Мы можем теперь дальнейнее исследование для случая $n-1$ шеременных вести точно так же, как это было сделано в десятой лецци для трех переменных. Раскрывая уравнение в частных проияводных для множителя $M$, получаем:
\[
X \frac{\partial M}{\partial x}+X_{1} \frac{\partial M}{\partial x_{1}}+\ldots+X_{n} \frac{\partial M}{\partial x_{n}}+\left\{\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right\} M=0 .
\]

Ксли это дифференциальное уравнение удовлетворяетея другой величитой $\lambda$, то имеем:
\[
X \frac{\partial N}{\partial x}+X_{1} \frac{\partial N}{\partial x_{1}}+\ldots+X_{n} \frac{\partial N}{\partial x_{n}}+\left\{\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial \Lambda_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right\} N=0 .
\]

Умножим второе из этих уравнений на $\frac{1}{M}$, первое-на $\frac{N}{M^{2}}$ и пычтем одно нз другого; тогда нолучим:
\[
X \frac{M \frac{\partial N}{\partial x}-N \frac{\partial M}{\partial x}}{M^{2}}+X_{1} \frac{M \frac{\partial N}{\partial x_{1}}-N \frac{\partial M_{1}}{\partial x_{1}}}{M^{2}}+\ldots+N_{n} \frac{M \frac{\partial N}{\partial x_{n}}-N^{2}}{\partial x_{n}}=0
\]
и.ни
\[
x \frac{\partial\left(\frac{N}{M}\right)}{\partial x}+x_{1} \frac{\partial\left(\frac{N}{M}\right)}{\partial x_{1}}+\ldots+X_{n} \frac{\partial\left(\frac{N}{M}\right)}{\partial x_{n}}=0,
\]
т. е. $\frac{N}{M}$ есть репение уравнения
\[
\mathrm{X} \frac{\partial f}{\partial x}+\mathrm{X}_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}}+\ldots+\mathrm{X}_{n} \frac{\partial f^{\prime}}{\partial x_{n}}=0 .
\]

Ддя полного интегрирования такого уравнения необходнио звание $n$ чруг от друга независимых решений $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}$, т. е. $n$ функций $\ddot{f}_{1}$, $f_{2}, \ldots f_{n}$, Удовлетворяющих уравнениям
\[
\begin{array}{l}
X \frac{\partial f_{1}}{\partial x}+X_{1} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}+\cdots+X_{n} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}=0 \\
X \frac{\partial f_{2}}{\partial x}+X_{1} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}+\cdots+X_{n} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}}=0 \\
\cdot \cdot \frac{\partial f_{n}}{\partial x}+X_{1} \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}}+\cdots+X_{n} \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}=0,
\end{array}
\]

причем нв одна из этих и функций не будет фупкцией от остальных. Если. такне $n$ функций известны, то самое общее репение будет:
\[
F\left(f_{1}, t_{2}, \ldots, f_{n}\right) \text {. }
\]

Это доказываем, умножая вынестояцие н уравневий соответственно па $\frac{\partial F^{\prime}}{\partial f_{1}}$ $\frac{\partial F}{\partial f_{2}}, \ldots \frac{\partial f^{\prime}}{\partial t_{n}}$ и затем складывая их. Что касаетея $u+1$-го репения $f_{n+1}^{\prime}$, независимого ол остальных $n$, то его не существует; действительно, прецноюожим, что такое ренение есть, тогда, согласно только-что прииененному сюосу заключения, следует, что всякая фунция от итих $n+1$ решений
\[
?\left(f_{1}^{*}, f_{2}^{\prime}, \ldots t_{n}^{\prime}, t_{n+1}^{+}\right)
\]

тоже о́удет ренением. Но так как $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}, f_{n+1}$ предшлагаютея взаимно независизыми, то их можно взять за новые геременные вместо $x, x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$, а потому щронввольная функция от $f_{1}, t_{2}^{\prime}, \ldots t_{n}^{\prime}, t_{n+1}^{\prime}$ равнозначаща с произвольной функций от $x, x_{1}, \ldots x_{n}$. Ноэтому рассматриваемому дифференциальному уравненню для $f$ удовлетворяла бы всякая произвольная фунцция от $x, x_{n}, \ldots x_{n}$, что невозможно. Итак могут еуществовать тольно $\»$ пруг ит друга независимих решений $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}$.

