Оиределители, имеющие форму
\[
\sum+\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \ldots \frac{\partial f_{11}}{\partial x_{i n}},
\]

названы иною функциональнии определителями; Копи, который дал. в Comptes rendus Парижской академии некоторые теоремы относнтельно :тих определителей, назвал их \”fonetions différentielles alternées\”. Эти функциональные определители образуются из $n^{2}$ частных производных $\frac{\partial t_{i}}{\partial x_{k}}$ от и функцнй $f_{1}^{\prime}, f_{2}, \ldots f_{n}$, каждая из которых зависит от $n$ величин $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$.

Д опубликовал в 22-й тетради журнала Крелля статью относительно функциональных ошределителей, в когорой уетановил, что между функциональными определителями в задачах со многими переменными и производныии в задачах с одной переменной суцествует определенная аналогия. Эта аналогия выражается в доказанных там следующих теоремах:
1. Если $f$ есть функция от $\varphi$, а $\varphi$ есть функция от $x$, то $\frac{d f}{d x}=\frac{d f}{d \varphi} \frac{d \varphi}{d x}$. Этому соответствет в случае $n$ переменных теорема: ние – функиит от $x_{1}, \quad x_{2}, \ldots x_{n}$, mo
$\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \ldots \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}=\left(\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial f_{1}}{\partial \varphi_{1}} \frac{\partial f_{2}^{\prime}}{\partial \varphi_{2}} \ldots \frac{\partial f_{n}^{\prime}}{\partial \varphi_{n}}\right)\left(\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x_{2}} \ldots \frac{\partial \varphi_{n}}{\partial x_{n}}\right)$.
2. Это может быть выражено в другой форме так: Если $f$ и $\varphi \cdots$ функцих oT $x$, то
\[
\frac{d f}{d \varphi}=\frac{\frac{d f}{d x}}{\frac{d \varphi}{d x}} .
\]

Аналогнчная теорема для случая и геременных будет: $\operatorname{\text {сли}и} f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n} u$. $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots \varphi_{n}-\phi$ нинин от $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$, mо
\[
\Sigma \pm \frac{\partial f_{1}}{\partial \varphi_{1}} \frac{\partial f_{2}}{\partial \varphi_{2}} \cdots \frac{\partial f_{n}}{\partial \varphi_{n}}=\frac{\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \cdots \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}{\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x_{2}} \cdots \frac{\partial \varphi_{n}}{\partial x_{n}}}
\]

поэтому, если положить $f_{1}^{\prime}=x_{1}, f_{2}=x_{2}, \ldots f_{n}=x_{n}$, то

\[
\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial x_{1}}{\partial \varphi_{1}} \frac{\partial x_{2}}{\partial \varphi_{2}} \cdots \frac{\partial x_{n}}{\partial \varphi_{n}}=\frac{1}{\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial \varphi_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial \varphi_{2}}{\partial x_{2}} \ldots \frac{\partial \varphi_{n}}{\partial x_{n}}}
\]
3. Из уравнения П $(x, y)=0$ получаетея:
\[
\frac{d y}{d x}=-\frac{\frac{\partial \Pi}{\partial x}}{\frac{\partial \Pi}{\partial y}} .
\]

