Рассмотрим тешерь более подробное геометрическе значение цодстановки, данной в предыдущей лекции для $n=2$ и $n=3$. Гяя случая двух переменных мы имеем уравнение
\[
\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}+\lambda}+\frac{x_{2}^{2}}{a_{2}+\lambda}=1 .
\]

Если рассматривать $x_{1}$ и $x_{2}$ как прямоугольные кординаты, то это есть уравнение конического сечения и шритом, если $\lambda$ лежит в границах – $a_{1}$ и $-\infty$, так что оба знаменателя положительны, то это есть уравнение әллипа; гсли же $\lambda$ лежит между – $a_{1}$ и $-a_{2}$, так что первый знаменатель отрицателен, второй положителен, то это будет гипербола. Если величина $\lambda$ меняется, в то время как $a_{1}$ и $a_{2}$ остаютея постоянными, то уравнение представляет еистему софокусных конических сечений. Если $x_{1}$ и $x_{2}$ даны, то всегда имеются два значевия $\lambda$, удовлетворяющие уравнению: одно лежит между $-a_{1}$ и $\infty$, другое между $-a_{1}$ и $-a_{2}$; иначе говоря, в системе софонусных ћонитеских сечений через данную точқу всегда проходят два из них и притом это будут один элипс и одна гипербола. Поному введевие переменйх $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ вместо $x_{1}$ и $x_{2}$ геометрически обозначает то, что мы тотки на шлоскости определяем помощью эллипсов и гиербол, которые через них проходят и две данные точки имеют фокусами. Если положит $\lambda_{1}=$ const. то подучатея все точки, лежащие на одном эллисе системы софоктеных «снических сечений; если положить $\lambda_{2}=$ const, то это даст все точки одной гиперолы. Обе системы софокусных лллисов и гинеро́л имеют то общее с обыкновенвой системой ксординат, что либые две гривые одной системы не пересекаются друг с другом и каждая кривая одной системы пересекает все кривые другой системы под прямым углом. В самом деле, пусть одип भз әллипсов и одна из гинербол пересекаютя в точке $\left(r_{1}, r_{2}\right)$; тогда имеют место соотношения
\[
\begin{array}{l}
E=\frac{x_{1}{ }^{2}}{a_{1}+\lambda_{1}}+\frac{x_{2}{ }^{2}}{a_{2}+\lambda_{1}}=1 ; \\
H=\frac{x_{1}{ }^{2}}{a_{1}+\lambda_{2}}+\frac{a_{2}{ }^{2}}{a_{2}+\lambda_{2}}=1 ;
\end{array}
\]

тогда нормали $ь$ аллинсу и $к$ гиперболе, нострсенные в точке ( $\left.x_{1}, x_{2}\right)$; образуют с осями углы, косинусы которых относятся друг к другу как $\frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial x_{1}}: \frac{\partial \boldsymbol{E}}{\partial x_{\mathrm{s}}}$ и как $\frac{\partial H}{\partial x_{1}}: \frac{\partial H}{\partial x_{2}}$. Если ьти нормали пернендик чярны друг к другу,

то должно выполняться соотношение

н:Аи
\[
\frac{\partial E}{\partial x_{1}} \frac{\partial H}{\partial x_{1}}+\frac{\partial E}{\partial x_{2}} \frac{\partial H}{\partial x_{2}}=0
\]
\[
\frac{x_{1}^{2}}{\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)}+\frac{x_{2}^{2}}{\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)}=0,
\]

п так как, благодаря равенству (4) предыдущей лекции, это выражение есть тождество, то этим доказана ортогональность эллипа и гищерболы. Это обстоятельство облегчает вычисление элемента площади, тав как в то время, как вообще он равен $\left(\frac{\partial x_{1}}{\partial \lambda_{1}} \frac{\partial x_{2}}{\partial \lambda_{2}}-\frac{\partial x_{1}}{\partial \lambda_{2}} \frac{\partial x_{2}}{\partial \lambda_{1}}\right) d \lambda_{1} d \lambda_{2}$, в рассматриваемом случае достаточно только перемножить между собой элементы дуг эллипа и гиперболы. По формуле (9) шрошлой лекции учетверенный квадрат элемента дуги произвольной кривой выражаетея так:
\[
4\left(d x_{1}^{2}+d x_{2}^{2}\right)=\frac{\lambda_{1}-\lambda_{2}}{\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)} d \lambda_{1}^{2}+\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)} d \lambda_{2}{ }^{2} .
\]

Отсюда получаетея элемент дуги эллиша, если положить $\lambda_{1}$ постоянным, следовательно $d \lambda_{1}=0$; элемент дүги гинерболы, если положить $\lambda_{2}$ постоянным, следовательно $d \lambda_{2}=0$. Поэтому эти элементы гуг будут равны соответственно
\[
\frac{1}{2} d \lambda_{2} \sqrt{\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)}} \text { и } \frac{1}{2} d \lambda_{1} \sqrt{\frac{\lambda_{1}-\lambda_{2}}{\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)}},
\]