Әти $n$ решений уравпений в частных шронзводыш (2) имеют свойство юбращаться в постояные величины вслепствие интегралыи уравнений системы обыкновенных дифферепциальних уравнениї
\[
d x: d x_{1}: \ldots: d x_{n}=\mathrm{X}: \mathrm{X}_{1}: \ldots: \mathrm{X}_{n} .
\]

Цей итительно, в виду того, что эти интегральные уравнения делаю величини $X, X_{1}, \ldots X_{n}$ пропорцинальными дифференциалам $d x, d x_{1}, \ldots d x_{n}$ ножно в уравнении с частными гропзводпнми
\[
X \frac{\partial f_{i}}{\partial x}+X_{1} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{1}}+\ldots+X_{n} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{n}}=0,
\]
пропорциональными им дифференциалами $d x, d x_{1}, \ldots d x_{n}$, и тогда получитек
\[
\frac{\partial f_{i}}{\partial x} d x+\frac{\partial f_{i}}{\partial r_{1}} d e_{1}+\ldots+\frac{\partial f_{i}}{\partial r_{n}} d r_{n}=0
\]

แ.นห
\[
d f_{i}=0
\]

эедовательно
\[
t_{i}=\text { =const. }
\]
цредставляют собою $n$ друг от друга невависиих произвльных постоянних $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}$, нолучим самое общее интегрирование, которое возможно для дифференциалых уравпений (3), п таки образом выражения
\[
f_{1}=\alpha_{1} ; \quad f_{2}=\alpha_{2} ; \ldots t_{i}=\alpha_{i} ; \ldots f_{n}=\alpha_{n}
\]

образуют нолную систему нитегралов этих дифференциальных уравненвй, репенную относнтельпо пропввольных постоянных. Обратно, если полное интегрирование дифференциальны уравнений (3) булет произведено посредстоянныин, т. е. при понощн $n$ уравпений, обладающи свойством, что из них невозможно вывести ревультат иенючения, свободный от всех $n$ но’тоянных, и если решение этих и ураннений относительно постояншы дает дая этих носледних вначення
\[
f_{1}=\alpha_{1} ; \quad f_{2}=\alpha_{2} ; \ldots f_{i}=\alpha_{i} ; \ldots f_{n}=\alpha_{n},
\]
gi:

то, пифференцируя, получия:
\[
\frac{\partial f_{i}}{\partial x} d x+\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{1}} d x_{1}+\ldots+\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{n}} d x_{n}=0 .
\]

Но так как $f_{1}=\alpha_{1}, f_{2}=\alpha_{2}, \ldots f_{n}=\alpha_{n}$ образуют полную скстему интегралов дифференциальных уравнений (3), то дифференцилы $d x, d x_{1}, \ldots d x_{n}$ црочорциональны величивам $X, X_{1}, \ldots X_{n}$, так что
\[
X-\frac{\partial f_{i}}{\partial x}+X_{1} \frac{\partial f_{i}}{\partial x_{1}}+\ldots+X_{n}-\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{n}}=0
\]
т. е. $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}^{\prime}$ являются решениям уравнения (2).

