Весною 1843 г. тяжелая болезнь помешала Якоби зақончить его лекцин по динамике. Но расположение этих лекций ясно показывает, что в конце их он хотел изложить свой метод интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка, взложенный в статьө, полностью обработанной в $1838\mathrm{r}$. и найденной среди оставпихся после него бумаг. Статью эту я опубликовал в 60 -м томе Математического журнала. Положив в основу эту статью, я попробовал здесь восполнить в духө Якоби тот пробел, который остался в конде его лекций.
Клеби

ИНТЕГРИРОВ АНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ІІОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ІОРЯДКА

Интегрирование уравнения в частных проиввопных $f=h$ или $H=h$. в тридать второй лекции (стр. 223) было приведено к репению снетемн совместных уравнений
$$(H_1,H_k)=0\text{. }$$

Если фунции $H$ огределены, из этих уравневий, то уравнения
$$H=h,H_1=h_1,\dots H_{n-1}=h_{n-1}$$

дают такие значения для $p$, для которых выражение
$$dV=p_{1}d{q}_1+p_{2}d{q}_2+\dots +p_{n}d{q}_n$$

буддет полным дифференциалом. Но вместо того чтобы произвести совместное интегрирование системы (1) при помоци принципов, изложенных в триццать четвертой лекции, можно поставить себе задачу нешосредственно найти выражения, которые принимают $p_1,p_2,\dots p_n$, вследствие уравнений (2). Іредставим себе, как это изложено в тридцать первой лекции (стр. 213), $p_1$ выраженным в функции величин $q$ и $p_2,p_3,\dots p_n$, далее $p_2$ определенным в функции величин $q$ и $p_3,p_4,\dots p_n$ и т. д. Если найдены $p_1,p_2,\dots p_i$, то раныпе, чем приступить к разысканию ${\mathit{p}}_{i+1}$, их можно выразить через $p_{i+1},p_{i+2},\dots p_n$ и через $q$. Те $i$ уравнений, когорым тогда должна одновременно удовлетворять функция $p_{i+1}$, найдем из уравнения (7) тридцать первой лекции (стр. 213), если в нем заменим $i$ последовательно числами $1,2,\dots$, а вместо $i$ подставим $i+1$. И так как тогда $p_i$ вависит только от $p_{+1},p_{i+2},\dots {\mathit{p}}_n$, а $p_{i+1}-$

только от ${\mathit{p}}_{i+2},p_{i+3},\cdots p_n$, то указанное уравнение приводит к следующей системе:
$$\begin{array}{l}\frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_1}-\frac{\partial p_1}{\partial q_{i+1}}+\frac{\partial p_{i+1}}{\partial p_{i+2}}\frac{\partial p_1}{\partial q_{i+2}}+\frac{\partial p_{i+1}}{\partial p_{i+3}}\cdot \frac{\partial p_1}{\partial q_{i+3}}+\cdots +\frac{\partial p_{i+1}}{\partial p_n}\times \\ \times \frac{\partial p_1}{\partial q_n}-\frac{\partial p_1}{\partial p_{i+1}}\cdot \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{i+1}}-\frac{\partial p_1}{\partial {\mathit{p}}_{i+2}}\cdot \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{i+2}}-\frac{\partial p_1}{\partial p_{i+3}}\cdot \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{i+3}}\dots -\\ -\frac{\partial p_1}{\partial p_n}\cdot \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_n}=0\\ \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_2}-\frac{\partial p_2}{\partial q_{i+1}}+\frac{\partial p_{i+1}}{\partial p_{i+2}}\cdot \frac{\partial p_2}{\partial q_{i+2}}+\frac{\partial p_{i+1}}{\partial p_{i+3}}\cdot \frac{\partial p_2}{\partial q_{i+3}}+\dots +\\ +\frac{\partial p_{i+1}}{\partial p_n}\cdot \frac{\partial p_2}{\partial q_n}-\frac{\partial p_2}{\partial p_{i+1}}\cdot \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{i+1}}-\frac{\partial p_2}{\partial p_{i+2}}\cdot \frac{\partial {\mathit{p}}_{i+1}}{\partial q_{i+2}}-\frac{\partial p_2}{\partial p_{i+3}}\times \\ \times \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{i+3}}\cdots -\frac{\partial p_2}{\partial p_n}\cdot \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_n}=0\\ \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_i}-\frac{\partial p_i}{\partial q_{i+1}}+\frac{\partial p_{i+1}}{\partial p_{i+2}}\cdot \frac{\partial p_i}{\partial q_{i+2}}+\frac{\partial p_{i+1}}{\partial p_{i+3}}\cdot \frac{\partial p_i}{\partial q_{i+3}}+\cdots +\\ +\frac{\partial p_{i+1}}{\partial p_n}\cdot \frac{\partial p_i}{\partial q_n}-\frac{\partial p_i}{\partial p_{i+1}}\cdot \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{i+1}}-\frac{\partial p_i}{\partial p_{i+2}}\cdot \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{i+2}}-\frac{\partial p_i}{\partial p_{i+3}}\times \\ \times \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{i+3}}-\cdots -\frac{\partial p_i}{\partial p_n}\cdot \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_n}=0.\end{array}$$