и элемент площади есть их произведение, т. е.
\[
\frac{\frac{1}{4}\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right) d \lambda_{1} d \lambda_{2}}{\sqrt{-\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)}} .
\]

Совериенно аналогичные рассжжения могут быть применены в случе трех переменных, т. е. для пространства. Пуеть $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ – прямоугольне координаты; тогда уравнение
\[
\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}+\lambda}+\frac{x_{2}^{2}}{a_{2}+\lambda}+\frac{x_{3}^{2}}{a_{3}+\lambda}=1
\]

при вариировании $\lambda$ предетавляет спстему софокусных поверхностей второго порядка. Теоремы относительно софокусных поверхностей второго порядка (т. е. таких, у которых главные сечешия имеют общие фокусы) принадлежат к замечательнейшим теоремам аналитической геометрии; некоторые важнейшие из них я впервые опубликовал в 12 томе журнала Crell’я. 1 Шаль в своем Aperçu historique ${ }^{2}$ указывает на них, как на новые, не уюоминая о моем приоритете, но надо вспомнить, что в этом сочинении все нашисанные по-немецки статьи журнала Crell’s не приняты во внимание. ${ }^{3}$

Софокусные поверхности делятся на три сиетеиы: на систему элиисоидов, для которой $\lambda$ лежит между $-a_{1}$ и $+\infty$, на систему однонолых гишерболоидов, для которой $\lambda$ лежит между $-a_{1}$ и – $a_{2}$, на систему двуполых гиперболоидов, для которой $\lambda$ лежит между $-a_{2}$ п $-a_{3}$. В самом деле, в первом случае все зназенатели $a_{1}+\lambda, a_{2}+\lambda, a_{3}+\lambda$ положительны, во втором случае $a_{1}+\lambda$ отрицателен, в то время как $a_{2}+\lambda$ и $a_{9}+\lambda$ положительны, в третьем слутае $a_{1}+\lambda$ и $a_{2}+\lambda$ отрицательны, $a_{3}+\lambda$ положителен. Для каждой точки ( $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ) имеются три значешия $\lambda_{1}, \dot{\lambda}_{2}, \lambda_{3}$ для $\lambda_{\text {, }}$
1 Письмо к Штейнеру, стр. 137.
2 Примечание XXXI, стр. 384.
3 Apeŗu historique, стр. 215, примечание.

удовлетворяющие вышенаписанному уравнению, и притом $\lambda_{1}$ соответствует эллисоиду, $\lambda_{2}$-однополому гиперболоиду, $\lambda_{3}$-двуполому гишерболоиду. Таким образом из данной системы софокусных поверхностей второго порядка через данную точку всегда проходят одик эллипсоид, один однополый типерболоид и один двуполый гиперболоид. Из этих трех систем каждая пересекает две другие под прямым углом. Бине первый доказал, что кривые пересечения будут в то же время линиями кривизны этих поверхностей. Шарль Дюпен в своих Développements de géometrie показал, что эта теорема всегда имеет место, если три системы поверхностей пересекаются взаимно ортогонально. В новейшее вреия Ляме дал интересные применения теории софокусных поверхностей к математической физике.

Что три софокусные поверхности, проходящие через заданную точку пространства, пересекаютея друг с другом под прямым углом, вытекает из геометрического значения равенства (4) предыдүщей лекции. Само собой разумеется, что три кривые пересечения этих поверхностей, попарно взятых, ортөгональны друг к другу. Отсюда следует, что понарно взятые элементы дуги этих кривых пересечения, будучи перемножены, дают элемент плоцади поверхностч, содержащей взятую пару элементов дуги, и что произведение всех трех әлементов дуг кривых пересетения представляет элемент объема в координатной системе ( $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ ).

Выражение для квадрата элемента дуги кақой-нибудь пространственной кривой будет на основании формулы (9) предыдущей лекџии иметь вид:
\[
\begin{array}{c}
d x_{1}^{2}+d x_{2}^{2}+d x_{3}{ }^{2}=\frac{1}{4}\left\{\frac{\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)\left(\lambda_{1}-\lambda_{3}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)\left(a_{3}+\lambda_{1}\right)} d \lambda_{1}^{2}+\right. \\
\left.+\frac{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)} d \lambda_{2}{ }^{2}+\frac{\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{3}-\lambda_{2}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)} d \lambda_{3}{ }^{2}\right\} .
\end{array}
\]

