Мы будем тешерь заниматься общими исследованиями относительно уравнений в частных производных первого поряцка и при этом предшоложим, что сама искомая функция не входит в дифференциальное уравнение. Это предположение не представляет существенного ограничения, так как общий случай всегда может быть приведен к этому. В самом деле, если гредложенное дифференциальное уравнение содержит искомую фунвцию $V$ и, следовательно, имеет форму
\[
0=\Phi\left(V, \frac{\partial V}{\partial q_{1}}, \frac{\partial V}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial q_{n}}, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}\right),
\]

то вводим новую независимую переменную $q$ п новую зависимую переменную $W$ уравнением
\[
W=q V
\]

таким образом будем иметь:
\[
\frac{\partial W}{\partial q}=V, \frac{\partial W}{\partial q_{1}}=q \frac{\partial V}{\partial q_{1}}, \ldots \frac{\partial W}{\partial q_{n}}=q \frac{\partial V}{\partial q_{n}},
\]

тав что
\[
V=\frac{\partial W}{\partial q}, \frac{\partial V}{\partial q_{1}}=\frac{1}{q} \frac{\partial W}{\partial q_{1}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial q_{n}}=\frac{1}{q} \frac{\partial W}{\partial q_{n}} .
\]

Поэтому предложенное цифференцильное уравнение переходит в следующее:
\[
0=\Phi\left(\frac{\partial W}{\partial q}, \frac{1}{q} \frac{\partial W}{\partial q_{1}}, \ldots \frac{1}{q} \frac{\partial W}{\partial q_{n}}, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}\right) .
\]

В это уравнение входит, правда, одною независимою переменною больше, именно входит $q$, но оно уже не содержит самой фуниции $W$, а только ее производные по $q, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$. Таким образом мы можем, не нарушая общности, ограничиться случаем, когда дано дифференциалное уравнение
\[
\vartheta\left(\frac{\partial V}{\partial q_{1}}, \frac{\partial V}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial q_{n}}, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}\right)=0
\]
n функция $V$ саиа не входит в уравнение. Шоложив здесь пяя краткости
\[
\frac{\partial V}{\partial q_{i}}=p_{i}
\]

получии уравнение:
\[
\varphi\left(p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}\right)=0 .
\]

Если мы теперь, следуя Лагранж, захотим для определения $V$ применить тот же метод, которым мы нользовались дия случая $n=2$ в двадцать, второй лецции, то мы должны величиы $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ определить в виде таких функций от $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, ттобы выражение
\[
p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}
\]

было шолим дифференциалом. Но мы здесь наталкиваемея на своеобразную трудность. Именно, так как уравнение (1) уже представляет соотношение между величинами $p$ и $q$, то нам нужны еще $n-1$ других соотношений, чтобы мы могли все величины $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ выразить через $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$. Следовательно мы располагаем $n-1$ функцией от переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$ и должны их определить так, чтобы выражение (2) было полным дифферепциалом. џля удовлетворепня этого требования необходимо вынолнение $\frac{n(n-1)}{2}$ условных уравнений вида
\[
\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}=\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}
\]

или, при введении сокращенных обозначений
\[
(i, k)=\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{t}},
\]

вышолнение $\frac{n(n-1)}{2}$ уеловных уравнений
\[
(i, k)=0,
\]

между тен нак мы имеем в своем распоряжении тольк $n-1$ функций. Дэя $n=2$ эти два числа правда равны друг другу, именно оба равны 1 , но во всех других случаях первое число превосходит второе.

Это затруднение удерживало до сих пор аналитиков от распространеняя четода Лагранжа на большее число переменных. Нас оно не устрашит, напротив, зная а priori, что задача, несмотря на слипком больше число условий, всё же может быть решена, мы будем исследовать-как это может произойти, что $n-1$ функция удовлетворяет $\frac{n(n-1)}{2}$ условным уравнениям.