Мы можем еще преобразовать эту систему, для чего, вместо того, чобы расскатривать $p_{i+1}$ как функцио величин $p_{i+2},p_{i+3},\cdots p_n,q_1$, $q_3,\dots q_n$, вводим уравнение
$$t=\text{ const, }$$

связывающее $p_{i+1}$ п эти величины. Т’ода будем иметь қа $h>i+1$ :
$$\frac{\partial f}{\partial p_{i+1}}\cdot \frac{\partial p_{i+1}}{\partial p_h}+\frac{\partial f}{\partial p_h}=0$$

и дая всякого вначения $h$ :
$$\frac{\partial f}{\partial p_{i+1}}\cdot \frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_h}+\frac{\partial f}{\partial q_h}=0.$$

Таким обравом, если уравнения (3) умножить соответственно на $\frac{\partial f}{\partial p_{i+1}}$, то они примур следующую форму:
$$\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial q_1}+\frac{\partial p_1}{\partial q_{i+1}}\cdot \frac{\partial f}{\partial p_{i+1}}+\frac{\partial p_1}{\partial q_{i+2}}\cdot \frac{\partial f}{\partial p_{i+2}}+\cdots +\frac{\partial p_1}{\partial q_n}\cdot \frac{\partial f}{\partial p_n}-\\ -\frac{\partial p_1}{\partial p_{i+1}}\cdot \frac{\partial f}{\partial q_{i+1}}-\frac{\partial p_1}{\partial p_{i+2}}\cdot \frac{\partial f}{\partial q_{i+2}}-\cdots -\frac{\partial p_1}{\partial p_n}\cdot \frac{\partial f}{\partial q_n}=0,\\ \frac{\partial f}{\partial q_2}+\frac{\partial p_2}{\partial q_{i+1}}\cdot \frac{\partial f}{\partial p_{i+1}}+\frac{\partial p_2}{\partial q_{i+2}}\cdot \frac{\partial f}{\partial p_{i+2}}+\cdots +\frac{\partial p_2}{\partial q_n}\cdot \frac{\partial f}{\partial p_n}-\\ -\frac{\partial p_2}{\partial q_{i+1}}\cdot \frac{\partial f}{\partial q_{i+1}}-\frac{\partial p_2}{\partial p_{i+2}}\cdot \frac{\partial f}{\partial q_{i+2}}-\dots -\frac{\partial p_2}{\partial p_n}\cdot \frac{\partial f}{\partial q_n}=0,\\ \frac{\partial f}{\partial q_i}+\frac{\partial p_1}{\partial p_{i+1}}\cdot \frac{\partial f}{\partial p_{i+1}}+\frac{\partial p_1}{\partial q_{i+2}}\cdot \frac{\partial f}{\partial p_{i+2}}+\cdots +\frac{\partial p_1}{\partial q_n}\cdot \frac{\partial f}{\partial p_n}-\\ -\frac{\partial p_i}{\partial p_{i+1}}\frac{\partial f}{\partial q_{i+1}}-\frac{\partial p_i}{\partial p_{i+2}}\cdot \frac{\partial f}{\partial q_{i+2}}-\cdots -\frac{\partial p_i}{\partial p_n}\cdot \frac{\partial f}{\partial q_n}=0.\end{array}$$

Совместное интегрирование этой системы опирается на теоремы, данные в конце тридцать первой лекции и в тридцать четвертой левции. Пусть $p_{\text{\% }}$ есь одна из величин $p_1,p_2,\dots p_n$ и пусть
$${\phi }_{\mathrm{x}}-p_{\mathrm{x}}=0$$

есть уравнение, при номощи которого $p_{\mathrm{x}}$ выражается через $p_{i+1},p_{i+2},\dots$. $\dots p_n,q_1,q_2,\dots q_n$, тогда
$$\begin{array}{l}\frac{\partial ({\phi }_{\mathrm{x}}-p_{\mathrm{x}})}{\partial p_{i+h}}=\frac{\partial {\phi }_{\mathrm{x}}}{\partial p_{i+h}}=\frac{\partial p_{\mathrm{x}}}{\partial p_{i+h}},\\ \frac{\partial ({\phi }_{\mathrm{x}}-p_{\mathrm{x}})}{\partial q_h}=\frac{\partial {\phi }_{\mathrm{x}}}{\partial q_h}=\frac{\partial p_{\mathrm{x}}}{\partial q_h};\end{array}$$

