Рассмотрим сначала свободную спстему материальных точек; мы называем ее системой, так как предполагаем, что точки подвержены действию внешних сил не независимо друг от друга, когда каждая точка рассмагриваетея самостоятельно, а что они воздействуют друг на друга так, что нельзя рассматривать одну отдельно от других. Іредположим, что эта систека будет свободной, т. е. такой, в которой точки подчиняютея действию сил бев сопротивления. Пусть какая-нибудь точка системы нмеет массу $m$, прямоугольные ее координаты в момент времени $t$ пусть будут $x, y, z$, а составляющие силы, на нее действующей, $-X, Y, Z$; тогда, как известно, существуют следующие уравнения двнжения:
\[
m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=X, \quad m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=Y, \quad m \frac{d^{2} z}{d t^{2}}=Z,
\]

и подобные же уравнения имеют место для всех точек системы. Величины $X, Y, Z$ зависят от координат всех $n$ точек и могут также содержать их производые по времени $t$, что в частности всегда имеет место в том случае. когда в расчет принимается сошротивление.

Выпеприведенные дифференциальные уравнения движения могут быт. представлены в чрезвычайно выгодной символической форме, для чего каждое из них, после приведения правой части к пулю, умножаетея на произвольный иножитель и полученные произведения скадываютея. Получается таким образом уравнение:
\[
\left(m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}-X\right) \lambda+\left(m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-Y\right) \mu+\left(m \frac{d^{2} z}{d t^{2}}-Z\right)
u+\text { п т. п. }=0 \text {. }
\]

Если теперь потребовать, чтобы это уравнение имело место для всех вначений величин $\lambda, u, v, \ldots$, то оно будет ваменять собою всю вышеприведенную систему дифференциальных уравнений. Для наглядности мы заменим множители $i, \mu,
u . \ldots$ через $\delta x, \delta y, \delta z$, где $x, y, z$ надо рассматривать просто как зпачки. Напе символическое уравнение тогда будет
\[
\sum\left\{\left(m \frac{d^{2} x}{d t^{2}}-X\right) \delta x+\left(m-\frac{d^{2} y}{d t^{2}}-Y\right) \delta y+\left(m \frac{d^{2} z}{d t^{2}}-\chi\right) \delta z\right\}=0,
\]

где сумма относится ко всем точкам системы. Таким образом это уравнение должно иметь место для всех значений $\delta x, \delta y, \delta z, \ldots$ Символическне обозначения в нем имеют очень важное значение: именно, часто случаетея, что символ рассматривают, как величину и над ним проивводят выкладки и онерации так, как это вообще делают с величинами; позже мы будем иметь цример этого рода.

Особого рассмотрения требует случай, когда цринимаютея во внимапие только притяжения к неподвижным центрам или взаимные притяжения точек. В этои случае составляющие $X, Y, Z, \ldots$ могут быть представлены кақ частные производные одной и той же величины. Иагранж сделал важное вамечание, что если нешодвижную точку соединить с подвнжной, то госинусы углов, которые эта линия образует с тремя координат ными осями, будут частными производными одной и той же величины расстояния между обеими точками. Пусть неподвижная точка имеет координаты $a, b, c$, подвижная – координаты $x, y, z$; радиус вектор; соединяющий обе точки, пусть будет $r$. Іроведеи через неподвижную точку $(a, b, c)$ три прямые, параллельные координатным осям, притом направленные в их положительные стороны; углы, которые радиус вектор образует с этими пряхыми пусть будут $\alpha, \beta, \gamma$. Тогда имеем следүющие уравнения:
\[
r^{2}=(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}
\]
\[
\left.\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x-a}{r}=\cos \alpha ; \quad \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y-b}{r}=\cos \beta ; \quad \frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z-c}{r}=\cos \gamma \cdot{ }^{*}\right)
\]

Если теперь $R$ есть снла, с которой точка ( $x, y, z$ ) притягивается точкой $(a, b, c)$, то составляющие, денствующие на точку $(x, y, z)$ в положительном направлении координат, будут:
\[
-R \frac{\partial r}{\partial x}, \quad-R \frac{\partial r}{\partial y}, \quad-R \frac{\partial r}{\partial z}
\]

