Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Мы пойдем теперь обратным путем и покажем, гак, исходя из рассмотренного уравнения в частных производных, перейти к, динамическим или изопериметрическим дифференциальным уравнениям. есть любое уравнение в частных производных первого порядка, не содержащее самую функиию $V$, так что ४ есть какая-нибудь функиия величин $t, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}, p_{1}, p_{2}, \ldots p_{\mu}$, где $p_{i}=\frac{\partial V}{\partial q_{i}} ;$ пусть нам известно полное решение $V$ уравнения в частных производны (1), т. е. такое решение, которое кроме постоянной, соединенной с $V$ посредством сложения, содержит еще $\mu$ проиявольных постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{\mu}$. Положим теперь где $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots \beta_{\mu}$ обозначают новъе произвольнье постоянные; тогда эти уравнения, в соединении с уравнениями являются интегральными уравнениями системы дифференциальнх уравнений: где $і$ принимает значения $1,2, \ldots \mu$. Теперь всё сводится к тому, чтобы решить эти линейные относительно $\frac{d q_{1}}{d t}, \frac{d q_{2}}{d t}, \ldots \frac{d q_{\mu}}{d t}$ уравнения и пољазать, что значения, получаемые при этом решении, тождественны е величинами $\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}}, \frac{\partial \psi}{\partial p_{2}}, \ldots \frac{\partial \psi}{\partial p_{\mu}}$. Но эту тождественность можно установить и не решая уравнений, если докаяать, что величины $\frac{d q_{i}}{d t}$ и величины $\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}$ удовлетворяют одной и той же системе линейных уравнений. Для этого доказательства мы должны взять от уравнения в частных производных $\frac{\partial V}{\partial t}+\psi=0$ частные производные по постоянным $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{\mu}$ и при этом вспомнить, что из величин $t$, $q_{i}$ и $p_{i}=\frac{\partial V}{\partial q_{i}}$, функцией которых является $\psi$, только последние, т. е. $p_{i}$, содержат постоянные $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{\mu}$. Дифференцирование по $\alpha_{i}$ дает и так как $p_{1}=\frac{\partial V}{\partial q_{1}}, p_{2}=\frac{\partial V}{\partial q_{2}}, \ldots p_{\mu}=\frac{\partial V}{\partial q_{\mu}}$, так что $\frac{\partial p_{k}}{\partial \alpha_{i}}=\frac{\partial^{2} V}{\partial \alpha_{i} \partial q_{k}}$, то из этого уравнения для $i=1,2, \ldots \mu$ получаем систему линейных уравнений, отличающуюся от системы (4) только тем, что в ней на место величин $\frac{d q_{i}}{d t}$ входат величины $\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}$. Отсюда заключаем, что $\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}$ (см. замехание на следующей странице). Для вывода второй половины дифференциальных уравнений (3), т. е. уравнений $\frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial \psi}{\partial q_{i}}$, мы обращаемся к помощи второй половины интегральных уравнений, т. е. уравнений которые обравуют систему первых интегральных уравнений, предетавляя соотношения между величинами $q_{i}$ и $q_{i}^{\prime}$ и $е$ произвольными постоянными. Уравнение $p_{i}=\frac{\partial V}{\partial q_{i}}$, если от него взять полную производную по $t$, дает: Напитем вместо $\frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial q_{1}}, \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial q_{\mu}}$ соответственно $\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{i}}, \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{i}}, \ldots \frac{\partial \mu_{\mu}}{\partial q_{i}}$ и воспользуемся уже найденными уравнениями $\frac{d q_{1}}{d t}=\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}}, \frac{d q_{2}}{d t}=\frac{\partial \psi}{\partial p_{2}}, \ldots$ $\ldots \frac{d q_{\mu}}{d t}=\frac{\partial \psi}{\partial p_{\mu}}$; тогда получится: С другой стороны, взяв от уравнения $\frac{\partial V}{\partial t}+\psi=0$ частную производную по $q_{i}$, находим, что вычитая это уравнение из (5), приходим к результату: Таким образом выведена вторая половина дифференциальных уравнений (3), и следовательно данная выпе теорема вполне догазана. Важно отметить, что согласно полученному результату $\mu$ постоянных, входящих в $V$, могут быть выбраны произвольно и не должны быть обязательно равны начальным значениям $q_{1}{ }^{0}, q_{2}{ }^{0}, \ldots q_{\mu}{ }^{0}$; действительно, для введения начальных значений надо или репать уравнения, или производить исключения, т. е. осуществлять в большинстве слүчаев затруднительные операции, чего теперь можем избежать. Один пункт изложенного доказательства заслуживает более близкого рассмотрения. Убедившись, что уравнения (4), установленные для величин $\frac{d q_{i}}{d t}$, имеют место также для величин $\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}$, мы отсюда заключили, что величины $\frac{d q_{i}}{d t}$ и $\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}$ равны друг другу. Но мы имеем право сделать такое заключение тольк, если величины $\frac{d q_{i}}{d t}$ благодаря системе линейных уравнений (4) получают конечные и вполне определенные значения. Это всегда имеет место для системы линейных уравнений, коль скоро уравнения не противоречат друг другу или коль скоро одно или несколько из них не составляют следствия остальных. В первом из этих случаев значения переменных будут бесконечными, во втором случае – неощределенными оба отличаютея друг от друга только значениями постоянных членов. В самом деле, если предположим, что последнее уравнение некоторой системы следует из остальных уравнений, то эти уравнения должны, будучи умножены на надлежащие коэффициенты и сложены, дать