Таким образом совершенно одно и то же, сказать ли: $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}$ представляют собою $n$ друг от друга независимых решений уравнения в частных производных (2), нли скавать: $f_{1}=\alpha_{1}, f_{2}=\alpha_{2}, \ldots f_{n} \leftrightharpoons \alpha_{n}$ образуют полную систему интегралов дифференциальнх уравнений (3).
Палее, мы видели, что
\[
I\left(f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}\right)
\]

есть самое общее решение уравнения (2) и что $\frac{N}{M}$ удовлетворяет этому же уравнению. Отсюда следует, что если $M$ есть некоторое определенное решение уравнения (1) и $N$ — аакое-нибудь другое решение, то $\frac{N}{M}$ должно быть фунццией от $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}$. Это дает:
\[
N=M F\left(f_{1}^{\prime}, f_{2}^{\prime}, \ldots f_{n}^{\prime}\right)
\]
т. е., если $M$ есть олин из множителей, то выражение
\[
M F\left(f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}\right)
\]

есть общая форча, в которой содержатея все множители. Но при посресстве интегральных уравнений системы (3) получим $f_{1}=\alpha_{1}, f_{2}=\alpha_{2}, \ldots f_{n}=\alpha_{n}$; таким образом при иепользовании ннтегральных уравнений этот общий вид отличается от $M$ только постоянным щножителем. Для отличия иы будем обозначать определенное зпачение множителя $M$ через $\boldsymbol{M}_{0}$, общее — терез $M$; далее, через $\frac{1}{\tilde{\omega}}$ обозначим функцю от $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}$, на которую надо уиножить $M$, чтобы получить $M$, так что $M=M_{0} \frac{\mathrm{I}}{\tilde{\omega}}$. Тогда уравнени
\[
M N^{\prime}=A, M X_{1}=A_{1}, \ldots M X_{n}=A_{n},
\]

встречающиеся в конце предыдущей лекцни, можно написать так:
\[
M_{0} X=A \tilde{\omega}, M_{0} X_{1}=A_{1} \tilde{\omega}, \ldots M_{0} X_{n}=A_{n} \tilde{\omega} .
\]

Iри помощи системы дифферевцальных уравнений (3) можно преобразовать найдевное для $M$ уравнение в частных производных (1). Иуенно уравнение
\[
X \frac{\partial M}{\partial x}+X_{1} \frac{\partial M}{\partial x_{1}}+\ldots+X_{n} \frac{\partial M}{\partial x_{n}}+M\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right)=0
\]

или, что то же,
\[
X\left(\frac{\partial M}{\partial x}+\frac{X_{1}}{X} \frac{\partial M}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{X_{n}}{X} \frac{\partial M}{\partial x_{n}}\right)+M\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right)=0
\]

геретодит, если принять во внимание уравпение (3), в

или в
\[
X \frac{d M}{d x}+M\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right)=0
\]
\[
x \frac{d \lg M}{d x}+\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}=0 .
\]

ђо уравнение вполне тождественно с уравнением (1), так кақ для величин $x$, $x_{1}, \ldots x_{n}$ имеют место дифференциальные уравнения (3); посредством (3) можно сделат переход от (1) в (5), тақже кақ и обратный переход.

Из уравнения (б) часто можно ощределить множитель $M$. Если $\frac{\partial X}{\partial x}+$ $+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}=0$, то находим $M=$ const. В других случаях выражение
\[
\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\cdots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right)
\]

может быть преобразовано при помощи дифференциальных уравнений (3) в полную производную по $x$; конечно, зто преобразование часто еще требует очень искусных аналитических приемов. Если таковое возможно, то $M$ получится тақже из уравнения (5).

Если вакин-нибудь путем найдено одно значение $M_{0}$ множителя $M$, то польза, которую можно отсюда извлечь для интегрирования системы (3), заключается в том, что посредством $M_{0}$ можно дать интегрирующий множитель того дифференциального уравнения, которое остается еще проинтегрировать после того, как найдены $n-1$ интегралов. Вследствие первого уравнения (4) имеем
\[
M_{0} X=A \bar{\omega},
\]

где $\tilde{\omega}$ есть функция $n$ решений уравнения в частных производных (2) или, қап догазано, функция $n$ интегралов спстемы (3). Предноложим тегерь, что $n$ — 1 из этих интегралов известны, именно $f_{2}, f_{3}, \ldots f_{n}$, так что остаетея найтн только $f_{1}$; тогда мы вводим вместо $n-1$ независимых церехенных, именно вместо $x_{2}, x_{3}, \ldots x_{n}$, величины $f_{2}, f_{3}, \ldots f_{n}$ и всё выражаем через $x, x_{1}, f_{i}, \ldots, f_{n}^{*}$. Исследуем, какое изменение это вывовет в определителе
\[
A=\sum \pm \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \cdots \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} .
\]