Еели в этом выражении положить одну из величин $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ постоянной, то оно будет соответствовать случаю кривой, которая лежит на одной из софокусных поверхностей, например для постоянного $\lambda_{1}$ кривая лежит на эллисоиде. Если далее положить в этом выражении две из величин $\lambda_{1}$, $\lambda_{2}, \lambda_{3}$ постоянными, то оно будет соответствовать случаю упомянутых вривых пересечешия и нритом тех, которые лежат на софокусном эллипоиде, если положить цостоянными $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ или $\lambda_{1}$ и $\lambda_{3}$, если же положить шостоянными $\lambda_{2}$ и $\lambda_{3}$, то на пересечении двух софокусеных гишерболоидов. На основании этого получаем для элементов дуг кривых пересечения на эллипсоиде выранения:
u
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{1}{2} d \lambda_{3} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{3}-\lambda_{2}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}} \\
\frac{1}{2} d \lambda_{2} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}}
\end{array}\right\}
\]

и для элемента поверхности эллипсоида имеем:
\[
\frac{\lambda_{2}-\lambda_{3}}{4} d \lambda_{2} d \lambda_{3} \sqrt{-\frac{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}} .
\]

Іроинтегрируем этот дифференцил и интегрирование распространим ва все возможные значения $\lambda_{2}$ и $\lambda_{3}$, т. е. от $\lambda_{2}=-a_{2}$ до $\lambda_{2}=-a_{1}$ и от $\lambda_{3}=-a_{3}$ до $\lambda_{3}=-a_{2}$; тогда цолутим восьмую часть новерхности целого эллипсонда.

Но этот двойной интеграл сам собой расцадаетея на сұмиу двух произведениї простых интегралов и дает для поверхности эллисоида выражение
\[
\begin{array}{l}
\therefore \int_{-i_{1}}^{-a_{1}} d \lambda_{2} \cdot \lambda_{2} \sqrt{\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{\left(a_{1}+i_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}} \times \\
x \int_{a_{3}}^{-a_{3}} d \lambda_{3} \sqrt{-\frac{\lambda_{3}-\lambda_{1}}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}} \\
-2 \int_{-h_{3}}^{a_{1}} d \lambda_{2} \sqrt{\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{\left(\alpha_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}} \times \\
\times \int_{-a_{3}}^{-\lambda_{3}} d \lambda_{3} \cdot \lambda_{3} \sqrt{-\frac{\lambda_{1}-\lambda_{1}}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}}, \\
\end{array}
\]

юоставленное из эллитических интегралов. Это пут, которым Лежандр припел к квдратуре поверхности элиисоида. 1 Его работа ияеет огромную важность в особенности потому, что при этом в первый раз были применены линии кривизны как апалитический инструмент для преобразования коордипат. Если возъем в предыдущем выражении ивтеграл в более узких границах, то получих поверхность не целого элиисоида, но только его части, заключенной между двумя линиями кривизны одного рода и двумя другого рода.

Чтобы получить элемент объема, надо умножить элемент поверхности млипсоида на элемент дуги кривой пересечения, образованной обоими гиперболопами. Таким алементом дуги является, если положить $\lambda_{2}$ п $\lambda_{3}$ постоянныи, выранение
\[
\frac{1}{2} d \lambda_{1} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)\left(\lambda_{1}-\lambda_{3}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)\left(a_{3}+\lambda_{1}\right)}} .
\]

следовательно демент объена предетавится так:
\[
\frac{\frac{1}{5}\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)\left(\lambda_{1}-\lambda_{3}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right) d \lambda_{1} d \lambda_{2} d \lambda_{3}}{\sqrt{-\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)\left(a_{3}+\lambda_{1}\right)\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}} .
\]

Если этот дифференциал трижды проинтегрировать, притом внутри таких грашиц, которые не превосходят возщожных вначений для $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$, то получится объем, ограничевный двумя софокусными элипсоидами, двума софокусными однонолыми гинерболоидами и двумя софокусными двуполыми гипоболоидаии. Троӥной интеграл распадается сам собой нд 6 ченов, каждый из которых есть произведение трех цростых интегралов.
Оба элемента дуги
\[
\frac{1}{2} d \lambda_{3} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{4}-\lambda_{2}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}} \text { и } \frac{1}{2} d \lambda_{2} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}},
\]

которые мы умножаем друг на друга шри квадратуре элишеоида, являютел по теореме Бине элементами линий кривизны на эллинсоиде. Интегрировапие
1 Exerices de calcul intigral, I, стр. 185, пли Traité des fonctions elliptiques, I, exp. 352 .

этих элементов дает спрямление линий кривизны, и мы получаем дия дуг этих линий интегралы

и
\[
\frac{1}{2} \int d \lambda_{3} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{3}-\lambda_{2}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}}
\]
\[
\left.\frac{1}{2} \int d \lambda_{2} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}},\right\}
\]

которые принадлежат к абелевым интегралам и притом к тому роду, который ближе всего подходит к эллинтическим интегралам.