Между цвумя радиусами-векторами орбиты планеты и хордой, соединяющей их конечные точки, существуют заметательные соотношения, которые получатся, если исхөдить из обыкновенных дифференциальных уравнений эллинтического движения, только путем сложных выкладок. Мы выведем эти соотнопения без труда из уравнения в частных производных; при этом мы цолжны тольо сделать гипотез, что $W$ может быть выражено через гелиоцентрический радиус вектор $r$ и через удаление о планеты от некоторой другой точки $M$; хотя еправедливоеть этой гипотезы не видна сразу, a priori, 1 но мы убединся в ней при дальнейших вычислениях.
Пусти координаты точки $M$ буулут $a, b, c$, так что
\[
p^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2} .
\]

Чри- сделанной нами гипотезе, что $W$ может быть выражено через $r$ и мчеем:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial W}{\partial x}=\frac{\partial W}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial W}{\partial \rho} \frac{\partial \rho}{\partial x}=\frac{\partial W}{\partial r} \frac{x}{r}+\frac{\partial W}{\partial \rho} \frac{x-a}{r}, \\
\frac{\partial W}{\partial y}=\frac{\partial W}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial W}{\partial \rho} \frac{\partial \rho}{\partial y}=\frac{\partial W}{\partial r} \frac{y}{r}+\frac{\partial W}{\partial \rho} \frac{y-b}{\rho}, \\
\frac{\partial W}{\partial z}=\frac{\partial W}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial z}+\frac{\partial W}{\partial \rho} \frac{\partial \rho}{\partial z}=\frac{\partial W}{\partial r} \frac{z}{r}+\frac{\partial W}{\partial \rho} \frac{z-c}{\rho} .
\end{array}
\]

Эти выражения надо подставить в уравнение в частных производных
\[
\left(\frac{\partial W}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial z}\right)^{2}=\frac{2 k^{2}}{r}-2 \alpha,
\]

н тогда его левая часть превратится в
\[
\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial \rho}\right)^{2}+\{2 x(x-a)+2 y(y-b)+2 z(z-c)\} \frac{1}{r_{\rho}} \frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{r}} \frac{\partial W}{\partial \rho} .
\]

Выражение, стояпее в скобках, равно $r^{2}+\rho^{2}-r_{0}^{2}$, где
\[
r_{0}^{2}=a^{2}+b_{4}^{2}+c^{2},
\]

гак что уравнение (1) перехоцит в уравнение:
\[
\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial \rho}\right)^{2}+\frac{r^{2}+\rho^{2}-r_{0}^{2}}{r \rho} \frac{\partial W}{\partial r} \frac{\partial W}{\partial \rho}=\frac{2 k^{2}}{r}-2 \alpha .
\]
1 Для доказательства требуется следствие, вытекающев из теорем площадей, qто движение планеты происходит в одной плоскости, и то известное обстоятельство, ято для точки, перемещающейся по плоскости, оба ее расстоянія от двух неподвнжяых точек могут быть рассматриваемы как определяющее ее положение вөличнны.

От проивведения обенх частных шроизводных можно освободитьея, введя вместо $r$ и $\rho$ их сумму и разность:
\[
\sigma=\boldsymbol{r}+\rho ; \quad \sigma^{\prime}=\boldsymbol{r}-\rho,
\]

так что имеют место равенства
\[
\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{r}}=\frac{\partial W}{\partial \sigma}+\frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}}, \frac{\partial W}{\partial \rho}=\frac{\partial W}{\partial \sigma}-\frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}} ;
\]

тогда получитея
\[
2\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma}\right)^{2}+2\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}}\right)^{2}+\frac{r^{2}+\rho^{2}-r_{0}^{2}}{r \rho}\left\{\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma}\right)^{2}-\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}}\right)^{2}\right\}=\frac{2 k^{2}}{r}-2 \alpha_{\alpha}
\]

Iосле умножения на гр будем иметь:
\[
\left\{(r+p)^{2}-r_{0}^{2}\right\}\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma}\right)^{2}-\left\{(r-p)^{2}-r_{0}^{2}\right\}\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}}\right)^{2}=2 \rho\left(k^{2}-\gamma r\right),
\]

