Чтобы показать шрножения теории множителя, ны рассиория сначала случай, в котором, в отличие от всех остальных примеров, к которым относится это исследование, $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$ будут не только функциями от координат, но будут также содержать скорости, где таким обравом $M$ не будет постоянной. Это будет случай планеты, которая движется вокруг солнца в сопротивляющейся среде. Если не шриннать во внимание сопротивления, то уравнения движения планеты, вак вввестно, будут:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-k^{2} \frac{x}{r^{3}}, \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=-k^{2} \frac{y}{r^{y}}, \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=-k^{2} \frac{z}{r^{3}},
\]

где $x, y, z$ обозначают гелиоцентрическе координаты панеты, $r$-ее расстояние от солнца и $k^{2}$ – притяжение, которое солнце оказывает на расстоянин, равном единице. Если $v=\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}$ есть скорость панеты в направлении касательной к ее траектории и $V$-сопротивление в том же направленив, то составляющие сопротивления по осян $x$, $y$ и г будут соответственно:
\[
\frac{V x^{\prime}}{v^{\prime}}, \quad \frac{V y^{\prime}}{v}, \frac{V z^{\prime}}{v} .
\]

Эти величины надо присоединнть к правой части дифференциальных уравнений с тем же знаком, который нмеют члены, пронсходлщие от прнтяження. Таким образох уравнения движения будут:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-k^{2} \frac{x}{r^{3}}-\frac{V_{x^{\prime}}}{v} \\
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=-k^{2} \frac{y}{r^{3}}-\frac{V y^{\prime}}{v} \\
\frac{d^{2} z}{d t^{2}}=-k^{2} \frac{z}{r^{3}}-\frac{V_{z^{\prime}}}{v} .
\end{array}
\]

Предподожня, что сопротивление пропорционально $n$-ой стеденн скоростк
\[
V=f v^{n},
\]

где $f$ есть постоянная; тогда ниеем дифференциалные уравнения:
\[
\left\{\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-k^{2} \frac{x}{r^{3}}-f v^{n-1} x^{\prime}=A \\
\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=-k^{2} \frac{y}{r^{3}}-f v^{n-1} y^{\prime}=B \\
\frac{d^{2} z}{d^{2}}=-k^{2} \frac{z}{r^{3}}-f v^{n-1} z^{\prime}=C
\end{array}\right.
\]

Сравнение этой систены с общим вндом (1) и (3) предыдущей лекции дает $m=n=p=2$; таким образом получаем по формуле (4) той же лекцни для множителя $M$ снстежы (1) уравнение:
\[
0=\frac{d \lg M}{d t}+\frac{\partial A}{\partial x^{\prime}}+\frac{\partial B}{\partial y^{\prime}}+\frac{\partial C}{\partial z^{\prime}}
\]

нли, если вместо $A, B, C^{\prime}$ подставить их значения, уравнение:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \lg M}{d t}=f\left\{\frac{\partial\left(v^{n-1} x^{\prime}\right)}{\partial x^{\prime}}+\frac{\partial\left(v^{n-1} y^{\prime}\right)}{\partial y^{\prime}}+\frac{\partial\left(v^{n-1} z^{\prime}\right)}{\partial z^{\prime}}\right\}= \\
=f\left\{3 v^{n-1}+(n-1) v^{n-2}\left(x^{\prime} \frac{\partial v}{\partial x^{\prime}}+y^{\prime} \frac{\partial v}{\partial y^{\prime}}+z^{\prime} \frac{\partial v}{\partial z^{\prime}}\right)\right\} .
\end{array}
\]

Но мы нмеем
\[
\frac{\partial v}{\partial x^{\prime}}=\frac{x^{\prime}}{v}, \quad \frac{\partial v}{\partial y^{\prime}}=\frac{y^{\prime}}{v}, \quad \frac{\partial v}{\partial z^{\prime}}=\frac{z^{\prime}}{v},
\]

