Мы пойдем теперь обратным путем и покажем, гак, исходя из рассмотренного уравнения в частных производных, перейти к, динамическим или изопериметрическим дифференциальным уравнениям.
IIусть
$$\frac{\partial V}{\partial t}+\psi =0$$

есть любое уравнение в частных производных первого порядка, не содержащее самую функиию $V$, так что ४ есть какая-нибудь функиия величин $t,q_1,q_2,\dots q_{\mu },p_1,p_2,\dots p_{\mu }$, где $p_i=\frac{\partial V}{\partial q_i};$ пусть нам известно полное решение $V$ уравнения в частных производны (1), т. е. такое решение, которое кроме постоянной, соединенной с $V$ посредством сложения, содержит еще $\mu$ проиявольных постоянных ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_{\mu }$. Положим теперь
$$\frac{\partial V}{\partial {\alpha }_1}={\beta }_1;\frac{\partial V}{\partial {\alpha }_2}={\beta }_2;\dots ;\frac{\partial V}{\partial {\alpha }_{\mu }}={\beta }_{\mu },$$

где ${\beta }_1,{\beta }_2,\dots {\beta }_{\mu }$ обозначают новъе произвольнье постоянные; тогда эти уравнения, в соединении с уравнениями
$$\frac{\partial V}{\partial q_1}=p_1;\frac{\partial V}{\partial q_2}=p_2;\dots ;\frac{\partial V}{\partial q_{\mu }}=p_{\mu },$$

являются интегральными уравнениями системы дифференциальнх уравнений:
$$\frac{d{q}_i}{dt}=\frac{\partial \psi }{\partial p_i};\frac{d{\mathit{p}}_i}{dt}=-\frac{\partial \psi }{\partial q_i},$$

где $і$ принимает значения $1,2,\dots \mu$.
При доказательстве этой теоремы мы должны принять во внимание, что если предположить полное решение иввестным и подставить его вместо $V$ в уравнение в частных производных (1), то левая часть этого уравнения должна стать тождественно обращающейея в нуль функцией величин $t,q_1,q_2,\dots q_{\mu },{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_{\mu }$ и цоэтому ее частные шроизводные, взятые по этим величинам, также должны тождественно обращаться в нуль.
Чтобы вывести первую половину дифференциальных уравнений (3) из уравнений (2), мы поступаем следующим образом. Взяв от уравнений (2) полные производные по $t$, получим систему уравнений:
$$\begin{array}{l}0=\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\alpha }_1\partial t}+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\alpha }_1\partial q_1}\frac{d{q}_1}{dt}+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\alpha }_1\partial q_2}\frac{d{q}_2}{dt}+\dots +\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\alpha }_1\partial q_{\mu }}\frac{d{q}_{\mu }}{dt},\\ 0=\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\alpha }_2\partial t}+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial x_2\partial q_1}-\frac{d{q}_1}{dt}+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\alpha }_2\partial q_2}\frac{d{q}_2}{dt}+\dots +\frac{{\partial }^{2}V}{\partial x_2\partial q_{p.}}\frac{d{q}_p}{dt},\\ \text{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }\\ 0=\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\alpha }_{\mu }\partial t}+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\alpha }_{\mu }\partial q_1}\frac{d{q}_1}{dt}+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\alpha }_{\mu }\partial q_2}\frac{d{q}_2}{dt}+\dots +\frac{{\partial }^{2}V}{\partial x_{\mu }\partial q_{\mu }}\frac{d{q}_{\mu }}{dt}\cdot \end{array}$$