откуда, если подставнть вуесто $r$, их значения
\[
r=\frac{1}{2}\left(\sigma+\sigma^{\prime}\right), \quad \cdot=\frac{1}{2}\left(\sigma-\sigma^{\prime}\right),
\]

получитея окончательно:
\[
\left(\sigma^{2}-r_{0}^{2}\right)\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma}\right)^{2}-\left(\sigma^{2}-r_{0}^{2}\right)\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}}\right)^{2}=k^{2}\left(\sigma-\sigma^{\prime}\right)-\frac{1}{2} \alpha\left(\sigma^{2}-\sigma^{2}\right) .
\]

Это уравнение в частных производных можло интегрировать уже иримененным в предыдущей лекции способом, при помощи разложепия па два обыкновенных дифференциальых уравнения, из которых одно содержит топко о и $\frac{\partial W}{\partial \sigma}$, а. другое — толко $\sigma^{\prime}$ и $\frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}}$. Одновременно ирибавляя и вычитая в правой части проивводьную постоянную $\beta$, получаем оба дифференциялных уравнения
\[
\begin{array}{c}
\left(\sigma^{2}-r_{0}^{2}\right)\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma}\right)^{2}=-\frac{1}{2} \sigma^{2}+k^{2} \sigma+\beta \\
\left(\sigma^{\prime 2}-r_{0}^{2}\right)\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}}\right)^{2}=-\frac{1}{2} \alpha \sigma^{\prime}+k^{2} \sigma^{\prime}+\beta
\end{array}
\]

а отеюда получаетея дія $W$ значепие:

Знаки обоих корней или, что то же, инелралов, проивводны и пезависими друг от друга. Таким обравом за $W$ монно браль как сумну, так и разпост. обоих интегралов; шри обоих этих предноложения получател правинные интегральные уравнения, и основание , тя выбора того или пруге выражения может с.ужить тольк больая ини менная простота понучаемых формул. Решим взять разность и положим ды сотращения
\[
F(s)=-\frac{-\frac{1}{2} \alpha s^{2}+7 i^{2} s+\beta}{s^{2}-r_{0}^{2}}
\]

тогда, как решение уравнения (2), мы получим выражение
\[
W=\int d \sigma \sqrt{F(\sigma)}-\int d \sigma^{\prime} \sqrt{F\left(\sigma^{\prime}\right)},
\]

поторому мы ножем также гридать форму
\[
W=\int_{\sigma^{\prime}}^{\rho} d s V F(s)
\]

Отсюда следует например формула дыя введения времени в элитическое двнжение планеть:
\[
\begin{aligned}
l-\alpha^{\prime} & =-\frac{\partial W}{\partial \sigma}=\frac{1}{4} \int \frac{\sigma^{2} d \sigma}{\sqrt{\left(\sigma^{2}-r_{0}^{2}\right)\left(-\frac{1}{2} \alpha \sigma^{2}+k^{2} \sigma+\beta\right)}} \\
& -\frac{1}{4} \int \frac{\sigma^{\prime 2} d \sigma^{\prime}}{\sqrt{\left(\sigma^{2}-r_{0}{ }^{2}\right)\left(-\frac{1}{2} \alpha \sigma^{\prime 2}+k^{2} \sigma^{\prime}+\beta\right)}}
\end{aligned}
\]

правая чает которой вообе состоит из элиптических иштегранов. Но так кағ время в коодинатах, как известно, выранается через пуги круга, то отеюда для эльитически интегралов получаютея следетия, ведущие к основной теореме сложения.

Выражение (4) есть полное решение уравнения в частных производшх (2), так как к нему можно, кроже содержацейея в нем произвольной постоянной $\beta$, присоединить адитивно еще. вторую постоянную $C$. Но выражение (4) есть таке полное решение уравнения в частых производных (1) так как по отношению в эточу уравнению постояными велитипаии явлдютея пе только $\beta$ и $C$, но тақже и $a, b, c$, ветедетвне того, что они пе встречаютея в (1), но в то же время входыт в выражение (4). Выражепие (4). чем это нужно, т. е. в него входят липие постояные. Һсаи мы хотии црименить подобные полне ренения уравнения в тастных производных. содержаңие изнипие постолные, к интегрированию евяванной с :тим уравнением спстемы обыновенны дифферемиальны уравнений. то, хотя мы еще ножем приравнять шроизводные, взятые по всем постоянны, новым ироизвольны постоянным, но эти новые постоянные пе будут больне независимы друг от друга. С ,ругої стороны можно свободно расторнжатьен постояпны, солернацимея в $F(s)$. бых шроизведено двум способами. Первый состонт в том, тюо чнслитель $F(s)$. т. е. $-\frac{1}{2} \alpha s^{2}+k s+\beta$, делаетед полиы квдратом, второї — в том, что и пого числителя выноситея делитель $s-r_{0}$ общиї со зауенателем $s^{2}-r_{0}^{2}$ функции $F(s)$.

