Гипотеза относительно вариаций, совместная во всех обстоятельствах с условными уравнениями, заключается в том, что для всех значений $i$
\[
\delta x_{i}=\frac{d x_{i}}{d t} d t, \quad \delta y_{i}=\frac{d y_{i}}{d t} d t, \quad \delta z_{i}=\frac{d z_{i}}{d t} d t .
\]

Если мы введем эти значения вариаций в символическое уравнение (2) второй лекции, которое имеет место в случае существования силовой функции, то $\delta U$ перейдет в $d U$, и мы получим после деления на $d t$ :
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \frac{d x_{i}}{d t}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \frac{d y_{i}}{d t}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \frac{d z_{i}}{d t}\right\}=\frac{d U}{d t} .
\]

Это уравнение можно непосредственно интегрировать; его интегралом служит выражение:
\[
\frac{1}{2} \sum m_{i}\left\{\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}=U+h,
\]

гие $h$ — произвольная постоянная интегрирования. Еели мы обовначим элемент пути, проходимый массою $m_{i}$ за время $d t$ через $d s_{i}$, а ее скорость через $v_{i}$, то будем пметь:
\[
\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d t}\right)=\left(\frac{d s_{i}}{d t}\right)^{2}=v_{t}^{2}
\]

и предыдущее уравнение примет вид:
\[
\frac{1}{2} \sum m_{i} v_{i}^{2}=U+h .
\]

Ото теорема живой силы. јЖивой силой точи называетея квадрат ее скорости, умноженный на ее массу; живая сила системы равна сумме живых сил отдельных материальных точек. Шоэтому можно уравнение (1) словами выразить так: половина живой силы системь равна силовой функиии, увеличенной на некоторую постоянную.

Принцип сохранения живой силы, каљ показывает вывод, не зависит от уеловных уравнений и в этом, главным образом, и состоит его значение. Он имеет место, когда существует силовая фунция; распирение случаев, в которых может быть введена эта фуниция, должно было вести за собой также расностранение этого принциа. Поэтому, согласно нашему прежнему замечанию, именно Данипл Бернулли поднял этот принцип до его теперешчего общего значения, в то время каљ до него этот принцип знали только для притяжений к нешодвижным центрам.

Вычитанием двух уравнений (1), имеющих место для двух различных моментов времени, можно исключить постоянную $h$ и получить теорему: ${ }_{n}$ Eсли система передвигается с одного места ка другое, по полуразность между живой силой системы для начала и для кониа равна разности между значениями силовой функии для тех же моментов\». Такнм образом, изменение живой силы зависит только от начального и конечного вначения силовой функции, промежуточные же ее состояния не оказывают на него викакого влияния. Чтобы это сделать более наглядны, шредположим, что точка двигаетея по произвольной привой от данной начальной точки к данной конечной точке; если теперь начальная скорость дана, то и конечная скорость будет одна и та же, какова бы ни была кривая, их соединяюцая. Скорость прп этод, конечно, должна быть взята по направдению гасательной в сторону действительно происходящего движения. Цри этом в расчет не принимается та часть скорости, которая уничтожаетея сопротивлением кривой, когда первоначально сообщенный точке толчок действует не по направлению касательной к кривой. Эта независимость от формы пробегаемого пути имеет место также и для систеиы. Как следствие, отсюда получается теорема: „Если движение системы тапово, что она может вернуться в первоначальное положение, то при возврацении жпвая сила также будет прељжей\»; при этом предшолагается, что принцип живой силы вообще имеет место. В названип принципа слово \»сохранение\» относитея как раз в этой незавнсимости от формы ироходимого пути или, что то же, от условных уравнений (так как иии опредедяетея форма проходимого пути).

Происхождение выражения „жиая сила“ объясняется тем вначепием, воторое этот принци имеет в мапиноведении, основой которого он стал со времени Карно. В этой дисципине установлено, то половина живой силы, т. е. $\frac{1}{2} \sum m_{\imath} v_{\imath}^{2}$ равна работе мапины или, как выражаютея в этих практических вещах, $\frac{1}{2} \sum m_{i} v_{i}^{2}$ есть то, что оплачивается в машине. Дело обстопт так. В машиноведөнии принимают как принци, поскольку ве беретея в расчет трение, что работа требуется тодько для передвижения массы в пацравлении действующей на нее силы (притом в сторону обратную ее действию), в то время как движение в направлении, перпендикулярном этому, пропсходит без работы. Далее предполагают что работа машины измерлется произведеншем движущей силы на путь который пройден приводимой ею в движение нассой.