Ћ :тому имеен следующую аналогню: $\Lambda_{3}$ \” уравнений с 2 \” переменным
\[
\begin{array}{l}
\Pi_{1}\left(y_{1}, y_{2}, \ldots y_{n}, x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}\right)=0 \\
\mathrm{II}_{2}\left(y_{1}, y_{2}, \ldots y_{n}, x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}\right)=0 \\
\left.\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot x_{n}\right)=0 \\
\Pi_{n}\left(y_{1}, y_{2}, \ldots x_{2}, \ldots x_{n}\right) \cdot \dot{0}
\end{array}
\]
no.ny\”tares:
\[
(-1)^{n} \boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{2}} \ldots \frac{\partial y_{n}}{\partial x_{n}}=\frac{\boldsymbol{W}+\frac{\partial \mathrm{II}^{2}}{\partial x_{1}} \frac{\partial \mathrm{I}_{2}}{\partial x_{2}} \ldots \frac{\partial \mathrm{I}_{n}}{\partial x_{n}}}{\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial \mathrm{I}_{1}}{\partial y_{1}} \frac{\partial \mathrm{I}_{2}}{\partial y_{2}} \cdots \frac{\partial \mathrm{I}_{n}}{\partial y_{n}}} .
\]
4. Чтобы уравнение $F^{\prime}(x)=0$ нмело два равных корня, необходияо, чтобы и $F^{\prime}(x)=0$. К этому имеет место следующая аналогия: Чмобы эраннения
\[
F_{1}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}\right)=0 ; F_{2}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}\right)=0 ; \ldots F_{n}\left(x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}\right)=0
\]
меменно
\[
\Sigma \pm \frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial F_{2}}{\partial x_{2}} \ldots \frac{\partial F_{n}}{\partial r_{n}}=0 .
\]
г. Ели для всех значеший $x$ производиая $\frac{\partial F}{\partial x}$ равна нулю, то отсюда еледует, что $F=$ const. К этому имеем аналогию: Если для все знаненй $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ uncem neсто равенстео
\[
\sum-\frac{\partial F_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial F_{2}}{\partial r_{2}} \cdots \frac{\partial F_{n}}{\partial x_{n}}=0
\]
II $\left(F_{1}, F_{2}, \ldots F_{n}\right)=0$, в которое переменные $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ sено не входян. В самом деле, в случае $n=1$ это қает $\Pi\left(F^{\prime}\right)=0$, следовательно $L^{F}=$ const, как это и должно быть.
$\mathrm{K}$ этим шримерам уномянутой аналогии ножно присоединить многие другие, которые можно найти частью в укаванной статье, частью в статье \”De binis quibuslibet functionibus homogeneis etc.\”, появивнейся в 12-0м томе кһрнала Крелля.

Исходя из рассотрения функинальых определителей, мы достнгаем того, что можем обосновать теорию мнонтеля системы дифференциальнх уравнений для общего случая $n+1$ переменных иначе, чем это сделано в қвенацатой лекции, а именго тем самым путем, на который мы ветуиии в десятой лекции для случая трех переменных.
Пусть спстена
\[
d x: d x_{1}: d x_{2}: \ldots: d x_{n}=X_{1}: X_{1}: X_{2}: X_{n}
\]

интегрируется уравнениями
\[
f_{1}=\alpha_{1}, \quad f_{2}=a_{2}, \ldots f_{n}=\alpha_{n},
\]

в которых $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}$ обозначают произвольные постоянные. Их непосредственные дифференциалы будут
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial f_{1}}{\partial x} d x+\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} d x_{1}+\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} d x_{2}+\ldots+\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} d x_{n}=0 \\
\frac{\partial f_{2}}{\partial x} d x+\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} d x_{1}+\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} d x_{2}+\cdots+\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}} d x_{n}=0 \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} d r_{n}=0,
\end{array}
\]

причем они должны быть тождественны с данной системой, так как произвольные шостоянные исчезают при дифференцировании. Еели к этия $n$ уравнениям, линейным относнтельно $d x_{1}, d x_{2}, \ldots d x_{n}$, присоединим, кап $n+1$-ое, тождество
\[
\frac{\partial f}{\partial r} d x+\frac{\partial f}{\partial x_{1}} d x_{1}+\frac{\partial f}{\partial x_{2}} d x_{2}+\ldots+\frac{\partial f}{\partial x_{n}} d x_{n}=d f
\]

где $f$ обозначает проиввольную функцию от $x, x_{1}, \ldots x_{n}$, и применим к этим $n+1$ уравнениям формулы, данные в 3 одиннадцатой лекции для решения иинейных уравнений, то шолучим для $d x, d x_{1}, \ldots d x_{n}$ значения:
\[
R d x=A d f ; \quad R d x_{1}=A_{1} d f ; \ldots R d x_{n}=A_{n} d f,
\]
rде
\[
\begin{array}{c}
R=\sum \pm \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} \ldots \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}=A \frac{\partial f}{\partial x}+A_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}+\ldots+A_{n} \frac{\partial f}{\partial x_{n}} \\
A=\frac{\partial R}{\partial \frac{\partial f}{\partial x}} ; \quad A_{1}=\frac{\partial R}{\partial \frac{\partial f}{\partial x_{1}}} ; \ldots A_{n}=\frac{\partial R}{\partial-\frac{\partial f}{\partial x_{n}}} .
\end{array}
\]

