Имея в виду применить результаты проивведенного в прошлой лекции исследования относительно совмеятных решений линейных уравнений в частных производных, к случаю, который выввал это исследование и о которым мы столкнулиеь при интегрировании уравнения в частных производных $H=h$, мы ваменим сначала $n+1$ невависимых переменных $x_{0}, x_{1}, \ldots x_{n}$ четным числом $2 n$ переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{2 n}$, значки у которых будут начинатьея не с 0 , а с 1 , так что тешерь выражения $A(f)$ и $B(f)$ будут определены равенствами:
\[
\begin{array}{l}
A(f)=A_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}+A_{2} \frac{\partial f}{\partial x_{2}}+\ldots+A_{2 n} \frac{\partial f}{\partial x_{2 n}}, \\
B(f)=B_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}+B_{2} \frac{\partial f}{\partial x_{2}}+\ldots+B_{2 n} \frac{\partial f}{\partial x_{2 n}},
\end{array}
\]

а $2 n$ уеновных уравнений $C_{i}=B\left(A_{i}\right)-A\left(B_{i}\right)=0$ будут иметь место для $i=1,2, \ldots 2 n$. Далее, пусть на место $2 n$ независимых переменных войдут величины $p$ и $q$, так что будем иметь $x_{1}=q_{1}, x_{2}=q_{2}, \ldots x_{n}=q_{n}$, $x_{n+1}=p_{1}, x_{n+2}=p_{2}, \ldots x_{2 n}=p_{n}$, и, наконец, нусть коэффициенты $A_{i}$ и $B_{i}$ булут определены равенствами:
\[
\begin{array}{c}
A_{1}=\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}}, \quad A_{2}=\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}}, \ldots A_{n}=\frac{\partial \varphi}{\partial p_{n}} ; \\
A_{n+1}=-\frac{\partial \varphi}{\partial q_{1}}, \quad A_{n+2}=-\frac{\partial \varphi}{\partial q_{2}}, \ldots A_{2 n}=-\frac{\partial \varphi}{\partial q_{n}} ; \\
B_{1}=\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}}, \quad B_{2}=\frac{\partial \psi}{\partial p_{2}}, \ldots B_{n}=\frac{\partial \psi}{\partial p_{n}} ; \\
I_{n+1}=-\frac{\partial \psi}{\partial q_{1}}, \quad B_{n+2}=-\frac{\partial \psi}{\partial q_{2}}, \ldots B_{2 n}=-\frac{\partial \psi}{\partial q_{n}} .
\end{array}
\]

Тогда ми палучим
\[
\begin{array}{c}
A(f)=\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial f}{\partial q_{1}}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial f}{\partial q_{2}}+\ldots+ \\
+\frac{\partial \rho}{\partial p_{n}} \frac{\partial f}{\partial q_{n}}-\frac{\partial \varphi}{\partial q_{1}} \frac{\partial f}{\partial p_{1}}-\frac{\partial \varphi}{\partial q_{2}} \frac{\partial f}{\partial p_{2}}-\ldots-\frac{\partial \varphi}{\partial q_{n}} \frac{\partial f}{\partial p_{n}} \\
B(f)=\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial f}{\partial q_{1}}+\frac{\partial \psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial f}{\partial q_{2}}+\ldots+ \\
+\frac{\partial \psi}{\partial p_{n}} \frac{\partial f}{\partial q_{n}}-\frac{\partial \psi}{\partial q_{1}} \frac{\partial f}{\partial p_{1}}-\frac{\partial \psi}{\partial q_{2}} \frac{\partial f}{\partial p_{2}}-\ldots-\frac{\partial \psi}{\partial q_{n}} \partial p_{n}
\end{array}
\]

или, согласно обозначению, введенному в тридцать второй лекции (стр. 223),
\[
\begin{array}{l}
A(f)=(\varphi, f), \\
B(f)=(\psi, f) .
\end{array}
\]

Чтобы нолучить значения $2 n$ величнн $C_{i}$ для $i=1,2, \ldots 2 n$, мы разделин пх на две грушшы: $C_{i}$ и $C_{n+i}$, где $i=1,2, \ldots n$; тогда получится
\[
\begin{array}{c}
C_{i}=B\left(A_{i}\right)-A\left(B_{i}\right)=\left(\psi, \frac{\partial \varphi}{\partial p_{i}}\right)-\left(\varphi, \frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}\right), \\
C_{n+i}=B\left(A_{n+i}\right)-A\left(B_{n+i}\right)=\left(\psi,-\frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}}\right)-\left(\varphi,-\frac{\partial \psi}{\partial q_{i}}\right)
\end{array}
\]