Горизонтальное передвижение тяжести, таким образом, не рассиатривается как работа, и тодьюо ее цоднятие будет работой, измеряющейся произведением поднятого груза на ту высоту, на которую он поднят. Это та работа, которая оплачиваетея, нәпример, при забивке свай.

В системе матерпальны точев каждая из них есть точка ириложения действующей на нее силы. В то время как при движении системы эти топи приложения смещаютя, действующие на них силы также сиещаются. Но смещение точек приложения происходит вообще не в направлении действующих на них сил, а под некоторым к ним углом; поэтому, чтобы понучить работу системы, надо силу множить не на пройденный путь, а на проекцию пройденного, пути на направление силы.
На точку $m_{i}$ дейетвуют сил:
\[
m_{i} \frac{d^{2} x_{t}}{d t^{2}}, \quad m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}, \quad m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}},
\]

и притом они действуют параллельно координатным осям. Смещение $m_{i}$ за элемент времени $d t$ есть $d s_{i}$, проекции его на координатные оси будут соответетвенно $d x_{i}, d y_{i}, d z_{i}$; поэтом работа, ватраченная на продвижение точки $m_{i}$ за элемент времени $d t$, равна:
\[
m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} d x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} d y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} d z_{i}\right\}
\]

При движении всей системы работа, проиъеденная за элемент времени $d t$, будет:
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} d x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d l^{2}} d y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} d z_{i}\right\}=\frac{1}{2} d\left(\sum m_{i} v_{i}^{2}\right),
\]

откуда получаем для работы за время от $t_{0}$ до $t_{1}$ выражение:
\[
\frac{1}{2}\left\{\sum m_{i} v_{\left.i=t_{1}\right)}^{2}-\sum m_{i} v_{\left.i t=t_{0}\right)}^{2}\right\} .
\]

Твким обравом, полуравность начального и конечного значений суммы $\sum m_{i} v_{i}^{2}$ есть мера работы системы. Это есть истинное основание того обстоятельства, что Лейбниц ввел для этой суммы название \»живая сңла\», 0 происхождепии которого было много споров.

В случае, когда силовая функция есть однородная функция и мы имеем дело со свободной системой, можно теореме живых сил, заключающейся в уравнении (1), придать очень интересную форму. Пусть $U$-однородная фушкция $k$-го измерения; тогда, как известно,
\[
\sum\left(x_{i} \frac{\partial U}{\partial x_{i}}+y_{i} \frac{\partial U}{\partial y_{i}}+z_{i} \frac{\partial U}{\partial z_{i}}\right)=k U .
\]

Если мы пмееи дело со свободной системой, то можем пожожить
\[
\delta x_{i}=x_{i} \omega, \quad \delta y_{i}=y_{i} \omega, \quad \delta z_{i}=z_{i} \omega,
\]

где а обозначает бесконечно малую величину и тогда, принимая во внимание уравнение, вытекающее из однородности $U$, получаем:
\[
\delta U=k U \cdot \omega .
\]

Поэтому наме сиволическое уравнение [уравнение (2) второй лекции] будет:
\[
\sum m_{i}\left(x_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}+y_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}+z_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}\right)=k U,
\]

где общий множитель а отброшен. Если ны тешерь прибавим сюда ураввение (1), умпокенное на 2, то получим:
\[
\begin{aligned}
\sum m_{i}\left\{x_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}+\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2}\right. & \left.+y_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}+\left(\frac{d y_{i}}{d t}\right)^{2}+z_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}+\left(\frac{d z_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}= \\
& =(k+2) U+2 h,
\end{aligned}
\]

