Главная > ЛЕКЦИИ ПО ДИНАМИКЕ (К. ЯКОБИ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Весною 1843 г. тяжелая болезнь помешала Якоби зақончить его лекцин по динамике. Но расположение этих лекций ясно показывает, что в конце их он хотел изложить свой метод интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка, взложенный в статьө, полностью обработанной в 1838r. и найденной среди оставпихся после него бумаг. Статью эту я опубликовал в 60 -м томе Математического журнала. Положив в основу эту статью, я попробовал здесь восполнить в духө Якоби тот пробел, который остался в конде его лекций.
Клеби

ИНТЕГРИРОВ АНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ІІОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ІОРЯДКА

Интегрирование уравнения в частных проиввопных f=h или H=h. в тридать второй лекции (стр. 223) было приведено к репению снетемн совместных уравнений
(H1,Hk)=0

Если фунции H огределены, из этих уравневий, то уравнения
H=h,H1=h1,Hn1=hn1

дают такие значения для p, для которых выражение
dV=p1dq1+p2dq2++pndqn

буддет полным дифференциалом. Но вместо того чтобы произвести совместное интегрирование системы (1) при помоци принципов, изложенных в триццать четвертой лекции, можно поставить себе задачу нешосредственно найти выражения, которые принимают p1,p2,pn, вследствие уравнений (2). Іредставим себе, как это изложено в тридцать первой лекции (стр. 213), p1 выраженным в функции величин q и p2,p3,pn, далее p2 определенным в функции величин q и p3,p4,pn и т. д. Если найдены p1,p2,pi, то раныпе, чем приступить к разысканию pi+1, их можно выразить через pi+1,pi+2,pn и через q. Те i уравнений, когорым тогда должна одновременно удовлетворять функция pi+1, найдем из уравнения (7) тридцать первой лекции (стр. 213), если в нем заменим i последовательно числами 1,2,, а вместо i подставим i+1. И так как тогда pi вависит только от p+1,pi+2,pn, а pi+1

только от pi+2,pi+3,pn, то указанное уравнение приводит к следующей системе:
pi+1q1p1qi+1+pi+1pi+2p1qi+2+pi+1pi+3p1qi+3++pi+1pn××p1qnp1pi+1pi+1qi+1p1pi+2pi+1qi+2p1pi+3pi+1qi+3p1pnpi+1qn=0pi+1q2p2qi+1+pi+1pi+2p2qi+2+pi+1pi+3p2qi+3+++pi+1pnp2qnp2pi+1pi+1qi+1p2pi+2pi+1qi+2p2pi+3××pi+1qi+3p2pnpi+1qn=0pi+1qipiqi+1+pi+1pi+2piqi+2+pi+1pi+3piqi+3+++pi+1pnpiqnpipi+1pi+1qi+1pipi+2pi+1qi+2pipi+3××pi+1qi+3pipnpi+1qn=0.

Мы можем еще преобразовать эту систему, для чего, вместо того, чобы расскатривать pi+1 как функцио величин pi+2,pi+3,pn,q1, q3,qn, вводим уравнение
t= const, 

связывающее pi+1 п эти величины. Т’ода будем иметь қа h>i+1 :
fpi+1pi+1ph+fph=0

и дая всякого вначения h :
fpi+1pi+1qh+fqh=0.

Таким обравом, если уравнения (3) умножить соответственно на fpi+1, то они примур следующую форму:
fq1+p1qi+1fpi+1+p1qi+2fpi+2++p1qnfpnp1pi+1fqi+1p1pi+2fqi+2p1pnfqn=0,fq2+p2qi+1fpi+1+p2qi+2fpi+2++p2qnfpnp2qi+1fqi+1p2pi+2fqi+2p2pnfqn=0,fqi+p1pi+1fpi+1+p1qi+2fpi+2++p1qnfpnpipi+1fqi+1pipi+2fqi+2pipnfqn=0.

Совместное интегрирование этой системы опирается на теоремы, данные в конце тридцать первой лекции и в тридцать четвертой левции. Пусть p\%  есь одна из величин p1,p2,pn и пусть
φxpx=0

есть уравнение, при номощи которого px выражается через pi+1,pi+2,. pn,q1,q2,qn, тогда
(φxpx)pi+h=φxpi+h=pxpi+h,(φxpx)qh=φxqh=pxqh;

өсли же h<i+1, то мы имеем
(φxpx)ph=0,(φxpx)px=1.