Нагншем его в виде линейной функцип от частных цроивводных функции $f_{1}$ :
\[
A=\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} B_{1}+\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} B_{2}+\ldots+\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}} B_{n} ;
\]

тогда, ва основании основных свойств оиределителей, имеют место уравненин:
\[
\begin{array}{l}
0=\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} B_{1}+\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} B_{2}+\cdots+\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{n}} B_{n} \\
0=\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{1}} B_{1}+\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{2}} B_{2}+\cdots+\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{n}} B_{n} \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} B_{n} .
\end{array}
\]

Представня себе тенерь, тто вместо $x_{2}, x_{3}, \ldots x_{n}$ введены $f_{2}, f_{3}, \ldots f_{n}$, таг что $f_{\mathrm{t}}$ представитея в форме
\[
f_{1}=\Phi\left(x, x_{1}, f_{2}, f_{3}, \ldots f_{n}\right)
\]

и заключин образованные при такой гинотезе пронзводные от $f_{1}$ в скоби: тor,ta
\[
\begin{array}{l}
\partial f_{1}=\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\right)+\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial f_{2}}\right) \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}+\cdots \cdot\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial f_{n}}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}} \\
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}=\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial f_{2}}\right) \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}+\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial f_{3}}\right) \frac{\partial f_{3}}{\partial x_{2}}+\cdots+\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial f_{n}}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{2}} \\
\left.\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{\partial f_{1}}{\partial f_{n}}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}},
\end{array}
\]

а отеюла, привимая во вннмание прежние уравнения, полұчаен
\[
A=\left(\begin{array}{c}
\partial f_{1} \\
\partial x_{1}
\end{array}\right) B_{1}
\]
rige
\[
B_{1}=\sum+\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \frac{\partial f_{3}^{*}}{\partial x_{3}} \ldots \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} .
\]

Если это значение $A$ подставим в уравнение
\[
M_{0} \mathrm{X}=4 \tilde{\omega}
\]

то получнм:
\[
M_{0} X=\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\right) B_{1} \tilde{\omega}
\]

Так нак $f_{1}$ есть искомый интеграл еще остающегося дпфферениального уравневня
\[
X d x_{1}-X_{1} d x=0,
\]

в котором из $X$ н $X_{1}$ посредством нзвестны $n-1$ ннтегралов ненлиены переменные $x_{2}, x_{3}, \ldots x_{n}$, то это дифференциальное ураввевие должно при помощи нсвомого пнтегрирующего чножителя перећти в
\[
d f_{1}=0
\]

пэн в
\[
\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\right) d x_{1}+\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x}\right) d x=0
\]

следовательно векожый пнтегрируюцй иножнтель будет
\[
\frac{1}{X}\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\right)
\]

ини, на основании (),
\[
\frac{H_{0}}{B_{1} \tilde{\omega}}
\]

ๆ. е. имеем тождественно:
\[
\frac{M_{0}}{B_{1}^{(i)}}\left(X d x_{1}-X_{1} d x\right)=\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\right) d x_{1}+\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x}\right) d x=d f_{1}^{\prime}
\]

ห.Мน
\[
\frac{M_{0}}{B_{1}}\left(\mathrm{X} d x_{1}-\mathrm{X}_{1} d x\right)=\tilde{\omega} d f_{1} .
\]

Здесь $\omega$ есть пропзвольная функция от $f_{1}^{\prime}, f_{2}^{\prime}, \ldots f_{n}$ между тем, при помощи найденных $n-1$ интегралов, $f_{2}, f_{3}, \ldots f_{n}$ обратятся в постоянные; таким образом $\tilde{\omega}$ будет функцией только от $f_{1}$, а $\tilde{\omega} d f_{1}$ будет полным дифференциалом так же, пав сам $d f_{1}$. Поэтому ножно в делителе оторосить $\tilde{\omega}$, и тогда полутим $\frac{H_{0}}{B_{1}}$ кап кножитель дифференцального уравнения
\[
x d x_{1}-X_{1} d x=0 .
\]