Отметим варанее одно обстоятельство, которое должно нам пригодиться при эом исследовапии, так как благодаря ему $\frac{n(n-1)}{2}$ условных уравнений щриводятея в связь друг с другом. Именно, пуеть $i, i^{\prime}, i^{\prime \prime}$ обозначарт три любых значка; тогда мы имеем тождество
\[
\frac{\partial\left(i^{\prime}, i^{\prime \prime}\right)}{\partial q_{i}}+\frac{\partial\left(i^{\prime \prime}, i\right)}{\partial q_{i^{\prime}}}+\frac{\partial\left(i, i^{\prime}\right)}{\partial q_{i^{\prime \prime}}}=0 .
\]

Хотя отсюда еще не следует, что, когда $\left(i^{\prime \prime}, i\right)=0$ и $\left(i, i^{\prime}\right)=0$, то также исчезает и ( $\left.i^{\prime}, i^{\prime \prime}\right)$, но ясно, что тогда это последнее выражение не зависит от $q_{i}$, так что если оно исчезает для какого-нибуль значения $q_{i}$, то оно вообще равно нулю.

Чтобы разобрать исчерпывающе поставленный вопрос, мы должны начала преобразовать условные уравнения. В предыдущей форме этих уравнений $\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}=\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}$ величины $p$ рассматриваются толю как функци величин $q$, т. е. предиолагаетея, что $n$ соотношений между величинами $p$ и $q$, нз которых одно дано уравнением (1), в то время как остальные $n-1$ в нашеа распоряжении, репены относительно $n$ величин $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$.

Для исследовапия, о котором идет речь, эта форма слищк саределенная. Мы сделаеи другую гипоте относительно предетавления величив $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ а а именно предноложим, что
$p_{n}$ препстав.нетея как фупкия от
\[
\begin{array}{l}
p_{n-1} \quad n \quad, \quad \text {, } \\
p_{n-2} \quad, \quad, \quad p_{n-1}, p_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n} \\
p_{i} \quad, \quad, \quad, \quad p_{i+1}, \ldots p_{n-1}, p_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n} \\
p_{1} \quad, \quad \eta \quad p_{2}, p_{3}, \ldots p_{n-1}, p_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n} \\
\end{array}
\]

Производные, вяятне от $p_{i}$ по $p_{i+1}, p_{i+2}, \ldots p_{n}, q_{1} \ldots q_{n}$, при этой гипотезе, будем писать без скобок, в то время как производные, взятые при прежней гипотезе, по которой все $p$ функции только от $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, заключаем в скобк. Это изменение в способе представления требует, чтобы производные, входящие в $\frac{n(n-1)}{2}$ условных уравнений и заключенные тешерь в скобин, быи заменены па другие, что́ и должно быть сейчас выполнено.

Рассматриваемые $\frac{n(n-1)}{2}$ условных уравнений могут быт расноложены следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{\mathrm{q}}}\right)=\left(\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{1}}\right),\left(\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{3}}\right)=\left(\frac{\partial p_{3}}{\partial q_{1}}\right), \ldots\left(\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{m+1}}\right)=\left(\frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{1}}\right), \ldots\left(\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{n}}\right)=\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{1}}\right), \\
\left(\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{3}}\right)=\left(\frac{\partial p_{3}}{\partial q_{2}}\right), \ldots\left(\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{m+1}}\right)=\left(\frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{2}}\right), \ldots\left(\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{n}}\right)=\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{2}}\right), \\
\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{m+1}}\right)=\left(\frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{m}}\right), \ldots\left(\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{n}}\right)=\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{m}}\right) \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\left(\frac{\partial p_{n-1}}{\partial q_{n}}\right)=\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{n-1}}\right) \cdot \\
\end{array}
\]

Любое из этих уравнений, например $\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)=\left(\frac{\partial p_{k}}{\partial q_{i}}\right)$, после перенесения правого члена в левую сторону заменитея уравнением $(i, k)=0$, так что, нащример, уравнения $m$-го ряда
\[
\left(\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{m+1}}\right)=\left(\frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{m}}\right),\left(\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{m+2}}\right)=\left(\frac{\partial p_{m+2}}{\partial q_{m}}\right), \ldots\left(\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{n}}\right)=\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{m}}\right),
\]