өсли же $h<i+1$, то мы имеем
$$\frac{\partial ({\phi }_x-p_x)}{\partial p_h}=0,\frac{\partial ({\phi }_x-p_x)}{\partial p_x}=-1.$$

Поэтому уравнения (4) при помощи обозначения ( $\phi ,\psi$ ) могут быть написаны тақ:
$$(f,{\phi }_1-p_1)=0,(f,{\phi }_2-p_2)=0,\dots (f,{\phi }_1-p_1)=0.$$

Если мы теперь обравуем выражение ( ${\phi }_{\mathrm{x}}-p_{\mathrm{x}},{\phi }_{\lambda }-p_{\lambda }$ ), где $\mathrm{\%}$ н обовначают какие-нибудь два из чисел $1,2,\dots$. , то получим:
$$({\phi }_x-p_x,{\phi }_{\lambda }-p_{\lambda })=0.$$

В самом деле, как ${?}_x-p_x$, так и ${\phi }_{\lambda }-p_{\lambda }$ принадлежат системе уравнений, служащих для определения $p$, а потому, на основании теоремы, панной в конце тридцать первой лекции, вышеприведенное выражение должно обращаться в нуль. Далее в тридцать четвертой лекцин было показано, что если $(\phi ,\psi )=0$, то ив одного репения $F$ уравнения
$$(f,\phi )=0$$

можно вывести дальнейшие решения:
$$F^{\prime }=(F,\psi ),F^{\prime \prime }=(F^{\prime },\psi )\text{ и т. д. }$$

Если мы применим эту теорему к каким-нибудь двум уравнения
$$(f,{\phi }_{\mathrm{x}}-p_{\mathrm{x}})=0,(f,{\phi }_{\lambda }-p_{\lambda })=0$$

системы (5); то увидим, что из какой-либо функции $F$, удовлетворяющей уравнению
$$(F,{\phi }_x-p_x)=0,$$

можно получигь ряд новых репений этого же уравнения, а именно тавне:
$$F^{\prime }=(F,{\phi }_2-p_{\lambda })F^{\prime \prime }=(F^{\prime },{\phi }_{\lambda }-p_2)\text{ и т. д. }$$

Наконец, отсюда следует теорема: Если $F^{\ast }$ есть совместное решение уравнений
$$(f,{\phi }_1-p_1)=0,(f,{\phi }_2-p_2)=0,\dots (f,{\phi }_{h-1}-p_{n-1})=0,$$

мо выражения
$$H^{\prime }=(F,{\phi }_h-p_h),F^{\prime \prime }=(F^{\prime },{\phi }_h-p_h),\dots$$

макже оудут совместными решениями тех же уравнений.
Iредноложим тешерь, что нами найдено одно общее решение $F$ первых $h-1$ уравнениї (5) и ищется репение, которое удовлетворяет также $h$-му из этих уравнений. Тогда встает вопрос, существует ли такая функция $\mathrm{\Phi }$, которая удовлетворяет последнему уравнению и является функцией только от $F^{\prime }$, от получендых из $F$ рещений $F^{\prime },F^{\prime \prime },\dots F^{(\mu -1)}$ и от величин $q_h,q_{h+1},\dots q_i$, причем эти последние величины, очевидно, удовлетворяют $h-1$ первым уравнениям (5) [или (4)]. Число $\mu$ ограничено тем, что функция $F^{(\mu )}$ цолжна выражаться через предыдущие функции $F^{\prime },F^{\prime },\dots$ … $F^{(\mu -1)}$ н через $q_h,q_{h+1},\cdots q_i$, так чго
$$I^{(\mu )}=\mathrm{II}(F^{\prime },F^{\prime },\dots F^{(\mu -i)},q_h,q_{h+1},\dots q_i).$$

Но $h-1$ цруг от друга независимых линейных уравнений в частных цроизводных с $2n-i$ переменными $q_1,q_2,\dots q_n,p_{i+1},p_n$ вообще допускают только
$$2n-i-(h-1)$$

общих решений; поэтому число аргуменгов функции II не может превышать этого чнсла, т. е.
$$u+i-(h-1)\leqq 2n-i-(h-1)$$

ห.н
$$\mu \leqq 2(n-i)\text{. }$$

Если мы теперь будем рассматривать некоторое решение $\mathrm{\Phi }$ уравнення
$$(\mathrm{\Phi },{\phi }_h-p_h)=0,$$
как функцию аргументов, входящих в функцию II, то получим
$$\begin{array}{c}0=(\mathrm{\Phi },{\phi }_h-p_h)=\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial F}(F,{\phi }_h-p_h)+\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial F},(F^{\prime },{\phi }_h-p_h)+\dots +\\ +\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial F^{(\mu -1)}}(F^{(\mu -1)},{\phi }_h-p_h)+\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_h}(q_h,{\phi }_h-p_h)+\\ +\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_{h+1}}(q_{h+1},{\phi }_h-p_h)+\dots +\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_i}(q_i,{\phi }_h-p_h).\end{array}$$