Таним обравом мы приходим в следующей теореме:
Пусть дана система дифференчиальны уравнений
\[
d x: d x_{1}: d x_{2}: \ldots: d x_{n}=\mathrm{X}: \mathrm{X}_{1}: X_{2}: \ldots: \mathrm{X}_{n}
\]

и известин ер $n-1$ интегралов
\[
f_{2}=a_{2}, f_{3}=\tau_{3}, \ldots f_{n}=\alpha_{n}
\]

далее, пусть иявстно одно решение М. дифференильного чравнения
\[
\mathrm{X} \frac{d \lg M}{d x}+\frac{\partial \mathrm{X}}{\partial x}+\frac{\partial \mathrm{X}_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial \mathrm{X}_{n}}{\partial x_{n}}=0 ;
\]

ссли ири эомочи этих $n-1$ ннтегралов данная система сведена $n$ дифференциальному уравнению первого порядка с двума переменными
\[
\mathrm{X} d x_{1}-\mathrm{X}_{1} d x=0,
\]

по инпгориручий мноэитель этого уравнекия будет:
\[
\frac{M}{\Sigma \pm \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \frac{\partial f_{3}}{\partial x_{9}} \cdots \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}} .
\]

Это та же самая теорема, которая была установлена в двенадцатой легцин. Там мы напли для ножителя выражение
\[
\mu \sum \pm \frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}} \frac{\partial x_{3}}{\partial x_{3}} \ldots \frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}} ;
\]

но тав кан $f_{2}=\alpha_{2}, f_{3}=\alpha_{3}, \ldots f_{n}=\alpha_{n}$, то, на основанин теорежы отоснтельно функцональных определителей (стр. 89 п 90 ․ㅡㄹ 2), нмеех:
\[
\Sigma \pm \frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}} \frac{\partial x_{3}}{\partial \alpha_{3}} \cdots \frac{\partial x_{n}}{\partial x_{n}}=\frac{1}{\Sigma \pm \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \frac{\partial f_{3}}{\partial x_{3}} \ldots \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}
\]

так что оба множитедя тождественны.
Название „множитель\», принадлежащий системе пифференщиаьных уравнений (3), которое мы присваивае величине $M$, определенной уравнеиием (1) или (5), целесообразно потому, что, в случае двух переменных $x$ и $x_{1}$, эта величина совпадает с мнжителем Эйлера или интегрирующим множителен.

До сих пор мы ноказали, что в том случае, когда при помощи $n-1$ нитегралов систена сводится в однону дпфференцальному уравнению с двум переменными, множнтель этого дифференцильного уравнения может быть выведен из множителя системы. Но это толко частий случай общей теоремы; именно, если известны не $n-1$ интегралов, во меньнее их число, хотя бы $n-k$, так. что данную систему с $n+1$ переменными эожно привести к системе с $k+1$ переменныи, то, как мы тотчас увидия, из множителя данной системы можно получить множитель приведенной систехы. Это обобщение даст нам сейчас же возможность разобрать один вопрос, касаюциїся мнолителя, до сих пор оставшийся незатронутым. Именно ,до сих пор мы преднолагали, что при всяком интегрировании данной системы дифференциальны уравнений присоединяется новая произвольная постоянная. Но необхопимо ответить на вопрос-может ли быть метод посдеднего множителя распространен также на случай, когда шроизвольные постоянние иринимают частные значения и где поэтоу в конце концов не приходят ґ цолному интегрированию данной системы дифференциальных уравнений. Чтобы показать, как из множителя данной системы шолучить можитель шриведенной снстемы какого-либо порядка, шоступаем следующим образом. Мы предполагаем сначала заданным одно интегральное уравнение $f_{n}=\alpha_{n}$, что позволяет понизить цорядок системы на одиу единицу, и ищем множитель таким образом цринеденной систезы:
\[
d x: d x_{1}: \ldots: d x_{n}=X: X_{1}: \ldots: X_{n} ;
\]