Поэтому уравнения (4) при помощи обозначения ( φ,ψ ) могут быть написаны тақ:
(f,φ1p1)=0,(f,φ2p2)=0,(f,φ1p1)=0.

Если мы теперь обравуем выражение ( φxpx,φλpλ ), где % н обовначают какие-нибудь два из чисел 1,2,. , то получим:
(φxpx,φλpλ)=0.

В самом деле, как ?xpx, так и φλpλ принадлежат системе уравнений, служащих для определения p, а потому, на основании теоремы, панной в конце тридцать первой лекции, вышеприведенное выражение должно обращаться в нуль. Далее в тридцать четвертой лекцин было показано, что если (φ,ψ)=0, то ив одного репения F уравнения
(f,φ)=0

можно вывести дальнейшие решения:
F=(F,ψ),F=(F,ψ) и т. д. 

Если мы применим эту теорему к каким-нибудь двум уравнения
(f,φxpx)=0,(f,φλpλ)=0

системы (5); то увидим, что из какой-либо функции F, удовлетворяющей уравнению
(F,φxpx)=0,

можно получигь ряд новых репений этого же уравнения, а именно тавне:
F=(F,φ2pλ)F=(F,φλp2) и т. д. 

Наконец, отсюда следует теорема: Если F есть совместное решение уравнений
(f,φ1p1)=0,(f,φ2p2)=0,(f,φh1pn1)=0,

мо выражения
H=(F,φhph),F=(F,φhph),

макже оудут совместными решениями тех же уравнений.
Iредноложим тешерь, что нами найдено одно общее решение F первых h1 уравнениї (5) и ищется репение, которое удовлетворяет также h-му из этих уравнений. Тогда встает вопрос, существует ли такая функция Φ, которая удовлетворяет последнему уравнению и является функцией только от F, от получендых из F рещений F,F,F(μ1) и от величин qh,qh+1,qi, причем эти последние величины, очевидно, удовлетворяют h1 первым уравнениям (5) [или (4)]. Число μ ограничено тем, что функция F(μ) цолжна выражаться через предыдущие функции F,F,F(μ1) н через qh,qh+1,qi, так чго
I(μ)=II(F,F,F(μi),qh,qh+1,qi).

Но h1 цруг от друга независимых линейных уравнений в частных цроизводных с 2ni переменными q1,q2,qn,pi+1,pn вообще допускают только
2ni(h1)

общих решений; поэтому число аргуменгов функции II не может превышать этого чнсла, т. е.
u+i(h1)2ni(h1)

ห.н
μ2(ni)

Если мы теперь будем рассматривать некоторое решение Φ уравнення
(Φ,φhph)=0,
как функцию аргументов, входящих в функцию II, то получим
0=(Φ,φhph)=ΦF(F,φhph)+ΦF,(F,φhph)+++ΦF(μ1)(F(μ1),φhph)+Φqh(qh,φhph)++Φqh+1(qh+1,φhph)++Φqi(qi,φhph).

Тав кав h-ое уравнение системы (4) нли (5) содержит только производные, взятые по qh, но не по qh+1,qh+2,qi, то коэффициенты
(qh+1,φhph),(qh+2,φhph),(qi,φhph)

обращаются в вуль и, кроме того, мы находим:
(qh,φhph)=1

Если мы теперь примем во внимание закон образования функций F, то увидим, что уравнение (6) или (7) перейдет в следующее:
Φqk+FΦF+KΦFu++ΠΦF(μ1)=0.

Вид этого уравнения свидетельсвует о том, что указанным способом можно опрелелит функцию Ф; в самом деле, коэффициенгы этого уравпения содержат только те переменные, от которых но предположению завиеит функция Φ.

Для того чтобы получить решение уравнения (8), требуется найти только один интеграл системы дифференциальных уравнений или, что равносильно этому, первый интеграл дифференциального уравнения ц-го порядка
dμFdqhμ=Π

где в функцию π надо поставить вместо величин F,F,F(μ1) величины
Fγqh,d2Fqh2,dμ1Fdqhμ1.

Әтот результат можно представить в виде следующей теоремы: Если известно совместное решение, общее для первых h1 уравлений системы (4) или (5), то для разыскания решения, удовлетворяющего такж: u h-му уравнению, требуется только знание одного первого интеграла некоторого дифференииального уравнения порядка не выше 2 (n-i).го.

