Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Мы докажем непосредственно ту теорему, к которой пи прнили в конце проплой лекции. Iредставим себе, это $n$ уравнений, которые обращают выражение $p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полвый дифференцил и к которым гринадлелат уравнения $\varphi=a, \psi=b$, репены относительно $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ и эти значения подставлены в уравнения $\varphi=a, \psi=b$; топда эти послелние будут вынолнепы тождественно. Поэтому, находя частные производвые от фнкций $\varphi=a$ и $\psi=b$ по какой-либо из величин $q$, снова получим тождеетво, если при этом рассматривать $p$ как функции величин $q$. Так, при дифференцировании уравнепия $\varphi=a$ по $q_{i}$ получим Точно так же при дифферепцировании $\dot{\psi}=b$ по $q_{k}$ Умножим первое из этих уравнений на $\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}$ и просуммируем по $i$ от 1 до $n$, умножим затем второе уравнение на $\frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}}$ и просуммируем по $k$ от 1 до $n_{\gamma}^{\gamma}$ тогда иы полутим слетующие два результата: Если эти равенства вычесть одно из другого, то двойные суммы сократятен, так вак величины $p_{1}, p_{2}, \ldots \boldsymbol{p}_{n}$ определяются из $n$ уравнений, обрацающих аражени е $p_{1} d q_{2}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полный дифференциал, благодаря иему $\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)=\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)$; таким обравом останется следующее равенство: ๒ภน этот результат согласуется с уравнением (12) прошлой пекции. Из этого доказательства видим, что для вывода уравнения (1) необходииы все тсловные уравнения так как только гри цомощи этого равенства согратятся двойные суммы, распространенные на все значения $i$ и $k$. Уравнение (1) предполагает, как мы раньше заметили, только то, что уравнения $\varphi=a$ и $\psi=b$ являютея какими-нибудь двумя из таких $u$ уравнений, которые обращают выражение $p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полный дифференциал. Взятые прп таком общем предположении $a$ и $b$ могут быть как произвольными постоянными, так и определенными численными величинами, папример, нулями. Равным образом мы можем не делать никаких особых чредположений относительно прпрды функциӥ $\varphi$ и $\psi$. Эти функии сами могут содержать произвольные постоянные, но могут талже быть свободными от них. Сообразно с этими различными обстоятельствами равенство (1) будет тождеством или не будет таковым. Если $a$ и $b$ не являютея произвольными иостоянными, то оно может не быть тождеством, а удовлетворяться вследотвие уравнений $\varphi=a$ и $\psi=b$. Но этот случай встречается всего реже; тораздо чаще встречаетея случай, когда уравнение (1) являетея третьим из $n$ уравнений, обращающи выражение $p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полный дифференциал; тогда из уравнения (1) и одного из уравнений $\varphi=a, \psi=b$ можно вывести простым цифферещцированием четвертое уравнение. Это уравнение снова будет либо тождеством, либо следетвием уже иввестных нам трех уравнений, либо, наконец, четвертым из системы $n$ уравнений и т. д. Тагих образом может случиться, что из равенств $\varphi=a$ и $\varphi=b$ простым дифференцированием получатея $n$ различны уравнений, которье иечерпывают систему $n$ уравнений; но больше чем $n$ независимых друю от друга уравнений, считая в их числе $\varphi=a$ и $\psi=b$, мы никогда не можем получить, так кап все они должны удовлетворяться теми же самыми значениями $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, которые обращают $p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полный дифференциал. Мы видим таким образом, что если мы ничего не установим относительно харакгера уравнений $\varphi=a$ и $\psi=b$, то мы не сможем сказать ничего определенного относительно природы уравнения (1). Это более точное определение получится, если мы требованию, что $\varphi=a$ и $\psi=b$ принадлежат $к$ системе $n$ уравнений, обращающих выражение $p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полный дифференцал, присоединим еще требование, что функция есть полное решение предложенного уравнения в частных производных, х. е. она кроме аддитивной постоянной содержит еще $n-1$ произвольных постоянных. ІІедположим, что предложенное уравнение в частных производных само содержит неопределенную поотоянную $h$ и решено относительно нее, т. е. опо имеет форму и полное решение $V$ содержит кроме $h$ еце $n-1$ проиввольны постоянмых $h_{1}, h_{2}, \ldots h_{n-1}$; тогда уравневия будут как раз