сокращенно гредставляютея так:
\[
(m, m+1)=0,(m, m+2)=0, \ldots(m, n)=0 .
\]

Если теперь $i$ есть один ив значков $m+1, m+2, \ldots n$, то мы имеем:
\[
\begin{array}{c}
\left(\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{i}}\right)=\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+1}}\left(\frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+2}}\left(\frac{\partial p_{m+2}}{\partial q_{i}}\right)+\ldots+ \\
+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{n}}\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{i}}
\end{array}
\]

Заменим, выражения
\[
\left(\frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{i}}\right) ; \quad\left(\frac{\partial p_{m+2}}{\partial q_{i}}\right) \cdots\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{i}}\right)
\]

при помощи условных уравнений (3) проивводными шо $p_{i}$; тогда шолучим:
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{i}}\right)= & \frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+1}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{m+1}}\right)+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+2}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{m+2}}\right)+ \\
& +\cdots+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{n}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{n}}\right)+\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{i}} .
\end{aligned}
\]

Поэтому условные уравнения $m$-го ряда, если иы их напипет в обратнох порядке, начиная с $(m, n)=0$, примут вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+}}\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{m+1}}\right)+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+2}}\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{m+2}}\right)+\cdots+ \\
+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{n}}\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{n}}\right)+\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{n}}=\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{m}}\right), \\
\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+1}}\left(\frac{\partial p_{n-1}}{\partial q_{m+1}}\right)+\frac{\partial p_{n}}{\partial p_{m+2}}\left(\frac{\partial p_{n-1}}{\partial q_{m+2}}\right)+\ldots+ \\
+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{n}}\left(\frac{\partial p_{n-1}}{\partial q_{n}}\right)+\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{n-1}}=\left(\frac{\partial p_{n-1}}{\partial q_{m}}\right), \\
\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+1}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{m+1}}\right)+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+2}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{m+2}}\right)+\cdots+ \\
+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{n}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{n}}\right)+\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{i}}=\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{m}}\right), \\
\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+1}}\left(\frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{m+1}}\right)+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+2}}\left(\frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{m+2}}\right)+\cdots+ \\
+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{n}}\left(\frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{n}}\right)+\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{m+1}}=\left(\frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{m}}\right) \text {. } \\
\end{array}
\]

Эту систему уравнений после перенесения членов, стоящих справа, в левую часть можно представить в сопращенных обозначениях в таком виде:
\[
((m, n))=0,((m, n-1))=0, \ldots((m, i))=0, \ldots((m, m+1))=0 .
\]

Уравнения (4) уже не тождественны больше с уравнениями, стоящим в $m$-м ряду системы (3), так как при их составлении мы воснольввались последующии рядами этой системы; между уравнениями обеих систем существует свявь, выражаемая соотношением
\[
\begin{array}{c}
((m, i))=(m, i)-\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+1}}(m+1, i)-\ldots-\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{i-1}}(i-1, i)+ \\
+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{i+1}}(i, i+1)+\ldots+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{n}}(i, n) .
\end{array}
\]

Но если преобравование, посредетвом которого мы получили из $m$-го горизонтального ряда системы (3) уравнения (4), приченить ко всем ее горизонтальным рядам, то система, полученная после прсооразования, будет равнозначаща с первоначальной системой (3). Чтобы в этом убедитьея, напишем преобазованную систему в обратном, т. е. в следующем порядке:
\[
\begin{array}{l}
((n-1, n))=0, \\
((n-2, n))=0,((n-2, n-1))=0, \\
((n-3, n))=0,((n-3, n-1))=0,((n-3, n-2))=0,
\end{array}
\]