атот множитель $M$ определится. дифференциалым уравнением (1) или (5). Если же мы предположим известным все интегралы системы, то болыпе нет надобности в решении дифференциального уравнения, и мы можем найти $M I$ нешосредственно и притом из каждого из уравнений
\[
M X^{n}=\tilde{\omega} A ; M X_{1}=\tilde{\omega} A_{1} ; \ldots M X_{n}=\tilde{\omega} A_{n},
\]
rise
\[
A=\Sigma \pm \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \ldots \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}, A_{1}=(-1)^{n} \Sigma \pm \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{3}} \ldots \frac{\partial f_{n-1}}{\partial x_{n}} \frac{\partial f_{n}}{\partial x}
\]

и т. д. и где о есть функция от $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}$. Рассмотрия первое из этих уравневий, т. е.
\[
M X=\tilde{\omega}\left(f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}\right) \sum \pm \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} \cdot \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \ldots \frac{\partial f_{n_{n}}}{\partial x_{n}} .
\]

Іредиодожим, что найден интеграл $f_{n}=x_{n}$ и что в него входит $x_{\mu}$; тагда можно $x_{n}$ выразить через $f_{n}$ и через остальные переменные $x$. Если уто выражение $x_{n}$ подставить в $f_{1}^{\prime}, f_{2}, \ldots f_{n-1}$, то эти величины будут футвциями от $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n-1}$ и $f_{n}$. Если производные, взятые при такой гниотезе, заключить в скобки, то дия элементов определителя $A$ получатся следүющие значения:
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\right)+\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial f_{n}}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}}, \ldots\left(\frac{\partial f_{n-1}}{\partial x_{1}}\right)+\left(\frac{\partial f_{n-1}}{\partial f_{n}}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}}, \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}} \\
\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}\right)+\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial f_{n}}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{2}}, \cdots\left(\frac{\partial f_{n-1}}{\partial x_{2}}\right)+\left(\frac{\partial f_{n-1}}{\partial f_{n}}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{2}}, \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{2}} \\
\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n-1}}\right)+\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial f_{n}}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n-1}}, \cdots\left(\frac{\partial f_{n-1}}{\partial x_{n-1}}\right)+\left(\frac{\partial f_{n-1}}{\partial f_{n}}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n-1}}, \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n-1}} \\
\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial f_{n}}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}, \ldots \quad\left(\frac{\partial f_{n-1}}{\partial f_{n}}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial r_{n}}, \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} . \\
\end{array}
\]

Кан показано на стр. 84, здесь можно отбросить те чдены первых $n-1$ вертивальных рядов, которые пропорциональны элементам последнего вертинального ряда; при зтом исчезают первые $n-1$ элеуентов последнего горивонтального ряда, так что $\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}$ будет множителем определителя, и помтому нолучится:
\[
M X=\tilde{\omega}\left(f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n-1}, f_{n}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial r_{n}} \Sigma \pm\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\right)\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}\right) \ldots\left(\frac{\partial t_{n-1}}{\partial x_{n-1}}\right)
\]

нан, $\operatorname{Tak} \operatorname{tak} f_{n}^{\prime}=x_{n}$,
\[
H X=\tilde{\omega}\left(f_{1}^{\prime}, f_{2}^{\prime}, \ldots f_{n-1}, \alpha_{n}\right) \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} \Sigma \pm\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\right)\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}\right) \ldots\left(\frac{\partial t_{n-1}}{\partial x_{n-1}}\right) .
\]

Иs данной системы (3) исключены $x_{n}$ и $d x_{n}$ при посредстве нитеграла $f_{n}=\alpha_{n}$, и таким обравом она приведена в системе:
\[
d x: d x_{1}: \ldots: d x_{n-1}=X: X_{1}: \ldots: X_{n-1} .
\]