Тав кав $h$-ое уравнение системы (4) нли (5) содержит только производные, взятые по $q_h$, но не по $q_{h+1},q_{h+2},\dots q_i$, то коэффициенты
$$(q_{h+1},{\phi }_h-p_h),(q_{h+2},{\phi }_h-p_h),\cdots (q_i,{\phi }_h-p_h)$$

обращаются в вуль и, кроме того, мы находим:
$$(q_h,{\phi }_h-p_h)=1\text{. }$$

Если мы теперь примем во внимание закон образования функций $F$, то увидим, что уравнение (6) или (7) перейдет в следующее:
$$\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q_k}+F^{\prime }\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial F}+K^{\prime \prime }\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial F^u}+\dots +\mathrm{\Pi }\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial F^{(\mu -1)}}=0.$$

Вид этого уравнения свидетельсвует о том, что указанным способом можно опрелелит функцию Ф; в самом деле, коэффициенгы этого уравпения содержат только те переменные, от которых но предположению завиеит функция $\mathrm{\Phi }$.

Для того чтобы получить решение уравнения (8), требуется найти только один интеграл системы дифференциальных уравнений или, что равносильно этому, первый интеграл дифференциального уравнения ц-го порядка
$$\frac{d^{\mu }F}{d{q}_h^{\mu }}=\mathrm{\Pi }$$

где в функцию $\pi$ надо поставить вместо величин $F^{\prime },F^{\prime \prime },\dots F^{(\mu -1)}$ величины
$$\frac{\partial F^{\gamma }}{\partial q_h},\frac{d^2{F}^{\prime }}{\partial q_h^2},\dots \frac{d^{\mu -1}F}{d{q}_h^{\mu -1}}.$$

Әтот результат можно представить в виде следующей теоремы: Если известно совместное решение, общее для первых $h-1$ уравлений системы (4) или (5), то для разыскания решения, удовлетворяющего такж: u h-му уравнению, требуется только знание одного первого интеграла некоторого дифференииального уравнения порядка не выше 2 (n-i).го.

Чтобы теперь найти решение, общее для всей системы (5), надо указанную операцию повторить $i$ раз подряд. Сначала разыскиваем решение $F$ первого уравнения (5) или интеграл системы 2 ( $n-1$ ) дифференциальных уравнений
$$\frac{d{p}_{i+1}}{d{q}_1}=\frac{\partial p_1}{\partial q_{i+1}},\frac{d{p}_{i+2}}{d{q}_1}=\frac{\partial p_1}{\partial q_{i+2}},\dots \frac{d{p}_n}{d{q}_1}=\frac{d{p}_1}{d{q}_n},$$

$$\frac{d{q}_{i+1}}{d{q}_1}=-\frac{\partial p_1}{\partial p_{i+1}},\frac{d{q}_{i+2}}{d{q}_1}=-\frac{\partial p_1}{\partial p_{i+2}},\cdots \frac{d{q}_n}{d{q}_1}=-\frac{\partial p_1}{\partial p_n}.$$

Затем выводим отсюда другие решения того же уравнения, а именно:
$$\begin{array}{c}{F}^{\prime }=(F,{\phi }_2-p_2),F^{\prime \prime }=(F^{\prime },{\phi }_2-p_2),\dots F^{(\mu )}=\mathrm{II}(F,F^{\prime },\dots F^{(\mu -1)},\\ q_2,q_3,\dots q_i).\end{array}$$

Всякиӥ первый интеграл уравнения
$$\frac{d^{\mu }F}{d{q}_2^{\mu }}=\mathrm{\Pi }(F,\frac{dF}{d{q}_2},\dots \frac{d^{(\mu -1)}F}{d{q}_2^{(\mu -1)}},q_2,q_3,\dots q_i),$$

еодержащий произвольную постоянную, дает решенне, удовлетворяющее -боия первым уравнениям (5). Пусть Ф будет это репение; образуем функции ${\mathrm{\Phi }}^{\prime }=(\mathrm{\Phi },{\phi }_3-p_3),{\mathrm{\Phi }}^{\prime \prime }=({\mathrm{\Phi }}^{\prime },{\phi }_3-p_8),\dots {\mathrm{\Phi }}^{(v)}=\mathrm{II}(\mathrm{\Phi },{\mathrm{\Phi }}^{\prime },\dots {\mathrm{\Phi }}^{(v-1)},q_b,q_4,\dots q_t)$.