Мы выберем второй способ и притом по следующей причине. Если, не придавая постоянным частных значепий, вывести из (4*) интегральные уравнения и между ними уравнение $a^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial a}$, которое, так как а содернитея в $\sigma, \sigma^{\prime}$ и $r_{0}$. принимает форму

то входящие сюда ыиитические интегралы нельяя брадь от $x=a, y=b, z=c$, так как тогда было бы $\rho=0, \sigma=\sigma^{\prime}=r_{0}$ и интегралы обратились бы в бесвонечность, веледствие входяцей в них $\left(-\frac{3}{2}\right)$-ой стенени выражений $\sigma^{2}-\varsigma_{0}^{2}$, $\sigma^{\prime 2}-r_{0}^{2}$. Это обращение в бесконечность интеррала в выражении (5) пө будет щредотвращено вышеушомянутым первым способом приведения интеграла к специальном виду, но мы его избежим при втором снособе. А так кағ именно неободимо положит $\rho=0$ в тех формулах, которые должны быть ныведены, то мы выбираеи второї снособ.

Если мы, таким образом, иредположия, что числитель $F(s)$ обрапается в нуи при $s=r_{0}$, то полчим между $\beta$ и $r_{0}$ соотнопение:
\[
\beta=\frac{1}{2} \alpha_{i_{0}}{ }^{2}-k^{2} r_{0} .
\]

Благодарн этому будет
\[
F(s)=-\frac{1}{2} \alpha\left(s^{2}-r_{0}^{2}\right)+k\left(s-r_{0}\right)=\frac{k^{2}}{s+r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha
\]
sетонатено
\[
W=\int_{\sigma^{i}}^{j} d s \sqrt{\frac{k^{2}}{s+r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha .}
\]
†то есть то значение $W$, дифференцирование которою дает вамечательные формулы для эллитического, движения, открытые Эйлером и Ламбертом и испольвованные Ольберсом и l’аусом при определении элементов орбиты. Система первых интегралых уравнений дается формулами:
\[
\frac{d x}{d t}=\frac{\partial W^{\gamma}}{\partial x} ; \quad \frac{d y}{d t}=\frac{\partial W}{\partial y} ; \frac{d z}{\partial t}=\frac{\partial W}{\partial z} .
\]

Мы уже выпе вираяини $\frac{\partial W}{\partial x}, \frac{\partial W}{\partial y}, \frac{\partial W}{\partial s}$ черев $\frac{\partial W}{\partial r}$ и $\frac{\partial W}{\partial p}$, а последние величины — через $\frac{\partial W}{\partial \sigma}$ и $\frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}}$. Іодчавляя ити соононения одно s. пруге и заменяя $\frac{\partial W}{\partial \sigma}, \frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}}$ их значениями $\sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma+r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha}$, $-\sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma^{\prime}+r_{0}}-\frac{1}{2}}$, но.учаеными из формулы (7), мы будем иметь уравиения
\[
\begin{array}{l}
d z=\left(\frac{z}{r}+\frac{z-c}{\rho}\right) \sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma+r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha-\left(\frac{z}{r}-\frac{z-c}{\rho}\right) \sqrt{\frac{k^{2}}{\gamma^{\prime}} \epsilon_{0}}-\frac{1}{2} \alpha,} \\
\end{array}
\]

сщравединость которых можно ироверить, возводя их в квадрат и складывая и таким путем выводя теорему живой силы, как это и должно быть.