Хотя это огределение величин $A, A_{1}, \ldots A_{n}$ из разложения $R$ но частным производным функции $f$ как раз и есть то, которым мы будем пользоваться в дальнеӥшем, но интересно тажже вывести величины $\Lambda$ одну из другой, не прибегая ж помощи $R,-\mathrm{в}$ особенности для того, чтобы проследить аналогию с данным в десятой лекции случаем трех переменных. Iрежде всего
\[
A=\sum \pm \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \ldots \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} .
\]

Из $A$ получаем, на основапии ㄹ 2 однннадцатой лекции, $A_{1}$, для чего переставляем между собой дифференцирования но $x$ и но $x_{1}$ и меняем знак. это правило потучения $A_{1}$ нз $A$ можно заменить следующим равнозначащим. Телаем циклическую перестановку производных, взятых по всем $n+1$ переменным $r$, а именно: на место производных, взятых но $x, x_{1}, x_{2} \ldots x_{n-1}, x_{n}$, ставич соответственно производные по $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots x_{n}, x$ и, проме того, меняем знак пли оставляем его, смотря по тому, будет ли число переменных, т. е. $n+1$, четным или нечетным; тогда $A$ превращается в $A_{1}$. Посдеднее правило имеет то преимущество, что простым повторением той же операции $A_{1}$ превращается в $A_{2}, A_{2}$ в $A_{3}$ и т. д.
Исключив из полученных для $d x, d x_{1}, \ldots d_{x_{~}}$ значений $d f$, инеем:
\[
d x: d x_{1}: \ldots: d x_{n}=A: A_{1}: \ldots: A_{n},
\]

тто должно согласоваться с данной системой
\[
d x: d x_{1}: \ldots: d x^{t}=\mathrm{X}: X_{1}: \ldots: X_{n} .
\]

Таким образом должна иметь место пропорция
\[
A: A_{1}: \ldots: A_{n}=X: X_{1}: \ldots: X_{n},
\]
т. е. должен существовать уножитель $M$, обладающий тем свойством, что
\[
M \mathrm{X}=A, \quad M \mathrm{X}_{1}=A_{1}, \ldots M X_{n}=A_{n} .
\]

Теперь дело сводится к тому, чтобы толдество, которому удовлетворяют величины $A$, уже доказанное для $n=2$ в десятой лекции, распространит на общий случай, т. е. догазать, что имеет место уравнение
\[
\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial A_{n}}{\partial x_{n}}=0 .
\]

Ксли принять во внимане закон составления величин $A, A_{1}, \ldots A_{n}$, то легко увидеть, что в левую часть этого уравнения могут входить только шервые и ворые производвые величин $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{\text {* }}^{\prime}$ п притом последние только линейно, т. е. никогда не будет входить проивведения двух производных второго порядка. Lалее, так как в $A$ не входят производные, взятые по $x$, в $A_{1}$ – взятые по $x_{1}, \ldots$, в $A_{n}$ – взятые по $x_{n}$, то в виражение
\[
\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial x}+\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial A_{n}}{\partial x_{n}}
\]

ве входят ироизводные вида $\frac{\partial^{2} f_{8}}{\partial x_{i}^{2}}$, а тольно вида $\frac{\partial^{2} f_{s}}{\partial x_{i} \partial x_{k}}$, где $i$ отлино от $k$. ‘аким образом рассматриваемое выражение $\sum \frac{\partial A_{1}}{\partial x_{i}}$ можно предетавить как сумиу членов вида
\[
F_{i k}^{\prime(s)} \frac{\partial^{2} f_{s}}{\partial x_{i} \partial x_{k}} .
\]
:冫начение $F_{j k}^{(s)}$ вычисляется при помоци формчл
\[
\begin{array}{l}
R=\Sigma+\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} \ldots \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}=A \frac{\partial f}{\partial x}+A_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}+\ldots+A_{n} \frac{\partial f}{\partial x_{n}}, \\
A_{i}=\frac{\partial R}{\partial \frac{\partial f}{\partial x_{i}}}, \quad \Lambda_{k}=\frac{\partial R}{\partial \frac{\partial f}{\partial x_{k}}}, \\
\end{array}
\]