Каждый первый интеграл дифференциального уравнения
$$\frac{d^v\mathrm{\Phi }}{d{q}_3^v}=\mathrm{\Pi }(\mathrm{\Phi },\frac{d\mathrm{\Phi }}{d{q}_3},\frac{d^2\mathrm{\Phi }}{d{q}_3^2},\dots \frac{d^{\vee -1}\mathrm{\Phi }}{d{q}_3^{v-1}},q_3,q_4,\dots q_i),$$

содержащий произвольную постоянную, дает функцию, удовлетворяющую трен первым уравнениям (5), и т. д.

Итак, разыскание решения общего для всей системы (5) или (4) требует знания одного первого интеграла важдого ив $i$ дифферспциальных уравнений, из которых первое $2(n-i)$-го порядка, а остальные могут быт, также и нившего порядка.

Весь процесс интегрирования требует, таким образом, прежде всего нахождения величины $p_1$ из данного уравнения в частных цроизводных. Кағ только это сделано, то разыскиваем, во-первых, интеграл системы $2(n-1)$ днфференциальных уравнений:
$$\begin{array}{c}\frac{d{p}_2}{d{q}_1}=\frac{\partial p_1}{\partial q_2},\frac{d{p}_3}{d{q}_1}=\frac{\partial p_1}{\partial q_3},\dots \frac{d{p}_n}{d{q}_1}=\frac{\partial {\mathit{p}}_1}{\partial q_n}\\ \frac{d{q}_2}{d{q}_1}=-\frac{\partial p_1}{\partial p_2},\frac{d{q}_3}{d{q}_1}=-\frac{\partial p_1}{\partial p_3},\dots \frac{d{q}_n}{d{q}_1}=-\frac{\partial p_1}{\partial p_n}.\end{array}$$

Ив найденного интегра́ла определяем $p_2$ как функцию $q$ и следующих $p$, п, вводя эту функцию в выражение для $p_1$, представляем $p_1$ как функцию этих же величин.

Загем, во-вторых, ищем интеграл сиетемы $2(n-2)$ дифференциальних уравнений:
$$\begin{array}{c}\frac{d{p}_3}{d{q}_1}=\frac{\partial p_1}{\partial q_3},\frac{d{p}_4}{d{q}_1}=\frac{\partial p_1}{\partial q_4},\dots \frac{d{p}_n}{d{q}_1}=\frac{\partial p_1}{\partial q_n},\\ \frac{d{q}_3}{d{q}_1}=-\frac{\partial p_1}{\partial p_3},\frac{d{q}_4}{d{q}_1}=-\frac{\partial p_1}{\partial p_4},\cdots \frac{d{q}_n}{d{q}_1}=-\frac{\partial p_1}{\partial p_n},\end{array}$$

уе производные от $p_1$ взяты уже в новом, тодько что угазанном, смнсле. Iуусть $F=$ const есть интеграл этой системы. Образуем функцин

$$\begin{array}{c}{I}^{\prime \prime }=\frac{\partial F}{\partial q_2}+\frac{\partial p_2}{\partial q_3}\cdot \frac{\partial F}{\partial p_3}+\frac{\partial p_2}{\partial q_4}\frac{\partial F}{\partial p_4}+\dots +\frac{\partial p_2}{\partial q_n}\frac{\partial F^{\prime }}{\partial p_n}-\\ -\frac{\partial p_2}{\partial p_3}\frac{\partial F}{\partial q_3}-\frac{\partial p_2}{\partial p_4}\frac{\partial F}{\partial q_4}-\dots -\frac{\partial p_2}{\partial p_n}\frac{\partial F}{\partial q_n},\\ I^{\prime \prime }=\frac{\partial F^{\prime \prime }}{\partial q_2}+\frac{\partial p_2}{\partial q_3}\frac{\partial F^{\prime }}{\partial p_3}+\frac{\partial p_2}{\partial q_4}\frac{\partial F^{\prime }}{\partial p_4}+\dots +\frac{\partial p_2}{\partial q_n}\cdot \frac{\partial F^{\prime }}{\partial p_n}-\\ -\frac{\partial p_2}{\partial p_3}\frac{\partial F^{\prime }}{\partial q_3}-\frac{\partial p_2}{\partial p_4}\frac{\partial F^{\prime \prime }}{\partial q_4}\dots -\frac{\partial p_2}{\partial p_n}\frac{\partial F^{\prime }}{\partial q_n}\text{ и г. д., }\end{array}$$

цо тех пор, пока не получим такую функцию $F^{(\mu )}$ (где $\mu \leqq 2(n-2)$ ), когорая может быть представлена как функция от $q_2,F,F^{\prime },\dots F^{(\mu -1)}$. Feдв эта функция будет
$$F^{(\mu )}=\mathrm{\Pi }(F,F^u,\dots F^{(\mu -1)},q_2),$$