так тто
\[
x^{\prime} \frac{\partial v}{\partial x^{\prime}}+y^{\prime} \frac{\partial v}{\partial y^{\prime}}+z^{\prime} \frac{\partial v}{\partial z^{\prime}}=\frac{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}{x}=v
\]

и следовательно
\[
\frac{d \lg M}{d t}=(n+2) f v^{n-1} .
\]

Для $n=-2$ было бы поэтояу $M=$ const. Но этот случай в природе ве может встретиться, так как иначе сопротнвление должно было бы быть тем меньше, чеж быстрее двигается планета. Поэтому мы будем исследовать, можно ли, без этого преднодожения относительно $n$, превратить $v^{n-1}$ тагже в полную производную. Теорема живой силы и теорема площадей для этой задачи не имеют больше места; исследуем однако, какую форму здесь прннимают соответствующие им уравнения. Чтобы получить уравнение, аналогичное уравнению живой силы, мы должны три уравнения (1) умножвть соответственно ва $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ н сложнть; тогда получитея:
\[
\begin{array}{c}
x^{\prime} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+y^{\prime} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+z^{\prime} \frac{d^{2} z}{d t^{2}}= \\
=-\frac{k^{2}}{r^{3}}\left(x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}\right)-f v^{n-1}\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\right) .
\end{array}
\]

Но мы имеем
\[
\begin{array}{rlrl}
x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2} & =v^{2} ; & x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2} \\
x^{\prime} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+y^{\prime} \cdot \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+z^{\prime} \frac{d^{2} z}{d t^{2}} & =v \frac{d v}{d t} ; & x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime} & =r \frac{d r}{d t},
\end{array}
\]

так что
\[
v \frac{d v}{d t}=-\frac{k^{2}}{r^{2}} \frac{d r}{d t}-f v^{n+1}
\]

нли
\[
-\frac{d\left(v^{2}\right)}{d t}=k^{2} \frac{d\left(\frac{1}{r}\right)}{d t}-f v^{n+1}
\]

и
\[
f \int v^{n+1} d l=-\frac{1}{2} v^{2} \cdot k^{2} \frac{1}{r} .
\]

Хота то тоже замечательыї резубтат, но нан нужен
\[
\int v^{n-1} d t \text {, a re } \int v^{n+1} d t
\]

Чтобы получить уравнения, соответствующие теоремам пощацей, хы должны из уравнений (1) образовать ве.тиины
\[
y \frac{d^{2} z}{d t^{2}}-z \frac{d^{2} y}{d t^{2}} ; \quad z \frac{d^{2} x}{d t^{2}}-x \frac{d^{2} z}{d t^{2}} ; \quad x \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-y \frac{d^{2} x}{d t^{2}}
\]

тогда новучитея:
\[
\begin{array}{l}
y \frac{d^{2} z}{d t^{2}}-z^{d^{2} y}=-f v^{n-1}\left(y z^{\prime}-z y^{\prime}\right), \\
z \frac{d^{2} x}{d t^{2}}-x \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=-f z^{n-1}\left(z x^{\prime}-x z^{\prime}\right), \\
x \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-y \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-f v^{n-1}\left(x y^{\prime}-y x^{\prime}\right) \\
\end{array}
\]

и посе интегрирования:
\[
\begin{array}{c}
-f \int v^{n-1} d t=\lg \left(y z^{\prime}-z y^{\prime}\right)-\lg x=\lg \left(z x^{\prime}-x z^{\prime}\right)-\lg \beta= \\
=\lg \left(x y^{\prime}-y x^{\prime}\right)-\lg \gamma,
\end{array}
\]

ๆге $\lg \%, \lg \beta, \lg \gamma$ – произвольные постоянне интегрирования. Таким образом отсюда получаем, во-цервьх, искомый интеграл $\int^{*} e^{n-1} d t$, во-вторых, два интегральных уравнения, ияенно:
\[
\frac{y z^{\prime}-z y^{\prime}}{\alpha}=\frac{z x^{\prime}-x z^{\prime}}{\beta}=\frac{x y^{\prime}-y r^{\prime}}{\gamma} .
\]

