После того как мы свели механические заначи к интегрированию одного нелинейного уравнения в частных произвдных первого порядка, мы должны занятьея интегрированием этого уравнения, т. е. разысканием его полного решения.

В третьей части Интегрального иечисления Эйлера встречаютея прекрасные пследования относительно интегрирования уравнений в частны производных.

Хотя он рассматривает всегда только частные случаи, но он их подбирает так удачно, что позже найденный общий четод по большей части прпо́авлет к его результатам очень мало чли ничего. Работы Эйлера имеют вообще ту большую васлугу, что им везде приведены по возможности все случаи, в которых задачи могут быть репены полностью с помощью данных способов и средств. Поэтому его прицеры дают всегда полное содержание его метода согласно тогданнему состоянию науки и, как правило, когда удаетея к примерам Эйлера присоединить какой-нибуды новый прияер, то это являетея обогащением науки, так как от него редко ускользал елучай, разрешимый при помощи его способов.

Лагранж дал свой общий метод интегрирования уравнений в частных производных первого порядка, являющийся совершенно новой щыслью в иітегральном исчислении, в одной статье, помещенной в трудах берлинской академии в 1772 году. В этой статье содержится приведение нелинейных уравнений в частных производных первого порядка к линейным; устанав.ииваются понятия полных и общих решений, причем последние выводятея и: первых, и даютея методы для нахождения полных решений. Но всё ограничивается только случаем трех переменных, из которых две не зависят друг от друга. Метод Лагранжа заключаетея в следующем:
Пусть дано уравнение в частных производных первого порядка
$$\mathrm{\Psi }(x,y,z,p,q)=0,$$

где $x$ и $y$ независимые переменные, $z$ зависимая и
$$\mathit{p}=\frac{\partial z}{\partial x},q=\frac{\partial z}{\partial y}.$$

так что между дифференщилами трех переменных существует соотношение
$$dz=pdx+qdy.$$

Пусть предложенное дифференцильное травнение, будтчи решено относительно $q$, дает
$$\tau =\mathrm{\%}(x,y,z,p)$$

тогда имеем:
$$dz=pdx+\chi (x,y,z,p)dy.$$

Чтобы найти полное решение $z$, т. е. решение, содержащее две пропзвольные постоянные, очевидно необходимо только найти значение $p=\tilde{\omega }(x,y,z,a)$, которое, будучи подетавлено в выражение $pdx+\chi dy$, обращает его в по.тнй дифференцил, после чего остается определить $z$ из уравнения $dz=pdx+qdy$. Последняя операция требует интегрирования одного обыкновенного дифференциального уравнения нервого поряцка, благодаря чему в $z$ войдет, кроме $a$, вторая постоянная $b$. Эначит все дело состоит в определении $p$ как функции $\tilde{\omega }$ от $x,y,z$ и от произвольной постоянной $a$ таким образом, чтобы выражение $pdx+\chi (x,y,z,p)dy$ было полным дифференциалом. Для этого необходимо, чтобы при дифференцировании $p$ по $y$ получалось то же значение, что и при дифференцировании $\mathrm{\%}$ по $x$, т. е. должно быть выполнено уравнение
$$\frac{\partial p}{\partial y}+\frac{\partial p}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial \chi }{\partial x}+\frac{\partial \chi }{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial /}{\partial p}(\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial p}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x})$$
и.ти
$$\frac{\partial \chi }{\partial x}+\frac{\partial \mathrm{\%}}{\partial z}p=-\frac{\partial \chi }{\partial p}\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial p}{\partial y}+(\mathrm{\%}-\frac{\partial \chi }{\partial p}p)\frac{\partial \mathit{p}}{\partial z}.$$

Так как $\mathrm{\%}$ есть известная функция от $x,y,z,p$, то это есть линейнос чравнение в частных производных относительно $p$, содержащее три независимых переменных $x,y$, $z$; таким образом предложенная задача сводится к тому, чтобы найти для этого тинейного уравнения с частными производными одно решение $p=\tilde{\omega }(x,y,z,a)$ с одной произвольной постоянной $a$. То обстоятельство, что требуетея знать только одно такое решение, было отмечено .Іагранжем.

