Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Весною 1843 г. тяжелая болезнь помешала Якоби зақончить его лекцин по динамике. Но расположение этих лекций ясно показывает, что в конце их он хотел изложить свой метод интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка, взложенный в статьө, полностью обработанной в ИНТЕГРИРОВ АНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ІІОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ІОРЯДКА Интегрирование уравнения в частных проиввопных Если фунции дают такие значения для буддет полным дифференциалом. Но вместо того чтобы произвести совместное интегрирование системы (1) при помоци принципов, изложенных в триццать четвертой лекции, можно поставить себе задачу нешосредственно найти выражения, которые принимают только от Мы можем еще преобразовать эту систему, для чего, вместо того, чобы расскатривать связывающее и дая всякого вначения Таким обравом, если уравнения (3) умножить соответственно на Совместное интегрирование этой системы опирается на теоремы, данные в конце тридцать первой лекции и в тридцать четвертой левции. Пусть есть уравнение, при номощи которого өсли же Поэтому уравнения (4) при помощи обозначения ( Если мы теперь обравуем выражение ( В самом деле, как можно вывести дальнейшие решения: Если мы применим эту теорему к каким-нибудь двум уравнения системы (5); то увидим, что из какой-либо функции можно получигь ряд новых репений этого же уравнения, а именно тавне: Наконец, отсюда следует теорема: Если мо выражения макже оудут совместными решениями тех же уравнений. Но общих решений; поэтому число аргуменгов функции II не может превышать этого чнсла, т. е. ห.н Если мы теперь будем рассматривать некоторое решение Тав кав обращаются в вуль и, кроме того, мы находим: Если мы теперь примем во внимание закон образования функций Вид этого уравнения свидетельсвует о том, что указанным способом можно опрелелит функцию Ф; в самом деле, коэффициенгы этого уравпения содержат только те переменные, от которых но предположению завиеит функция Для того чтобы получить решение уравнения (8), требуется найти только один интеграл системы дифференциальных уравнений или, что равносильно этому, первый интеграл дифференциального уравнения ц-го порядка где в функцию Әтот результат можно представить в виде следующей теоремы: Если известно совместное решение, общее для первых Чтобы теперь найти решение, общее для всей системы (5), надо указанную операцию повторить Затем выводим отсюда другие решения того же уравнения, а именно: Всякиӥ первый интеграл уравнения еодержащий произвольную постоянную, дает решенне, удовлетворяющее -боия первым уравнениям (5). Пусть Ф будет это репение; образуем функции Каждый первый интеграл дифференциального уравнения содержащий произвольную постоянную, дает функцию, удовлетворяющую трен первым уравнениям (5), и т. д. Итак, разыскание решения общего для всей системы (5) или (4) требует знания одного первого интеграла важдого ив Весь процесс интегрирования требует, таким образом, прежде всего нахождения величины Ив найденного интегра́ла определяем Загем, во-вторых, ищем интеграл сиетемы уе производные от цо тех пор, пока не получим такую функцию то мы должны далее разыскать первый интеграл дифференциального уравяения тот интеграл имеет внд: Іосле этого образуем уравнение Это уравнение служит для определения пока не придем к функции где он имеет вид Носле этого из фунцции юбразуем следующие функции до тех пор, пока не придем ь функцни он имеет вит: Уравнение послужит для того, чтобы выразить Прододжая этот процесс далее, мы приходим наконец Iля этого сначала разыскиваем интеграл Носле эroго обравуем функции ив этих функций, если не первая, то, во всяком случае, вторая выразятея через мы интегрируем уравненне в случае же, когда ннтегрируем уравнение В щервом из :тих случаев приходим в функцин во втором случе, заменяя цроивводную от Далее, из функции и т. д. Іродояжая этот процесс, приходим наконец к функции юли уже и найденный интеграл дает последнее уравненне, посредством которого то мы должны найти гервый ннтеграл дифференциального уравнения второго шорядка Еели ттот интеграл ииеет вид то для ошределения Таким образом, ири помощи этих операций разыскание полного репения ганного уравнения в частных производных доведено до того момента, когда остается только вышолнить квадратуру и получить Если каждую из рассмотренных систем свести к одному обыкновенному дифференциальому уравнению выспего порядка, то придется разыскивать по одному интегралу: Но только в самом неблагоприятном случае все дифференциальные уравнения действительно достигают указанного здесь порядка. Вообще же, в кажддом данном классе только оцно уравнение достигает этого порядка, цорядки же пругих уравнений более или менее спижены.
|
1 |
Оглавление
|