то мы должны далее разыскать первый интеграл дифференциального уравяения $е$-го порядка
$$\frac{d^{\mu }F}{d{q}_2^{\mu }}=\mathrm{II}(F,\frac{dF}{d{q}_2},\frac{d^2{F}^{\prime }}{d{q}_2^2},\dots \frac{d^{\mu -1}F}{d{q}_2^{\mu -1}},q_2)$$

тот интеграл имеет внд:
$$\mathrm{\Phi }(F,\frac{dF}{d{q}_2},\frac{d^{2}F}{d{q}_2^2},\dots \frac{d^{\mu -1}F}{d{g}_2^{\mu -1}},q_2)=\text{ const. }$$

Іосле этого образуем уравнение
$$\mathrm{\Phi }(F,F^{\prime },I^{\prime \prime },\dots F^{(\mu -1)},q_2)=\text{ const. }$$

Это уравнение служит для определения $p_3$. Выразив $p_3$ через $p_1,p_5,\dots p_n$ н $q$ и при посредстве полученного выражения, представив также $p_1$ в $p_2$ как функции этих же аргументов, мы разыскиваем, в-третьих, ннтеграл ьенетемы обыкновенных дифференциальных уравнений:
$$\begin{array}{c}\frac{d{p}_4}{d{q}_1}=\frac{\partial p_1}{\partial q_4},\frac{d{p}_5}{d{q}_1}=\frac{\partial p_1}{\partial q_5},\dots \frac{d{p}_n}{d{q}_1}=\frac{\partial p_1}{\partial q_n},\\ \frac{d{q}_4}{d{q}_1}=-\frac{\partial p_1}{\partial p_4},\frac{d{q}_5}{d{q}_1}=-\frac{\partial p_1}{\partial p_5},\dots \frac{d{q}_n}{d{q}_1}=-\frac{\partial p_1}{\partial p_n}.\end{array}$$
1усть этот интеграл будет $\mathrm{\Psi }=$ const, тогда мы снова обравуех функцн
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Psi }}^{\prime }=& \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q_2}+\frac{\partial p_2}{\partial q_4}\cdot \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial p_4}+\frac{\partial p_2}{\partial q_5}\cdot \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial p_5}+\dots +\frac{\partial p_2}{\partial q_n}\cdot \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial p_n}-\\ & -\frac{\partial p_2}{\partial p_4}\cdot \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q_4}-\frac{\partial p_2}{\partial p_5}\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q_5}\cdots -\frac{\partial p_2}{\partial p_n}\cdot \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q_n},\\ {\mathrm{\Psi }}^{\prime \prime }=& \frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{\prime }}{\partial q_2}+\frac{\partial p_2}{\partial q_4}\cdot \frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{\prime }}{\partial p_4}+\frac{\partial p_2}{\partial q_5}\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{\prime }}{\partial p_5}+\dots +\frac{\partial p_2}{\partial q_n}\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{\prime }}{\partial p_n}-\\ —& \frac{\partial p_2}{\partial p_4}\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{\prime }}{\partial q_4}-\frac{\partial p_2}{\partial p_5}\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{\prime }}{\partial q_5}-\dots -\frac{\partial p_2}{\partial p_n}\frac{\partial {\mathrm{\Psi }}^{\prime }}{\partial q_n}\text{ н т. д., }\end{array}$$

пока не придем к функции
$${\mathrm{\Psi }}^{(u)}=\mathrm{II}(\mathrm{\Psi },{\mathrm{\Psi }}^{\prime },\dots {\mathrm{\Psi }}^{(v-1)},q_2,q_3),$$

где $v\leqq 2(n-3)$. Далее разыскиваем шервый ннтеграл дифференцнального уравнення $u$-го порядка
$$\frac{d^u\mathrm{\Psi }}{d{q}_2^u}=\mathrm{II}(\mathrm{\Psi },\frac{d\mathrm{\Psi }}{d{q}_2},\frac{d^2\mathrm{\Psi }}{d{q}_2^2},\dots \frac{d^{\gamma -1}\mathrm{\Psi }}{d{q}_2^{\gamma -1}},q_2,q_3),$$

он имеет вид
$$\mathrm{X}(\mathrm{\Psi },\frac{d\mathrm{\Psi }}{d{q}_2},\frac{d^2\mathrm{\Psi }}{d{q}_2^2},\dots \frac{d^{u-1}\mathrm{\Psi }}{d{q}_2^{\gamma -1}},q_2,q_3)=\text{ const. }$$