пли, если иринять во внимание тождество

то получчтея:
\[
(\psi, \varphi)=-(\varphi, \psi)=(\varphi,-\psi)
\]
\[
\begin{aligned}
-C_{i} & =\left(\frac{\partial \varphi}{\partial p_{i}}, \psi\right)+\left(\varphi, \frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}\right), \\
C_{n+i} & =\left(\frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}}, \psi\right)+\left(\varphi, \frac{\partial \psi}{\partial q_{i}}\right) .
\end{aligned}
\]

Но так вак выражение ( $\varphi, \psi$ ) есть линенная функция как ироивводных от $ๆ$, так и производных от $\psi$, то правые части этих равенств представляют собой не что иное, как производные от ( $\varphi, \psi$ ), взятые по $p_{i}$ и $q_{i}$; тавим обравок. мы имеем
\[
C_{i}=-\frac{\partial(\varphi, \psi)}{\partial p_{i}}, \quad C_{n+i}=\frac{\partial(\varphi, \psi)}{\partial q_{i}},
\]

и все 2n условных уравнений $C_{i}=0, C_{n+i}=0$ будут выподнены дая $i=1,2, \ldots n$, как только будет тождественно удовлетворяться равенств
\[
(\varphi, \psi)=0,
\]
т. е. как только $f^{\prime}=\psi$ будет репением линейного уравнения в частных производных $A(f)=(\varphi, f)=0$. Когда это единственное условное уравнение
\[
(\varphi, \psi)=0
\]

будет вылолнено, тогда всегда буду тсуществовать совместные решения ураннений
\[
(\varphi, f)=0, \quad(\psi, f)=0,
\]
1 для их определения ножно воспользоваться выводами прошлой лекции.
Таким образом доказано утверждение, высказанное в начале упомяну той лекции, по которому, если $H_{1}$ обозначает какую-нибудь фуницию, удовлетворяющую уеловию $\left(H, H_{1}\right)=0$, всегда можно определить вторую функцию $H_{2}$, удовлетворяющую одновременно обоим условиям $\left(H, H_{2}\right)=0$, $\left(H_{1}, H_{2}\right)=0$; при этом исследования прошлой лекции дают не только доказательство существования, но также и средства вычисления $H_{2}$. Затем предположим, что функции $H_{1}$ и $H_{2}$ определены; тогда дальнейшее продолжение укаванных исследований дает нам средства для определения новой функции $H_{3}$ удовлетворяющей одновременно трем условиям $\left(H, H_{8}\right)=0,\left(H_{1}, H_{3}\right)=0_{\text {, }}$ $\left(H_{2}, H_{3}\right)=0$ и т. д.

Но в прошлой лекции мы не только нашли совместные решения двүх минейных уравнений в частных производных $A(f)=0, B(f)=0$, удовлетворяющие условиям $C_{4}=B\left(A_{i}\right)-A\left(B_{i}\right)$, но, что не менее важно, вывели в одного решения $f_{1}$ уравнения $A(f)=0$ последовательным повторением операдии $B$ ряд новых решений $B\left(f_{1}\right)=f_{2}, B\left(f_{2}\right)=f_{3}, \ldots B\left(f_{m-1}\right)=t_{m t}$, продолжающийся до тех пор, пока следующее повторение операции не цриведет к решению $B\left(f_{m}\right)=f_{m+1}^{\prime}$, которое будет или функций $F\left(f_{1}, f_{2}, \ldots f_{m}\right)$ от прежних решений, или постоянной величиной, которая в частности чожет также стать равной нулю.