Тогда будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
((n-1, n))=(n-1, n) \text {, } \\
((n-2, n))=(n-2, n)-\frac{\partial p_{n-2}}{\partial p_{n-1}}(n-1, n), \\
((n-3, n))=(n-3, n)-\frac{\partial p_{n-3}}{\partial p_{n-2}}(n-2, n)-\frac{\partial p_{n-3}}{\partial p_{n-1}}(n-1, n), \\
((n-2, n-1))=(n-2, n-1)+\frac{\partial p_{n-2}}{\partial p_{n}}(n-1, n) \text {, } \\
((n-3, n-1))=(n-3, n-1)-\frac{\partial p_{n-3}}{\partial p_{n-2}}(n-2, n-1)+\frac{\partial p_{n-3}}{\partial p_{n}}(n-1, n)_{s} \\
((n-3, n-2))=(n-3, n-2)+\frac{\partial p_{n-3}}{\partial p_{n-1}}(n-2, n-1)+\frac{\partial p_{n-3}}{\partial p_{n}}(n-2, n) \text {. } \\
\end{array}
\]

Отсюда видим, что из новых уравнений следуют также старые и, таким -бразом, обе системы равнозначащи.

Чтобы теперь в системе (4) совершенно избавиться от провзводных заключенных в скобки, образуем из нее новую систему:
\[
\begin{array}{l}
((m, n))=0, \\
((m, n-1))-\frac{\partial p_{n-1}}{\partial p_{n}}((m, n))=0, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
((m, i))-\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{i+1}}((m, i+1))-\ldots-\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{n}}((m, n))=0, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot-\frac{\partial p_{m+1}}{\partial p_{n}}((m, n))=0
\end{array}
\]

Из этой новой системы, благодаря уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{k}}\right)=\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{k}} \\
\left(\frac{\partial p_{n-1}}{\partial q_{k}}\right)=\frac{\partial p_{n-1}}{\partial p_{n}}\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{k}}\right)+\frac{\partial p_{n-1}}{\partial q_{k}} \\
\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}\right)=\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{i+1}}\left(\frac{\partial p_{i+1}}{\partial q_{k}}\right)+\cdots+\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{n}}\left(\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{k}}\right)+\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}} \\
\end{array}
\]

проивводные, зақлюченные в скобки, соверпенно выпадают и мы получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+1}} \frac{\partial p_{n}}{\partial q_{m+1}}+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+2}} \frac{\partial p_{n}}{\partial q_{m+2}}+\ldots+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{n}} \frac{\partial p_{n}}{\partial q_{n}}+ \\
+\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{n}}=\frac{\partial p_{n}}{\partial q_{m}} \\
\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+1}} \frac{\partial p_{n-1}}{\partial q_{n+1}}+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+2}} \frac{\partial p_{n-1}}{\partial q_{m+2}}+\ldots+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{n}} \frac{\partial p_{n-1}}{\partial q_{n}}+ \\
+\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{n-1}}-\frac{\partial p_{n-1}}{\partial p_{n}} \frac{\partial p_{m}}{\partial q_{n}}=\frac{\partial p_{n-1}}{\partial q_{m}}, \\
\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+1}} \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{m+1}}+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+2}} \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{m+2}}+\cdots+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{n}} \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{n}}+\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{i}}- \\
-\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{i+1}} \frac{\partial p_{m}}{\partial q_{i+1}}-\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{i+2}} \frac{\partial p_{m}}{\partial q_{i+2}}-\ldots-\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{n}} \frac{\partial p_{m}}{\partial q_{n}}=\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{m}}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+1}} \frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{m+1}}+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+2}} \frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{m+2}}+\ldots+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{n}} \frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{n}}+ \\
+\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{m+1}}-\frac{\partial p_{m+1}}{\partial p_{m+2}} \frac{\partial p_{m}}{\partial q_{m+2}}-\frac{\partial p_{m+1}}{\partial p_{m+3}} \frac{\partial p_{m}}{\partial q_{m+3}}- \\
-\ldots-\frac{\partial p_{m+1}}{\partial p_{n}} \frac{\partial p_{m}}{\partial q_{n}}=\frac{\partial p_{m+1}}{\partial q_{m}} . \\
\end{array}
\]

