Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Важнейший шаг вперед в преобразовании дифференциальных уравнений движения, после появления первого издания Аналитической механики, сделал Шуассон в статье о методе вариации постоянных, которая помецена в 15 -й тетради Политехнического журнала. Здесь Пуасеон вводит вчесто величин $q^{\prime}$ величины $p=\frac{\partial T}{\partial q^{\prime}}$; как уже выше отмечено, $T$ есть однородная функция второй степени от величин $q^{\prime}$, коэффициенты которой зависят от $q$ и потому $p$ будут линейными функциями величин $q^{\prime}$. Таким образом для опрелеления $p$ имеются $k$ уравнений вида $p_{i}=\omega_{i}$, где $\omega_{i}$ линейна относительно $q_{1}{ }^{\prime}, q_{2}{ }^{\prime}, \ldots q_{k}{ }^{\prime}$. Еели эти $k$ линейных уравнений решать относительно величин $q^{\prime}$, то получатся уравнения вида $q_{i}^{\prime}=K_{i}$, где $K_{i}$ есть линейное выражение относительно $p$, козффициенты которого зависят от $q$. Эти значения $q_{i}^{\prime}$ мы подставляем в уравнение (9) предыдущей лекции, т. е. в уравнение где $\frac{\partial U}{\partial q_{i}}$ содержит только величины $q$, в то время как $\frac{\partial T}{\partial q_{i}}$ будет, кроме того, функций величин $q^{\prime}$ и прн том однородной функцией второй стешени относительно этих величин. Если мы положим теперь $q_{i}^{\prime}=K_{i}$, то $\frac{\partial T}{\partial q_{i}}$ будет однородной функцией второй степепи от величин $p_{i}$. Таким образом предыдущее уравнение примет форму: где $P_{i}$ выражается терез $p$ и $q$ и будет второй стешени относительно $p$. Эти уравневия, будучи скомбинированы с уравнениями $q_{l}^{\prime}=\frac{d q_{i}}{d t}=K_{i}$, дают: Это та форма, к которой Пуассоп приводит уравнения движения; здесь $K_{t}$ и $P_{1}$ не содержат никаких других переменных величин кроме $p$ и $q$. Эта система $2 k$ уравнений обладает замечательным свойствами, именно причем первая груша даетея Пуассоном в вниешриведенном месте в точно таком же виде, в то время как остальные непосредетвенно вытекают из его результатов. Кравнения (2) показывают, что величины $K_{i}$ п $P_{i}$ следует рассматривать как частные производные одной и той же функции по величинам $p_{i}$ и $-q_{i}$. Этого замечания, непосредственно выгекаюего из уравнений (2), Пуассон не делает и тем более он не разыскиват, этой фупкци. Опрецелил ее впервые Гамильтон, и благодаря введению его характеристической функции веё преобразование чрезвычайно унроцаетея. $К$ этому преобразованию при ходим почти еамо собой, если хотим из второй лагранжевой формы дифференциальных уравнений, данной в предыдущей лекцип, вывести теорену живой силы, чті сделать не совсем просто. Теорема живой силы, если принять во внимание также тот случай, кода силовая функци $U$ содержит явно время, имеет вид: или, после диференцирования, ต. 1 и а отеюда получаем, взяв полный дифференциал, или, так как вторая и третья суми взаимно униттожаютея, это равенство есть токдество. Подставим здесь вместо $d \frac{\partial T}{\partial q_{i}{ }^{\prime}}=d p_{i}$ его значение из уравнения (9) предыдущей лекции и разделим на $d t$; тогда получим: Таким образом изеем: что̀ и требовалось доказать. и следовательно, на основании уравнения (3), Так как это равенство должно быть тождеством, то из него следует, что Уравнение (4) показывает, что между величинами $p$ и $q^{\prime}$ имеет место некоторая взаимность; действительно, сопоставляя с ранее полученным уравнением $\frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}=p_{i} ;$ найдем Но, так как $U$ совсем не содержит $p$ и $q^{\prime}$, то так что Далее, тақ как $U$ не содержит $p$, то уравнение (4) можно также написать в виде: Тапим образом, если положить то получится: откуда видно, что $H=T-U$ есть характеристическая функция. Ив этих уравнений сама собою получаетея теорема живой силы, так как из обоих уравнений (7) следует, что и если ны просумируем это выраженде по всем $i$, то получим Таљ как само собой равумеетел, что в уравнениях (7) величины $p$ и $\boldsymbol{q}$ надо рассматривать как переменные, то можно отбросить скобки у проивводпых, и тогда подучим: В более общем случае, когда не существует силовой фунцци, на месте $\frac{\partial U}{\partial q_{1}}$ стонт выражение где сумма распростраглетел па все $x, y$, $z$ и таким обравом вместо уравнений (8) получтел еледующие: Если условных уравиениї нет, то величины $q$ совпадают с коордипатами; первое из уравнениї (8) становитсл тождеством, второе переходит в систему которал представляет пз себя первоначальную форму уравнениї движения.
|
1 |
Оглавление
|