Важнейший шаг вперед в преобразовании дифференциальных уравнений движения, после появления первого издания Аналитической механики, сделал Шуассон в статье о методе вариации постоянных, которая помецена в 15 -й тетради Политехнического журнала. Здесь Пуасеон вводит вчесто величин $q^{\prime }$ величины $p=\frac{\partial T}{\partial q^{\prime }}$; как уже выше отмечено, $T$ есть однородная функция второй степени от величин $q^{\prime }$, коэффициенты которой зависят от $q$ и потому $p$ будут линейными функциями величин $q^{\prime }$. Таким образом для опрелеления $p$ имеются $k$ уравнений вида $p_i={\omega }_i$, где ${\omega }_i$ линейна относительно $q_1{}^{\prime },q_2{}^{\prime },\dots q_k{}^{\prime }$. Еели эти $k$ линейных уравнений решать относительно величин $q^{\prime }$, то получатся уравнения вида $q_i^{\prime }=K_i$, где $K_i$ есть линейное выражение относительно $p$, козффициенты которого зависят от $q$. Эти значения $q_i^{\prime }$ мы подставляем в уравнение (9) предыдущей лекции, т. е. в уравнение
$$\frac{d{p}_i}{dt}=\frac{\partial (T+U)}{\partial q_i}=\frac{\partial T}{\partial q_i}+\frac{\partial U}{\partial q_i},$$

где $\frac{\partial U}{\partial q_i}$ содержит только величины $q$, в то время как $\frac{\partial T}{\partial q_i}$ будет, кроме того, функций величин $q^{\prime }$ и прн том однородной функцией второй стешени относительно этих величин. Если мы положим теперь $q_i^{\prime }=K_i$, то $\frac{\partial T}{\partial q_i}$ будет однородной функцией второй степепи от величин $p_i$. Таким образом предыдущее уравнение примет форму:
$$\frac{d{p}_i}{dt}=P_i$$

где $P_i$ выражается терез $p$ и $q$ и будет второй стешени относительно $p$. Эти уравневия, будучи скомбинированы с уравнениями $q_l^{\prime }=\frac{d{q}_i}{dt}=K_i$, дают:
$$\frac{d{q}_i}{dt}=K_i;\frac{d{p}_i}{dt}=P_i.$$

Это та форма, к которой Пуассоп приводит уравнения движения; здесь $K_t$ и $P_1$ не содержат никаких других переменных величин кроме $p$ и $q$. Эта система $2k$ уравнений обладает замечательным свойствами, именно
$$\frac{\partial K_i}{\partial p_{i^{\prime }}}=\frac{\partial K_{i^{\prime }}}{\partial p_i};\frac{\partial K_i}{\partial q_{i^{\prime }}}=-\frac{\partial P_{i^{\prime }}}{\partial p_i};\frac{\partial P_i}{\partial q_{i^{\prime }}}=\frac{\partial P_{i^{\prime }}}{\partial q_i},$$

причем первая груша даетея Пуассоном в вниешриведенном месте в точно таком же виде, в то время как остальные непосредетвенно вытекают из его результатов.

Кравнения (2) показывают, что величины $K_i$ п $P_i$ следует рассматривать как частные производные одной и той же функции по величинам $p_i$ и $-q_i$.

Этого замечания, непосредственно выгекаюего из уравнений (2), Пуассон не делает и тем более он не разыскиват, этой фупкци. Опрецелил ее впервые Гамильтон, и благодаря введению его характеристической функции веё преобразование чрезвычайно унроцаетея. $К$ этому преобразованию при ходим почти еамо собой, если хотим из второй лагранжевой формы дифференциальных уравнений, данной в предыдущей лекцип, вывести теорену живой силы, чті сделать не совсем просто. Теорема живой силы, если принять во внимание также тот случай, кода силовая функци $U$ содержит явно время, имеет вид:
$$T^{\prime }=U-\int \frac{\partial U}{\partial t}dt+\text{ const }$$