Мы применим эли соображения в рассматриваемому случаю; однако здесь будет иметь место одна модификация, которая шокоится на следүющем обстоятельстве. Вообще говоря, уравнение $\boldsymbol{A}(f)=0$ имеет тольво одно очевидное решение $f=$ const, и кроме того, согласно гипотезе, из которой мы исходим, нам известно еще и только одно его репение $f=f_{1}$. Но в частном случае, когда $A(f)=(o, f), B(f)=(\psi, f)$, в то вреяя как условные уравнения $C_{t}=0$ выполняютея благодаря тождеству ( $\psi, \psi$ ) $=0$, мы знаем уже заранее, что в том случае $f=f_{1}$ есть решение уравнения $(\varphi, f)=0$, то кроме $f_{1}$ вторым решением будет $\psi$, и что кроме того к общему очевидному репению $f=$ const в этом случае присоединяется еще частное решение $f=\varphi$. Поэтому здеся. функция $f_{n+1}$ не будет новым репением и в том случае, когда она равна функции $F\left(\varphi, \psi, f_{1}^{\prime}, f_{2}, \ldots f_{m}\right)$, содержащей кроме $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{m}$ еще $\varphi$ и Имея это в виду и не выделяя отдельно случай, когда функция $l$ приво, Питея к постоянной или когда эта последияя преврацаетея в нуль, а нключая этот случай в обозначение $F^{\dagger}\left(\stackrel{\psi}{q}, f_{1}, f_{2}, \ldots f_{9 n}^{\prime}\right)$, мы получим слетующий результат:

Ксли $f_{1}$ есть репение линейного уравнения в частных производных $(\because, f)=0$, определяющего функцию $f$, и если удовлетворяется условное уравнение $(\varphi, \psi)=0$, то выражение $\left(\zeta, f_{1}\right)=f_{2}$ тоже будет решением уравнения $(\varphi, f)=0$ и притом – вообще говоря – новым решением, в частных слутаях могущим стать функцией $F\left(p, \psi, f_{1}\right)$ от $\psi, f_{1}$ и очевидного ренения \”. Іродолжая поступать таким образом далее и полагая
\[
\left(\psi, f_{2}\right)=f_{3},\left(\psi, f_{3}\right)=f_{4}, \ldots\left(\psi, f_{m-1}\right)=f_{m}^{\prime},\left(\psi, f_{m}\right)=f_{m+1},
\]

будея получат – вообще говоря – только новые ренения $f_{3}, f_{4} \ldots f_{m}$ уравнения $(\hat{p}, f)=0$, пока $f_{m+1}$ не станет функций $F\left(\varphi, \psi, f_{1}, \ldots f_{m}\right)$ от уке ранее известных реңений $\psi, f_{1}, f_{2}, \ldots f_{m}$ и очевидного решения $\%$. : ующей левую часть уравнения в частных производных $H=h$, то будет гелесообразным изменить также и остальные обозначения. Положим $\varphi=I$, оудет гласить:

Если удовлетворяютея уравнения $\left(H, H_{1}\right)=0$ и $\left(H, H_{2}\right)=0$, т. е. $H_{1}$ и $H_{2}$ являютея решениями линеӥного уравнения в частных производих $\left(I, H_{i}\right)=0$. определяюцего $H_{i}$, то выражение $\left(H_{1}, H_{2}\right)=H_{3}$ также будет решением того дифферевциалного уравнепия и притом вообще новым решением; одпако в татих случаях $\ddot{H}_{3}$ может быт фунцией от $H, H_{1}$, $H_{2}$. Іродолжая ату операцио и полагая $\left(H_{1}, H_{3}\right)=H_{4},\left(H_{1}, H_{4}\right)=H_{5}, \ldots$ $\left(H_{1}, H_{m-1}\right)=H_{m},\left(H_{1}, H_{n}\right)=H_{m+1}$, будем вообще полутатт только новие решения $H_{4}, H_{5} \ldots H_{m}$ уравнения $\left(H, H_{1}\right)=0,1$ пока $H_{i n+1}$ не станет функцией уже иввестиы решений $H, H_{1}, \ldots H_{m}$, включая еюда очевидпое решение $H$.
Но мы впам, что безразлично-сказать ли, что $H_{1}$ есть решение
1 Не надо забывать, что величины $H_{1}, H_{2}, H_{3} \ldots$ обозначают здесь какие угодно. репения уравнення $\left(H, H_{i}\right)=0$, а не спедиальну сиетему тех решенин, которые, будучи приравнены постоянным, образуют уравнения, приводяцие в полному решению уравнения в тастных производных $H=h$ (см. тридцать втору\”, текцию, стр. 223).