Система интегральых уравнений, свявывающих координаты, дается роруулами
\[
a^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial a}, \quad b^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial b}, \quad c^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial c} .
\]

где $a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}$ обозначают новне произвольные постоянные.
Ив уравнения (7) получаетея:

подетавня внесто $\frac{\partial \tau}{\partial a}, \frac{\partial \sigma^{\prime}}{\partial a}$ их значения — $\frac{x-a}{\rho},+\frac{x-a}{\rho}$ и щриния во ииимание; что
\[
-\frac{1}{2} k^{2} \int \frac{d s}{\left(s+r_{0}\right)^{2} \sqrt{\frac{k^{2}}{s+r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha}}=\sqrt{\frac{k^{2}}{s+r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha,}
\]

находим:
\[
\frac{\partial U}{\partial x}=\left(\frac{a}{r_{0}}-x-a\right) \sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma+r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha-\left(\frac{\alpha}{r_{0}}+\frac{x-\alpha}{\rho}\right) \sqrt{\sigma^{\prime}+r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha .}
\]

При помощи этого значения и соответствующих значений для $\frac{\partial W}{\partial b}, \frac{\partial W}{\partial c}$ получаем искомые интегральные уравнения в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
\left.\»^{\prime}=\left(\frac{a}{r_{0}}-\frac{x-a}{?}\right) \sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma+r_{0}}-\frac{1}{2}}-\left(\frac{a}{r_{0}}+\frac{x-a}{\rho}\right) \sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma^{\prime}+r_{0}}-\frac{1}{2}} \alpha\right) \\
b^{\prime}=\left(\frac{b}{r_{0}}-\frac{y-b}{\rho}\right) \sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma+r_{0}}-\frac{1}{2}}-\left(\frac{b}{r_{0}}+\frac{y-b}{\rho}\right) \sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma^{\prime}+r_{0}}-\frac{1}{2}} \alpha \\
e^{\prime}=\left(\frac{c}{r_{0}}-\frac{z-c}{\rho}\right) \sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma+r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha}-\left(\frac{c}{r_{0}}+\frac{z-c}{\rho}\right) \sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma^{\prime}-r_{0}}-\frac{1}{2}} \alpha . \\
\end{array}
\]

Постояные $a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}$ определяем, полагая $p=0$, что являетел допустимым значением дия $\rho$, так как, в силу специаньного внбора постоянных в уравпении (6), точка ( $a, b, c$ ) есть точка орбиты шланеты. 1

Таким образом, если мы заставии подвижную точку ( $x, y, z)$ совпасть e пенодвижной ( $a, b, c)$, то дроби $\frac{x-a}{\rho}, \frac{y-b}{\rho}, \frac{z-c}{\rho}$ примут форму
1 Чтобы доказать это утверждение, необходимо вернуться к выражению (4*) для $W$, еще не приведенному к специальному виду. Оно являетея полным репением уравнения в частных производных (2), а к этому последнему сводится задача движения планеты при присоединении уравнения плоскости орбиты планеты, если решение ицется в переменных $\sigma, \sigma^{\prime}$, причем $a, b, c$ рассматриваютея не кап произвольные, а как данные постоянные. Отсюда следует, что если из (4) вывести новое уравнение $\beta^{\prime}=\frac{\partial W^{r}}{\partial \beta}$, где $\beta^{\prime}$ обозначает произвольную постолнную, то это уравнение, вместе с уравнением плоскости орбиты планеты, определяет орбиту. Тифференцирование по $\beta$, если для сокращення положить

дает
\[
f(s)=\left(s^{2}-r_{0}^{2}\right)\left(-\frac{1}{2} \alpha s^{2}+k^{2} s+\beta\right),
\]
\[
2 \beta^{\prime}=\mathbf{2} \frac{\partial W}{\partial \beta}=\int_{\sigma^{\prime}}^{\bar{j}} \frac{d s}{\sqrt{f(s)}} .
\]

Это есть трансцендевтная форма интеграла дифференциаьного уравнення
\[
0=\frac{\lceil d \sigma}{\sqrt{f(\sigma)}}-\frac{d \sigma^{\prime}}{\sqrt{f\left(\sigma^{\prime}\right)}},
\]