или, если мы положнм
\[
\int R d r=P
\]

эти составляющие будут:
\[
-\frac{\partial P}{\partial x}, \quad-\frac{\partial P}{\partial y}, \quad-\frac{\partial P}{\partial z} .
\]

Таким образом, составляющие являютея частными производными одной м той же величины $-P$. Это же нмеет место при взанмно притнжении двух точек $p$ и $p_{1}$. Пусть их координаты будут $x, y, z$ и $x_{1}, y_{1}, z_{1}$, их вваимное расстояние пусть будет $r$, тақ что
\[
r^{2}=\left(x-x_{1}\right)^{2}+\left(y-y_{1}\right)^{2}+\left(z-z_{1}\right)^{2},
\]
$R$ пусть будет сила притяжения чежду $p$ и $p_{1}$; тогда составдяющие, дейетвующие на $p$, будут:
\[
-R \frac{\partial r}{\partial x}, \quad-R \frac{\partial r}{\partial y}, \quad-R \frac{\partial r}{\partial z}
\]

и составляющие, действующие на $\boldsymbol{p}_{1}$ :
\[
-R \frac{\partial r}{\partial x_{1}},-R \frac{\partial r}{\partial y_{1}},-R \frac{\partial r}{\partial z_{1}} .
\]

Они соответственно равны и противоподожны по знаку, так как
\[
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x-x_{1}}{r}, \frac{\partial r}{\partial x_{1}}=-\frac{x-x_{1}}{r},
\]

так что
\[
\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial x_{1}}=-\frac{\partial r}{\partial x}
\]

н также
\[
\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial y_{1}}=-\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial y}, \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial z_{1}}=-\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial z} .
\]
*) В последующем всегда для частных пронзводных будет упетребдяться энак $\partial$, для полных – знак $d$.

Если снова ввести
\[
P=\int R d r
\]

то еоставлиющи, действующие на $p$, будут
\[
-\frac{\partial P}{\partial x}, \quad-\frac{\partial P}{\partial y} . \quad-\frac{\partial P}{\partial z},
\]

а составляюще, действующие на $p_{1}$
\[
-\frac{\partial P}{\partial x_{1}}, \quad-\frac{\partial P}{\partial y_{1}}, \quad-\frac{\partial P}{\partial z_{1}} .
\]

Рассмотрим тешерь $n$ точек, которые взаимно притягиваютея. Их масеы густь будут $m_{1}, m_{2}, \ldots m_{n}$, их координаты $x_{1}, y_{1}, z_{1} ; x_{2}, y_{2}, z_{2} ; \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}$, расстояние от $m_{1}$ до $m_{2}$ пусть будет обозначено через $r_{1,2}$, ннтеграл той функции от $r_{1,2}$, которая выражает притяжение, действующее между обеими точкамн, пусть будет обозначен через $P_{1,2}$, причем произведение масс $m_{1}, m_{2}$ подразуцевается входящим как множитель (например, для закона Ньютона $\left.\Gamma_{1,2}=-\frac{m_{1} m_{2}}{r_{1,2}}\right)$. В этом предшоложении составляющая силы, действуюцей ва точку $m_{1}$ в награвленин оси $x$, будет:
\[
-\frac{\partial\left(P_{1,2}+P_{1,3}+\cdots+P_{1, n}\right)}{\partial x_{1}}
\]

н аналогично для двух других составляющих.
Поэтому имеем для точкі $m_{1}$ :
\[
\begin{aligned}
m_{1} \frac{d^{2} x_{1}}{d t^{2}} & =-\frac{\partial\left(P_{1,2}+P_{1,3}+\ldots+P_{1, n}\right)}{\partial x_{1}}, \\
m_{1} \frac{d^{2} y_{1}}{d t^{2}} & =-\frac{\partial\left(P_{1,2}+P_{1,3}+\ldots+P_{1, n}\right)}{\partial y_{1}}, \\
m_{1} \frac{d^{2} z_{1}}{d t^{2}} & =-\frac{\partial\left(P_{1,2}+P_{1,3}+\ldots+P_{1, n}\right)}{\partial z_{1}} .
\end{aligned}
\]