эти уравнения ноказывают, то величины
\[
y z^{\prime}-z y^{\prime}, \quad z x^{\prime}-r z^{\prime}, \quad x y^{\prime}-y x^{\prime}
\]

находятся в постояннок отношении-результат, который можно было бы предвидеть. Деӥетвительно, в виду того, что шланета, находяцаяея в сопротивляющейся среде, не может прекратить своего движения в плосьости, упомянутые величины, которые после учножения на $d t$ изображают проекцни эленента поверхности, оииеываемого гелиоцентрическим радиусом вектором, по известной теореме относятея друг к другу как коеинуеы углов, которые образует нормаль в орбите планеты с тремя координатным осязи.
Ив уравнений (2) и (3) следует, что
\[
\lg : H=(n+2) I \int^{*} v^{n-1} d t=-(n+2) \lg \frac{x y^{\prime}-y x^{\prime}}{\gamma},
\]

тав что
\[
M=\frac{\gamma^{n+2}}{\left(x y^{\prime}-y x^{\prime}\right)^{n+2}}
\]

нли, ото́расывая постоянную $\gamma^{n+2}$,
\[
M=\frac{1}{\left(x y^{\prime}-y x^{\prime}\right)^{n+2}+}
\]

Мы можем теперь иа самом деле применить принии последнего множитела к этой задаче. IIреданенпая система (1) есть система пестого порндка а после исключения $t$ получим приведенную систему пятого порядка. Между тем, так как движение происходит в плоскости, одну из координатных плоскостей, например плоскость $x, y$, можно совместить с плоскостью орбиты; тогда надо положить $z=0$, вследствие чего последнее уравнение (1) выпадет и останется система четвертого порядка, а после исключения $t$ получится приведенная система третьего порядка. Но для этой последней нам не дано ни одного интеграла, так как на месте всех теорем площадей существует только одна и та не есть интегральное уравнение, а только дает для $\int v^{n-1} d t$ третье из выражений формулы (3). Если теперь для системы третьего порядка, о которой идет речь, найдены два интеграла с двумя произвольными постоянными $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$, так что $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ могут быть выражены как функции от $x$ и $y$, и гоэтому остаетея проинтегрировать еще только дифференциальное уравнепие первого порядка
\[
x^{\prime} d y-y^{\prime} d x=0,
\]

то множителем этого последнего будет выражение:
\[
\frac{\frac{\partial x^{\prime}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial y^{\prime}}{\partial \alpha_{2}}-\frac{\partial x^{\prime}}{\partial \alpha_{2}} \frac{\partial y^{\prime}}{\partial \alpha_{1}}}{\left(x y^{\prime}-y x^{\prime}\right)^{n+2}} .
\]

В качестве второго примера применения последнего множителя возьмем такой случай, когда мы не будем получать множителя некоторого неизвестного дифференциального уравнения, но сможем провести вчолне все интегрирования; именно возьмем движение планеты вокруг солнца в среде, не оказывающей сопротивления. Мы легко убедимся, что движение должно происходить в одной плоскости и что поэтому мы получим только систему четвертого порядка или, после исключения $t$, третьего порядка. Принципы живой силы и площадей дают для этой системы два интеграла, а принцип последнего множителя дает третий. В этой задаче, как мы видим a priori, интегрирования могут быть проведены полностью. Система дифференциальных уравнений, которую надо проинтегрировать, будет, как мы уже выше видели, следующая:
\[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-k^{2} \frac{x}{r^{3}}, \quad \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=-k^{2} \frac{y}{r^{3}},
\]

гце $k^{2}$ обозначает притяжение, оказываемое солнцем на расстоянии, равном единице. Пусть оба интеграла, которые получаютея на основании принцида живой силы и шлощадей, будут:
\[
f_{1}=\alpha, \quad f_{2}=\beta,
\]