Носле этого из фунцции
$$X(\mathrm{\Psi },{\mathrm{\Psi }}^{\prime },{\mathrm{\Psi }}^{\prime \prime },\dots {\mathrm{\Psi }}^{(y-1)},q_2,q_3)$$

юбразуем следующие функции
$$\begin{array}{c}{X}^{\prime }=\frac{\partial X}{\partial q_3}+\frac{\partial p_3}{\partial q_4}\cdot \frac{dX}{\partial p_4}+\frac{\partial p_3}{\partial q_5}\cdot \frac{\partial X}{\partial p_5}+\dots +\frac{\partial p_3}{\partial q_n}\cdot \frac{\partial X}{\partial p_n}-\\ -\frac{\partial p_3}{\partial p_4}\cdot \frac{\partial X}{\partial q_4}-\frac{\partial p_3}{\partial p_5}\cdot \frac{\partial X}{\partial q_5}-\dots -\frac{\partial p_3}{\partial p_n}\cdot \frac{\partial X}{\partial q_n},\\ X^{\prime \prime }=\frac{\partial X^{\prime }}{\partial q_3}+\frac{\partial p_3}{\partial q_4}\frac{\partial X^{\prime }}{\partial {\mathit{p}}_4}+\frac{\partial p_3}{\partial q_5}\frac{\partial X^{\prime }}{\partial p_5}+\dots +\frac{\partial p_3}{\partial q_n}\frac{\partial X^{\prime }}{\partial p_n}-\\ -\frac{\partial p_3}{\partial p_4}\frac{\partial X^{\prime }}{\partial q_4}-\frac{\partial p_3}{\partial p_5}\frac{\partial X^{\prime }}{\partial q_5}-\dots -\frac{\partial p_3}{\partial p_n}\frac{\partial X^{\prime }}{\partial q_n}\text{ п т. п. }\end{array}$$

до тех пор, пока не придем ь функцни
$$X^{(p)}=\mathrm{II}(X,X^{\prime },\dots X^{(\xi -1)},q_3),$$
(rде $\eta \leqq 2(n-3)$ ). Іосле этого равыскиваем первый интеграл дифференциального уравнения о-го порядка:
$$\frac{d^{p}X}{d{q}_8^{\rho }}=\mathrm{\Pi }(X,\frac{dX}{d{q}_3},\dots \frac{d^{p-1}X}{d{q}_3^{p-1}},q_3);$$

он имеет вит:
$$\mathrm{Q}(X,\frac{dX}{d{q}_s},\dots \frac{d^{p-1}\lambda }{d{q}_s^{p-1}},q_3)=\text{ const. }$$

Уравнение
$$Q(X,X^{\prime },\dots X^{(0-1)},q_3)=\text{ const. }$$

послужит для того, чтобы выразить $p_4$ через $p_5,p_6$, . $p_n$ и затем цредставить $p_1,p_2,p_3$ также как функции этих аргументов.

Прододжая этот процесс далее, мы приходим наконец $к$ тому, что $p_1,p_2,\dots p_{n-1}$ выразятся как функцин от $p_n$ и от величин $q$. После этого мы должны будем выразить последнюю велнчнну $p_n$ через одни только $q$.

Iля этого сначала разыскиваем интеграл $\mathrm{\Xi }$ системы цифференциальных уравнений
$$\frac{d{p}_n}{d{q}_1}=\frac{\partial p_1}{\partial q_n},\frac{d{q}_n}{d{q}_1}=-\frac{\partial p_1}{\partial p_n}.$$

Носле эroго обравуем функции
$$\begin{array}{l}{\mathrm{\Xi }}^{\prime }=\frac{\partial \mathrm{\Xi }}{\partial q_2}+\frac{\partial p_2}{\partial q_n}\frac{\partial \mathrm{\Xi }}{\partial p_n}-\frac{\partial p_2}{\partial p_n}\frac{\partial \mathrm{\Xi }}{\partial q_n},\\ {\mathrm{\Xi }}^{\prime }=\frac{\partial {\mathrm{\Xi }}^{\prime }}{\partial q_2}+\frac{\partial p_2}{\partial q_n}\frac{\partial {\mathrm{\Xi }}^{\prime }}{\partial p_n}-\frac{\partial p_2}{\partial p_t}\frac{\partial \mathrm{\Xi }}{\partial q_n};\end{array}$$

ив этих функций, если не первая, то, во всяком случае, вторая выразятея через $\mathrm{\Xi }$ или соответственно через $\mathrm{\Xi }$ н ${\mathrm{\Xi }}^{\prime }$ и через величины $q_2,q_3,\dots q_{n-1}$. Затен, в случае, когда
$${\mathrm{\Xi }}^{\prime }=\mathrm{II}(\mathrm{\Xi },q_2,q_3,\dots q_{n-1}),$$