Іодобные же уравнения получаются для остальных точев системы; нащример, для точки $m_{2}$ ваключенная в скобки величина, производная от которой берется, равна $P_{2,1}+P_{2,3}+\ldots+P_{2, n}$. Но величнны $P$ имеют то свойство, что каждая из них зависит от координат только тех двух точек, значки воторых у ней проставлены; поэтому при дифференцировании по $x_{1}, y_{1}$ или $z_{1}$ уничтожаются производные от $P_{2,3}, P_{2,4}, \ldots, P_{2, n}, P_{3,4}, \ldots, P_{n-1, n}$, н остаютея только производные от $P_{1,2}, \stackrel{P}{P}_{1,3}, \ldots, P_{1, n}$. Поэтому дифференциальные уравнения, относящиеся к первой точке, останутся соверпенно без нзменения, если в правой части в скобках к сумме $P_{1,2}+P_{1,3}+\ldots+$ $+P_{1, n}$ прибавить еще сумму всех остальных $P$. Подобное же изменение можно пронзвести в других уравнениях с величиной, стоящей в скобках, н тогда получатся во всех дифференциальных уравнениях системы производные одной и той же величины:
\[
U=-\left(P_{1,2}+P_{1,3}+\ldots+P_{1, n}+P_{2,3}+\ldots+P_{2, n}+\ldots+P_{n-1, n}\right) .
\]
11

Таким образом, мы имеем для какой-нибудь точки системы уравнения:
\[
m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial x_{i}}, \quad m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial y_{i}}, \quad m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial z_{i}} .
\]

Это замечание, что можно во все уравнения ввести одну и ту же величину $l$, важется очень простым и однақо то, что Эйлер проглядел это обстоятельство было единственной іричиной, помешавшей ему достигнуть общности результатов Јагранжа. Эйлер знал принцип сохранения живой силы только для цритяжений к неподвижным центрам. В конще ${ }_{n}$ Nova methodus inveniendi curvas maximi minimive proprietate gaudentes\” Эйлер в \”Appendix de motu projectorum\” удовольствовался очень несовершенными выражениями дифференциальных уравнений для взаимного притяжения. Впервые Даниил Бернулли отметил это в сочинении, представленном им в философский класс берлинской академии *) и, таким образом, придал гринципу сохранения живой силы его истинное значение. После этого Јагранж применил это замечание в вадачам, поставленным Эйлером в мемуаре \”de motu projectorum\”, и таким путем пришел к своим главным результатам.

Выражение $U$ названо Гамильтоном силовой функиией. Частная производная этого выражения по какой-нибудь координате одной из рассматриваемых $n$ масс дает силу, действующую в направлении этой координаты, силу, с которой эта масса цритягивается всеми грочими.
Для притяжения по закону Ньютона силовая функция будет
\[
U=\sum \frac{m_{i} m_{i_{1}}}{r_{i, t_{1}}}
\]

и тавим образом, в случае трех тел
\[
U=\frac{m_{1} m_{2}}{r_{1,2}}+\frac{m_{1} m_{3}}{r_{1,3}}+\frac{m_{2} m_{3}}{r_{2,3}} .
\]

В теории приведения дифференциальных уравнений движения к одшом дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка всегда имеют дело с силовой функцией, поэтому введение ее имеет презвычайно большую важность. Предварительно мы сможем очень хороно ее использовать для сокращенного изображения уравнений.

Интересно выяснить,– на сколько можно расширить границы рассматриваемых механических задач, не отказываясь от введения силовой функции.

При взаимном притяжении точек нет необходимости преднолагать, что закон, по которому две точки ваапно притягиваются, будет один и тот же пля любых двух точек системы; напротив, можно делать в этом отношении любое допущение, предшолагая только, что притяжение зависит исключительно от расстояния и что какая-нибудь масса $m_{i}$ притягивается другою массою $m_{i_{1}}$ с той же самой силой, с какой $m_{i_{1}}$ притягивается $m_{i}$. Отмеченное обобщение не бесполезно; так, нагример, Бессель высказал сомнение в том, тто в мировой системе между любыми двумя телами имеет место один и тот же закон притяжения. Он высказал гипотезу, в которой вопрос рассматривался не с той точки зрения, что в законе меняется функция расстояния, а с той, что тело солнечной системы, например, само солнце, притягивает Сатурна другой массой, чем Урана. Эта гинотеза не помепает введению силовой функции. Но кроме взаимных притяжений масс могут также присоединиться притяжения к неподвижным центрам. Можно даже предположить, что, конечно, является тольк математической фиццией, что каждый из ненодвижных

*) Mém. de l’acad. de Berlin, 1748.