Теперь всё сводится к тому, чтобы решить эти линейные относительно $\frac{d{q}_1}{dt},\frac{d{q}_2}{dt},\dots \frac{d{q}_{\mu }}{dt}$ уравнения и пољазать, что значения, получаемые при этом решении, тождественны е величинами $\frac{\partial \psi }{\partial p_1},\frac{\partial \psi }{\partial p_2},\dots \frac{\partial \psi }{\partial p_{\mu }}$. Но эту тождественность можно установить и не решая уравнений, если докаяать, что величины $\frac{d{q}_i}{dt}$ и величины $\frac{\partial \psi }{\partial p_i}$ удовлетворяют одной и той же системе линейных уравнений. Для этого доказательства мы должны взять от уравнения в частных производных $\frac{\partial V}{\partial t}+\psi =0$ частные производные по постоянным ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_{\mu }$ и при этом вспомнить, что из величин $t$, $q_i$ и $p_i=\frac{\partial V}{\partial q_i}$, функцией которых является $\psi$, только последние, т. е. $p_i$, содержат постоянные ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_{\mu }$. Дифференцирование по ${\alpha }_i$ дает
$$0=\frac{{\partial }^{2}V}{\partial t\partial {\alpha }_i}+\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial p_1}\frac{\partial p_1}{\partial {\alpha }_i}+\frac{\partial \psi }{\partial p_2}\frac{\partial p_2}{\partial {\alpha }_i}+\dots +\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial p_{\mu }}\frac{\partial p_{\mu }}{\partial {\alpha }_i},$$

и так как $p_1=\frac{\partial V}{\partial q_1},p_2=\frac{\partial V}{\partial q_2},\dots p_{\mu }=\frac{\partial V}{\partial q_{\mu }}$, так что $\frac{\partial p_k}{\partial {\alpha }_i}=\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\alpha }_i\partial q_k}$, то из этого уравнения для $i=1,2,\dots \mu$ получаем систему линейных уравнений, отличающуюся от системы (4) только тем, что в ней на место величин $\frac{d{q}_i}{dt}$ входат величины $\frac{\partial \psi }{\partial p_i}$. Отсюда заключаем, что $\frac{d{q}_i}{dt}=\frac{\partial \psi }{\partial p_i}$ (см. замехание на следующей странице).

Для вывода второй половины дифференциальных уравнений (3), т. е. уравнений $\frac{d{p}_i}{dt}=-\frac{\partial \psi }{\partial q_i}$, мы обращаемся к помощи второй половины интегральных уравнений, т. е. уравнений
$$\frac{\partial V}{\partial q_i}=p_i$$

которые обравуют систему первых интегральных уравнений, предетавляя соотношения между величинами $q_i$ и $q_i^{\prime }$ и $е$ произвольными постоянными. Уравнение $p_i=\frac{\partial V}{\partial q_i}$, если от него взять полную производную по $t$, дает:
$$\frac{d{p}_i}{dt}=\frac{{\partial }^{2}V}{\partial q_i\partial t}+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial q_i\partial q_1}\frac{d{q}_1}{dt}+\frac{{\partial }^{2}V}{\partial q_i\partial q_2}\frac{d{q}_2}{dt}+\dots +\frac{{\partial }^{2}V}{\partial q_i\partial q_{\mu }}\frac{d{q}_{\mu }}{dt},$$

Напитем вместо $\frac{{\partial }^{2}V}{\partial q_i\partial q_1},\frac{{\partial }^{2}V}{\partial q_i\partial q_2},\dots \frac{{\partial }^{2}V}{\partial q_i\partial q_{\mu }}$ соответственно $\frac{\partial p_1}{\partial q_i},\frac{\partial p_2}{\partial q_i},\dots \frac{\partial {\mu }_{\mu }}{\partial q_i}$ и воспользуемся уже найденными уравнениями $\frac{d{q}_1}{dt}=\frac{\partial \psi }{\partial p_1},\frac{d{q}_2}{dt}=\frac{\partial \psi }{\partial p_2},\dots$ $\dots \frac{d{q}_{\mu }}{dt}=\frac{\partial \psi }{\partial p_{\mu }}$; тогда получится:
$$\frac{d{p}_i}{dt}=\frac{{\partial }^{2}V}{\partial q_i\partial t}+\frac{\partial p_1}{\partial q_i}\frac{\partial \psi }{\partial p_1}+\frac{\partial p_2}{\partial q_i}\frac{\partial \psi }{\partial p_2}+\dots +\frac{\partial p_{\mu }}{\partial q_i}\frac{\partial \psi }{\partial p_{\mu }}.$$

