Мы докажем непосредственно ту теорему, к которой пи прнили в конце проплой лекции.

Iредставим себе, это $n$ уравнений, которые обращают выражение $p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полвый дифференцил и к которым гринадлелат уравнения $\varphi=a, \psi=b$, репены относительно $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ и эти значения подставлены в уравнения $\varphi=a, \psi=b$; топда эти послелние будут вынолнепы тождественно. Поэтому, находя частные производвые от фнкций $\varphi=a$ и $\psi=b$ по какой-либо из величин $q$, снова получим тождеетво, если при этом рассматривать $p$ как функции величин $q$. Так, при дифференцировании уравнепия $\varphi=a$ по $q_{i}$ получим
\[
\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}}\left(\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial \varphi_{\varphi}}{\partial p_{2}}\left(\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{l}}\right)+\ldots+\frac{\partial \rho}{\partial p_{n}}\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{t}}\right)+\frac{\partial \varphi}{\partial q_{1}}=0
\]
М.]и
\[
\sum_{k=1}^{k=n} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}}\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{6}}\right)+\frac{\partial \varphi}{\partial q_{t}}=0 .
\]

Точно так же при дифферепцировании $\dot{\psi}=b$ по $q_{k}$
\[
\sum_{i=1}^{i=n} \frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)+\frac{\partial \psi}{\partial q_{k}}=0
\]

Умножим первое из этих уравнений на $\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}$ и просуммируем по $i$ от 1 до $n$, умножим затем второе уравнение на $\frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}}$ и просуммируем по $k$ от 1 до $n_{\gamma}^{\gamma}$ тогда иы полутим слетующие два результата:
\[
\begin{array}{l}
\sum_{i=1}^{i=n} \sum_{k=1}^{k=n} \frac{\partial \psi}{\partial p_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}}\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)+\sum_{i=1}^{i=n} \frac{\partial \Psi}{\partial p_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}}=0 \\
\sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{i=n} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}} \frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)+\sum_{k=1}^{k=n} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}} \frac{\partial \Psi}{\partial q_{k}}=0
\end{array}
\]

Если эти равенства вычесть одно из другого, то двойные суммы сократятен, так вак величины $p_{1}, p_{2}, \ldots \boldsymbol{p}_{n}$ определяются из $n$ уравнений, обрацающих аражени е $p_{1} d q_{2}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полный дифференциал, благодаря иему $\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)=\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)$; таким обравом останется следующее равенство:
\[
\sum_{k=1}^{k=n} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}} \frac{\partial \Psi}{\partial q_{k}}-\sum_{i=1}^{i=n} \frac{\partial \Psi}{\partial p_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}}=0
\]

๒ภน
\[
\sum_{k=1}^{k=n}\left\{\frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{k}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{k}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{k}}\right\}=0
\]

этот результат согласуется с уравнением (12) прошлой пекции. Из этого доказательства видим, что для вывода уравнения (1) необходииы все тсловные уравнения
\[
\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)=\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right),
\]

так как только гри цомощи этого равенства согратятся двойные суммы, распространенные на все значения $i$ и $k$.

Уравнение (1) предполагает, как мы раньше заметили, только то, что уравнения $\varphi=a$ и $\psi=b$ являютея какими-нибудь двумя из таких $u$ уравнений, которые обращают выражение $p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полный дифференциал. Взятые прп таком общем предположении $a$ и $b$ могут быть как произвольными постоянными, так и определенными численными величинами, папример, нулями. Равным образом мы можем не делать никаких особых чредположений относительно прпрды функциӥ $\varphi$ и $\psi$. Эти функии сами могут содержать произвольные постоянные, но могут талже быть свободными от них.

Сообразно с этими различными обстоятельствами равенство (1) будет тождеством или не будет таковым. Если $a$ и $b$ не являютея произвольными иостоянными, то оно может не быть тождеством, а удовлетворяться вследотвие уравнений $\varphi=a$ и $\psi=b$. Но этот случай встречается всего реже; тораздо чаще встречаетея случай, когда уравнение (1) являетея третьим из $n$ уравнений, обращающи выражение $p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полный дифференциал; тогда из уравнения (1) и одного из уравнений $\varphi=a, \psi=b$ можно вывести простым цифферещцированием четвертое уравнение. Это уравнение снова будет либо тождеством, либо следетвием уже иввестных нам трех уравнений, либо, наконец, четвертым из системы $n$ уравнений и т. д. Тагих образом может случиться, что из равенств $\varphi=a$ и $\varphi=b$ простым дифференцированием получатея $n$ различны уравнений, которье иечерпывают систему $n$ уравнений; но больше чем $n$ независимых друю от друга уравнений, считая в их числе $\varphi=a$ и $\psi=b$, мы никогда не можем получить, так кап все они должны удовлетворяться теми же самыми значениями $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, которые обращают $p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полный дифференциал. Мы видим таким образом, что если мы ничего не установим относительно харакгера уравнений $\varphi=a$ и $\psi=b$, то мы не сможем сказать ничего определенного относительно природы уравнения (1).