आинейного уравнения в частных шроизводных ( $\left.H, H_{i}\right)=0$, определяюцего $H_{4}$, х. е. уравнения
\[
\left\{\begin{array}{r}
\frac{\partial H}{\partial p_{1}} \frac{\partial H_{1}}{\partial q_{1}}+\frac{\partial H}{\partial p_{2}} \frac{\partial H_{i}}{\partial q_{2}}+\ldots+\frac{\partial H}{\partial p_{n}} \frac{\partial H_{1}}{\partial q_{n}} \\
-\frac{\partial H}{\partial q_{1}} \frac{\partial H_{1}}{\partial p_{1}}-\frac{\partial H}{\partial q_{2}} \frac{\partial H_{i}}{\partial p_{2}}-\ldots-\frac{\partial H}{\partial q_{n}} \frac{\partial H_{i}}{\partial p_{n}}
\end{array}\right\}=0,
\]

или сказат, что функция $H_{1}$, приравненная произвольной постоянной $h_{1}$, естк интеграх системы обыкновенных дифференциальных уравнений:
\[
\begin{array}{c}
d q_{1}: d q_{2}: \ldots: d q_{n}: d p_{1}: d p_{2}: \ldots: d p_{n}= \\
=\frac{\partial H}{\partial p_{1}}: \frac{\partial H}{\partial p_{2}}: \ldots \frac{\partial H}{\partial p_{n}}:-\frac{\partial H}{\partial q_{1}}:-\frac{\partial H}{\partial q_{2}}: \ldots:-\frac{\partial H}{\partial q_{n}},
\end{array}
\]
т. е. независящий от $t$ интеграл сиетемы изошериметрических дифференқиальных уравнениї:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d q_{1}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{1}}, \frac{d q_{2}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{2}}, \ldots \frac{d q_{n}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{n}} \\
\frac{d p_{1}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{1}}, \frac{d p_{2}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{d p_{n}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{n}} .
\end{array}
\]

Эти уравнения, если положить $H=T-U$, где $T$ обовначает половину живой силы, а $U$-сиюную фунццию, переходят в систему дифференцильных уравнений движения. Мы можем поэтому полученный результат выразить следующей теоремой:

Iууть дана снстема изопериметричеспи дифференииальны уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d q_{1}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{1}}, \frac{d q_{2}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{2}}, \ldots \frac{d q_{n}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{n}}, \\
\frac{d p_{1}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{1}}, \frac{d p_{2}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{d p_{n}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{n}},
\end{array}
\]
\& коморой $H$ сеть функиия переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, не содержащал $t$, поторая при $H=T-O$ переходит в систему дифферен. циальных уравнений динамики. Если ми знаем два независящих оп $t$ интеграла $H_{1}=h_{1}, H_{2}=h_{2}$ эпой системи и составия выражение
\[
H_{3}=\left(H_{1}, H_{2}\right)=\left\{\begin{array}{c}
\frac{\partial H_{1}}{\partial p_{1}} \frac{\partial H_{2}}{\partial q_{1}}+\frac{\partial H_{1}}{\partial p_{2}} \frac{\partial H_{2}}{\partial q_{2}}+\ldots+\frac{\partial H_{1}}{\partial p_{u}} \frac{\partial H_{2}}{\partial q_{n}} \\
-\frac{\partial H_{2}}{\partial p_{1}} \frac{\partial H_{1}}{\partial q_{1}}-\frac{\partial H_{2}}{\partial p_{2}} \frac{\partial H_{1}}{\partial q_{2}}-\ldots-\frac{\partial H_{2}}{\partial p_{n}} \frac{\partial H_{1}}{\partial q_{n}}
\end{array}\right\}
\]

мо выражение
\[
H_{3}^{\prime}=h_{i},
\]

де $h_{3}$ ообозачает претью произвольную постоянную, вообще лвляетея новым интегралом системы. В частных случаях $H_{3}$ может быть функцией от $\mathrm{H}, \mathrm{H}_{1}, \mathrm{H}_{2}$ или постоянным численным значением, не исключая нуля; в этих случаях выражение $H_{3}=h_{3}$ не яеляется новым интегралом, а будет уравнением, которое тождественно выполняется при посредстве прежних интегралов $H_{1}=h_{1}, H_{2}=h_{2}$ и очевидного интеграла $H=h$. Если продолжать дальше эту операцию и образовать из $H_{1}$ и $H_{3}$ или из $H_{2}$ и $H_{3}$ выражение $\left(H_{1}, H_{3}\right)$ или $\left(H_{2}, H_{3}\right)$, то это последнее, приравженное постоянной величине, даен воооие опять новый интеграл $n$.