интегральное уравненне которого в алгераическом видо, веледствие эйлероной георемы сложения әллнтических интегралов, получается в следующей форме, данной Лагранжем (Miscellanea Taurinensia, IV, p. 110):
\[
\frac{\sqrt{f(\sigma)}+\sqrt{\sigma\left(\sigma^{\prime}\right)}}{\sigma-\sigma^{\prime}}=\sqrt{a^{2}+k^{2}\left(\sigma+\sigma^{\prime}\right)-\frac{1}{2} \alpha\left(\sigma+\sigma^{\prime}\right)^{2}},
\]

Ге $G^{2}$ обозначает постоянную интегрирования.
Для получения условия того, чтобы точка ( $a, b, c$ ) лежала на орбите планеты, т. е. чтобы можно было положить $p=0$, откуда тогда следует $x=\epsilon_{\text {; }}$ $y=b, z=c, r=r_{0}, \sigma=\sigma^{\prime}=r_{0}$, мы песледуем сначала случай, когла $\rho$ есть бесюонечно малая велитина.

Пусть $\theta$ есть, угол, которыи образует радиус-вектор $r_{0}$, направленный от солнца і точке $(a, b, c)$, с касательной к орбите планеты в точке ( $a, b, c)$, направленной от этой точки к бесконечно близкой точке ( $x, y$,, ); тогда имеем для бес конечно қалых ъачений
\[
r-r_{0}=p \cos \theta,
\]

о’куда
\[
\left.\begin{array}{rl}
z-r_{0} & =r-r_{0}+\rho=(1+\cos \theta) p_{1} \\
z^{\prime}-r_{0} & =r-r_{0}-\rho=-(1-\cos \theta)_{r} .
\end{array}\right\}
\]

Отсюда вытекает, что для бесконечно малых значөний $p$ обе велпчины $\sqrt{f^{\prime}(\sigma)} \mathrm{n}$ $\sqrt{f^{\prime}\left(\sigma^{\prime}\right)}$ пропорциональны $\sqrt{p}$ что, следопательно, числитель $\sqrt{f^{\prime}(\sigma)}+\sqrt{f_{.}^{\left(\sigma^{\prime}\right)}}$ в левой части уравнения (I) пропорцонален $\sqrt{a}$, а знаменатель $\sigma-\sigma^{\prime}$ пропорционален ; вея дробь будет, такнм образом, бесконечной, в то время как правая ғасть имеет конечное значение. Таким образом значение $? \equiv 0$ топустимо только. кога в функцию
\[
f(s)=\left(s^{2}-r_{0}^{2}\right)\left(-\frac{1}{2} x^{2}+k^{2} s+\beta\right)
\]

множитель $s-t_{0}$, пропорцональный $р$ для $s=\sigma$ и $s=\sigma^{\prime}$ и да бесконечно малых значений , входит еще второй раз, т. е. когда между и и $r_{0}$ имеет место вышеустановленное соотнонение:
\[
\rho=\frac{1}{2} a r_{0}^{2}-l k^{2} r_{0}
\]

$\frac{\theta}{0}$. Их истинными значениями являютея $\cos \xi, \cos r_{i}, \cos \zeta$, если мы оо́означим через $\xi, \eta$, $\zeta$ углы, образуемые касательной қ орбите планеты в точке $(a, b, c)$ с осями $x, y$, $\therefore$ Так как, кроме того, имеем $\sigma=\sigma^{\prime}=r_{0}$, то из уравшений (9) получатся решения:
\[
\begin{array}{c}
a^{\prime}=-2 \cos 5 \sqrt{\frac{k^{2}}{2 r_{0}}-\frac{1}{2}} \alpha ; \quad b^{\prime}=-2 \cos \eta \sqrt{\frac{k^{2}}{2 r_{0}}-\frac{1}{2}} \alpha \\
c^{\prime}=-2 \cos \zeta \sqrt{\frac{k^{2}}{2 r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha} .
\end{array}
\]

Эти же значения с обратными знаками получатся из уравнений (8) дая величин $\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}$, если положтть $\rho=0$; следовательно — $a^{\prime},-b^{\prime}$, — $c^{\prime}$ являются составляющими скорости нланеты в точке $(a, b, c){ }^{1}$

