Мы пойдем теперь обратным путем и покажем, гак, исходя из рассмотренного уравнения в частных производных, перейти к, динамическим или изопериметрическим дифференциальным уравнениям.
IIусть
\[
\frac{\partial V}{\partial t}+\psi=0
\]

есть любое уравнение в частных производных первого порядка, не содержащее самую функиию $V$, так что ४ есть какая-нибудь функиия величин $t, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}, p_{1}, p_{2}, \ldots p_{\mu}$, где $p_{i}=\frac{\partial V}{\partial q_{i}} ;$ пусть нам известно полное решение $V$ уравнения в частных производны (1), т. е. такое решение, которое кроме постоянной, соединенной с $V$ посредством сложения, содержит еще $\mu$ проиявольных постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{\mu}$. Положим теперь
\[
\frac{\partial V}{\partial \alpha_{1}}=\beta_{1} ; \quad \frac{\partial V}{\partial \alpha_{2}}=\beta_{2} ; \ldots ; \quad \frac{\partial V}{\partial \alpha_{\mu}}=\beta_{\mu},
\]

где $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots \beta_{\mu}$ обозначают новъе произвольнье постоянные; тогда эти уравнения, в соединении с уравнениями
\[
\frac{\partial V}{\partial q_{1}}=p_{1} ; \quad \frac{\partial V}{\partial q_{2}}=p_{2} ; \ldots ; \quad \frac{\partial V}{\partial q_{\mu}}=p_{\mu},
\]

являются интегральными уравнениями системы дифференциальнх уравнений:
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}} ; \quad \frac{d \boldsymbol{p}_{i}}{d t}=-\frac{\partial \psi}{\partial q_{i}},
\]

где $і$ принимает значения $1,2, \ldots \mu$.
При доказательстве этой теоремы мы должны принять во внимание, что если предположить полное решение иввестным и подставить его вместо $V$ в уравнение в частных производных (1), то левая часть этого уравнения должна стать тождественно обращающейея в нуль функцией величин $t, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{\mu}$ и цоэтому ее частные шроизводные, взятые по этим величинам, также должны тождественно обращаться в нуль.
Чтобы вывести первую половину дифференциальных уравнений (3) из уравнений (2), мы поступаем следующим образом. Взяв от уравнений (2) полные производные по $t$, получим систему уравнений:
\[
\begin{array}{l}
0=\frac{\partial^{2} V}{\partial \alpha_{1} \partial t}+\frac{\partial^{2} V}{\partial \alpha_{1} \partial q_{1}} \frac{d q_{1}}{d t}+\frac{\partial^{2} V}{\partial \alpha_{1} \partial q_{2}} \frac{d q_{2}}{d t}+\ldots+\frac{\partial^{2} V}{\partial \alpha_{1} \partial q_{\mu}} \frac{d q_{\mu}}{d t}, \\
0=\frac{\partial^{2} V}{\partial \alpha_{2} \partial t}+\frac{\partial^{2} V}{\partial x_{2} \partial q_{1}}-\frac{d q_{1}}{d t}+\frac{\partial^{2} V}{\partial \alpha_{2} \partial q_{2}} \frac{d q_{2}}{d t}+\ldots+\frac{\partial^{2} V}{\partial x_{2} \partial q_{p .}} \frac{d q_{p}}{d t}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
0=\frac{\partial^{2} V}{\partial \alpha_{\mu} \partial t}+\frac{\partial^{2} V}{\partial \alpha_{\mu} \partial q_{1}} \frac{d q_{1}}{d t}+\frac{\partial^{2} V}{\partial \alpha_{\mu} \partial q_{2}} \frac{d q_{2}}{d t}+\ldots+\frac{\partial^{2} V}{\partial x_{\mu} \partial q_{\mu}} \frac{d q_{\mu}}{d t} \cdot \\
\end{array}
\]