Рассмотрим теперь только тот случай, когда $\mathrm{\Psi }$, а потому также и \% не содержат самого $z$, т. е. когда пред.оженное уравнение в частных производных имеет более простую форму:
$$\mathrm{\Psi }(x,y,p,q)=0\text{. }$$

В птом случае можно определить $p$ также как фунцци от $x,y$, a без $z$, так что выражение $pdx+\mathrm{\%}dy$ будет полным дифференцилом. Так как теперь иечезают как $\frac{\partial \mathrm{\%}}{\partial z}$, так и $\frac{\partial /}{\partial z}$, то линейное уравнение в частных производных д.ля $p$ приводитея к еледующему:
$$\frac{\partial \chi }{\partial p}\frac{\partial p}{\partial x}-\frac{\partial p}{\partial y}+\frac{\partial \chi }{\partial x}=0.$$

Но вместо того, чтобы предшолатать данное уравнение в частих производных (1) решенным относительно $q$, мы будем в дальнейших вычислениях обычно брать его в его первоначальном виде.

Предетавия себе далее, что травнение $p=\tilde{\omega }(x,y,a)$ решено не отюсительно $p$, но относительно $a$, т. е. приведено к виду
$$f(x,y,p)=a;$$

тогда мы должны будем воспользоваться формулами:
$$\begin{array}{c}\frac{\partial \chi }{\partial x}=\frac{\partial q}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}}{\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q}},\frac{\partial \gamma }{\partial y}=\frac{\partial q}{\partial p}=-\frac{\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial \mathit{p}}}{\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q}},\\ \frac{\partial p}{\partial x}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial p}};\frac{\partial p}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial f}{\partial p}}\end{array}$$

Если мы подставим эти значения в вышенаписанное линейное уравнение в частных производных для $p$, то оно преобразуется в следующее линейное уравнение в частных производных для $f$ :
$$\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial p}\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q}\frac{\partial f}{\partial if}-\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial p}=0.$$

Если для этого уравнения известно одно решение $t$, не содержащее постоянной величины, то в рассматриваемом случае для определения полного решения $z$ уравнения (1) не требуется никакого интегрирования дифференциального уравнения. В самом деле, если это решение $f$ положить равным произвольной постоянной $a$ и определить из уравнения
$$f(x,y,p)=a,$$

в сеединении с предложенным дифференциальным уравнением
$$\mathrm{\Psi }(x,y,p,q)=0,$$
p) и $q$ как функции от $x$ и $y$, то эти фушнци будут обладать тем евойотвом что $pdx+qdy$ будет полным дифференциалом, так как требуемое для этого условие (2) выполнено и ыы получаем поэтому $z$ простой квадратурой из формулы
$$z=\int (pdx+qdy)$$

таким образом вторал произвольная постоянная, содержащаяея в полном решении $z$, связана с $z$ аддитивно, что можно было предвидеть, так как в уравнении (1) отсутетвует само $z$.

Итак всё сводится только к тому, чтобы найти одно репение линейного уравнения в частных производных (2), в котором частные производные $\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial p}$, $\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q},\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}$ предполагаются выраженными при посредетве уравнения (1) как функции от $x,y$ и $p$, без $q$. Но, кап известно, это линейное уравнение в частных производных (2) есть не что иное, *) как уравнение, определяющее те функции $f$ от $x,y,p$, которые, будучи приравнены постоянной $a$, дают интеграл еистемы обыкновенных дифференциальных уравнений:
$$dx:dy:dp=\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial p}:\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q}:-\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x^{\prime }}.$$

Веё исследование таким образом сводится к тому, чтобы найти один интеграл системы обывновенных дифференциальных уравнений (3).
*) См. десятую лекцию, етр. 66.

Мы можем еще дополнить эту систему, разыскав при помощи уравнения $\mathrm{\Psi }=0$ величину, которой пропорционален $dq$. Дифференцирование уравнения $\mathrm{\Psi }=0$ дает:
$$\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}dx+\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial y}dy+\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial p}dp+\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q}dq=0;$$

мо из дифференциальных уравнений (3) мы имеем пропорцию
$$dx:dp=\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial p}:-\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x},$$

так что $\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}dx+\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial p}dp$ само шо себе обращается в нуль; поэтому должно также само по себе обрацаться в нуль выражение $\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial y}dy+\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q}dq$, п мы получин:
$$dy:dq=\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q}:-\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial y}.$$