теми уравнениями, которые обращают выражение $p_{1} d q_{1}$ +. $+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полный дифференциал, а эго интеграл – в полное репение уравнения в частных проивводных. Іредставим еебе эти $n$ уравнений репенными относительно содержаңихся в них постоянных $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$ и результат приведенным к виду где $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$ – функции только от $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}, \quad q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$; тогда первое уравнение $h=H$ очевидно есть не что иное, как данное уравнение в частных цроизводных, так как оно есть единственное свободное от произвольных постоянных $h_{1}, h_{2}, \ldots h_{n-1}$. Таким образом, как мы видим, каждый раз получитея, кроме данного дифференциального уравнения $h=H=\varphi$, еще $n-1$ независимых как от него, та́к и друг от друга уравнений вида: обладающих ґех свойством, что, если из этих $n$ уравнений определить величины $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, то $\int\left(p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}\right)$ будет полным решением ураннения в частных производни $h=H$. Из этих $n$ уравнений невозможно вывести еще какое-нибудь уравнение, совершенно свободное от ностояниых $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$; в самом деле, иначе можно было бы из этого уравнения и из уравнения $h=H$ исключить одну из величич $p$ п получить таким образои уравнение в частных производных, в котором число персчепных, по которым будет производиться дифференцирование, окажетея на одну единицу ниже, чеи в предложенном уравнении, и которому однако удовлетворяло бы выражение $V=\int p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$; поэтому $V$ не могло бы быть полным решением уравнения $h=H$. Итак, невозможно исключить сразу все постоннные; отсюда следует, что если мы из $n$ уравнений $h=H, h_{1}=H_{1}, \ldots h_{n-1}=H_{n-1}$ выведем уравнение, свободное ст всех постоянных $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}^{n}$, то оно будет тождеством. В самом деле, это уравнение должно удовлетворяться значениями величин $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, которые иы определяем из тех $n$ уравнений. Но эти знатения $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ содержат свова столько же невависимых друг от друга величин $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$; поэтому выпеуказанное уравнение, если оно тождественно удовлетворяетса досле подстановки значений $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, уже до подстановки должно быть тождеством. Таким уравнением является уравнение (1), если в нем виесточ – $\psi$ подставить две величины $H$; поэтому уравнение есть пождество. Итак, в том случае, когда $\varphi=a$ и $\psi=b$ принадлежат х системе уравнений $h_{i}=H_{i}$, не остается никакого сомнения относительно природы уравнения (1); мы знаем, что оно будет тогда тождеством. Іоэтому те $\frac{n(n-1)}{2}$ уравнений, которые мы получаем, подставляя вместо $\varphi$ и $\psi$ все комбинации по две из величин $H_{i}$, являются условными уравнениями, которым должны удовлетворять эти величины. Таким обравом мы получим снова $\frac{n(n-1)}{2}$ условных уравнений, которые должны удовлетворяться $n$ функциями, из которых иввестна одна именно $H$, а остальные $n-1$ функцик $H_{1}, H_{2}, \ldots H_{n-1}$ – нскомые. Есяи теперь $h=H, h_{1}=H_{1}, \ldots h_{n-1}=H_{n-1}$ являютея теми уравнениями которые обращают $V$ в полное решение предложенного уравнения в частных производных $h=H$, то величины $H$ должны удовлетворять $\frac{n(n-1)}{2}$ уеловным уравнениям, которые мы получим, если в уравнении виесто обоих раздичных друг от друга значков $i$ म $k$ нодетавим все возможные комбинации по два из чисел $0,1, \ldots n-1$. Этп $\frac{n(n-1)}{2}$ условий необходимы пля того, чтобы нолучаемне ия уравнений $h_{i}=H_{i}$ значения $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ обращали выракение $p_{1} d q_{1}+$ $+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полный дифференциал, а его интеграл-в полное решение предложенного уравнения в частных шроизводных. Остаетея только нокавать, что они также достаточны, т. е. что если они выполнены, то в самом деле $p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ будет полным дифлеренцилои [вторая часть высказанного начи ножожения, именно что есть полное решение, очевидна сама собой, так как постоянные $h_{1}, h_{2}, \ldots h_{n}$ произвольны и друг от друга независимы]. Таким образом мы должны доказать, что из