С другой стороны, взяв от уравнения $\frac{\partial V}{\partial t}+\psi =0$ частную производную по $q_i$, находим, что
$$0=\frac{{\partial }^{2}V}{\partial q_i\partial t}+\frac{\partial \psi }{\partial p_1}\frac{\partial p_1}{\partial q_i}+\frac{\partial \psi }{\partial p_2}\frac{\partial p_2}{\partial q_i}+\dots +\frac{\partial \psi }{\partial p_{\mu }}\frac{\partial p_{\mu }}{\partial q_i}+\frac{\partial \psi }{\partial q_i}$$

вычитая это уравнение из (5), приходим к результату:
$$\frac{d{p}_i}{dt}=-\frac{\partial \psi }{\partial q_i}.$$

Таким образом выведена вторая половина дифференциальных уравнений (3), и следовательно данная выпе теорема вполне догазана. Важно отметить, что согласно полученному результату $\mu$ постоянных, входящих в $V$, могут быть выбраны произвольно и не должны быть обязательно равны начальным значениям $q_1{}^0,q_2{}^0,\dots q_{\mu }{}^0$; действительно, для введения начальных значений надо или репать уравнения, или производить исключения, т. е. осуществлять в большинстве слүчаев затруднительные операции, чего теперь можем избежать.

Один пункт изложенного доказательства заслуживает более близкого рассмотрения. Убедившись, что уравнения (4), установленные для величин $\frac{d{q}_i}{dt}$, имеют место также для величин $\frac{\partial \psi }{\partial p_i}$, мы отсюда заключили, что величины $\frac{d{q}_i}{dt}$ и $\frac{\partial \psi }{\partial p_i}$ равны друг другу. Но мы имеем право сделать такое заключение тольк, если величины $\frac{d{q}_i}{dt}$ благодаря системе линейных уравнений (4) получают конечные и вполне определенные значения. Это всегда имеет место для системы линейных уравнений, коль скоро уравнения не противоречат друг другу или коль скоро одно или несколько из них не составляют следствия остальных. В первом из этих случаев значения переменных будут бесконечными, во втором случае — неощределенными оба отличаютея друг от друга только значениями постоянных членов. В самом деле, если предположим, что последнее уравнение некоторой системы следует из остальных уравнений, то эти уравнения должны, будучи умножены на надлежащие коэффициенты и сложены, дать последнее уравнение. Если изменим тешерь постоянный член в последнем уравнении на произвольную величину, то это уравнение не будет более следетвием остальных, а будет им противоречить. Таким образом оба случая совпадают в том, что если постоянные члены перенести в левую сторону, правая сторона одного из уравнений, хотя бы последнего, может быть представлена кащ сумма умноженных на соответствующие множители правых частей остальных уравнений. Если мы теперь подставим виесто көзффициентов, стоящих в последнем горизонтальном ряду, вытекающее отсюда их выражение через остальные коэффициенты, то определитель $R$ рассматриваемых уравнений распадается на сумму определителей, из которых каждый имеет два одинаковых горизонтальных ряда, а следовательо обрацается в нуль. Шоэтому будет также $R=0$ и исключительный случай; в котором предыдущее доказательство неприменимо имеет место (поскольку коэффициенты линейных уравнений остаются конечными, что мы всегда предполагаем) только тогда, когда определитель линейных уравнений обращается в нуль. Коэффициенты линейных уравнений (4) имеют вид:
$$\begin{array}{l}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\alpha }_1\partial q_1},\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\alpha }_1\partial q_2},\cdots \frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\alpha }_1\partial q_{\mu }},\\ \frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\alpha }_2\partial q_1},\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\alpha }_2\partial q_2},\cdots \frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\alpha }_2\partial q_{\mu }},\\ \frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\alpha }_{\mu }\partial q_1},\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\alpha }_{\mu }\partial q_2},\cdots \frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\alpha }_{\mu }\partial q_{\mu }},\end{array}$$