ияи
\[
\sum m_{i} \frac{d}{d t}\left(x_{i} \frac{d x_{i}}{d t}+y_{i} \frac{d y_{i}}{d t}+z_{i} \frac{d z_{i}}{d t}\right)=(k+2) U+2 h,
\]
и.ги еще:
\[
\frac{1}{2} \sum m_{i} \frac{d^{2}}{d t^{2}}\left(x_{i}{ }^{2}+y_{i}{ }^{2}+z_{i}{ }^{2}\right)=(k+2) U+2 h,
\]

или, ес.и мы ноложим:
\[
x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2}=r_{i}^{2}
\]

п умножим на 2:
\[
\frac{d^{2}\left(\sum m_{i} r_{i}^{8}\right)}{d t^{2}}=(2 k+4) U+4 h .
\]

Выражение $\sum m_{1} r_{l}^{2}$ может быть замечательным образом преобравовано, именно так, что будут входить уже не расстояния всех точек от начала координат, но расстояния точек друг от друга и расстояние центра тяжести от начала координат. Іреобразования такого рода являютея излюбленными формулами Лагранжа. То, о котором идет речь, получается следующим образом.
Легко видеть, что
\[
\left(\sum m_{i}\right)\left(\sum m_{i} x_{i}^{2}\right)-\left(\sum m_{i} x_{i}\right)^{2}=\sum m_{i} m_{i^{\prime}}\left(x_{i}^{2}+x_{i^{\prime}}{ }^{2}-2 x_{i} x_{i^{\prime}}\right)
\]

гле сумма с правой стороны распространяется толко на различные значения $i$ п $i^{\prime}$, причем каждая их комбинация принимается в расчет тодюо один раз. Подобные же уравнення имеются дия $y$ и $z$ сложив әти три уравнения по:учим:
\[
\begin{array}{c}
\left(\sum m_{i}\right)\left(\sum m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)\right)-\left(\sum m_{i} x_{i}\right)^{2}-\left(\sum m_{i} y_{i}\right)^{2}-\left(\sum m_{i} z_{i}\right)^{2}= \\
=\sum m_{i} m_{i}^{\prime}\left\{\left(x_{i}-x_{i^{\prime}}\right)^{2}+\left(y_{i}-y_{i^{\prime}}\right)^{2}+\left(z_{i}-z_{i^{\prime}}\right)^{2}\right\}
\end{array}
\]

Введем теперь, как это делали раньше, кординаты центра тяжести п положим:
\[
\sum m_{i}=M, \quad \sum m_{i} x_{i}=M A, \quad \sum m_{i} y_{i}=M B, \quad \sum m_{i} z_{i}=M C,
\]

цалее обозначим расстояне точек $m_{i}, m_{i^{\prime}}$ друг от друга через $r_{i, i}$; тогда
\[
M \sum m_{i} r_{i}^{2}-M^{2}\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}\right)=\sum m_{i} m_{i^{\prime}} r^{2}{ }_{i: i^{\prime}} .
\]

В это равенетво надо подетавить, как и раньне:
\[
A=\alpha^{(0)}+\alpha^{\prime} t, \quad B=\beta^{(0)}+\beta^{\prime} t, \quad C=\gamma^{(0)}+\gamma^{\prime} t .
\]

После этой подстапови и двукратного дифференцирования по времени голутпм:
\[
\frac{d^{2}\left(\sum m_{i} r_{i}^{2}\right)}{d t^{2}}=2 M\left(\alpha^{\prime 2}+\beta^{\prime 2}+\gamma^{\prime 2}\right)+\frac{d^{2}\left(\sum m_{i} m_{i} r^{2}{ }_{i, l^{\prime}}\right)}{M d l^{2}}
\]

и внося это в уравнение (2), найдем, что
\[
\frac{d^{2}\left(\sum m_{i} m_{i^{\prime}} \gamma^{2},^{\prime}\right)}{M d t^{2}}=(2 k+4) U+4 h-2 M\left(\alpha^{\prime 2}+\beta^{\prime 2}+\gamma^{\prime 2}\right) .
\]

Наконец, если шоложить
\[
4 h-2 M\left(\alpha^{\prime 2}+\beta^{\prime 2}+\gamma^{\prime 2}\right)=4 h^{\prime},
\]