или, после диференцирования,
$$\frac{d(T-U)}{dt}+\frac{\partial U}{\partial t}=0$$
(етр 35).
Чтобы вывести атот резултат из второй лагранжевой формы дифференциальных уравнений
$$\frac{d{p}_i}{dt}=\frac{\partial (T+U)}{\partial q_i};p_i=\frac{\partial T}{\partial q_i^{\prime }}$$
[содержащейся в уравнении (9) восьмой лекции], рассуждаем следующим обравом. Так как ‘ $T$ ‘ есть однородная фунцция второй стещени от величин $q^{\prime }$, то, как известно, имеем
$$2T=q_1{}^{\prime }\frac{\partial T}{\partial q_1{}^{\prime }}+q_2{}^{\prime }\frac{\partial T}{\partial q_2{}^{\prime }}+\dots +q_1{}^{\prime }\frac{\partial T}{\partial q_k{}^{\prime }}=\sum q_i{}^{\prime }{p}_i$$

ต. 1 и
$$T=\sum q_i^{\prime }\frac{\partial T}{\partial q_i^{\prime }}-T$$

а отеюда получаем, взяв полный дифференциал,

или, так как вторая и третья суми взаимно униттожаютея,
$$dT=\sum q_i^{\prime }d\frac{\partial T}{\partial q_i^{\prime }}-\sum \frac{\partial T}{\partial q_i}d{q}_i=\sum q_i^{\prime }d{p}_i-\sum \frac{\partial T}{\partial q_i}d{q}_i;$$

это равенство есть токдество. Подставим здесь вместо $d\frac{\partial T}{\partial q_i{}^{\prime }}=d{p}_i$ его значение из уравнения (9) предыдущей лекции и разделим на $dt$; тогда получим:
$$\frac{dT}{dt}=\sum \frac{\partial (T+U)}{\partial q_i}{q}_i^{\prime }-\sum \frac{\partial T}{\partial q_i}\frac{d{q}_i}{dt}=\sum \frac{\partial U}{\partial q_i}{q}_i^{\prime }=\frac{dU}{dt}-\frac{\partial U}{\partial t}.$$

Таким образом изеем:
$$\frac{d(T-U)}{dt}+\frac{\partial U}{\partial t}=0,$$

что̀ и требовалось доказать.
Тождество (3) легко шриводит к характеристической функии Гамильтона. Именно, при составленни частных производных $\frac{\partial T^{\prime }}{\partial q_i}$ и $\frac{\partial T^{\prime }}{\partial q_i^{\prime }}=p_i$, входящих в правую часть уравнения (3) (последние величины входят только под знаком дифференциала), $T$ рассматривается как функция от величин $q$ и $q^{\prime }$. Если мы теперь введем, при помощи уже выше упомянутых линейвых уравнений $q_i{}^{\prime }=K_i$, величины $p_i$ вместо $q_i^{\prime }$, то $T$ превратится в функцию величин $p$ и $q$; пропзводные от $T$ по $p_i$ и $q_i$, образованные при такой гипотезе, мы обозшачим для отличия через $\left(\frac{\partial T^i}{\partial p_i}\right)$ и $\left(\frac{\partial T}{\partial q_i}\right)$; тогда
$$d{T}^{\prime }=\mathbf{\Sigma }\left(\frac{\partial T}{\partial {\mathit{p}}_i}\right)d{p}_i+\mathbf{\sum }\left(\frac{\partial T}{\partial q_i}\right)d{q}_i$$

и следовательно, на основании уравнения (3),
$$\sum \left(\frac{\partial T}{\partial p_i}\right)d{p}_i+\sum \left(\frac{\partial T}{\partial q_i}\right)d{q}_i=\sum q_i^{\prime }d{p}_i-\sum \frac{\partial T}{\partial q_i}d{q}_i.$$