Теперь всё сводится к тому, чтобы решить эти линейные относительно $\frac{d q_{1}}{d t}, \frac{d q_{2}}{d t}, \ldots \frac{d q_{\mu}}{d t}$ уравнения и пољазать, что значения, получаемые при этом решении, тождественны е величинами $\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}}, \frac{\partial \psi}{\partial p_{2}}, \ldots \frac{\partial \psi}{\partial p_{\mu}}$. Но эту тождественность можно установить и не решая уравнений, если докаяать, что величины $\frac{d q_{i}}{d t}$ и величины $\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}$ удовлетворяют одной и той же системе линейных уравнений. Для этого доказательства мы должны взять от уравнения в частных производных $\frac{\partial V}{\partial t}+\psi=0$ частные производные по постоянным $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{\mu}$ и при этом вспомнить, что из величин $t$, $q_{i}$ и $p_{i}=\frac{\partial V}{\partial q_{i}}$, функцией которых является $\psi$, только последние, т. е. $p_{i}$, содержат постоянные $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{\mu}$. Дифференцирование по $\alpha_{i}$ дает
\[
0=\frac{\partial^{2} V}{\partial t \partial \alpha_{i}}+\frac{\partial \Psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial p_{1}}{\partial \alpha_{i}}+\frac{\partial \psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial p_{2}}{\partial \alpha_{i}}+\ldots+\frac{\partial \Psi}{\partial p_{\mu}} \frac{\partial p_{\mu}}{\partial \alpha_{i}},
\]

и так как $p_{1}=\frac{\partial V}{\partial q_{1}}, p_{2}=\frac{\partial V}{\partial q_{2}}, \ldots p_{\mu}=\frac{\partial V}{\partial q_{\mu}}$, так что $\frac{\partial p_{k}}{\partial \alpha_{i}}=\frac{\partial^{2} V}{\partial \alpha_{i} \partial q_{k}}$, то из этого уравнения для $i=1,2, \ldots \mu$ получаем систему линейных уравнений, отличающуюся от системы (4) только тем, что в ней на место величин $\frac{d q_{i}}{d t}$ входат величины $\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}$. Отсюда заключаем, что $\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}$ (см. замехание на следующей странице).

Для вывода второй половины дифференциальных уравнений (3), т. е. уравнений $\frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial \psi}{\partial q_{i}}$, мы обращаемся к помощи второй половины интегральных уравнений, т. е. уравнений
\[
\frac{\partial V}{\partial q_{i}}=p_{i}
\]

которые обравуют систему первых интегральных уравнений, предетавляя соотношения между величинами $q_{i}$ и $q_{i}^{\prime}$ и $е$ произвольными постоянными. Уравнение $p_{i}=\frac{\partial V}{\partial q_{i}}$, если от него взять полную производную по $t$, дает:
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=\frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial t}+\frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial q_{1}} \frac{d q_{1}}{d t}+\frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial q_{2}} \frac{d q_{2}}{d t}+\ldots+\frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial q_{\mu}} \frac{d q_{\mu}}{d t},
\]

Напитем вместо $\frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial q_{1}}, \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial q_{\mu}}$ соответственно $\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{i}}, \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{i}}, \ldots \frac{\partial \mu_{\mu}}{\partial q_{i}}$ и воспользуемся уже найденными уравнениями $\frac{d q_{1}}{d t}=\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}}, \frac{d q_{2}}{d t}=\frac{\partial \psi}{\partial p_{2}}, \ldots$ $\ldots \frac{d q_{\mu}}{d t}=\frac{\partial \psi}{\partial p_{\mu}}$; тогда получится:
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=\frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial t}+\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{i}} \frac{\partial \psi}{\partial p_{1}}+\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{i}} \frac{\partial \psi}{\partial p_{2}}+\ldots+\frac{\partial p_{\mu}}{\partial q_{i}} \frac{\partial \psi}{\partial p_{\mu}} .
\]