To

В уравнении (3) величины $r_{i}$ обозначают радиусы векторы материальных точек системы, отсчитанные от начала координат, $\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}$ есть радиус вектор центра тяжести, отсчитанный оттуда же; эти величины поэтому меняются, коль скоро переносится начало координат. Величипы $r_{i, i}$, напротив, независимы от выбора начала координат, так как они обозначают расстояния двух точек системы друг от друга. Возьмем центр тяжести за начало координат; тогда $A^{2}+B^{2}+C^{2}=0 ;$ в то же время обозначим радиусы векторы, отсчитандые от центра тяжести, через $\rho_{i}$; тогда уравнение (3) перейдет в
\[
M \sum m_{i} i^{2}=\sum m_{i} m_{i^{\prime} r^{2}{ }_{i, 1}}
\]

Если из этого уравнения и из уравнения (3) исключить
\[
\sum m_{i} m_{i} r^{2}{ }_{i, i^{\prime}}
\]

то получим:
\[
\sum m_{i} r_{i}^{2}=\sum m_{i} \rho_{i}^{2}+M\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}\right)
\]
т. е. сумма $\sum m_{i} r_{i}^{2}$, взятая цля какой-нибудь точки (если эта точка рассматривается как начало координат), равна такой же сумме для центра тяжести, сложенной с суммой масс всех материальных точек, умноженной на квадрат расстолния взятой точки от центра тяжести. Отеюда видим, что $\sum m_{i} r_{i}^{2}$ будет минимумом для цевтра тяжести и что эта величина растет пропорционально кваграту расстояния от центра тяжести; поэтому $\sum m_{i} r_{i}^{2}$ принимает постоянное значение для всех точек, лежащих на поверхности шара, имеющего своим центром ценгр тяжести. ІІдобная же теорема имеет место для плоскости, где геометрическим местом точек, для которых $\sum m_{i} r_{i}{ }^{2}$ остаетея постоянной, является круг.

Фориулу (6) мы можем доказать тажже непосредственно. В самом деле, перенесем напу прежню, совершенно произвольную систему координат параллельно самой себе, так чтобы новое начало кординат лежало в центре тяжести, и обознәчич в новой коор, қинатной снстеме координэты наших $n$ материальных точек через $\xi_{1}, \eta_{1}, \zeta_{1} ; \xi_{2}, \eta_{2}, \zeta_{2} ; \ldots, \xi_{n}, \eta_{n}, \zeta_{n}$; тогда мы имеен для всякого $i$ :
\[
x_{i}=\xi_{i}+A, \quad y_{i}=\eta_{i}+B, \quad z_{i}=\zeta_{i}+C,
\]

тде $A, B, C$, как коордитаты центра тяжести, определяются уравнениями:
\[
\sum m_{i}=M, \quad \sum m_{i} x_{i}=M A, \quad \sum m_{i} y_{t}=M B, \quad \sum m_{i} s_{i}=M C .
\]

Поэтому
\[
\begin{array}{l}
\sum m_{i} r_{i}^{2}=\sum m_{i} x_{i}^{2}+\sum m_{i} y_{i}^{2}+\sum m_{i} z_{i}^{2}= \\
\quad=\sum m_{i} \xi_{i}^{2}+2 A \sum m_{i} \xi_{i}+A^{2} \sum m_{i}+ \\
\quad+\sum m_{i} \eta_{i}^{2}+2 B \sum m_{i} \eta_{i}+B^{2} \sum m_{i}+ \\
\quad+\sum m_{i} \zeta_{i}^{2}+2 C \sum m_{i} \zeta_{i}+C^{2} \sum m_{i}
\end{array}
\]

но
\[
M A=\sum m_{i} x_{i}=\sum m_{i} \xi_{i}+\sum m_{i} A=\sum m_{i} \xi+M A,
\]

поэтому
\[
\sum m_{i}=0
\]
1 также
\[
\sum m_{i} \eta_{i}=0, \quad \sum m_{i} i_{t}=0 .
\]

Отсюда мы получаем
\[
\sum m_{i} r_{i}^{2}=\sum m_{i}\left(\xi_{i}^{2}+\eta_{i}^{2}+\zeta_{i}^{2}\right)+M\left(A^{2}+B^{2}+C^{z}\right),
\]

мто совпадает с формулой (6).