Чтобы теперь найти решение, общее для всей системы (5), надо указанную операцию повторить i раз подряд. Сначала разыскиваем решение F первого уравнения (5) или интеграл системы 2 ( n1 ) дифференциальных уравнений
dpi+1dq1=p1qi+1,dpi+2dq1=p1qi+2,dpndq1=dp1dqn,

dqi+1dq1=p1pi+1,dqi+2dq1=p1pi+2,dqndq1=p1pn.

Затем выводим отсюда другие решения того же уравнения, а именно:
F=(F,φ2p2),F=(F,φ2p2),F(μ)=II(F,F,F(μ1),q2,q3,qi).

Всякиӥ первый интеграл уравнения
dμFdq2μ=Π(F,dFdq2,d(μ1)Fdq2(μ1),q2,q3,qi),

еодержащий произвольную постоянную, дает решенне, удовлетворяющее -боия первым уравнениям (5). Пусть Ф будет это репение; образуем функции Φ=(Φ,φ3p3),Φ=(Φ,φ3p8),Φ(v)=II(Φ,Φ,Φ(v1),qb,q4,qt).

Каждый первый интеграл дифференциального уравнения
dvΦdq3v=Π(Φ,dΦdq3,d2Φdq32,d1Φdq3v1,q3,q4,qi),

содержащий произвольную постоянную, дает функцию, удовлетворяющую трен первым уравнениям (5), и т. д.

Итак, разыскание решения общего для всей системы (5) или (4) требует знания одного первого интеграла важдого ив i дифферспциальных уравнений, из которых первое 2(ni)-го порядка, а остальные могут быт, также и нившего порядка.

Весь процесс интегрирования требует, таким образом, прежде всего нахождения величины p1 из данного уравнения в частных цроизводных. Кағ только это сделано, то разыскиваем, во-первых, интеграл системы 2(n1) днфференциальных уравнений:
dp2dq1=p1q2,dp3dq1=p1q3,dpndq1=p1qndq2dq1=p1p2,dq3dq1=p1p3,dqndq1=p1pn.

Ив найденного интегра́ла определяем p2 как функцию q и следующих p, п, вводя эту функцию в выражение для p1, представляем p1 как функцию этих же величин.

Загем, во-вторых, ищем интеграл сиетемы 2(n2) дифференциальних уравнений:
dp3dq1=p1q3,dp4dq1=p1q4,dpndq1=p1qn,dq3dq1=p1p3,dq4dq1=p1p4,dqndq1=p1pn,

уе производные от p1 взяты уже в новом, тодько что угазанном, смнсле. Iуусть F= const есть интеграл этой системы. Образуем функцин

I=Fq2+p2q3Fp3+p2q4Fp4++p2qnFpnp2p3Fq3p2p4Fq4p2pnFqn,I=Fq2+p2q3Fp3+p2q4Fp4++p2qnFpnp2p3Fq3p2p4Fq4p2pnFqn и г. д., 

цо тех пор, пока не получим такую функцию F(μ) (где μ2(n2) ), когорая может быть представлена как функция от q2,F,F,F(μ1). Feдв эта функция будет
F(μ)=Π(F,Fu,F(μ1),q2),

то мы должны далее разыскать первый интеграл дифференциального уравяения е-го порядка
dμFdq2μ=II(F,dFdq2,d2Fdq22,dμ1Fdq2μ1,q2)

тот интеграл имеет внд:
Φ(F,dFdq2,d2Fdq22,dμ1Fdg2μ1,q2)= const. 

Іосле этого образуем уравнение
Φ(F,F,I,F(μ1),q2)= const. 

Это уравнение служит для определения p3. Выразив p3 через p1,p5,pn н q и при посредстве полученного выражения, представив также p1 в p2 как функции этих же аргументов, мы разыскиваем, в-третьих, ннтеграл ьенетемы обыкновенных дифференциальных уравнений:
dp4dq1=p1q4,dp5dq1=p1q5,dpndq1=p1qn,dq4dq1=p1p4,dq5dq1=p1p5,dqndq1=p1pn.
1усть этот интеграл будет Ψ= const, тогда мы снова обравуех функцн
Ψ=Ψq2+p2q4Ψp4+p2q5Ψp5++p2qnΨpnp2p4Ψq4p2p5Ψq5p2pnΨqn,Ψ=Ψq2+p2q4Ψp4+p2q5Ψp5++p2qnΨpnp2p4Ψq4p2p5Ψq5p2pnΨqn н т. д., 

пока не придем к функции
Ψ(u)=II(Ψ,Ψ,Ψ(v1),q2,q3),

где v2(n3). Далее разыскиваем шервый ннтеграл дифференцнального уравнення u-го порядка
duΨdq2u=II(Ψ,dΨdq2,d2Ψdq22,dγ1Ψdq2γ1,q2,q3),

он имеет вид
X(Ψ,dΨdq2,d2Ψdq22,du1Ψdq2γ1,q2,q3)= const. 