Позтом напиеанная полностью система (3) имеет вид:
$$dx:dy:dp:dq=\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial p}:\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q}:-\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}:-\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial y}.$$

Этот результат симметричен с одной стороны относительно $x$ и $p$, с другой стороны, — относительно $y$ и $q$, откуда вытекает справедливость произведенного вычисления. Эта система становится на место системы (3), если мы обобщим метод интегрирования, введя в функцию $f$ также $q$. Действительно, мы можем рассматривать уравнение $f(x,y,p)=a$ как результат исключения $q$ из двух уравнений:
$$F(x,y,p,q)=a$$

H
$$\mathrm{\Psi }(x,y,p,q)=0,$$

так что, если, как прежде, $\mathrm{\%}$ обовначает значение $q$, получающееся как решение уравнения $\mathrm{\Psi }=0$, то вышолняется тождественно равенство:
$$F(x,y,p,\chi )=f(x,y,p).$$

Поэтому $F(x,y,\mathit{p},\mathrm{\%})$ доджно удовлетворять линейному уравнению в частных производных (2), что веде́т для $F$ к дифференциальному уравнению:
$$\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial p}\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q}\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial p}+\frac{\partial F}{\partial \chi }(\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial p}\frac{\partial \chi }{\partial x}+\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q}\frac{\partial \chi }{\partial y}-\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}\frac{\partial \chi }{\partial p})=0.$$

Но тақ кақ $\mathrm{\%}$ удовлетворяет тождественно уравнению $\mathrm{\Psi }(x,y,p,y)=0$, то мы имеем:
$$\frac{\partial \gamma }{\partial x}=-\frac{\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}}{\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial \mathrm{\%}}},\frac{\partial \mathrm{\%}}{\partial y}=-\frac{\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial y}}{\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial \gamma }},\frac{\partial \mathrm{\%}}{\partial p}=-\frac{\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial \mathrm{\Psi }}}{\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial \gamma }}$$

Благодаря этом выражение, на ьоторое в левой части шрелытцего ура внения множится $\frac{\partial \mathrm{\%}}{\partial \mathrm{\%}}$, иревращаетея в — $\frac{\partial y}{\partial y}$, и мы нотучаем уравнение
$$\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial p}\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q}\frac{\partial F}{\partial y}-\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}\frac{\partial F}{\partial p}-\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial y}\frac{\partial F}{\partial q}=0.$$

откуда вытекает, что выражение $F=a$ на самом деле будет пнтегра.ом системы дифференциальнх уравнений (4). Так как $f^{\ast }(x,y,p)=u$ есть результат исключения $q$ из уравнений $F^{\prime }(x,y,p,q)=a$ и ч $(x,y,p,q)=0$, то из уравнений $\mathrm{\Gamma }(x,y,p,q)=a$ и $\mathrm{\Psi }(x,y,p,q)=0$ следуют те же значения. для $p$ и $q$, как и из уравнений $f(x,y,p)=a$ и $\mathrm{\Psi }(x,y,p,q)=0$. Если. кроме того, принять во внимание, что ${\mathrm{\Psi }}^{\ast }=0$ есть интеграл дифференцильных чравнений (4), притом общий при условии, что в функции ‘ ${}^{\prime }$ содержится постоянная, входящая в нее аддитивпо, и частный в противном случае, то полученные результаты можно соединить в следующую теорему:
IIусть дано уравнение в частных производных
$$\mathrm{\Psi }(\alpha ,y,p,q)=0,$$
енений:
$$dx:dy:dp:dq=\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial p}:\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q}:-\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial x}:-\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{{}^{\prime }y}.$$

Если для этой системы, кроме даннозо а ргіогі интеграла $\mathrm{\Psi }=0$, известен еще второй интеграл
$$F^{\prime }(x,y,p,q)=ϵ,$$
детея простой квадратурой по формуле
$$z=\int (pdx+qdy)\text{. }$$

