выше.

ЗАмЕчАниЕ. Я заметил, что последние заключения нуждаются в некоторых изменениях. Приближенные формулы, которыми я пользовался, становятся неверными, если числа $n$ оказываются очень близкими к $\omega \rho$. Их следует заменить другими числами, входнщими в целую трансцендентную функцию, удовлетворяющую дифференциальному уравнению
\[
y^{\prime \prime}=x y .
\]

Поскольку число членов, подлежащих такого рода модификации, невелико, я поначалу полагал, что вносимые изменения не скажутся на окончательном результате. Однако более глубокий анализ показал, что это не так. Сумма модифицируемых членов сравнима с суммой других членов, которые я учел и которые задаются приведенной выше формулой; поэтому модифицируемые и другие члены почти полностью компенсируются, так что значение $\mu$, задаваемое окончательными формулами, оказывается значительно меньше значения, вычисляемого по приведенным выше формулам.