Это более точное определение получится, если мы требованию, что $\varphi=a$ и $\psi=b$ принадлежат $к$ системе $n$ уравнений, обращающих выражение $p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полный дифференцал, присоединим еще требование, что функция
\[
V=\int\left(p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}\right)
\]

есть полное решение предложенного уравнения в частных производных, х. е. она кроме аддитивной постоянной содержит еще $n-1$ произвольных постоянных. ІІедположим, что предложенное уравнение в частных производных само содержит неопределенную поотоянную $h$ и решено относительно нее, т. е. опо имеет форму
\[
\varphi\left(p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}\right)=h,
\]

и полное решение $V$ содержит кроме $h$ еце $n-1$ проиввольны постоянмых $h_{1}, h_{2}, \ldots h_{n-1}$; тогда уравневия
\[
\frac{\partial V}{\partial q_{1}}=p_{1}, \quad \frac{\partial V}{\partial q_{2}}=p_{2}, \ldots \frac{\partial V}{\partial q_{n}}=p_{n}
\]

будут как раз теми уравнениями, которые обращают выражение $p_{1} d q_{1}$ +. $+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полный дифференциал, а эго интеграл — в полное репение уравнения в частных проивводных. Іредставим еебе эти $n$ уравнений репенными относительно содержаңихся в них постоянных $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$ и результат приведенным к виду
\[
h=H, h_{1}=H_{1}, h_{2}=H_{2}, \ldots h_{n-1}=H_{n-1},
\]

где $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$ — функции только от $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}, \quad q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$; тогда первое уравнение $h=H$ очевидно есть не что иное, как данное уравнение в частных цроизводных, так как оно есть единственное свободное от произвольных постоянных $h_{1}, h_{2}, \ldots h_{n-1}$. Таким образом, как мы видим, каждый раз получитея, кроме данного дифференциального уравнения $h=H=\varphi$, еще $n-1$ независимых как от него, та́к и друг от друга уравнений вида:
\[
h_{1}=H_{1}, \quad h_{2}=H_{2}, \ldots h_{n-1}=H_{n-1},
\]

обладающих ґех свойством, что, если из этих $n$ уравнений определить величины $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, то $\int\left(p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}\right)$ будет полным решением ураннения в частных производни $h=H$. Из этих $n$ уравнений
\[
h=H, \quad h_{1}=H_{1}, \ldots h_{n-1}=H_{n-1}
\]

невозможно вывести еще какое-нибудь уравнение, совершенно свободное от ностояниых $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$; в самом деле, иначе можно было бы из этого уравнения и из уравнения $h=H$ исключить одну из величич $p$ п получить таким образои уравнение в частных производных, в котором число персчепных, по которым будет производиться дифференцирование, окажетея на одну единицу ниже, чеи в предложенном уравнении, и которому однако удовлетворяло бы выражение $V=\int p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$; поэтому $V$ не могло бы быть полным решением уравнения $h=H$. Итак, невозможно исключить сразу все постоннные; отсюда следует, что если мы из $n$ уравнений $h=H, h_{1}=H_{1}, \ldots h_{n-1}=H_{n-1}$ выведем уравнение, свободное ст всех постоянных $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}^{n}$, то оно будет тождеством. В самом деле, это уравнение должно удовлетворяться значениями величин $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, которые иы определяем из тех $n$ уравнений. Но эти знатения $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ содержат свова столько же невависимых друг от друга величин $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$; поэтому выпеуказанное уравнение, если оно тождественно удовлетворяетса досле подстановки значений $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, уже до подстановки должно быть тождеством. Таким уравнением является уравнение (1), если в нем виесточ — $\psi$ подставить две величины $H$; поэтому уравнение
\[
\left.\begin{array}{r}
\frac{\partial H_{i}}{\partial p_{1}} \frac{\partial H_{i^{\prime}}}{\partial q_{1}}+\frac{\partial H_{i}}{\partial p_{2}} \frac{\partial H_{i^{\prime}}}{\partial q_{2}}+\ldots+\frac{\partial H_{i}}{\partial p_{n}} \frac{\partial H_{i^{\prime}}}{\partial q_{n}} \\
-\frac{\partial H_{i^{\prime}}}{\partial \boldsymbol{p}_{1}} \frac{\partial H_{i}}{\partial q_{1}}-\frac{\partial H_{i^{\prime}}}{\partial p_{2}} \frac{\partial H_{i}}{\partial q_{2}}-\ldots-\frac{\partial H_{i^{\prime}}}{\partial p_{n}} \frac{\partial H_{i}}{\partial q_{n}}
\end{array}\right\}=0
\]