Эта система равнозначаща с системой (4), поэтому уравнения (4) могут быть выведены из уравнений (5) и обратно, как это само собой вытекает из самого способа образования уравнений (5).
Все уравнения системы (5) заключаютея в следующей общей схеме:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+1}} \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{m+1}}+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{m+2}} \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{m+2}}+\ldots+\frac{\partial p_{m}}{\partial p_{n}} \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{n}}+ \\
+\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{i}}-\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{i+1}} \frac{\partial p_{m}}{\partial q_{i+1}}-\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{i+2}} \frac{\partial p_{m}}{\partial q_{i+2}}-\ldots-\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{n}} \frac{\partial p_{m}}{\partial q_{n}}=\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{m}}
\end{array}
\]

или
\[
\sum_{k=m+1}^{k=n} \frac{\partial p_{m}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{k}}-\sum_{k=i+1}^{k=n} \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{m}}{\partial q_{k}}+\frac{\partial p_{m}}{\partial q_{i}}-\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{m}}=0
\]

Это уравнение, исключая два последние члена, симметрично, тав как, хотя вторая сумма распространяется только на значения от $i+1$ до $n$, в то время как первая включает также еще значения от $m+1$ до $i$, но происходит это только потому, что по напей гипотезе в $p_{i}$ входят переменные

$\boldsymbol{p}_{i+1}, p_{i+2}, \ldots \boldsymbol{p}_{n}$ и не входят переменные $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{i-1}$, так что величины $\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{k}}$ тольво тогда отличны от нуля, когда $k>i$.

Но мы можем рассматривать задачу преобразовапия условных уравнений в еще более общем виде. Возьмем кағое-нибудь из них, например:
\[
\left(i, i^{\prime}\right)=0 \text { или }\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{i^{\prime}}}\right)-\left(\frac{\partial p_{i}{ }^{\prime}}{\partial q_{i}}\right)=0,
\]

где $p_{i}$ и $p_{i^{\prime}}$ зависят только от величин $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$. Шредноложим теперг что $p_{\boldsymbol{i}}$ содержит, кроме величин $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, еще $\boldsymbol{p}_{\mathrm{x}}, p_{\lambda}, \ldots$; также $\boldsymbol{p}_{i^{\prime}}$, кроме величин $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, ещө $p_{\chi^{\prime}}, \quad p_{\lambda^{\prime}}, \ldots$ и т. д., и будем писать производные, взятые при этой гипотезе, без скобог; тогда получин:
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{\partial p_{\boldsymbol{i}}}{\partial q_{i^{\prime}}}\right) & =\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{i^{\prime}}}+\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{x}}\left(\frac{\partial p_{x}}{\partial q_{i^{\prime}}}\right)+\frac{\partial p_{i}}{\partial \boldsymbol{p}_{\lambda}}\left(\frac{\partial \boldsymbol{p}_{\lambda}}{\partial q_{i^{\prime}}}\right)+\ldots, \\
\left(\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{i}}\right) & =\frac{\partial \boldsymbol{p}_{i^{\prime}}}{\partial q_{i}}+\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{x^{\prime}}}\left(\frac{\partial p_{x^{\prime}}}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{\lambda^{\prime}}}\left(\frac{\partial p_{\lambda^{\prime}}}{\partial q_{i}}\right)+\ldots,
\end{aligned}
\]

ни, если мы заменим производные
\[
\left(\frac{\partial p_{\mathrm{k}}}{\partial q_{i^{\prime}}}\right),\left(\frac{\partial p_{\lambda}}{\partial q_{i^{\prime}}}\right), \ldots\left(\frac{\partial p_{x^{\prime}}}{\partial q_{i}}\right),\left(\frac{\partial p_{\lambda^{\prime}}}{\partial q_{i}}\right), \ldots
\]