Уравнения (4) имеют ту же форму, кақ и дифференциатьные уравнения движения, только на месте величин $q_1,q_2,p_1,p_2,\psi +\alpha$, $W$ здесь стоят величины $x,y,p,q,\mathrm{\Psi },z$. Следовательно мы получим новое интегральное уравнение для системы (4), если продифференцируем $z$ по входящей в него цроиввольной постоянной и результат положим равным другой пронзвольной постоянпой. Такой входящей в $z$ постоянной являетея $a$, ноэтом уравнение
$$\frac{\partial z}{\partial a}=\int (\frac{\partial p}{\partial a}dx+\frac{\partial q}{\partial a}dy)=b$$

есть третий интеграл системы (4). То обстояте.ъетво, что мы прини к этиу интегралу путем простой кваратуры, предетавляет значптельню выгоду, вытекающую из приведения системы обыкновенных дифференциалышы уравнений (4) к уравшению в частных производных (1). Если мы, чтобы полностью провести аналогио с дифференцалыни уравнениями цвижения. присоединим к пропорции (4) с левої стороны $dt$, а с правої 1 . то $t$, как мь? вигели в предыдущей лекции, определтся из уравнения
$$\frac{\partial z}{\partial \alpha }=\int (\frac{\partial p}{\partial x}dx+\frac{\partial q}{\partial x}d!)=—1,$$

где $\alpha$ есть почтяниа, содержащаяся в $\mathrm{\Psi }=\psi +\alpha$.

Носле того как Гамильтон пивел дифференциальне уравнения динамики к уравнению в частных производных первого порядка, достаточно было применить к этому последнему методы, известные уже 65 лет, чтибы получить важныӥ резултат для всех задач механики, содержащих толью две искомые величины $q_1$ и $q_2$.
Если для рассатриваемых механических задач имеет место теорема

уравнение
$$\begin{array}{l}\mathrm{广}=\gamma -L;\\ T=L-\alpha ,\end{array}$$

выражающее теорему живой силы, в котором $U$ есть фунция тольк ат $q_1,q_2$. а $T$-функция от $q_1,q_2,p_1,p_2$, переходит, после подстановки значений $r_1=\frac{\partial W}{\partial q_1},p_2=\frac{\partial W}{\partial q_2}$, в гравнение в частных производных для $W$ и дифференцианьне уравнения двияения бухут:
$$dt:d{q}_1:d{q}_2:d{p}_1:d{p}_2=1:\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial p_1}:\frac{\partial p_1}{\partial p_2}:-\frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial q_1}:-\frac{\partial \psi }{\partial q_2}.$$

Іччеть второй свободный от $t$ интеграл этого уравнения, необходимый д.ля оределения полного решения $I$, будет

тигла имеем:
$$F(q_1,q_2,p_1,{\mu }_2)=a$$
$$W=\int (p_{1}d{q}_1+p_{2}d{q}_2).$$

Третий свободный от $t$ интеграл дифферевциальных уравнений движения есть
$$\frac{\partial W}{\partial a}=b,$$

I! $t$ вводитея шри помощи уравнения
$$\frac{\partial \mathrm{J}}{\partial \mathit{\alpha }}=÷-t.$$

ђтот результат ножно выразить независимо от теории уравнений в чаетны производных следующим образом:

Если для некоторой задачи механики, содержащей только две искомые не.ичини $q_1$ \» $q_2$, имеет; несто теорема живой силы $T=U-\alpha$ известен краме того ене один интеграл $\mathrm{F}(q_1,q_2,p_1,p_2)=($, где $p_1=\frac{\partial T}{\partial q_1{}^{\prime }},p_2=\frac{\partial T}{\partial q_2{}^{\prime }}$, пю из уравнений $े=T-L=-\alpha$ и $F=$ надо определимь величны $p_1$ менонея урсвнениями
$$\begin{array}{l}\int (\frac{\partial p_1}{\partial a}d{q}_1-\frac{\partial p_2}{\partial a}d{q}_2)=b;\\ \int (\frac{\partial p_1}{\partial \alpha }d{q}_1+\frac{\partial p_2}{\partial \alpha }d{q}_2)=\tau -t,\end{array}$$
омфференцильных уравнений движния, т. е. системь
$$dt:d{q}_1:d{q}_2:d{p}_1:d{p}_2=1:\frac{\mathrm{\Delta }}{\theta {\mu }_1}:\frac{\partial \phi }{\partial p_2}:-\frac{\partial \psi }{\partial q_1}:-\frac{\partial \phi }{\partial q_2}.$$

то совеем новые формчлы: они имеют место напричер для движения тици на плоскоети или на кривой поверхности, если осуществляется теорежа живой силы.