Если $\mu$ есть иножитель этой системы, то дая его определения пмеех уравнение:
\[
u X=F^{\prime} \mathbf{Y} \pm\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\right)\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}\right) \ldots\left(\frac{\partial f_{n-1}}{\partial x_{n-1}}\right)
\]

где $F$ есть произвольная фунцция от $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n-1}$. Одно из значений :2 соответствует предположению $F=\tilde{\omega}\left(f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n-1}, \alpha_{n}\right)$; ово определится из уравнення
\[
\psi \mathbf{X}=\tilde{\omega}\left(f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n-1}^{*}, \alpha_{n}\right) \Sigma \pm\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}\right)\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}\right) \ldots\left(\frac{\partial t_{n-1}}{\partial x_{n-1}}\right) .
\]

Из этого последнего уравнения и из (7) получитея делением:
\[
\begin{array}{l}
\frac{M}{\mu}=\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} \\
\mu=\frac{M}{\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}}
\end{array}
\]

Таким образом это выражение есть множитель системы (8).
Этим путем можно итти дальпе: если известен один интеграл $f_{n-1}=\alpha_{n-1}$ системы (8) и она при помощи этого ннтеграла приведена к системе
\[
d x: d x_{1}: \ldots: d x_{n-2}=\mathrm{X}: X_{1}: \ldots: X_{n \sim 2},
\]

где $x_{n-1}$ исқаючен, то множителем этой системы будет выражевне
\[
\frac{M}{\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}\left(\frac{\partial f_{n-1}}{\partial x_{n-1}}\right)} \text {. }
\]

Еели при помощи нового ннтеграла ${ }_{n-2}=\alpha_{n \cdots 2}$ исключить переменнув
$x_{n-2}$, то нножителем такия образом образованной системы будет выражевие:
\[
\frac{M}{\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}}\left(\frac{\partial f_{n-1}}{\partial x_{n-1}}\right)\left(\left(\frac{\partial f_{n-2}}{\partial x_{n-2}}\right)\right)},
\]

ге скобки обозначают, что $f_{n-1}$ должно быть выражено через $f_{n} u x_{1}$, $x_{2}, \ldots x_{n-1}$, а $f_{n-2}$ — через $f_{n}, f_{n-1}$ и $x_{1}, x_{2} \ldots x_{n-2}$. Продолжая тав дальше, ирнходим наконец к дифференциальному уравненик
\[
d x: d x_{1}=X: X_{1}
\]

ния $\mathfrak{k}$ уравнению
\[
X d x_{1}-X_{1} d x=0,
\]

множителем которого будет выражение
\[
\frac{M}{\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} \frac{\partial f_{n-1}}{\partial x_{n-1}} \cdots \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}},
\]

где дифференцирования надо понимать так, что функции $f_{n}, f_{n-1}, \ldots f_{2}$ предполагаютея представленными в виде:
\[
\begin{array}{c}
f_{n}=\varphi_{n}\left(x, x_{1}, x_{2}, x_{3} \ldots x_{n-2}, x_{n-1}, x_{n}\right) \\
f_{n-1}^{\prime}=?_{n-1}\left(x, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots x_{n-2}, x_{n-1}, f_{n}\right) \\
f_{n-2}=\varphi_{n-2}\left(x, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots x_{n-2}, f_{n-1}, f_{n}\right) \\
\left.\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot f_{n-2}, f_{n-1}, f_{n}\right) .
\end{array}
\]