через производные от $p_{i}$, и от $p_{i}$, которым они равны на основании уеловий (3), то будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{i^{\prime}}}\right)=\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{i^{\prime}}}+\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\mathrm{x}}}\left(\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}\right)+\frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\lambda}}\left(\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\lambda^{\prime}}}\right)+\ldots=\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{i^{\prime}}}+\sum_{\mathrm{x}} \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\mathrm{x}}}\left(\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}\right), \\
\left(\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{i}}\right)=\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{i}}+\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}\right)+\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{\lambda^{\prime}}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\lambda^{\prime}}}\right)+\ldots=\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{i}}+\sum_{\mathrm{x}^{\prime}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}\right),
\end{array}
\]

где суммировапие по $\%$ распространяетоя на значения $x, \lambda, \ldots$, а сумирование по $x^{\prime}$ на вначения $x^{\prime}, \lambda^{\prime}, \ldots$ После введения этих выражений условное уравнение $\left(i, i^{\prime}\right)=0$ перейдет в следующее:
\[
\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{i^{\prime}}}-\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{i}}+\sum_{\mathrm{x}} \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\mathrm{x}}}\left(\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}\right)-\sum_{\mathrm{x}^{\prime}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}\right)=0
\]

Можно дать общее доказательство того, что разность обеих сумм, содержащих производные, завлюченные в скобни, не меняет своего значения, если отбросить скобки. В самом деле, мы имеем:
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}\right)=\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}} & +\sum_{\mathrm{x}^{\prime}} \frac{\partial p_{\boldsymbol{i}^{\prime}}}{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}}\left(\frac{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}\right),\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}\right)=\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}+ \\
& +\sum_{\mathrm{x}} \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\mathrm{x}}}\left(\frac{\partial p_{\mathrm{x}}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}\right)
\end{aligned}
\]

поэтоиу
\[
\begin{array}{c}
\sum_{\mathrm{x}} \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\mathrm{x}}}\left(\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}\right)-\sum_{\mathbf{x}^{\prime}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}\right)=\sum_{\mathrm{x}} \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\mathrm{x}}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}-\sum_{\mathbf{x}^{\prime}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}} \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}+ \\
+\sum_{\mathrm{x}} \sum_{\mathrm{x}^{\prime}} \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\mathrm{x}}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial \boldsymbol{p}_{\mathrm{x}^{\prime}}}\left(\frac{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}\right)-\sum_{\mathrm{x}^{\prime}} \sum_{\mathrm{x}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}} \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\mathrm{x}}}\left(\frac{\partial \boldsymbol{p}_{\mathrm{x}}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}\right)
\end{array}
\]

но так кақ обе цвойные суммы вследетвие условных уравнений $\left(\frac{\partial p_{x^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}\right)=$ $=\left(\frac{\partial p_{\mathbf{x}}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}\right)$ взаимно уничтожаютея, то мы получим:
\[
\sum_{\mathrm{x}} \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\mathrm{x}}}\left(\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}\right)-\sum_{\mathrm{x}^{\prime}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}\right)=\sum_{\mathrm{x}} \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\mathrm{x}}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}-\sum_{\mathbf{x}^{\prime}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}} \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}},
\]

п уравнение (6) превратится в уравнение:
\[
\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{i^{\prime}}}-\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{i}}+\sum_{\mathbf{x}} \frac{\partial p_{i}}{\partial p_{\mathrm{x}}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}-\sum_{\mathrm{x}^{\prime}} \frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}} \frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}=0
\]

отличающееся от прежнего только отсутствием скобок.
Хотя мы вывели (7) из $\left(i, i^{\prime}\right)=0$, но всё-таки оба уравнения не равновначащи, так как при преобразовании мы воспользовалиеь еще следующими вз условных уравнений:
\[
\left(\frac{\partial p_{\mathrm{x}}}{\partial q_{i^{\prime}}}\right)=\left(\frac{\partial p_{i^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}\right),\left(\frac{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}}{\partial q_{i}}\right)=\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}\right),\left(\frac{\partial p_{\mathrm{x}^{\prime}}}{\partial q_{\mathrm{x}}}\right)=\left(\frac{\partial p_{\mathrm{x}}}{\partial q_{\mathrm{x}^{\prime}}}\right),
\]