Теперь остается только ввести время, что производитея при помоци формулы $\alpha^{\prime}-t=\frac{\partial W}{\partial \alpha}$ иги
\[
1-\alpha^{\prime}=\frac{1}{4} \int_{\sigma^{\prime}}^{3} \frac{d s}{\sqrt{s+r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha} .
\]
1 Если мы уравнения (9) возведем в квадрат и сложим, то получим между $s^{\prime}, b^{\prime}, e^{\prime}$ соотнотение
\[
a^{\prime 2}+b^{\prime 2}+c^{\prime 2}=2\left(\frac{k^{2}}{r_{0}}-\alpha\right),
\]

которое представляет собою не что иное, как теорему живой силы для тотки $(a, b, c)$. Эта зависимость между велитинами $a, b, c$ подтверждает то, что было замечено выше в тексте относительпо поведения решений е пзлипними постоянными, и показывает, что трп уравнения (9) должны считаться только за два. Эти два уравнения, к которым они приводятся, можно получить следующи образом. Иеклютим нз уравнений (9) оба содержащихея в них знака корнл; тогда получим:
\[
\left(b c^{\prime}-b^{\prime} c\right) x+\left(c a^{\prime}-c^{\prime} a\right) y+\left(a b^{\prime}-a^{\prime} b\right) z=0
\]

как уравнение плоскости орбиты плаветы, которое удовлетворяется знатениями $n=k, y=b, z=c$. Еоли мы далее умножим уравнения (9) по порядку на $a, b, c$ и согпи результаты, то получим
\[
\begin{array}{l}
-\left(a a^{\prime}+b b^{\prime}+c c^{\prime}\right)\left(\sigma-\sigma^{\prime}\right)= \\
\left.=\left(\sigma+r_{0}\right)\left(\sigma^{\prime}-r_{0}\right) \sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma+r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha\left(\sigma-r_{0}\right)\left(\sigma^{\prime}+r_{0}\right) \sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma^{\prime}+r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha}}\right\} \\
\end{array}
\]

丸ак уравнение орбиты в птоскости орбиты. Јюгко проверить тождественность этого результата с тем, который содержится в уравненин (I) предыдущего замечания для рассатривамого случая. Сохраняя прежнее определение для угла 0 , мы имеем
\[
a a^{\prime}+b b^{\prime}+c c^{\prime}=-2 r_{0} \cos \theta \sqrt{\frac{k^{2}}{2 r_{0}}-\frac{1}{2} \alpha,}
\]

откуда, принимая во внимание уравнения (II), выводим, что уравпение (IV) для бесконечно малых значений $p$ дает тождественный результат, в предноложенин, что значения корней $\sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma+r_{0}}-\frac{1}{2}}, \sqrt{\frac{k^{2}}{\sigma^{\prime}+r_{0}}-\frac{1}{2}} \alpha$ оба приближаютея к зна-

Этот интеграл приводит к дугам круга; преобразовывая их в надежащий вил, получаем формулы, данные Іауссом в theoria motus. 1 Iредиоложение $x=0$ соответствет параболическому ,пижению; оно дает формулы, которые служат дыя определения элементов орбиты кометы.

В то время как уравнения от (7) до (11) имеют место для двух выходящих из фокуса радиусов векторов $r, r_{0}$ и соединяющей их хорды $。$ при двнжении панеты по коническому сечению, более общие формулы для того движения потучатея, если не делать специалього прецшоложения (6), т. е. если точка $(a, b, c)$ пе лежит ва орбите нланеты. Тогда дыя $W$ имеет иесто уравнение (4); в это уравнение, так же как и в вытеденные из него интегральные уравнения, входит разность двух эллиптически интерралов, которые имеют одинаковую форму и различаютея тодьк своими аргументами $\sigma$ и $\sigma^{\prime}$. Но теореме сложения эллинтиеских интегралов эта разность может быть преобразована в один интеграл, с новым аргументом $\sigma^{\prime \prime}$, сложенный с алгебраической и груговой или логарифмической функцией от $\sigma$ и $\sigma^{\prime}$. Далее, так как интегральне уравнения, как мы знаем, ге содержат эллитических интегралов, то новый аргумент $\sigma^{\prime \prime}$, вависяций алгебраитески от о и $\sigma^{\prime}$, должен стать равшым постояной величине. Уравнение $\sigma^{\prime \prime}=$ const. является, таким образом, одним из интегральных уравнений ${ }^{2}$ и притом уравнением орбиты, в то время кан остальная алгебрапческая и логарифмичесьая часть образует оставшуюся часть интегральных уравнений.