С другой стороны, взяв от уравнения $\frac{\partial V}{\partial t}+\psi=0$ частную производную по $q_{i}$, находим, что
\[
0=\frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i} \partial t}+\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{i}}+\frac{\partial \psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{i}}+\ldots+\frac{\partial \psi}{\partial p_{\mu}} \frac{\partial p_{\mu}}{\partial q_{i}}+\frac{\partial \psi}{\partial q_{i}}
\]

вычитая это уравнение из (5), приходим к результату:
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial \psi}{\partial q_{i}} .
\]

Таким образом выведена вторая половина дифференциальных уравнений (3), и следовательно данная выпе теорема вполне догазана. Важно отметить, что согласно полученному результату $\mu$ постоянных, входящих в $V$, могут быть выбраны произвольно и не должны быть обязательно равны начальным значениям $q_{1}{ }^{0}, q_{2}{ }^{0}, \ldots q_{\mu}{ }^{0}$; действительно, для введения начальных значений надо или репать уравнения, или производить исключения, т. е. осуществлять в большинстве слүчаев затруднительные операции, чего теперь можем избежать.

Один пункт изложенного доказательства заслуживает более близкого рассмотрения. Убедившись, что уравнения (4), установленные для величин $\frac{d q_{i}}{d t}$, имеют место также для величин $\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}$, мы отсюда заключили, что величины $\frac{d q_{i}}{d t}$ и $\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}$ равны друг другу. Но мы имеем право сделать такое заключение тольк, если величины $\frac{d q_{i}}{d t}$ благодаря системе линейных уравнений (4) получают конечные и вполне определенные значения. Это всегда имеет место для системы линейных уравнений, коль скоро уравнения не противоречат друг другу или коль скоро одно или несколько из них не составляют следствия остальных. В первом из этих случаев значения переменных будут бесконечными, во втором случае — неощределенными оба отличаютея друг от друга только значениями постоянных членов. В самом деле, если предположим, что последнее уравнение некоторой системы следует из остальных уравнений, то эти уравнения должны, будучи умножены на надлежащие коэффициенты и сложены, дать последнее уравнение. Если изменим тешерь постоянный член в последнем уравнении на произвольную величину, то это уравнение не будет более следетвием остальных, а будет им противоречить. Таким образом оба случая совпадают в том, что если постоянные члены перенести в левую сторону, правая сторона одного из уравнений, хотя бы последнего, может быть представлена кащ сумма умноженных на соответствующие множители правых частей остальных уравнений. Если мы теперь подставим виесто көзффициентов, стоящих в последнем горизонтальном ряду, вытекающее отсюда их выражение через остальные коэффициенты, то определитель $R$ рассматриваемых уравнений распадается на сумму определителей, из которых каждый имеет два одинаковых горизонтальных ряда, а следовательо обрацается в нуль. Шоэтому будет также $R=0$ и исключительный случай; в котором предыдущее доказательство неприменимо имеет место (поскольку коэффициенты линейных уравнений остаются конечными, что мы всегда предполагаем) только тогда, когда определитель линейных уравнений обращается в нуль. Коэффициенты линейных уравнений (4) имеют вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} V}{\partial \alpha_{1} \partial q_{1}}, \frac{\partial^{2} V}{\partial \alpha_{1} \partial q_{2}}, \cdots \frac{\partial^{2} V}{\partial \alpha_{1} \partial q_{\mu}}, \\
\frac{\partial^{2} V}{\partial \alpha_{2} \partial q_{1}}, \frac{\partial^{2} V}{\partial \alpha_{2} \partial q_{2}}, \cdots \frac{\partial^{2} V}{\partial \alpha_{2} \partial q_{\mu}}, \\
\frac{\partial^{2} V}{\partial \alpha_{\mu} \partial q_{1}}, \frac{\partial^{2} V}{\partial \alpha_{\mu} \partial q_{2}}, \cdots \frac{\partial^{2} V}{\partial \alpha_{\mu} \partial q_{\mu}}, \\
\end{array}
\]