Подобная же формула получится для дифференцилов. В самом деле из наших предыдущих формул следуют дифференциальне формулы:
\[
\begin{array}{c}
d x_{i}=d \xi_{i}+d A, \quad d y_{i}=d r_{i}+d B, \quad d \xi_{i}=d \xi_{i}+d C, \\
\sum m_{i} d \xi_{i}=0, \quad \sum m_{i} d r_{i}=0, \quad \sum m_{i} d r_{i}=0
\end{array}
\]

и отсюда мы получим
\[
\sum m_{i}\left(d x_{i}{ }^{2}+d y_{i}{ }^{2}+d z_{i}{ }^{2}\right)=\sum m_{1}\left(d \xi_{i}{ }^{2}+d r_{i i}{ }^{2}+d \xi_{i}{ }^{2}\right)+M\left(d A^{2}+d L^{2}+d C^{2}\right)
\]

или, если мы разделим на $d t^{2}$,
\[
\begin{array}{c}
\sum m_{i}\left\{\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}= \\
=\sum m\left\{\left(\frac{d \xi_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \eta_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \zeta_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}+M\left\{\left(\frac{d A}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d B}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d C}{d t}\right)^{2}\right\}
\end{array}
\]
т. е. абсолютная живая сила системы равна относительной живой спле этой системы по отношению к центру тяжести (или, как говорят, вокруг центра тяжести), сложенной с абсолютной живой снлой цента тяжести. Понтому ас́солютная живая сила спстемы всегда болыне, чем ее отьосительная живая спла вокруг центра тяжести.

Относительню живую силу вогруг центра тяжести можно ввести в теорему живых сил. Эта теорема выражалась уравнением:
\[
\frac{1}{2} \sum m_{i}\left\{\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{1}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}=U+h .
\]

Если левую часть этого урах вения преобраговаль гри помощи уравнения (7), то получим:
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \sum m_{i}\left\{\left(\frac{d \xi_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \eta_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \zeta_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}= \\
=U+h-\frac{1}{2} M\left\{\left(\frac{d A}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d B}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d C}{d t}\right)^{2}\right\},
\end{array}
\]

но
\[
h-\frac{1}{2} M\left\{\left(\frac{d A}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d B}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d C}{d t}\right)^{2}\right\}=h-\frac{1}{2} M\left(\alpha^{\prime 2}+\beta^{\prime 2}+\gamma^{\prime 2}\right),
\]

а это выражение мы обозначили ранее через $h^{\prime}$.
ІІоэтому
\[
-\frac{1}{2} \sum m_{i}\left\{\left(\frac{d \xi_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \eta_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \zeta_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}=U+h^{\prime} .
\]

Таким образом, теорема жпвых сил имеет место как для абсолютной, тағ и нля относительной живой силы вокруг центра тяжестп; меняется при этом только постоянная $h$ в $h^{\prime}$. Кроме того не надо забывать, что здесь предполагается возможность применения принципа сохрапения движения цештра тяжести, так как на этом предшоложении поконтея подстановка

вместо
\[
\alpha^{\prime 2}+\beta^{\prime 2}+\gamma^{\prime 2}
\]
\[
\left(\frac{d A}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d B}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d C}{d t}\right)^{2} .
\]

Заметим, между прочим, что результат (8) можно предвидеть. В самом деле, когда имеет место принци сохранения движения центра тяжести, тогда $U$ и условные уравнения зависят только от разностей координат; такия обравом эти выражения остаются без изменения, если подотавить $\xi_{i}, \eta_{l}, \zeta_{1}$ вместо
\[
x_{i}, y_{i}, z_{i},
\]

где
\[
x_{i}=\xi_{i}+A, \quad y_{i}=\eta_{i}+B, \quad z_{i}=\zeta_{i}+C .
\]

Далее, мы имеем
\[
\frac{d^{2} A}{d t^{2}}=0, \quad \frac{d^{2} B}{d t^{2}}=0, \quad \frac{d^{2} C}{d t^{2}}=0,
\]