Это одна из замечательнейших теорем всего интегрального исчисления, и, в частном случае, когда иоложено $H \leftrightharpoons T-U$, это есть основная теорема аналитической механнки. Именно она цоказывает, что если имеет често теорема живой силы, то из двух интегралов дифференциальных уравнений движения простым дифференцированиен вообще можно вывести третий интеграл, отсюда четвертый и т. д., тав что либо получатся все интегралы. либо но крайней мере некоторое число их.

Іосле того кав я напед эту теорену, я сообщия об этом академиям в Берлине и в Шариже, как о совсем новом гкрытии. Но скоро после этого я заметил, что эта теорема уже была открыта, но втеченио 30 лет оставалась в неизвестности, так как не подозревали ее истинного сиыса, а ушотребляли ее только как вспомогательную теорему при совсем другої задаче.

Если для ошределенной механической задвчи мы проинтегрировали вышенаписанные дифференцильные уравнения и теперь хотим, согласно так павываемой теории возмүщения, развитой Јагранжем и Лапласом, ошределить изменения, которые претерневает движение бдагодаря присоединению новых малых сил, то мы цридем к определенныи выражениям, составленныи из $p_{i}, q_{i}$ и не зависящим от времени – таков резултат, принадлежаций в величайшим открытия названних геометров. Нуассон. который пове: исследование несколько иначе, нащен, что эти не ьависящие от $t$ выражения имеют как раз форму ( $H_{i}, H_{k}$ ). Эта теорена Пуасеона была знаменита трудностью своего показательства; но ей придавали так мало-значения, что Јагранж даже не поместил ее во второе издание аналитической механигн. а предпочел свои формулы, как более иростье. Но кан раз зта теорема Пуассона по существу сонадает с вышензложенной. Деӥствительно, если выражения $\left(H_{i}, \Pi_{k}\right)$, которые у ІІуассона входат как коэффициенты в возмуцающу фунгцию, не зависят от времени, то они должны быть функциями, которые в первоначальной задаче обращаются в постоянные величины. Но это замечание ускольвнуло от геометров, и понадобилое на самох деле новое открытие, чтобы выдвинуть теорему в ее истинном вначении.

Тону, что никто не распознал важности открытой теореми стодь долгое время, способствовало одно своеобразное обстоятельтво. Именно, случаи. в которых ее ирименяли, были как раз такие, что вновп, образованое выражение не давало нового интеграла и резултат становижся либо тождественно равным нулю, либо равннм числу, отличному от нуля, наприер единице. Эти случаи, которые в общей теории являютея исключениями, па црактике встречаются вообще очень часто. Именно, для того, чтобы векоторый интеграл, скомбинированный е ваким-нибудь другим интегралом. доставлял один зандругим все интеграды. необходимо, чтобы он был интегралом, специально принадежащи рассматриваемй частной вадаче. Но гервые интеграяы, которые отыскивались, для какой-нибудь предложениой аддачи, были, как цравило, те, которые следовали из общих принциое (например из принцй сохранения площадей), поэтому они ‘не принадлежали спецнально именно к рассматриваемой задаче; ноэтому неиъз требовать, чтобн из них должпы были выводитъея все интегралы.

Мы видим, то для интегралов имеет место некоторая полярност. т. е. качественное разлитие. Ранъие это было неизвестно, каждый интеграл ечиталея равноценным е остальным, и единственная польз, которую ив него умели извлечь, заключдлась в понижении на одну единицу порядка данной системы. Тешерь же мы видим, что существуют такие интегралы $H_{1}=h_{1}, \quad H_{2}=h_{2}$, из которых чожно сразу вывести все остальные. Этот елучай являетек даже общим. В самом пеле, если равенетва $H_{1}=h_{1}$, $H_{2}=h_{2}, \ldots H_{m}=h_{m}$ дают все интегралы и мы обравуех из их левых чвстей произвольную функцию
\[
F\left(H_{1}, H_{2}, \ldots H_{m}\right)=H_{m+1},
\]