следовательно их определитель можно представить как функциоальный определитель следующим двояьим образом:
\[
R=\sum \pm \frac{\partial \frac{\partial V}{\partial \alpha_{1}}}{\partial q_{1}} \frac{\partial \frac{\partial V}{\partial \alpha_{2}}}{\partial q_{2}} \ldots \frac{\partial \frac{\partial V}{\partial \alpha_{\mu}}}{\partial q_{\mu}}=\sum \pm \frac{\partial \frac{\partial V}{\partial q_{1}}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial \frac{\partial V}{\partial q_{2}}}{\partial \alpha_{2}} \ldots \frac{\partial \frac{\partial V}{\partial q_{\mu}}}{\partial \alpha_{\mu}} .
\]

Из этого двойного представления $R$ шонутно следует общая теорема относительно функций от $2 \mu$ переменных $q_{1}, q_{9}, \ldots q_{4}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{\mu}$. Если бы теперь было $R=0$, то на основанип № 5 тринадцатой лекции (стр. 90) величины $\frac{\partial V}{\partial \alpha_{1}}, \frac{\partial V}{\partial \alpha_{2}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial \alpha_{\mu}}$, рассматриваемые как фунцции от $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}$ не были бы независимы друг от друга, т. е. $\frac{\partial V}{\partial \alpha_{1}}, \frac{\partial V}{\partial \alpha_{2}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial \alpha_{\mu}}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{\mu}, t$ должны были бы быть связаны уравнением, не содержащим $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}$. Ив второго представления $R$ следует, что тогда одновременно между $\frac{\partial V}{\partial q_{1}}, \frac{\partial V}{\partial q_{2}}, \ldots$ $\ldots \frac{\partial V}{\partial q_{\mu}}, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}, t$ должно было бы существовать уравнение, не содержащее $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{\mu}$. Мы имели бы таким образом уравнение вида
\[
0=F\left(t, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}, \frac{\partial V}{\partial q_{1}}, \frac{\partial V}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial q_{\mu}}\right),
\]
г. е. уравнение в частных производных первого порядка, которому должно было бы удовлетворять предполагаемое репение $V$ и которое не содержит $\frac{\partial V}{\partial t}$. Но это невозможно, если $V$ действительно должно быть полнъм репением уравнения $\frac{\partial V}{\partial t}+\psi=0$. Действительно, для того чтобы
\[
V=f\left(t, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{\mu}\right)+C
\]

соответствовало понятию о полном решении необходимо, чтобы для исключения $\mu+1$ постоянной $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{\mu}, C$ были использованы все $\mu+1$ производных
\[
\frac{\partial V}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial V}{\partial q_{1}}=\frac{\partial f}{\partial q_{1}}, \frac{\partial V}{\partial q_{2}}=\frac{\partial f}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial q_{\mu}}=\frac{\partial f}{\partial q_{\mu}} .
\]

Если можно отсюда исключить все $\mu+1$ постоянных, не употребив равенства $\frac{\partial V}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial t}$, то мы придем к уравнению вида
\[
F\left(t, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}, \frac{\partial V}{\partial q_{1}}, \frac{\partial V}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial q_{\mu}}\right)=0 .
\]

Предположим тедерь, что при исключении шостоянных из уравнений (6) можно оставить неиспользованныи только одно уравнение $\frac{\partial V}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial t}$, в то время как при этом требуется каждое из остальньх уравнений $\frac{\partial V}{\partial q_{i}}=\frac{\partial f}{\partial q_{i}}$; тогда можно придать одной из постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{\mu}$ частное значение, причем однако для исключения постоянных необходино воспользоваться всеми уравнениями $\frac{\partial V}{\partial q_{i}}=\frac{\partial f}{\partial q_{t}}$. Действительно, из $\mu$ уравнений вообще можно исклочить только $\mu-1$ величин. Постоянная, которой придали частное значение, является поэтому излишней (supervacanea), и функцию $f$ надо рассматривать так, как будто она содержит только $\mu-1$ постоянных. Поэтому $V=f+C$ не есть полное решение уравнения в частных производных $\frac{\partial V}{\partial t}+\psi=0$, но является таковым только для уравнения $F=0$, что противоречит нашему предположению. Таким образом определитель $R$ не может никогда обратиться в нуль, поэтому имеет место заключение, которое мы сделали при доказательстве равенств (3).