Общие формулы, следующие из (4), имеют еще то замечателное сиойотво, что они сохраняются также в том случае, когда на точку $(a, b, c)$ действует вторал притлгательная сила, если не обращать внимания на пекоторую модификацию, о которой мы упомянем. Тогда $a, b, c$ ие будут больме произвольными, но будут данными постоянными мы имеем кроме $\alpha$ еңе тольно одну постоянную $\beta$ и не можем ею свободно распоряжаться. Модификация, которой теперь подхежит уравнение в частых проивводных (2), с правою частью
\[
k^{2}\left(\sigma-\sigma^{\prime}\right)-\frac{1}{2} \alpha\left(\sigma^{2}-\sigma^{\prime 2}\right)=2 \sigma^{\prime}\left(\frac{k^{2}}{q}-\alpha\right),
\]

состоит в том, что к силовой фунции $l=\frac{k^{2}}{r}$ присоединяетея еще члеп $\frac{k^{\prime} \cdot 2}{p}$, происходящий от притяжения к точке ( $a, b, c)$; так что иравая част, иреврацаетея в
\[
2 r\left(\frac{k^{2}}{r}+k^{\prime 2}-\alpha\right)=k^{2}\left(\sigma-\sigma^{\prime}\right)+k^{\prime 2}\left(\sigma+\sigma^{\prime}\right)-\frac{1}{2} \alpha\left(\sigma-\sigma^{\prime 2}\right) .
\]

На основании этого, уравнение в частных производных (2) преобразуетея в следуюше:
\[
\begin{array}{c}
\left(\sigma^{2}-r_{0}^{2}\right)\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma}\right)^{2}-\left(\sigma^{\prime 2}-r_{0}^{2}\right)\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}}\right)^{2}= \\
=\left(k^{2}+k^{\prime 2}\right) \sigma-\frac{1}{2} \alpha \sigma^{2}-\left\{\left(k^{2}-k^{\prime 2}\right) \sigma^{\prime}-\frac{1}{2} \alpha \sigma^{\prime 2}\right\} .
\end{array}
\]

Так как это уравнение можно разложить на два обыкновених дифференциальных уравнения
\[
\begin{array}{l}
\left(\sigma^{2}-r_{0}^{2}\right)\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma}\right)^{2}=\beta+\left(k^{2}+k^{\prime 2}\right) \sigma-\frac{1}{2} \alpha \sigma^{2} ; \\
\left(\sigma^{2}-r_{0}^{2}\right)\left(\frac{\partial W}{\partial \sigma^{\prime}}\right)^{2}=\beta+\left(k^{2}-k^{\prime 2}\right) \sigma^{\prime}-\frac{1}{2} \alpha \sigma^{\prime 2},
\end{array}
\]
3 Cp. Crelles Journal, Bd. 17, стр. 122.
2 С. относительно этого заметание на етр. 172.

то мя $W$ получаетея решение
\[
\begin{aligned}
W= & =\int \sigma \sqrt{\frac{\beta+\left(k^{2}+k^{\prime 2}\right) \sigma-\frac{1}{2} \alpha \sigma^{2}}{\sigma^{2}-r_{0}^{2}}} \\
& +\int d \sigma^{\prime} \sqrt{\frac{\beta+\left(k^{2}-k^{\prime 2}\right) \sigma^{\prime}-\frac{1}{2} \alpha \sigma^{\prime 2}}{\sigma^{\prime 2}-r_{0}^{2}}},
\end{aligned}
\]

в котором оба әллиптических интеграла отличаютея уже не только аргументом, но также и формой. Для задачи притяжения в двум неподвижным центрам в пространстве заключаюцееся здесь число ностоянных ведостаточно. Наоборот, дхя задачи на плоскости (а $к$ ней иожно свести вадачу в пространетве) выне полученпе значение $W$ ямлете иотым ренением $\frac{\partial W}{\partial \beta}=\beta^{\prime}$ дает пут точки, $\frac{\partial W}{\partial \alpha}=\alpha^{\prime}-t$ дает врезя.