следовательно их определитель можно представить как функциоальный определитель следующим двояьим образом:
$$R=\sum \pm \frac{\partial \frac{\partial V}{\partial {\alpha }_1}}{\partial q_1}\frac{\partial \frac{\partial V}{\partial {\alpha }_2}}{\partial q_2}\dots \frac{\partial \frac{\partial V}{\partial {\alpha }_{\mu }}}{\partial q_{\mu }}=\sum \pm \frac{\partial \frac{\partial V}{\partial q_1}}{\partial {\alpha }_1}\frac{\partial \frac{\partial V}{\partial q_2}}{\partial {\alpha }_2}\dots \frac{\partial \frac{\partial V}{\partial q_{\mu }}}{\partial {\alpha }_{\mu }}.$$

Из этого двойного представления $R$ шонутно следует общая теорема относительно функций от $2\mu$ переменных $q_1,q_9,\dots q_4,{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_{\mu }$. Если бы теперь было $R=0$, то на основанип № 5 тринадцатой лекции (стр. 90) величины $\frac{\partial V}{\partial {\alpha }_1},\frac{\partial V}{\partial {\alpha }_2},\dots \frac{\partial V}{\partial {\alpha }_{\mu }}$, рассматриваемые как фунцции от $q_1,q_2,\dots q_{\mu }$ не были бы независимы друг от друга, т. е. $\frac{\partial V}{\partial {\alpha }_1},\frac{\partial V}{\partial {\alpha }_2},\dots \frac{\partial V}{\partial {\alpha }_{\mu }},{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_{\mu },t$ должны были бы быть связаны уравнением, не содержащим $q_1,q_2,\dots q_{\mu }$. Ив второго представления $R$ следует, что тогда одновременно между $\frac{\partial V}{\partial q_1},\frac{\partial V}{\partial q_2},\dots$ $\dots \frac{\partial V}{\partial q_{\mu }},q_1,q_2,\dots q_{\mu },t$ должно было бы существовать уравнение, не содержащее ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_{\mu }$. Мы имели бы таким образом уравнение вида
$$0=F(t,q_1,q_2,\dots q_{\mu },\frac{\partial V}{\partial q_1},\frac{\partial V}{\partial q_2},\dots \frac{\partial V}{\partial q_{\mu }}),$$
г. е. уравнение в частных производных первого порядка, которому должно было бы удовлетворять предполагаемое репение $V$ и которое не содержит $\frac{\partial V}{\partial t}$. Но это невозможно, если $V$ действительно должно быть полнъм репением уравнения $\frac{\partial V}{\partial t}+\psi =0$. Действительно, для того чтобы
$$V=f(t,q_1,q_2,\dots q_{\mu },{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_{\mu })+C$$

соответствовало понятию о полном решении необходимо, чтобы для исключения $\mu +1$ постоянной ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_{\mu },C$ были использованы все $\mu +1$ производных
$$\frac{\partial V}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial V}{\partial q_1}=\frac{\partial f}{\partial q_1},\frac{\partial V}{\partial q_2}=\frac{\partial f}{\partial q_2},\dots \frac{\partial V}{\partial q_{\mu }}=\frac{\partial f}{\partial q_{\mu }}.$$

Если можно отсюда исключить все $\mu +1$ постоянных, не употребив равенства $\frac{\partial V}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial t}$, то мы придем к уравнению вида
$$F(t,q_1,q_2,\dots q_{\mu },\frac{\partial V}{\partial q_1},\frac{\partial V}{\partial q_2},\dots \frac{\partial V}{\partial q_{\mu }})=0.$$

Предположим тедерь, что при исключении шостоянных из уравнений (6) можно оставить неиспользованныи только одно уравнение $\frac{\partial V}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial t}$, в то время как при этом требуется каждое из остальньх уравнений $\frac{\partial V}{\partial q_i}=\frac{\partial f}{\partial q_i}$; тогда можно придать одной из постоянных ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_{\mu }$ частное значение, причем однако для исключения постоянных необходино воспользоваться всеми уравнениями $\frac{\partial V}{\partial q_i}=\frac{\partial f}{\partial q_t}$. Действительно, из $\mu$ уравнений вообще можно исклочить только $\mu -1$ величин. Постоянная, которой придали частное значение, является поэтому излишней (supervacanea), и функцию $f$ надо рассматривать так, как будто она содержит только $\mu -1$ постоянных. Поэтому $V=f+C$ не есть полное решение уравнения в частных производных $\frac{\partial V}{\partial t}+\psi =0$, но является таковым только для уравнения $F=0$, что противоречит нашему предположению. Таким образом определитель $R$ не может никогда обратиться в нуль, поэтому имеет место заключение, которое мы сделали при доказательстве равенств (3).