Іри таком постешенном нриведении присоединяющееся каждый раз интегрвльное уравнение прихеняется дяя исключения одной из шеременных. Например первый интеграл $f_{n}=\alpha_{n}$ применяетея для того, чтобы $x_{n}$ выразить через $x, x_{1}, \ldots x_{n-1}$ и $\alpha_{n}$ и полученное значение подставить в $X$, $X_{1}, \ldots X_{n-1}$. При этом, хотя мы до сих пор рассматривали $\alpha_{n}$ как произвольную постоянную, однако легко видегь, что в рассуждении ничто не изменится, если вместо $\alpha_{n}$ подставить определенное значение $a_{n}$. Только в этом случае приведенная система не будет более равнозначаща с давной, а будет соответствовать только частному случаю, когда в интегральном уравнении $f_{n}=\alpha_{n}$ произвольная постоянная $\alpha_{n}$ имеет частное значение $a_{n}$. Хотя таким образом в течение интегрирования можво дать произвольной постоянной некоторое частное значение и этим путем ввести в вықладки некоторый частный интеграл данной системы, но всё же надо знать полный интеграл $f_{n}=\alpha_{n}$, так как для огределения множителя $\mu$ из $M$ необходимо знание $f_{n}$. Такия образом недостаточно знать частный интеград $x_{n}=\Phi\left(x, x_{1}, \ldots x_{n-1}\right)$ без произвольной постоянной, но надо знать, кав произошел частный интеграл из полного интеграла $f_{n}=\alpha_{n}$ п какое значение дано произвольной постоянной. В этом заключается распространение принципа чоследнего чножителя, которое можно высказать следующим образож:
Пуспь дана система дифференциальжых уравжений:
\[
d x: d x_{1}: \ldots: d x_{n}=\mathrm{X}: \mathrm{X}_{1}: \ldots: \mathrm{X}_{n} ;
\]

пусть изестен се интеграл с одной мроизвольной постоянной, и эмот ижтеграя прнведен $н$ өиду $f_{n}=\alpha_{n}=$ const. IIридадим эпой постоянной какое-нибуд \»астное зкачение $a_{n}$, реиил учавнсние $f_{n}=a_{n}$ относительно ${ }_{n}$ и подсмавим это майденное значение в $X, X_{1}, \ldots X_{n-1}$; тогда полуиитск первая ирнвденная система дифференциальных уравнении:
\[
d x: d x_{1}: \ldots: d x_{n-1}=X: X_{1}: \ldots: X_{n-1},
\]

которал ие имеет однапо больше общности предложенной системы, но соответствует полько случаю $\alpha_{n}=a_{n}$. Пусть для первой приведенной сисмены дифференциальных уравнений опать известен иитеграл с одной произольной постоянной $и$ ириведел $к$ виду $f_{n-1}=a_{n-1}=$ const, 2 де $f_{n-1}$ есть функиия от $x, x_{1}, \ldots x_{n-1}$. Постоянной $\alpha_{n-1}$ придаем частное значение $a_{n-1}$, ретаем уравнение $f_{n-1}=a_{n-1}$ относительно $x_{n-1}$ и подставляем полученное для него тапим образом значение в величины $X$, циальных уравнений:
\[
d x: d x_{1}: \ldots: d x_{n-2}=X: X_{1}: \ldots: X_{n-2}{ }^{*}
\]

Iгродлжаем талим юе обралом дальше, пона не приден к дифференчиальному уравнению:
\[
d x: d x_{1}=\mathrm{X}: \mathrm{X}_{1} ;
\]

мпога множитель последнего дифференцильного уравнения о́уды:
\[
\frac{M}{\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}} \frac{\partial f_{n-1}}{\partial x_{n-1}} \cdots \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}}} .
\]

Здесь уже $f_{n}, f_{n-1}, \ldots f_{2}$ не будут больие $n-1$ интегралом предложенной системы, а только $f_{n}=\alpha_{n}$ будет таковын; $f_{n-1}=\alpha_{n-1}$ есть интеграл первой приведенной системы, которая представляет частный случай данной системы, когда $\alpha_{n}=a_{n} ; f_{n-2}=\alpha_{n-2}$ есть интеграл второй приведенной системы, которая представляет частный случай первой приведенной системы для $x_{n-1}=a_{n-1}$ и т. д.

Этим нсчериываетея область, на которую можно распространить принцип последнего множителя, и мы переходих теперь к его применениям.