В заключение этой лекции мы составим на самом деле уравнение в частных производных $\frac{\partial V}{\partial t}+\psi=0$ для свободного движения $n$ материальных точек. В этом случае имеем $\psi=T-\dot{U}$; вместо величин $q$ надо подставить $3 n$ координат $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ и так как $T=\frac{1}{2} \sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime 2}+y_{i}^{\prime 2}+z_{i}^{\prime 2}\right)$, то из уравнений $p_{i}=\frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}$ следует, что на место величин $p$ здесь встанут $m_{i} x_{i}^{\prime}, m_{i} y_{i}^{\prime}, m_{i} z_{i}^{\prime}$. Таг как в то же время надо подставить $p=\frac{\partial V}{\partial q}$, то имеем уравнения
\[
m_{i} x_{i}^{\prime}=\frac{\partial V}{\partial x_{i}} ; \quad m_{i} y_{i}^{\prime}=\frac{\partial V}{\partial y_{i}} ; \quad m_{i} z_{i}^{\prime}=\frac{\partial V}{\partial z_{i}}
\]

или
\[
x_{i}^{\prime}=\frac{1}{m_{i}} \frac{\partial V}{\partial x_{i}} ; \quad y_{i}^{\prime}=\frac{1}{m_{i}} \frac{\partial V}{\partial y_{i}} ; \quad z_{i}^{\prime}=\frac{1}{m_{i}} \frac{\partial V}{\partial z_{i}} .
\]

Іодстановка этих значений в $T$ дает
\[
T=\frac{1}{2} \sum \frac{1}{m_{i}}\left[\left(\frac{\partial V}{\partial x_{i}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial y_{i}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial z_{i}}\right)^{2}\right],
\]

и так как $U$ есть функция только от времени и от величин $q$, т. е. от кординат $x_{1}, y_{i}, z_{1}$, то мы имеем
\[
\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{1}{2} \sum \frac{1}{m_{i}}\left[\left(\frac{\partial V}{\partial x_{i}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial y_{i}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial V}{\partial z_{i}}\right)^{2}\right]=I .
\]

ђто есть уравнение в частных производных первого порядка, от решения которого зависит интегрирование дифференциальных уравнений движения в том случае, когда движение их совершенно свободно и когда существует силовая функция $U$, которая может кроме координат также содержать явно время $t$. Њсли м имеем полное репение уравнения (7), т. е. такое значение $V$, которое содержит, кроме постоянной, прибавленной к $V$, еще $3 n$ постоянны $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{3 / t}$, то уравневия
\[
\frac{\partial V}{\partial \alpha_{i}}=\beta_{i}
\]

имеющие место для $i=1,2, \ldots 3 n$, являются интегральными уравнениями для дифференциальнх уравшепий движения
\[
m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial x_{i}} ; \quad m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d i^{2}}=\frac{\partial U}{\partial y_{i}} ; \quad m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial z_{i}},
\]

имеющих место для $i=1,2, \ldots n$ и для которых первие ивтегральные уравнения содержатся в системе:
\[
\frac{d V}{d x_{i}}=m_{i} \frac{d x_{i}}{d t}, \frac{\partial V}{d y_{i}}=m_{i} \frac{d y_{i}}{d t}, \frac{\partial V}{d z_{i}}=m_{i} \frac{d z_{i}}{d t} .
\]