В заключение этой лекции мы составим на самом деле уравнение в частных производных $\frac{\partial V}{\partial t}+\psi =0$ для свободного движения $n$ материальных точек. В этом случае имеем $\psi =T-\dot{U}$; вместо величин $q$ надо подставить $3n$ координат $x_i,y_i,z_i$ и так как $T=\frac{1}{2}\sum m_i(x_i^{\prime 2}+y_i^{\prime 2}+z_i^{\prime 2})$, то из уравнений $p_i=\frac{\partial T}{\partial q_i^{\prime }}$ следует, что на место величин $p$ здесь встанут $m_i{x}_i^{\prime },m_i{y}_i^{\prime },m_i{z}_i^{\prime }$. Таг как в то же время надо подставить $p=\frac{\partial V}{\partial q}$, то имеем уравнения
$$m_i{x}_i^{\prime }=\frac{\partial V}{\partial x_i};m_i{y}_i^{\prime }=\frac{\partial V}{\partial y_i};m_i{z}_i^{\prime }=\frac{\partial V}{\partial z_i}$$

или
$$x_i^{\prime }=\frac{1}{m_i}\frac{\partial V}{\partial x_i};y_i^{\prime }=\frac{1}{m_i}\frac{\partial V}{\partial y_i};z_i^{\prime }=\frac{1}{m_i}\frac{\partial V}{\partial z_i}.$$

Іодстановка этих значений в $T$ дает
$$T=\frac{1}{2}\sum \frac{1}{m_i}[{\left(\frac{\partial V}{\partial x_i}\right)}^2+{\left(\frac{\partial V}{\partial y_i}\right)}^2+{\left(\frac{\partial V}{\partial z_i}\right)}^2],$$

и так как $U$ есть функция только от времени и от величин $q$, т. е. от кординат $x_1,y_i,z_1$, то мы имеем
$$\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2}\sum \frac{1}{m_i}[{\left(\frac{\partial V}{\partial x_i}\right)}^2+{\left(\frac{\partial V}{\partial y_i}\right)}^2+{\left(\frac{\partial V}{\partial z_i}\right)}^2]=I.$$

ђто есть уравнение в частных производных первого порядка, от решения которого зависит интегрирование дифференциальных уравнений движения в том случае, когда движение их совершенно свободно и когда существует силовая функция $U$, которая может кроме координат также содержать явно время $t$. Њсли м имеем полное репение уравнения (7), т. е. такое значение $V$, которое содержит, кроме постоянной, прибавленной к $V$, еще $3n$ постоянны ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_{3/t}$, то уравневия
$$\frac{\partial V}{\partial {\alpha }_i}={\beta }_i$$

имеющие место для $i=1,2,\dots 3n$, являются интегральными уравнениями для дифференциальнх уравшепий движения
$$m_i\frac{d^2{x}_i}{d{t}^2}=\frac{\partial U}{\partial x_i};m_i\frac{d^2{y}_i}{d{i}^2}=\frac{\partial U}{\partial y_i};m_i\frac{d^2{z}_i}{d{t}^2}=\frac{\partial U}{\partial z_i},$$

имеющих место для $i=1,2,\dots n$ и для которых первие ивтегральные уравнения содержатся в системе:
$$\frac{dV}{d{x}_i}=m_i\frac{d{x}_i}{dt},\frac{\partial V}{d{y}_i}=m_i\frac{d{y}_i}{dt},\frac{\partial V}{d{z}_i}=m_i\frac{d{z}_i}{dt}.$$