п притом для всех значений $\%$ и $x^{\prime}$.
Применим формулу (7) к случаю, когда величины $p_{1}$ к $p_{2}$ выражены как функции от $p_{3}, p_{4}, \ldots p_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$. Здесь надо положить $i=1$, $i^{\prime}=2$, а $x$, так же как и $x^{\prime}$, получают все значения от 3 до $n$. Поэтому мы ичеем:
\[
0=\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{2}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{1}}+\left\{\begin{array}{r}
\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{3}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{3}}+\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{4}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{4}}+\ldots+\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{n}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{n}} \\
-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{3}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{3}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{4}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{4}}-\ldots-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{n}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{n}}
\end{array}\right\}
\]

В этом уравнении несимметричны толью первые два члена, и это цроисходит вследствие того предпочтения, которое мы оказали величинам $p_{1}$ и $p_{2}$, предполагая, что они явно выражены через остальные. Несимметричность псчезнет, если мы вместо этого предположим, что имеются два уравнения, содержащие все величины $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ и $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, и что их можно решить қак относительно $p_{1}$ и $p_{2}$, так и относительно лобых двух других величин $p_{i}$ II $p_{i}$. Пусть эти два уравнения будут
\[
\varphi=a, \quad \psi=b,
\]

где $\varphi$ и $\psi$ – функции от $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$ и $a, b$ – постоннные. Тогда полная симметрия будет достигнута тем, что входящие в уравнение (8) частные производные от величин $p_{1}, p_{2}$ заменятея частвыми производными от ч и $\psi$ Так как уравнение (8) имеет форму
\[
0=\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{2}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{1}}+\sum_{k=3}^{k=n}\left(\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{k}}\right),
\]

то для намеченного преобразования необходимо выразить величины $\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{2}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{1}}$ и $\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial \boldsymbol{p}_{k}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{k}}$ через частные проивводные от $\varphi$ и $\psi$. Мы должны при этом рассматривать величины $p_{1}$ и $p_{2}$ благодаря уравнениям $\varphi=a$ н $\psi=b$ как функции всех остальных $p_{5}, p_{4}, \ldots p_{n}, q_{1}, \ldots q_{n}$, а эти последние как независимые друг от друга величины. Дифференцируя уравнения $\varphi=a$ п $\psi=b$ по $b_{1}$ и $q_{2}$, мы найдем:
\[
\begin{array}{ll}
\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{1}}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{1}}+\frac{\partial \varphi}{\partial q_{1}}=0 ; & \frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{2}}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{2}}+\frac{\partial \varphi}{\partial q_{2}}=0 ; \\
\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{1}}+\frac{\partial \Psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{1}}+\frac{\partial \Psi}{\partial q_{1}}=0 ; & \frac{\partial \psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{2}}+\frac{\partial \Psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{2}}+\frac{\partial \psi}{\partial q_{2}}=0
\end{array}
\]

а отсюда, введя обозначение
\[
N=\frac{\partial \varphi}{\partial \boldsymbol{p}_{1}} \frac{\partial \psi}{\partial p_{2}}-\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \psi}{\partial p_{1}},
\]

получаем значения:
\[
\left.\begin{array}{l}
-N \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{1}}=\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{1}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{1}}, \quad N \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{2}}=\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \Psi}{\partial q_{2}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{2}}, \\
N\left\{\frac{\partial p_{1}}{\partial q_{2}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial q_{1}}\right\}=\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{1}}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{2}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{1}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{2}} .
\end{array}\right\}
\]