поэтому
\[
\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=\frac{d^{2} \xi_{i}}{d t^{2}}, \quad \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=\frac{d^{2} \eta_{i}}{d t^{2}}, \quad \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=\frac{d^{2} \zeta_{i}}{d t^{2}} .
\]

Таким образом символическое уравнение:
\[
\sum m_{i}\left(\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{i}\right)=\delta U,
\]

и условные уравнения имеют место п тогда, когда вместо $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ подетавлены величины $\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}$, т. е. эти уравнения годятся как для абсолютного, так и для относительного движения вокруг центра тяжести. То же должно быть с вытекающим отсюда следствием, 一 теоремой живой силы, причем постоянная интегрирования может, конечно, меняться, что и на самом деле имеет место.

Из вышеприведенного рассуждения видно, что в случае, когда применим принцип сохранения движения центра тяжести, необходимо определить только относительное движение системы вокруг центра тяжести. После этого надо найти движение центра тяжести, и простым сложением этих двух движений получится абсолютное движение системы.

Солнечная система дает пример задач такой категории. Но мы знаем только ее относительное движение. У нас отсутствуют данные для определения движения центра тяжести, так как для этого должны были бы сущеетвовать настоящие неподвижные звезды, что очень сомнительно, и эли звезды должны были бы находитьея ог нас так бливко, что их паралыаке по отношению к линии длиною 40 милионов миль (большая оэь земной орбиты) до известной стешени уог бы быть принят в расчет. Аргеландер в новейшее время пытался по идее, данной старшим Гершелем, определить отнопения $\alpha^{\prime}: \beta^{\prime}: \gamma^{\prime}$ [смотри уравнение (3) третьей лекции], т. е. направление движения цевтра тяжести, но это определение покоится на допуцениях.

Возврапаемся тешерь снова к уравнению (4), которое, в случае когда $U$ есть опнородная функция $k$-ого порядаа, содержит прннцип сохранения живов. силы в интересной форме:
\[
\frac{d^{2}\left(\sum m_{i} m_{t^{\prime}} r_{i}^{\prime}, i^{\prime}\right)}{M d t^{2}}=(2 k+4) U+4 h^{\prime} .
\]

Вместо этого, принимая во внимание уравнение (5), можно написать
\[
\frac{d^{2}\left(\sum m_{i} p_{i}^{2}\right)}{d i^{2}}=(2 k+4) U+4 h^{\prime},
\]

где $\rho_{i}$ — векторы, выходлщие из ценгра тяжеэти. Для солнечной системь $k=-1$; так что имеем
\[
\frac{d^{2}\left(\sum m_{t} \rho_{i}^{2}\right)}{d t^{2}}=2 U+4 h^{\prime},
\]

nде
\[
U=\sum \frac{m_{i} m_{i^{\prime}}}{r_{i, x^{\prime}}} .
\]

Относительно этого уравнения можно привести много рассуждений. Если бы притяжение было обратно пропорионально не квадрату ралетояния, но его кубу, то предыдущее уравнение можно было бы интегрироват. Деӥетвительно, в этом случае было бы $k=-2,2 k+4=0$, тақ что, если для сотращения обозначить $\sum m_{i p i}^{2}$ через $R$, то
\[
\frac{d^{2} R}{d t^{2}}=4 h^{\prime} \text {. }
\]

Но тогда солнечная система распалась бы, так как двукралное интегрирование дает
\[
R=2 h^{\prime} t^{2}+h^{\prime \prime} t+h^{\prime \prime \prime},
\]

и с возрастанием времени $R$ возрастал бы бесконечно. А так кан $R=$ $=\sum m_{i} p_{i}^{2}$, то по крайней щере одно тело солнечной системы полжно было бы удаляться на бесконечпое расстояние от ее центра тяжести.