причем для этого надо исследовать только обе производные $\frac{\partial A_{i}}{\partial x_{i}}$ и $\frac{\partial \mathbf{A}_{k}}{\partial x_{k}}$, так как в остальные $\frac{\partial^{2} f_{s}}{\partial x_{i} \partial x_{k}}$ очевидно не входит., Далее, так как величины $A_{i}$ и $A_{k}$ сами представляют определители, то они могут быть выражены так:
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}_{i} & =\frac{\partial A_{i}}{\partial \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{k}}} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{k}}+\frac{\partial A_{i}}{\partial \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{k}}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{k}}+\cdots+\frac{\partial A_{i}}{\partial \frac{\partial f_{s}}{\partial x_{k}}} \frac{\partial f_{s}}{\partial x_{k}}+\ldots+\frac{\partial A_{i}}{\partial \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{k}}} \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{k}} \\
\boldsymbol{A}_{k} & =\frac{\partial A_{k}}{\partial \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{i}}} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{i}}+\frac{\partial A_{k}}{\partial \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{i}}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{i}}+\ldots+\frac{\partial A_{k}}{\partial \frac{\partial f_{s}}{\partial x_{i}}} \frac{\partial f_{s}}{\partial x_{i}}+\ldots+\frac{\partial A_{k}}{\partial \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{i}}} \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{i}} .
\end{aligned}
\]

Отсюда получатся, кап дополнение к рассматриваемому выраженню $\sum \frac{\partial A_{i}}{\partial x_{i}}$, два члена, умноженные на $\frac{\partial^{2} f_{s}}{\partial x_{i} \partial x_{k}}$. Однн из них пронсходит из $\frac{\partial A_{i}}{\partial x_{i}}$ и имеет вид
\[
\frac{\partial \boldsymbol{A}_{i}}{\partial \frac{\partial f_{s}}{\partial x_{k}}} \cdot \frac{\partial^{2} f_{s}}{\partial x_{i} \partial x_{k}}
\]

другой пропсходит из $\frac{\partial \boldsymbol{A}_{k}}{\partial x_{k}}$ п ихеет внд
\[
\frac{\partial A_{k}}{\partial \frac{\partial f_{s}^{\prime}}{\partial x_{i}}} \frac{\partial^{2} f_{s}}{\partial x_{i} \partial x_{i}}
\]

еледовательно будем иметь:
\[
F_{i, k}^{(s)}=\frac{\partial \boldsymbol{A}_{i}}{\partial \frac{\partial f_{s}}{\partial x_{k}}}+\frac{\partial \boldsymbol{A}_{k}}{\partial \frac{\partial f_{s}^{\prime}}{\partial x_{i}}}=\frac{\partial^{2} l}{\partial \frac{\partial f^{\prime}}{\partial x_{i}} \partial \frac{\partial f_{s}}{\partial x_{k}}}+\frac{\partial^{2} T}{\partial \frac{\partial f^{2}}{\partial x_{k}} \partial \frac{\partial f_{s}}{\partial r_{i}}} .
\]

Формула
\[
\frac{\partial^{2} R}{\partial a_{i} \partial b_{k}}=-\frac{\partial^{2} R}{\partial a_{k} \partial b_{i}} \text { или } \quad \frac{\partial^{2} R}{\partial a_{i} \partial b_{k}}+\frac{\partial^{2} R}{\partial a_{k} \partial b_{i}}=0,
\]

содержащаяся в 을 одиннадцатой лекции, дает в рассматриваемом случае:
\[
\frac{\partial^{2} R}{\partial \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \partial \frac{\partial f_{s}}{\partial x_{k}}}+\frac{\partial^{2} R}{\partial \frac{\partial f}{\partial x_{k}} \partial \frac{\partial f_{s}}{\partial x_{i}}}=0,
\]

Tав что
\[
F_{i, k}{ }^{(s)}=0 .
\]

Таким образом в общем случае доказано тождество
\[
\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial A_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial A_{n}}{\partial x_{n}}=0 .
\]

Но мы имели
\[
A=M X ; \quad A_{1}=M X_{1}, \ldots A_{*}=M X_{\eta},
\]

поэтому получится уравнение:
\[
\frac{\partial(M X)}{\partial x}+\frac{\partial\left(M X_{1}\right)}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial\left(M X_{n}\right)}{\partial x_{n}}=0,
\]

воторое предетавляет собою дифференциальное уравнение в частных производных для множителя $M$.