последнее уравнение. Если изменим тешерь постоянный член в последнем уравнении на произвольную величину, то это уравнение не будет более следетвием остальных, а будет им противоречить. Таким образом оба случая совпадают в том, что если постоянные члены перенести в левую сторону, правая сторона одного из уравнений, хотя бы последнего, может быть представлена кащ сумма умноженных на соответствующие множители правых частей остальных уравнений. Если мы теперь подставим виесто көзффициентов, стоящих в последнем горизонтальном ряду, вытекающее отсюда их выражение через остальные коэффициенты, то определитель $R$ рассматриваемых уравнений распадается на сумму определителей, из которых каждый имеет два одинаковых горизонтальных ряда, а следовательо обрацается в нуль. Шоэтому будет также $R=0$ и исключительный случай; в котором предыдущее доказательство неприменимо имеет место (поскольку коэффициенты линейных уравнений остаются конечными, что мы всегда предполагаем) только тогда, когда определитель линейных уравнений обращается в нуль. Коэффициенты линейных уравнений (4) имеют вид: следовательно их определитель можно представить как функциоальный определитель следующим двояьим образом: Из этого двойного представления $R$ шонутно следует общая теорема относительно функций от $2 \mu$ переменных $q_{1}, q_{9}, \ldots q_{4}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{\mu}$. Если бы теперь было $R=0$, то на основанип № 5 тринадцатой лекции (стр. 90) величины $\frac{\partial V}{\partial \alpha_{1}}, \frac{\partial V}{\partial \alpha_{2}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial \alpha_{\mu}}$, рассматриваемые как фунцции от $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}$ не были бы независимы друг от друга, т. е. $\frac{\partial V}{\partial \alpha_{1}}, \frac{\partial V}{\partial \alpha_{2}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial \alpha_{\mu}}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{\mu}, t$ должны были бы быть связаны уравнением, не содержащим $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}$. Ив второго представления $R$ следует, что тогда одновременно между $\frac{\partial V}{\partial q_{1}}, \frac{\partial V}{\partial q_{2}}, \ldots$ $\ldots \frac{\partial V}{\partial q_{\mu}}, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}, t$ должно было бы существовать уравнение, не содержащее $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{\mu}$. Мы имели бы таким образом уравнение вида соответствовало понятию о полном решении необходимо, чтобы для исключения $\mu+1$ постоянной $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{\mu}, C$ были использованы все $\mu+1$ производных Если можно отсюда исключить все $\mu+1$ постоянных, не употребив равенства $\frac{\partial V}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial t}$, то мы придем к уравнению вида Предположим тедерь, что при исключении шостоянных из уравнений (6) можно оставить неиспользованныи только одно уравнение $\frac{\partial V}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial t}$, в то время как при этом требуется каждое из остальньх уравнений $\frac{\partial V}{\partial q_{i}}=\frac{\partial f}{\partial q_{i}}$; тогда можно придать одной из постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{\mu}$ частное значение, причем однако для исключения постоянных необходино воспользоваться всеми уравнениями $\frac{\partial V}{\partial q_{i}}=\frac{\partial f}{\partial q_{t}}$. Действительно, из $\mu$ уравнений вообще можно исклочить только $\mu-1$ величин. Постоянная, которой придали частное значение, является поэтому излишней (supervacanea), и функцию $f$ надо рассматривать так, как будто она содержит только $\mu-1$ постоянных. Поэтому $V=f+C$ не есть полное решение уравнения в частных производных $\frac{\partial V}{\partial t}+\psi=0$, но является таковым только для уравнения $F=0$, что противоречит нашему предположению. Таким образом определитель $R$ не может никогда обратиться в нуль, поэтому имеет место заключение, которое мы сделали при доказательстве равенств (3). В заключение этой лекции мы составим на самом деле уравнение в частных производных $\frac{\partial V}{\partial t}+\psi=0$ для свободного движения $n$ материальных точек. В этом случае имеем $\psi=T-\dot{U}$; вместо величин $q$ надо подставить $3 n$ координат $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ и так как $T=\frac{1}{2} \sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime 2}+y_{i}^{\prime 2}+z_{i}^{\prime 2}\right)$, то из уравнений $p_{i}=\frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}$ следует, что на место величин $p$ здесь встанут $m_{i} x_{i}^{\prime}, m_{i} y_{i}^{\prime}, m_{i} z_{i}^{\prime}$. Таг как в то же время надо подставить $p=\frac{\partial V}{\partial q}$, то имеем уравнения или Іодстановка этих значений в $T$ дает и так как $U$ есть функция только от времени и от величин $q$, т. е. от кординат $x_{1}, y_{i}, z_{1}$, то мы имеем ђто есть уравнение в частных производных первого порядка, от решения которого зависит интегрирование дифференциальных уравнений движения в том случае, когда движение их совершенно свободно и когда существует силовая функция $U$, которая может кроме координат также содержать явно время $t$. Њсли м имеем полное репение уравнения (7), т. е. такое значение $V$, которое содержит, кроме постоянной, прибавленной к $V$, еще $3 n$ постоянны $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{3 / t}$, то уравневия имеющие место для $i=1,2, \ldots 3 n$, являются интегральными уравнениями для дифференциальнх уравшепий движения имеющих место для $i=1,2, \ldots n$ и для которых первие ивтегральные уравнения содержатся в системе:
|
1 |
Оглавление
|