мы интегрируем уравненне
$$\frac{d\mathrm{\Xi }}{d{q}_2}=\mathrm{II}(\mathrm{\Xi },q_2,q_3,\dots q_{n-1}),$$

в случае же, когда
$${\mathrm{\Xi }}^{\prime \prime }=\mathrm{\Pi }(\mathrm{\Xi },{\mathrm{\Xi }}^{\prime },q_2,q_3,\dots q_{n\dots 1}),$$

ннтегрируем уравнение
$$\frac{d^2\mathrm{\Xi }}{d{q}_2^2}=\mathrm{II}(\mathrm{\Xi },\frac{d\mathrm{\Xi }}{d{q}_2},{\eta }_2,q_3,\dots q_{n,1}).$$

В щервом из :тих случаев приходим в функцин
$$Y=Y(\mathrm{\Xi },q_2,q_3,\dots q_{n-1}),$$

во втором случе, заменяя цроивводную от $\mathrm{\Xi }$ снова через ${\mathrm{\Xi }}^{\prime }$, приходим к функции
$$Y=Y(\mathrm{\Xi },{\mathrm{\Xi }}^{\prime },q_2,q_3,\dots q_{n\cdots 1}^{\prime })$$

Далее, из функции $Y$ образуем функции
$$\begin{array}{rl}{Y}^{\prime \prime }& =\frac{\partial Y}{\partial q_3}+\frac{\partial p_3}{\partial q_n}\frac{\partial Y}{\partial p_n}-\frac{\partial p_3}{\partial p_n}\frac{\partial Y}{\partial q_n},\\ Y^{\prime \prime }& =\frac{\partial Y^{\prime }}{\partial q_3}+\frac{\partial p_3}{\partial q_n}\frac{\partial Y^{\prime \prime }}{\partial p_n}-\frac{\partial p_3}{\partial p_n}\frac{\partial Y^{\prime }}{\partial q_n}\end{array}$$

и т. д. Іродояжая этот процесс, приходим наконец к функции $\mathrm{\%}$ и которой выводим функции
$$\begin{array}{rl}{Z}^{\prime }& =\frac{\partial Z}{\partial q_{n-1}}+\frac{\partial p_{n-1}}{\partial q_n}\partial {\eta }_n-\frac{\partial p_{n-1}}{\partial p_n}\frac{\partial Z}{\partial q_n}\\ Z^{\prime \prime }& =\frac{\partial Z^{\prime }}{\partial q_{n-1}}+\frac{\partial p_{n-1}}{\partial q_n}\frac{\partial Z^{\prime }}{\partial p_n}-\frac{\partial p_{n-1}}{\partial p_n}\frac{\partial Z^{\prime }}{\partial q_n}.\end{array}$$

юли уже $Z^{\prime }$ являетея функцией II от $Z$ и $q_{n-1}$, то мы интегрируем уравнение
$$\frac{dZ}{d{q}_{n-1}}=11(Z,q_{n-1}),$$

и найденный интеграл дает последнее уравненне, посредством которого $p_n$ выражается через $q$. Но, если только
$$Z^{\prime \prime }=\mathrm{II}(Z,Z^{\prime },q_{n-1}),$$

то мы должны найти гервый ннтеграл дифференциального уравнения второго шорядка
$$\frac{d^{2}Z}{d{q}_{n-1}^2}=\mathrm{II}(Z,\frac{dZ}{d{q}_{n-1}},q_{n-1})\text{. }$$

Еели ттот интеграл ииеет вид
$$\mathit{\theta }(Z,\frac{dZ}{d{q}_{n-1}},q_{n-1})=\mathrm{const},$$

то для ошределения $p_n$ служит уравнение
$$\theta (Z,Z^{\prime },q_{n-1})=\text{ const. }$$

Таким образом, ири помощи этих операций разыскание полного репения ганного уравнения в частных производных доведено до того момента, когда остается только вышолнить квадратуру и получить
$$V=\int (p_{1}d{q}_1+p_{2}d{q}_2+\dots +p_{n}d{q}_n).$$

Если каждую из рассмотренных систем свести к одному обыкновенному дифференциальому уравнению выспего порядка, то придется разыскивать по одному интегралу:
тля одного дифференциального уравнения 2 ( $n-1$ )-го шорядка,
\» двух дифференциальных уравнений $2(n-2)$-го порядка,
$\text{»}i$ дифференциальных уравнений $2(n-i)$-го порядка,
$n$ n $n-1$ дифференциальных уравнений 2-го горядка.

Но только в самом неблагоприятном случае все дифференциальные уравнения действительно достигают указанного здесь порядка. Вообще же, в кажддом данном классе только оцно уравнение достигает этого порядка, цорядки же пругих уравнений более или менее спижены.