Гифференцируя уравнения $\varphi=a$ и $\psi=b$ по $p_{k}$ и $q_{k}$, найдем:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial p_{1}}{\partial p_{k}}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial p_{2}}{\partial p_{k}}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}}=0, \frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{k}}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{k}}+\frac{\partial \varphi}{\partial q_{k}}=0, \\
\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial p_{1}}{\partial p_{k}}+\frac{\partial \psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial p_{2}}{\partial p_{k}}+\frac{\partial \Psi}{\partial p_{k}}=0, \frac{\partial \psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{k}}+\frac{\partial \psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{k}}+\frac{\partial \varphi}{\partial q_{k}}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Отсюда, решая столщие друг под другом линейные уравнения и сохраняя прежнее значение $N$, получим для производных от $p_{1}$ и $p_{2}$, взятых по $p_{k}$ I $q_{k}$, следующие значения:
\[
\begin{aligned}
N \frac{\partial p_{1}}{\partial p_{k}} & =\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \psi}{\partial p_{k}}-\frac{\partial \Psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}} ; & N \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{k}} & =\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{k}}-\frac{\partial \Psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{k}} \\
-N \frac{\partial p_{2}}{\partial p_{k}} & =\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \Psi}{\partial p_{k}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}} ; & -N \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{k}} & =\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \Psi}{\partial q_{k}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{k}} .
\end{aligned}
\]

Если мы тешерь образуем выражение $\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{k}}$, то получим уравнение, левая часть которого делится на квадрат $N$, в то время как правая часть содержит $N$ один раз как множитель. Отбросив в обеих частях общий делитель $N$, получим формулу
\[
N\left\{\frac{\partial p_{1}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{2}}{\partial q_{k}}-\frac{\partial p_{2}}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{1}}{\partial q_{k}}\right\}=\frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{k}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{k}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{k}},
\]

при выводе котороӥ можно также избежать сокращения общего делителя $N$, ддя чего, например, решаем относительно $\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}}$ и $\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}}$ оба уравнения, стоящие в первом горизонтальном ряду сиотемы (10), и в выражении, полученном для $\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}}$, подставляем на иесто $\frac{\partial p_{\mathbf{2}}}{\partial p_{k}}$ и $\frac{\partial p_{\mathbf{2}}}{\partial q_{k}}$ выпеполученные для них значения. IІри посредетве формул (9) и (11) уравнение (8*) превратится в тавое:
\[
0=\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{1}}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{2}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{1}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{2}}+\sum_{k=3}^{k=n}\left\{\frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{k}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{k}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{k}}\right\} .
\]

Шоэтому мы имеем, еслп соединим все члены, такую распрострашепную от 1 до $n$ сумму:
\[
0=\sum_{k=1}^{k=n}\left\{\frac{\partial \varphi}{\partial p_{k}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{k}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{k}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{k}}\right\}
\]

п таким образом получаем теорему:
Если $\varphi=a$ п $\psi=b$ обозначают два любых из $n$ уравнений, определяючих $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ как фунтции от $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, маним образом, что
\[
p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}
\]

ссть полный дифференұиал, то они должны удовлетоорять условия:
\[
0=\left\{\begin{array}{c}
\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial}{\partial q_{1}}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{2}}+\ldots+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{n}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{n}}, \\
-\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{1}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{2}}-\ldots-\frac{\partial \Psi}{\partial p_{n}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{n}},
\end{array}\right\}
\]

и иритон это равенство сеть пождество, пак как в него не входат преизвольные постоянные а $и$ b.

Уравиение (12) содержит результат, данный в (7) как частиый случаи, Действительно, шредположим, что функции $\varphi$ и имеют форму
\[
\begin{array}{l}
\varphi=p_{i}-f\left(p_{x}, p_{k}, \ldots q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}\right), \\
\psi=p_{i^{\prime}}-F\left(p_{x}, p_{k}, \ldots q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}\right) ;
\end{array}
\]

тогда уравнение (12) перейдет в уравнение (7).