которая может быт заранее задана, то в бесконечно превышающем чисде с.учаев можно вывести из $H_{m+1}$ и из одного из данных интегралов, наприкер из $H_{n+1}$ и из $H_{1}$, все остальные интегралы, и это есч общий случай, тав как функция $H_{m+1}$, приравненнан цроиввольной постоянной, представляет наиболее общую форму интеграла. Но первые интегралы, которые мы находим при решении некоторой задачи, как правило, не являются теми, которые специально принадлежат данной задаче, подобно $H_{n+1}$, и которые составлены из интегралов, получаемых из общих принципов; обычно они только общих типов, и поэтому мы не получаем из них всех интегралов ладачи.

Iрименение общей теоремы ю свободному движению дает еледүющую теорему:

Если мы знасм два не зависяцих от $t$ ннтеграла $\varphi=h_{1} \cdot \psi=h_{2}$ састемы
\[
m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial x_{i}}, \quad m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial y_{i}}, \quad m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial z_{i}},
\]
\” образуем выражение
\[
(\varphi, \psi)=\sum \frac{1}{m_{i}}\left\{\begin{array}{c}
\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}^{\prime}} \frac{\partial \psi}{\partial x_{i}}+\frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}^{\prime}} \frac{\partial \psi}{\partial y_{i}}+\frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}^{\prime}} \frac{\partial \psi}{\partial z_{i}} \\
-\frac{\partial \psi}{\partial x_{i}^{\prime}} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}-\frac{\partial \psi}{\partial y_{i}^{\prime}} \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}}-\frac{\partial \psi}{\partial \varepsilon_{i}^{\prime}} \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}}
\end{array}\right\},
\]

мо выражение
\[
(\varphi, \phi)=h_{3}
\]

о́удет вообще новым интегралом; в частных же случаях $(\varphi, \psi)$ можем стать функиией постоянжых $h_{1}, h_{2}$ и постоянной $h$, входящей в пеорему нсивой силы $T-U=h$, или стать чистым чисповым значением, хотя бы \” нулем.

Таким образом из двух теорем пощадей монно вывести третью. Для этого мы должны только положит:
\[
\varphi=\sum m_{i}\left(x_{i} y_{i}^{\prime}-y_{i} x_{i}^{\prime}\right) ; \quad y=\sum m_{i}\left(x_{i} z_{i}^{\prime}-z_{i} x_{i}^{\prime}\right) ;
\]

тогда мы подучим:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}=m_{i} y_{i}^{\prime}, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}}=-m_{i} x_{i}{ }^{\prime}, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}}=0, \\
\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}^{\prime}}=-m_{i} y_{i}, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}^{\prime}}=m_{i} x_{i}, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}^{\prime}}=0, \\
\frac{\partial \psi}{\partial x_{i}}=m_{i} z_{i}^{\prime}, \quad \frac{\partial \psi}{\partial y_{i}}=0, \quad \frac{\partial \psi}{\partial \varepsilon_{i}}=-m_{i} x_{i}^{\prime}, \\
\frac{\partial \psi}{\partial x_{i}^{\prime}}=-m_{i} z_{i}, \quad \frac{\partial \psi}{\partial y_{i}^{\prime}}=0, \quad \frac{\partial \psi}{\partial z_{i}^{\prime}}=m_{i} x_{i} ; \\
\end{array}
\]
nołrony
\[
(\varphi, \psi)=\sum m_{i}\left(y_{i}^{\prime} z_{i}-y_{c_{i}}{ }^{\prime}\right) .
\]

Таким образом выражение
есть третья теорема пощадей.
\[
(\stackrel{\varphi}{q}, \psi)=h_{3}
\]

Пуассон в своей знаменитой стаъе о вариации ностоянных в 15 -й тетради журнала Политехнической школы дает применение своей вынеупоиянутой теоремы возмущения к возмущепиям вращательного движения вокруг неподвижной точки. ІІри этом он принужден проиввести те же вычислительные операции, которые мы только-что проделали. Iоэтому в его вычищиения содержится вывод третьей теоремы площадей из двух других но он ни одния стовон не упоминает об этом замечательном результате.

Подобпые исследования мы можем произвести, если ирисоединих к трем теоремам пищадей три уравнения принципа сохранения центра тяжести и иселедуен – из сколих пз этих пести интеградов подучатея остальные.