Іодобные же рассуждения ноказывают, что дыя действительного случая солнечной системы, т. е. для притяжения, обрално шропорционального квадрату расстолния, постоянная $h^{\prime}$ должна быть отрицательна, если солнечная система должна быть устойчивой. В самом деле, поскольку в солнечной системе действуют только притягивающие силы, силовая функция $U$ по самой своей природе должна быть положительой величиной. Холя Бессель сделал типотезу, что солщце обладает по отнощению к кометам отталивающей силой, и таким образом объяснил то явление, что хвосты всех комет отклоняютея от солнца, однако в этом еще вовсе нет уверенности п пока при общих рассмотрениях нужно откаватьея от этой отталкивающей силы. Ноэтому $U$ наверное будет положительной величиной. Іредположив это, мы получим, мнтегрируя уравнение
\[
\frac{d^{2} R}{d t^{2}}=2 U+4 h^{\prime}
\]
8 границах от 0 до $t$,
\[
\frac{d R}{d l}-R_{0}{ }^{\prime}=\int_{0}^{t}\left(2 U+4 h^{\prime}\right) d t
\]

дли, если $\alpha$ обозначает наименышее значение $U$ между грапицами 0 и $t$,
\[
\frac{d R}{d t}-R_{0}{ }^{\prime}>\left(2 \alpha+4 h^{\prime}\right) t,
\]

где $R_{0}{ }^{\prime}$ есть значение $\frac{d R}{d t}$ при $t=0$. Второе интегрирование этого уравнения в границах от 0 ,до $t$ дает, если $R_{0}$ есть значение $R$ при $t=0$,
\[
R-R_{0}-R_{0}{ }^{\prime} t>\left(\alpha+2 h^{\prime}\right) t^{2}
\]

пли
\[
R>R_{0}+R_{0}{ }^{\prime} t+\left(\alpha+2 h^{\prime}\right) t^{2} .
\]

Здесь $\alpha$ наверное положительная величина, так как $U$ по своей щрироде положительна. Если бы теперь $2 h^{\prime}$ было положительным, $\alpha+2 h^{\prime}$ тоже было бы положительным и, таким образом, $R$ при возрастании $t$ возрастало бы бесконечно, т. е. солнечная система не была бы устойчива; итак, $2 h^{\prime}$ должно
быть отрицательным. Но его числовое значение не должно превышать напбольшего значения, которое принимает $U$ мекду 0 и $t$, так как иначе все элементы интеграла $2 \int_{0}^{t}\left(U+2 h^{\prime}\right) d t$ были бы отрицательны; поэтому уожно было бы положить
\[
\frac{d R}{d t}-R_{0}{ }^{\prime}<-2 \beta t
\]

где $\beta$ есть положительная величина, именно наименьнее численное значение, жоторое принимает $U+2 h^{\prime}$ между 0 и $t$. Далее, интегрирование дает
\[
R<R_{0}+R_{0}{ }^{\prime} t-\beta t^{2},
\]
т. е. $R$ приблжалось бы при возрастапии $t$ отрицательной бесконечности, что невозможно, так как $R$ обозначает сумму квадратов. Все эти рассуждения можно обобщить в одно утверждение, что в границах интегрирования $U+2 h^{\prime}$, если предноложить устойчивость солнетной системы, не может иринимать только положительные или только отрицательные значения. $U+2 h^{\prime}$ должно, таким образом, все время колебаться от положительных вначений к отрицательным, туда и обратно, т. е. $U$ должно все время колебаться вокруг $-2 h_{1}^{\prime}$. Но эти колебания $U$ должны быть завлючены в определенных конечных границах; в самом деле предноложим, что к некоторому временд $U$ делается бесконечно большим; это может случиться только вследетвие того, что два тела подходят бесконечно близко друг к другу в виду равенства $U=\sum \frac{m_{i} m_{i^{\prime}}}{r_{i, i^{\prime}}}$. Так как тогда их взаимное притяжение сделается бесконечно большим, то они никогда больше не смогут разъединиться; таким обравом, с этого времени остаетея некоторое огределенное $r_{i, i^{\prime}}=0$, вместе с этим $U=\infty$; далее, если мы распространим интегрирование на промежуток, заключающий рассматриваемое время, то $\iint\left(U+2 h^{\prime}\right) d t^{2}$, а вместе с ним п $R$, будут шринимать бесконечно большие значения, каково бы ни было $h^{\prime}$. Таким образом қругие тела солнечной системы должны были бы удалиться в бесконечность, а вместе с этим должно было бы нарушиться равновесие. Итак, $U$ долкно колебаться вокруг- $2 h^{\prime}$ и әти колебания ваключены между определенными конечными границами. Іример такого говедения дают шериодические функции с постоянным членом, равным — $2 h^{\prime}$. Это подтверждается формулами әллиптического движения. В них $U=\frac{1}{r},-2 h^{\prime}=\frac{1}{a}$ (отбрасывая постоянный множитель, общий у этих двух величин), так что $r$ должно колебаться около $a$, что происходит на самом деле; далее, разложение $\frac{1}{r}$ по ередней аномалии должно содержат постоянный член $\frac{1}{a}$, и это также на самом 耳еле имеет место. При взаимном притяжении двух тел отрицательные значения $h^{\prime}$ дают эллиптическое движение, $h^{\prime}=0$ соответетвует параболическому и положительные значения $h^{\prime}$ дают гишерболическое двнженне, что также согласно с нашими результатами. выразить еще так, что $2 U+2 h^{\prime}$ колеблется около $U$; но согласно уравнению (8) $2 U+2 h^{\prime}$ есть живая сила (вокруг центра тяжести); таким образом, значение живой силы колеблетея вокруг значевия силовой функции. Если в системе все расстояния очень велики, то силовая фунщия очень мала, то же будет по теореме живой силы с этой последней. Вместе с этим будут также очень малы скорости, ил чем болыне растут расстоння, тем меньше становятея скорости; на этом основываетея устойчивость.