есть пождество. Итак, в том случае, когда $\varphi=a$ и $\psi=b$ принадлежат х системе уравнений $h_{i}=H_{i}$, не остается никакого сомнения относительно природы уравнения (1); мы знаем, что оно будет тогда тождеством. Іоэтому те $\frac{n(n-1)}{2}$ уравнений, которые мы получаем, подставляя вместо $\varphi$ и $\psi$ все комбинации по две из величин $H_{i}$, являются условными уравнениями, которым должны удовлетворять эти величины. Таким обравом мы получим снова $\frac{n(n-1)}{2}$ условных уравнений, которые должны удовлетворяться $n$ функциями, из которых иввестна одна именно $H$, а остальные $n-1$ функцик $H_{1}, H_{2}, \ldots H_{n-1}$ — нскомые.
Введем теперь обозначение:
\[
\left(H_{i}, H_{k}\right)=\left\{\begin{array}{c}
\frac{\partial H_{i}}{\partial p_{1}} \frac{\partial H_{k}}{\partial q_{1}}+\frac{\partial H_{4}}{\partial p_{2}} \frac{\partial H_{k}}{\partial q_{2}}+\ldots+\frac{\partial H_{i}}{\partial p_{n}} \frac{\partial H_{k}}{\partial q_{n}} \\
-\frac{\partial H_{k}}{\partial p_{1}} \frac{\partial H_{i}}{\partial q_{1}}-\frac{\partial H_{k}}{\partial p_{2}}-\frac{\partial H_{t}}{\partial q_{2}} \ldots-\frac{\partial H_{k}}{\partial p_{n}} \frac{\partial H_{i}}{\partial q_{n}}
\end{array}\right.
\]
[оно не имеет никакого отношения к введенному в прошлй лекци обозвачению $(i, k)]$, так что для любого пропзвольного значения $H_{\text {f }}$ н $H_{k}$ будек: иметь
\[
\left(H_{i}, H_{k}\right)=-\left(H_{k}, H_{i}\right),\left(H_{i}, H_{i}\right)=0 .
\]

Есяи теперь $h=H, h_{1}=H_{1}, \ldots h_{n-1}=H_{n-1}$ являютея теми уравнениями которые обращают $V$ в полное решение предложенного уравнения в частных производных $h=H$, то величины $H$ должны удовлетворять $\frac{n(n-1)}{2}$ уеловным уравнениям, которые мы получим, если в уравнении
\[
\left(H_{i}, H_{k}\right)=0
\]

виесто обоих раздичных друг от друга значков $i$ म $k$ нодетавим все возможные комбинации по два из чисел $0,1, \ldots n-1$.

Этп $\frac{n(n-1)}{2}$ условий необходимы пля того, чтобы нолучаемне ия уравнений $h_{i}=H_{i}$ значения $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ обращали выракение $p_{1} d q_{1}+$ $+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ в полный дифференциал, а его интеграл-в полное решение предложенного уравнения в частных шроизводных. Остаетея только нокавать, что они также достаточны, т. е. что если они выполнены, то в самом деле $p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}$ будет полным дифлеренцилои
и виесте с тем бұдут иметь место $\frac{n(n-1)}{2}$ уравнений
\[
\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)=\left(\frac{\partial p_{t}}{\partial q_{k}}\right)
\]

[вторая часть высказанного начи ножожения, именно что
\[
\int\left(p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}\right)
\]

есть полное решение, очевидна сама собой, так как постоянные $h_{1}, h_{2}, \ldots h_{n}$ произвольны и друг от друга независимы]. Таким образом мы должны доказать, что из условных уравнений
\[
\left(H_{i}, H_{k}\right)=0
\]

єедуют условные уравнения
\[
\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)=\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)
\]