Для свободного движения на поскости мы имеем, если маса төчки будет положена равной единице, уравнения
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\frac{\partial L^2}{\partial r}:\frac{d^{2}y}{d{l}^2}=\frac{\partial U}{\partial !}:T^{\prime }=\frac{1}{2}(x^{\prime 2}+y^{\prime 2})$$

и теорема живой силы согержится в интеграле
$$\frac{1}{2}(x^{\prime 2}-y^{\prime 2})=i-\mathrm{\%}\text{. }$$

Если мы знаем второй интеграл. т. е. второе уравнение. согласно которсму некоторая функция от $x,y,x^{\prime },y^{\prime }$ равна произвольной постоянной величине $a$, и если мы определия из обоих уравнениї $r^{\prime }$ ч $y^{\prime }$ как фунцции 0\» $r$, $\alpha ,x$. то уравнение траектории будет
$$\int (\frac{\partial r^{\prime }}{\partial a}dr+\frac{\partial y^{\prime }}{\partial a}dy)=b$$
a время выразится при помощи уравнения
$$\int (\frac{\partial x^{\prime }}{\partial \alpha }dx+\frac{\partial y^{\prime }}{\partial x}dy)=—1.$$

Эти формулы я сообщил уже в 1836 году парижкой академии как щростейний результат приведения механических задач к уравнениям в частных производны. Они заслуживают быт помещенными в учебника по механике. в виду того интереса, который они вызывают, а также потому, что они олносятея і самым элементарным слутаям механики В политехниескх нколах они вопли уже в курс обучения. ІІуасеон дал в журнале . Тиувиля $\mathrm{\%}$ ) их доказательетво или скорее их проверку.

Второй случай, заклчаюииіея в вышенриведенных формулах. есть тог, когда точка двигаетея по данной поверхности только под влиянием начального толка. Такая точка описывает кратчайшую линию, ошределение которой зависит от дифференциального уравнения второго порядка. Из предыдүщих рассуждений вытекает, что если мы знаещ один интеграл этого дифференциального уравнения, то мы можем простой квадратурой вывести отсюда уравнение траекторпи, связывающее между собой только координаты. Так Łак в этом случае силовая фунжция $L$ обращаетея в нуль, то уравнение в частных производных о́удет
$$T+\alpha =0\text{. }$$

Еепи $x,y.z$-координаты движущейся точки, то
$$2T={\left(\frac{ds}{dt}\right)}^2=\frac{d{x}^2+d{y}^2+d{z}^2}{d{t}^2}.$$

Расемотрим $r,y$ как искомые величины, выше обозначенные через $q_1\cdot q_2$ : тогда мы должны подетавить в приведенное равенство значение
$$dz=pdx+qdy.$$

получаемое из уравнения поверхности, после чего найдем:
$$2T=\frac{d{x}^2-d{y}^2+(pdx+qdy{)}^2}{d{t}^2}$$
\») Bid. 2, crp. 335 .

tart
$$2T=x^2+y^2+y{y}^{\prime }+q{y}^2.$$
$$\begin{array}{l}t=\frac{\partial r}{i{x}^{\prime }}-x^{\prime }-pi{r}^{\prime }+q{y}^{\prime }\mathrm{L}\\ \mathrm{v}=\frac{\partial \mathrm{r}}{\partial y}=y^{\prime }+q(j{x}^{\prime }+q{y}^{\prime }\text{. }\\ p^2\mid -q=(1+p^2+q^2)1,x^{\prime }+q{y}^{\prime })\text{. }\end{array}$$

Iloasan
$$N^{\ast }=1+p^2+q^2$$

вомучик. peman ornockreano $x^{\prime \prime }{y}^{\prime \prime }$ :
$$\begin{array}{l}{x}^{\prime }-t-\frac{2}{y}(y+q)\\ y^{\prime }=x_4-\frac{4}{x}(y^2+z_4\end{array}$$
$$2r=\frac{\partial r}{\partial r^{\prime }}{x}^{\prime }+\frac{\partial r}{\partial y^{\prime }}{y}^{\prime }=t{r}^{\prime }+v^{\prime }.$$
samuceme. xe peaymary.