В этих рассуждения и ич подобных лежит верно знамениты исследований Ланласа, Јаграща и Пуассона относительно устойчивости мировой системы. Имепно, существут теорема: если предпололить элементы орбты какой-нибудь шланеты шеременными и разложить болиую ось шо времени, то оно войдет только как аргумент периодических фунций, никаких членов пропорциональных времени не ноявитея. Эту теорему доказал скалала . Гаплас только для малых экецентриситетов п для первой стешени массы. Лагранж распространил ее *) оним росчерном пера на любые эксцецтриситеты. Наконец, Іуасеон показал, *;) что она применима также тогда, когга шринимется в растет вторая стенень иасен; :та рао́ота одна из прекраснейпих его работ. Если принть в расчет также третью стенень массы, то время войдет уже вне щериодически фунций, но все еще будет па их уиғожаться; если еще припиматея в расчет и четвертая стененљ, то время войдет уже не умноженным на периодические функции. Таким обравом, для третьей стенеии результат дал бы все еще колебания вокруг некоторого среднего зпачения, го для $t=\infty$ бесконечно болыие, а при црнятии в расчет четвертой стешени подобшы колебаний вообще болые пе имеетел. Подобый же ревултат получаем при малых колебания; ири приятин в расчет выспих стененей отклонений приходим к выводу, что малые пиндысы с возрасталиеу $t$ прнводят к все большим колебаниям.

Но все эти результаты, строго говоря, ничего не доказывант. Тействительи, когда препебрегант внсшии степеняи отклонений, то иреднолагают, что время уало́ и отеюда нели выводить ваглючений пля больих зшачениї $t$. Понтому не следовало бы удивлятисл даже тогда, если бы уле дия шервой и второй степени массы время вхопино бы вне периопических фуницй; в саном деле, право разлагать и отбрасывать выспие стенени масеы основано тольк на предположении, тто $t$ не превосходит пзвестой границы. Таким образом мы двнаемся в некотором круге.

Наглядыиї пример этого пает маятвик. Полокение, года тяжелая точка находится вертиальо над топой привеса, дает неустойчивое равновесие маятника. Мы подучаем здесь времл вне сипса и косинуса и заключаем отсюда по праву, что бескошечно малый ингуле дает копечное двнженне; но было бы очень опибочпо из того обстоятельста, что время входит вне шернодически фукций, заключать, что движение маятника не чериодично, так как в этом случае тяженя точа вращаетса нериодиески вокруг своей точки привеса. Также ошибочно было бы из того результата, который получител цри шриятии в расчет высших стененей массы в солнечпй сиетеме. заключить, что оға че уетойчива.
*) Mém. de l’Institut, 1808.
*) Journal de l’école polytechnique, cah. 15.