так же как выше мы из последних вывели первые.
Чтобы провести это доказательство, мы должны вернуться к уравнениям, которые встретились в начале этой лекции при прямом доказательстве равенства (1). Исходя ив предшоложения, что $\varphi=a$ и $\psi=b$ принадлежат к’системе $n$ уравнений, которые служат для определения $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ как функций от $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, и что поэтому уравнения $\varphi=a$ и $\psi=b$ тождественно удовлетворяются выражениями величин $p$ через $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\text {н }}$, мы голучили уравнення:
\[
\begin{array}{l}
\sum_{i=1}^{i=n} \sum_{k=1}^{k=n} \frac{\partial \psi}{\partial p_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}}\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)+\sum_{i=1}^{i=n} \frac{\partial \psi}{\partial p_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}}=0 \\
\sum_{i=1}^{k=n} \sum_{k=1}^{k=n} \frac{\partial \psi}{\partial p_{i}} \frac{\partial \varphi^{\prime}}{\partial p_{k}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)+\sum_{k=1}^{k=n} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{k}}=0
\end{array}
\]

Ilредположив затем вынолненными условные уравнения $\left(\frac{\partial \boldsymbol{p}_{k}}{\partial q_{i}}\right)-\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial \boldsymbol{q}_{k}}\right)=0$, иы сократили при вычитании двойные суммы и получили новую форму условных уравнений; теперь, когда мы не можем предполагать выполненными условные уравнения $\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)=\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)$, но хотим их доказать, мы получим, вычитая выпенаписанные два уравнения одно из другого и ставя на место функциї $ч$ и $\psi$ функции $H_{\alpha}$ и $H_{\beta}$, следующий результат:
\[
0=\sum_{i=1}^{i=n} \sum_{k=1}^{k=n} \frac{\partial H_{\alpha}}{\partial p_{k}} \frac{\partial H_{\beta}}{\partial p_{i}}\left\{\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)-\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)\right\}+\sum_{i=1}^{i=n}\left\{\frac{\partial H_{\alpha}}{\partial p_{i}} \frac{\partial H_{\beta}}{\partial q_{i}}-\frac{\partial H_{\beta}}{\partial p_{i}} \frac{\partial H_{\alpha}}{\partial q_{i}}\right\} .
\]

Іростая сумма, образующ вая второй член правой части этого равенства, есть ие что иное, как величина, обозначенная выше через ( $\left.H_{0}, H_{\beta}\right)$; двойная еумма, образующая червый чен, может быть сведена к $\frac{n(n-1)}{2}$ членам, так как члены, в которых $i=k$, исчезают, а из прочих каждые два, подучаемые друг из друга перестановкой $i$ и $k$, соединяютея в один. Таких өбразом уравнение (2) превращается в:
\[
0=\sum_{i, k}\left\{\frac{\partial H_{\alpha}}{\partial p_{k}} \frac{\partial H_{\beta}}{\partial p_{i}}-\frac{\partial H_{\beta}}{\partial p_{k}}-\frac{\partial H_{\alpha}}{\partial p_{i}}\right\}\left\{\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)-\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)\right\}+\left(H_{a}, H_{i}\right)
\]

где сумирование распространяетоя на все разичные между собой комбинации $i$ и $k$. Таких уравнений, подставляя вместо $H_{\alpha}, H_{\beta}$ две равличные из величин $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$, получим $\frac{n(n-1)}{2}$. Таким образом получитея вистема $\frac{n(n-1)}{2}$ уравнений, которые динейны по отнопению к величинам $\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)-\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{k}}\right)$ и в которнх $\left(H_{\sigma}, H_{\xi}\right)$ образуют постолнные чены. Надо показать, что когда эти последиие величны исчезают, то и все первые величины становятся равными нул. Но в системе линейных уравнений иечезновение постоянных членов всегда имеет необходимым следствием обращение в нул неиввестых, если топьо определитель системы не равен пулю, 1 в каковом случае значения неизвестных становятся неогределенными. Что этот случай здесь пе имеет места, можно доказать, не вычисляя самого ошределителя, а принив во внимание, что формулы дия рещения системы (2*) выводятоя из данной формы (2) уравнений этой си\»темн етедуюпим простым способом. Полагаем дия сокращения
\[
\frac{\partial H_{2}}{\partial p_{i}}=\alpha_{i}^{(\alpha)}
\]

и обозначаем через $k$ определитель, составленный из $n^{2}$ величин $a_{i}^{(x)}$, где $\alpha$ принимает значение $0,1, \ldots n-1$, а $i$-значения $1,2, \ldots n$, так что
\[
R=\sum \pm_{\mathrm{a}} a_{1} a_{2}{ }^{\prime} a_{3}{ }^{\prime \prime} \ldots a_{n}{ }^{(n-1)} ;
\]