тде $f_{1}$ и $f_{2}$ функции от $x, y, x^{\prime}$ и $y^{\prime}$; тогда найдем, как последний множитель дифференциального уравнения, связывающего $x$ и $y$, выражение:
\[
M\left(\frac{\partial x^{\prime}}{\partial \alpha} \frac{\partial y^{\prime}}{\partial \beta}-\frac{\partial x^{\prime}}{\partial \beta} \frac{\partial y^{\prime}}{\partial \alpha}\right)=\frac{M}{\frac{\partial f_{1}}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial f_{2}}{\partial y^{\prime}}-\frac{\partial f_{1}}{\partial y^{\prime}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x^{\prime}}},
\]

где $M$ есть множитель системы (5). Но так как здесь мы имеем дело с совершенно свободным движением, то на основании предыдущей лекции $M=$ const.; таким образом можно положить $M=1$, и тогда в качестве последнего множителя получится выражение:
\[
\frac{1}{\frac{\partial f_{1}^{\prime}}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial f_{2}}{\partial y^{\prime}}-\frac{\partial f_{1}}{\partial y^{\prime}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x^{\prime}}} .
\]

Предположим теперь, что $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ выражены посредством уравнений $f_{1}=c$ и $f_{2}=\beta$ через $x$ и $y$ и подставлены в дифференциальное уравнение
\[
x^{\prime} d y-y^{\prime} d x=0 ;
\]

тогда это есть уравнение, множителем которого должно быть выраженде (6). Мы покажем это, произведя выкладки.

Умнсжая уравнения (5) соответстенно на $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ и затем складывая, получим теорччу живой силы; действилельно, сначала получаем
\[
s^{\prime} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+y^{\prime} \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=-k^{2} \frac{x x^{\prime}+y y^{\prime}}{r^{3}}=-k^{2} \frac{r^{\prime}}{r^{2}},
\]

откуа после иттегрирования находим:
\[
\frac{1}{2}\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right)=\frac{k^{2}}{r}+\alpha .
\]

Шутем иптегрирования выводим из уравнения
\[
x \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-y \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=0
\]

принцип площадей:
\[
x y^{\prime}-y x^{\prime}=\beta .
\]

Итаг наши оба интеграла будут:
\[
f_{1}=\frac{1}{2}\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right)-\frac{k^{2}}{r}=\alpha ; \quad f_{2}=x y^{\prime}-y x^{\prime}=\beta,
\]

откуда получится:
\[
\begin{array}{ll}
\frac{\partial f_{1}}{\partial x^{\prime}}=x^{\prime} ; & \frac{\partial f_{2}}{\partial x^{\prime}}=-y ; \\
\frac{\partial f_{1}}{\partial y^{\prime}}=y^{\prime} ; & \frac{\partial f_{2}}{\partial y^{\prime}}=x .
\end{array}
\]

Таким образом множителем (7) на основании (6) будет выражение:
\[
\frac{1}{\frac{\partial f_{1}^{\prime}}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial f_{2}^{\prime}}{\partial y^{\prime}}-\frac{\partial f_{1}}{\partial y^{\prime}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x^{\prime}}}=\frac{1}{x x^{\prime}+y y^{\prime}} ;
\]

следовательно выражение
\[
\frac{x^{\prime} d y-y^{\prime} d x}{x x^{\prime}+y y^{\prime}}
\]

будет полным дифференциалом. Мы докажем это, определяя $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ из уравнекий (8) и (9). Шоложим для сокращения
\[
\frac{k^{2}}{r}+\alpha=\lambda
\]

тогда для определения $x^{\prime}$ и $y^{\prime}$ будем иметь уравнения:
\[
x^{\prime 2}+y^{\prime 2}=2 \lambda ; \quad x y^{\prime}-y x^{\prime}=\beta .
\]