Носле этого из фунцции
X(Ψ,Ψ,Ψ,Ψ(y1),q2,q3)

юбразуем следующие функции
X=Xq3+p3q4dXp4+p3q5Xp5++p3qnXpnp3p4Xq4p3p5Xq5p3pnXqn,X=Xq3+p3q4Xp4+p3q5Xp5++p3qnXpnp3p4Xq4p3p5Xq5p3pnXqn п т. п. 

до тех пор, пока не придем ь функцни
X(p)=II(X,X,X(ξ1),q3),
(rде η2(n3) ). Іосле этого равыскиваем первый интеграл дифференциального уравнения о-го порядка:
dpXdq8ρ=Π(X,dXdq3,dp1Xdq3p1,q3);

он имеет вит:
Q(X,dXdqs,dp1λdqsp1,q3)= const. 

Уравнение
Q(X,X,X(01),q3)= const. 

послужит для того, чтобы выразить p4 через p5,p6, . pn и затем цредставить p1,p2,p3 также как функции этих аргументов.

Прододжая этот процесс далее, мы приходим наконец к тому, что p1,p2,pn1 выразятся как функцин от pn и от величин q. После этого мы должны будем выразить последнюю велнчнну pn через одни только q.

Iля этого сначала разыскиваем интеграл Ξ системы цифференциальных уравнений
dpndq1=p1qn,dqndq1=p1pn.

Носле эroго обравуем функции
Ξ=Ξq2+p2qnΞpnp2pnΞqn,Ξ=Ξq2+p2qnΞpnp2ptΞqn;

ив этих функций, если не первая, то, во всяком случае, вторая выразятея через Ξ или соответственно через Ξ н Ξ и через величины q2,q3,qn1. Затен, в случае, когда
Ξ=II(Ξ,q2,q3,qn1),

мы интегрируем уравненне
dΞdq2=II(Ξ,q2,q3,qn1),

в случае же, когда
Ξ=Π(Ξ,Ξ,q2,q3,qn1),

ннтегрируем уравнение
d2Ξdq22=II(Ξ,dΞdq2,η2,q3,qn,1).

В щервом из :тих случаев приходим в функцин
Y=Y(Ξ,q2,q3,qn1),

во втором случе, заменяя цроивводную от Ξ снова через Ξ, приходим к функции
Y=Y(Ξ,Ξ,q2,q3,qn1)

Далее, из функции Y образуем функции
Y=Yq3+p3qnYpnp3pnYqn,Y=Yq3+p3qnYpnp3pnYqn

и т. д. Іродояжая этот процесс, приходим наконец к функции % и которой выводим функции
Z=Zqn1+pn1qnηnpn1pnZqnZ=Zqn1+pn1qnZpnpn1pnZqn.

юли уже Z являетея функцией II от Z и qn1, то мы интегрируем уравнение
dZdqn1=11(Z,qn1),

и найденный интеграл дает последнее уравненне, посредством которого pn выражается через q. Но, если только
Z=II(Z,Z,qn1),

то мы должны найти гервый ннтеграл дифференциального уравнения второго шорядка
d2Zdqn12=II(Z,dZdqn1,qn1)

Еели ттот интеграл ииеет вид
θ(Z,dZdqn1,qn1)=const,

то для ошределения pn служит уравнение
θ(Z,Z,qn1)= const. 

Таким образом, ири помощи этих операций разыскание полного репения ганного уравнения в частных производных доведено до того момента, когда остается только вышолнить квадратуру и получить
V=(p1dq1+p2dq2++pndqn).

Если каждую из рассмотренных систем свести к одному обыкновенному дифференциальому уравнению выспего порядка, то придется разыскивать по одному интегралу:
тля одного дифференциального уравнения 2 ( n1 )-го шорядка,
\» двух дифференциальных уравнений 2(n2)-го порядка,
i дифференциальных уравнений 2(ni)-го порядка,
n n n1 дифференциальных уравнений 2-го горядка.

Но только в самом неблагоприятном случае все дифференциальные уравнения действительно достигают указанного здесь порядка. Вообще же, в кажддом данном классе только оцно уравнение достигает этого порядка, цорядки же пругих уравнений более или менее спижены.

1
Оглавление
email@scask.ru