далее номатаем
\[
A_{i}^{(\alpha)}=\frac{\partial H_{i}}{\partial a_{i}^{(x)}} .
\]

После подстановки этих обозначений и нерестановки $\alpha$ п уравнение (2) можно церенисать так:
\[
\sum_{i=1}^{i=n} \sum_{k=1}^{k=n} a_{i}^{\left(x_{1}\right)} a_{k}^{(\beta)}\left\{\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)—\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)\right\}=\left(H_{t,} H_{3}\right) .
\]

ұо уравнение имеет место не тольк тогда, когда вместо $\alpha$ и $\beta$ нодетавлены два различные значения из ряда $0,1, \ldots n-1$, но также когда оба значка равны одному п тому же из этих $n$ значений. В этом последнем случае уравнение (3) есть тождество, так как тогда в уравнении (2*), только формально отличающемея от уравнепия (9), все члены поодиночке обрацаютея в нуль.

Есаи ми умножим уравнепие (3) па $A_{r}^{(p)} A_{s}^{(3)}$, где $r$ и $s$ обовначают числа из ряда $1,2, \ldots n$, то-ножно, как это тодько-что замечено, еуммировать от 0 до $n-1$ по каждому из значков $\alpha$ и $\beta$, независимо от пругого значка. Если мы в резултате изменим порлдои суммирований, ко́торые производятея с одной стороны по $i$ н $k$, а с диугой чо $\alpha$ и $\beta$, и обозначим через $M_{i, k}$ двойную сумиу

то нодучим
\[
\sum_{i=1}^{i=n} \sum_{k=1}^{k=n} M_{i, k}\left\{\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)-\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)\right\}=\sum_{\alpha=0}^{\alpha=n} \sum_{\beta=0}^{n-1} A_{r}^{(\alpha)} A_{s}^{(\beta)}\left(H_{\alpha}, H_{\beta}\right) .
\]
1 См. стр. 139 и 140.

Простые сущмы, цроиведением воторых является $M_{i, k}$, равны 0 или $R{ }^{1}$ смотря по тому, отличаютея ли $i$ от $r$ и $k$ от $s$, или $i$ совпадает с $r$ п $k$ e s. Таким образом имеем
\[
M_{i, k}=0
\]

кроме того случая, когда опновременно $i=r$ и $k=s$, и в этом случае
\[
M_{r, s}=R^{2}
\]

поэтому уравнение (4) переходит в следующее:
\[
R^{2}\left\{\left(\frac{\partial p_{r}}{\partial q_{s}}\right)-\left(\frac{\partial p_{s}}{\partial q_{r}}\right)\right\}=\sum_{\alpha=0}^{\alpha=n-1} \sum_{\beta=0}^{\beta=n-1} A_{r}^{(\alpha)} A_{s}^{(\beta)}\left(H_{\alpha}, H_{\beta}\right) .
\]

Отсюда щы видия, что если по предположению все величины $\left(H_{\alpha}, H_{\beta}\right.$ ) равны нулю, то все величины $\left(\frac{\partial p_{r}}{\partial q_{s}}\right)-\left(\frac{\partial p_{s}}{\partial q_{r}}\right)$ также исчезают, если только R не равен нулю. Но обращение в нуль выражения
\[
R=\Sigma \pm a_{1} a_{2}{ }^{\prime} a_{3}{ }^{\prime \prime} \ldots a_{n}{ }^{(n-1)}=\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial H}{\partial p_{1}} \frac{\partial H_{1}}{\partial p_{2}} \ldots \frac{\partial H_{n-1}}{\partial p_{n}}
\]

обовначает, что $H, H I_{1}, \ldots H_{n-1}$, являющиеся функцями от величин $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, не независимы друг от друга, и таким образом уравнений $H=h, H_{1}=$ $=h_{1}, \ldots H_{n-1}=h_{n-1}$ не достаточно, чтобы из них определить переменные $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$ как функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$. Исключая этот единственный стучай, мы можем таким образом обратно из $\frac{n(n-1)}{2}$ условных уравнений
\[
\left(\dot{H}_{\alpha}, H_{\beta}\right)=0
\]

вывести $\frac{n(n-1)}{2}$ первоначальных условных уравнениї
\[
\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)-\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)=0 .
\]
1 См. 11-ю декдию, $n^{\circ} 3$.