Второе из этих уравнений уже линейно относительџо $x^{\prime}$ п $y^{\prime}$; зеачит всё дело в гом, чтобы ьаменить первое из них иным, также линеӥным. Это дучше всего сделать при помощи известной тождественной формулы:
\[
\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(x x^{\prime}+y y^{\prime}\right)^{2}+\left(x y^{\prime}-y x^{\prime}\right)^{2} .
\]

Подставим в нее вместо $x^{2}+y^{\prime 2}$ и $x y^{\prime}-y x^{\prime}$ их значения; тсгда получим:
\[
\begin{array}{c}
2 \lambda r^{2}=\left(x x^{\prime}+y y^{\prime}\right)^{2}+\beta^{2}, \\
x x^{\prime}+y y^{\prime}=\sqrt{2 \lambda r^{2}-\beta^{2}},
\end{array}
\]

Таким обравом имеем уравнения
\[
\begin{array}{c}
y y^{\prime}+x x^{\prime}=\sqrt{2 \lambda r^{2}-\beta^{2}}, \\
x y^{\prime}-y x^{\prime}=\beta,
\end{array}
\]

а отсюда получитея:
\[
r^{2} y^{\prime}=\beta x+y \sqrt{2 \lambda r^{2}-\beta^{2}}, \quad r^{2} x^{\prime}=-\beta y+x \sqrt{2 \lambda r^{2}-\beta^{2}} .
\]

Если разделим оба уравнения на
\[
r^{2}\left(y y^{\prime}+x x^{\prime}\right)=r^{2} \sqrt{2 \lambda r^{2}-\beta^{\alpha}}
\]

то получим:
\[
\frac{y^{\prime}}{x x^{\prime}+y y^{\prime}}=\frac{\beta x}{r^{2} \sqrt{2 \lambda r^{2}-\beta^{2}}}+\frac{y}{r^{2}} ; \frac{x^{\prime}}{x x^{\prime}+y y^{\prime}}=-\frac{\beta y}{r^{2} \sqrt{2 \lambda r^{2}-\beta^{2}}}+\frac{x}{r^{2}},
\]

и если эти значения подетавим в (10), то будем иметь:

Ho
\[
\frac{x^{\prime} d y-y^{\prime} d x}{x x^{\prime}+y y^{\prime}}=-\frac{\beta(x d x+y d y)}{r^{2}}+\frac{x d y-y d x}{\sqrt{2 \lambda r^{2}-\beta^{2}}} \text {. }
\]
\[
x d x+y d y=r d r
\]

далее, если мы подставим вместо $\lambda$ его значение, то получим
\[
\sqrt{2 \lambda r^{2}-\beta^{2}}=\sqrt{2 \alpha r^{2}+2 \hbar^{2} r-\beta^{2}}=\sqrt{R},
\]

где $R$ есть функция только от $r$; тогда
\[
\frac{x^{\prime} d y-y^{\prime} d x}{x x^{\prime}+y y^{\prime}}=-\frac{\beta}{\sqrt{R}} \frac{d r}{r}+\frac{x d y-y d x}{r^{2}} .
\]

Первый член правой части есть полный дифференциал, так как он равен $d r$, умноженному на некоторую функцю от $r$. Второй член имеет упомянутую уже в пятой лекции (стр. 30) форму произведения $x d y-y d x$ на однородную функцию – 2-го порядка от $x$ и $y$, а это произведение всегда может быть представлено как произведение некоторой функции от отношения $\frac{y}{x}$ на его дифференциал и поэтоиу есть полный дифференциал. В рассматриваемом случае имеем:
\[
\frac{x d y-y d x}{r^{2}}=\frac{d\left(\frac{y}{x}\right)}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}}=d \operatorname{arctg} \frac{y}{x} .
\]

Выражение $\frac{x^{\prime} d y-y^{\prime} d x}{x x^{\prime}+y y^{\prime}}$ есть тагим образом полный дифференциал, что и требовагось доказать.

Мы перейдем теперь к дифференциальным уравнениям движения несвободной системы.