Так как это равенство должно быть тождеством, то из него следует, что
$$\begin{array}{c}\left(\frac{\partial T}{\partial p_i}\right)=q_i^{\prime },\\ \left(\frac{\partial T}{\partial q_i}\right)=-\frac{\partial T}{\partial q_i}.\end{array}$$

Уравнение (4) показывает, что между величинами $p$ и $q^{\prime }$ имеет место некоторая взаимность; действительно, сопоставляя с ранее полученным уравнением $\frac{\partial T}{\partial q_i^{\prime }}=p_i;$ найдем
$$\frac{\partial T}{\partial q_i^{\prime }}=p_i;\left(\frac{\partial T}{\partial p_i}\right)=q_i^{\prime },$$
т. е. соотношение, подобное тому, которое имеетея в теории поверхностей второго порядка. Если мы подставим найденное значение $\frac{\partial T}{\partial q_i}$ из уравнения (5)
в уравнение (9) цредыдущей лекции, то получим
$$\frac{d{p}_t}{dt}=-\left(\frac{\partial T}{\partial q_i}\right)+\frac{\partial U}{\partial q_t}.$$

Но, так как $U$ совсем не содержит $p$ и $q^{\prime }$, то
$$\frac{\partial U}{\partial q_i}=\left(\frac{\partial U}{\partial q_i}\right)$$

так что
$$\frac{d{p}_i}{dt}=-\left(\frac{\partial (T-U)}{\partial q_i}\right).$$

Далее, тақ как $U$ не содержит $p$, то уравнение (4) можно также написать в виде:
$$\frac{d{q}_i}{dt}=\left(\frac{\partial (T-U)}{\partial p_i}\right)$$

Тапим образом, если положить
$$T-U=H,$$

то получится:
$$\frac{d{q}_i}{dt}=\left(\frac{\partial H}{\partial p_i}\right);\frac{d{p}_i}{dt}=-\left(\frac{\partial H}{\partial q_i}\right)$$

откуда видно, что $H=T-U$ есть характеристическая функция. Ив этих уравнений сама собою получаетея теорема живой силы, так как из обоих уравнений (7) следует, что
$$\left(\frac{\partial H}{\partial p_i}\right)\frac{d{p}_i}{dt}+\left(\frac{\partial H}{\partial q_i}\right)\frac{d{q}_i}{dt}=0,$$

и если ны просумируем это выраженде по всем $i$, то получим
$$\frac{dH}{dl}-\frac{\partial H}{\partial t}=0$$
т. е. теорему живой силы.

Таљ как само собой равумеетел, что в уравнениях (7) величины $p$ и $\mathit{q}$ надо рассматривать как переменные, то можно отбросить скобки у проивводпых, и тогда подучим:
$$\frac{d{q}_i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p_i};\frac{d{p}_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial q_i};H=T-U.$$

В более общем случае, когда не существует силовой фунцци, на месте $\frac{\partial U}{\partial q_1}$ стонт выражение
$$Q_i=\sum (X\frac{\partial x}{\partial q_t}+Y\frac{\partial y}{\partial q_t}+Z\frac{\partial z}{\partial q_t}),$$

где сумма распростраглетел па все $x,y$, $z$ и таким обравом вместо уравнений (8) получтел еледующие:
$$\frac{d{q}_i}{dt}=\frac{\partial T}{\partial p_i};\frac{d{p}_i}{dt}=-\frac{\partial T}{\partial q_i}+Q_i.$$

Если условных уравиениї нет, то величины $q$ совпадают с коордипатами; первое из уравнениї (8) становитсл тождеством, второе переходит в систему
$$m_i\frac{d^2{x}_i}{d{t}^2}=\frac{\partial U}{\partial x_i};m_i\frac{d^2{y}_i}{d{t}^2}=\frac{\partial U}{\partial y_i};m_i\frac{d^2{z}_i}{d{t}^2}=\frac{\partial U}{\partial z_1},$$

которал представляет пз себя первоначальную форму уравнениї движения.