условных уравнений єедуют условные уравнения так же как выше мы из последних вывели первые. Ilредположив затем вынолненными условные уравнения $\left(\frac{\partial \boldsymbol{p}_{k}}{\partial q_{i}}\right)-\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial \boldsymbol{q}_{k}}\right)=0$, иы сократили при вычитании двойные суммы и получили новую форму условных уравнений; теперь, когда мы не можем предполагать выполненными условные уравнения $\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)=\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)$, но хотим их доказать, мы получим, вычитая выпенаписанные два уравнения одно из другого и ставя на место функциї $ч$ и $\psi$ функции $H_{\alpha}$ и $H_{\beta}$, следующий результат: Іростая сумма, образующ вая второй член правой части этого равенства, есть ие что иное, как величина, обозначенная выше через ( $\left.H_{0}, H_{\beta}\right)$; двойная еумма, образующая червый чен, может быть сведена к $\frac{n(n-1)}{2}$ членам, так как члены, в которых $i=k$, исчезают, а из прочих каждые два, подучаемые друг из друга перестановкой $i$ и $k$, соединяютея в один. Таких өбразом уравнение (2) превращается в: где сумирование распространяетоя на все разичные между собой комбинации $i$ и $k$. Таких уравнений, подставляя вместо $H_{\alpha}, H_{\beta}$ две равличные из величин $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$, получим $\frac{n(n-1)}{2}$. Таким образом получитея вистема $\frac{n(n-1)}{2}$ уравнений, которые динейны по отнопению к величинам $\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)-\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{k}}\right)$ и в которнх $\left(H_{\sigma}, H_{\xi}\right)$ образуют постолнные чены. Надо показать, что когда эти последиие величны исчезают, то и все первые величины становятся равными нул. Но в системе линейных уравнений иечезновение постоянных членов всегда имеет необходимым следствием обращение в нул неиввестых, если топьо определитель системы не равен пулю, 1 в каковом случае значения неизвестных становятся неогределенными. Что этот случай здесь пе имеет места, можно доказать, не вычисляя самого ошределителя, а принив во внимание, что формулы дия рещения системы (2*) выводятоя из данной формы (2) уравнений этой си\”темн етедуюпим простым способом. Полагаем дия сокращения и обозначаем через $k$ определитель, составленный из $n^{2}$ величин $a_{i}^{(x)}$, где $\alpha$ принимает значение $0,1, \ldots n-1$, а $i$-значения $1,2, \ldots n$, так что далее номатаем После подстановки этих обозначений и нерестановки $\alpha$ п уравнение (2) можно церенисать так: ұо уравнение имеет место не тольк тогда, когда вместо $\alpha$ и $\beta$ нодетавлены два различные значения из ряда $0,1, \ldots n-1$, но также когда оба значка равны одному п тому же из этих $n$ значений. В этом последнем случае уравнение (3) есть тождество, так как тогда в уравнении (2*), только формально отличающемея от уравнепия (9), все члены поодиночке обрацаютея в нуль. Есаи ми умножим уравнепие (3) па $A_{r}^{(p)} A_{s}^{(3)}$, где $r$ и $s$ обовначают числа из ряда $1,2, \ldots n$, то-ножно, как это тодько-что замечено, еуммировать от 0 до $n-1$ по каждому из значков $\alpha$ и $\beta$, независимо от пругого значка. Если мы в резултате изменим порлдои суммирований, ко́торые производятея с одной стороны по $i$ н $k$, а с диугой чо $\alpha$ и $\beta$, и обозначим через $M_{i, k}$ двойную сумиу то нодучим Простые сущмы, цроиведением воторых является $M_{i, k}$, равны 0 или $R{ }^{1}$ смотря по тому, отличаютея ли $i$ от $r$ и $k$ от $s$, или $i$ совпадает с $r$ п $k$ e s. Таким образом имеем кроме того случая, когда опновременно $i=r$ и $k=s$, и в этом случае поэтому уравнение (4) переходит в следующее: Отсюда щы видия, что если по предположению все величины $\left(H_{\alpha}, H_{\beta}\right.$ ) равны нулю, то все величины $\left(\frac{\partial p_{r}}{\partial q_{s}}\right)-\left(\frac{\partial p_{s}}{\partial q_{r}}\right)$ также исчезают, если только R не равен нулю. Но обращение в нуль выражения обовначает, что $H, H I_{1}, \ldots H_{n-1}$, являющиеся функцями от величин $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, не независимы друг от друга, и таким образом уравнений $H=h, H_{1}=$ $=h_{1}, \ldots H_{n-1}=h_{n-1}$ не достаточно, чтобы из них определить переменные $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ как функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$. Исключая этот единственный стучай, мы можем таким образом обратно из $\frac{n(n-1)}{2}$ условных уравнений вывести $\frac{n(n-1)}{2}$ первоначальных условных уравнениї
|
1 |
Оглавление
|