центров действует не на все массы, а только на одну или на некоторое определенное число их. Например, если масса $m_{1}$ притягивается неподвижным центром, масса которого $k$ и гоординаты которого $a, b, c$, то к силовой фунцци, если имеет место закон Ньютона, присоединится еще член:
\[
\frac{k m_{1}}{\sqrt{\left(x_{1}-a\right)^{2}+\left(y_{1}-b\right)^{2}+\left(z_{1}-c\right)^{2}}} ;
\]

подобные же члены получатся и от остальных масс, если неподвижный центр $k$ действует также и на них. Наконец, могут присоединяться еще постоянные параллельные силы, которые тоже могут действовать не на все массы. Если, например, на точку $m_{1}$ действует постоянная сила (как, например, сила тяжести), составляющие которой по направлению координатных осей обозначим через $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \Gamma$, то к силовой фунцции $U$ присоединится член:
\[
\mathrm{A} x_{1}+\mathrm{B} y_{1}+\mathrm{\Gamma} z_{1}
\]

цодобные же члены шрисоединятся и от других масс системы, если на них действуют постояндые силы А, В, Г или иные. В случае неподвижных центров надо еще заметить, что когда они действуют на все входящие в задату массы, что, конечно, всегда имеет место в природе, то тогда их можно рассматривать как подвижные массы. Благодаря этому, шравда, войдут в силовую функцию лишние члены, именно те, которые выражают вваимное притяжение неподвижных центров, но әти члены являются постоянными и ири дифференцровании вышадают.

Символическая форма, к которой мы привели дифференциальные уравнения движения, была:
\[
\sum\left\{\left(m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}-X_{i}\right) \delta x_{i}+\left(m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}-Y_{i}\right) \delta y_{i}+\left(m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}-Z_{i}\right) \delta z_{i}\right\}=0 ;
\]

то уравнение мы герепипем лучше тах:
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{l}}{d t^{2}} \delta y_{l}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{i}\right\}=\sum\left\{X_{i} \delta x_{i}+Y_{i} \delta y_{i}+Z_{i} \delta z_{i}\right\} .
\]

В случае, когда можно ввести силовую функцию, имеем:
\[
X_{i}=\frac{\partial U}{\partial x_{i}}, \quad Y_{i}=\frac{\partial U}{\partial y_{i}}, \quad Z_{i}=\frac{\partial U}{\partial z_{i}} .
\]

Лоэтому
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \partial y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{i}\right\}=\sum\left\{\frac{\partial U}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial U}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial U}{\partial z_{i}} \delta Z_{i}\right\} .
\]

В этом уравнении, как и в предыдущем, надо рассматривать $\delta x_{t}, \ldots$ как произвольные множители, могущие принимать всевозможные значения, а $x_{1}, \ldots$ как их значки. Но, если на одно мгновение рассматривать $і x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$ как бесконечно малые приращения $x_{i}, y_{i}, z_{i}$, то по правилам дифференциального исчисления правая часть поеледнего уравнения будет:
\[
\sum\left\{\frac{\partial U}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial U}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial U}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right\}=\delta U .
\]

сдедовательно, имеем:
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{l}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{i}\right\}=\delta U .
\]

Здесь предварительно надо рассматривать $\delta U$ только как сокращенное обозначение для суммы (А), которое совнадает с ней только в том случае, еслв $\delta$ рассматривать вак бесконечно малие прирацения. Хотя это обовначение тольхо тогда ихеет смысл, когда существует силовая фунвция, но его с успехом применяют в нных случаях даже и в более общему уравненно (1), чтобы сделать вықладки более удобными. Однако, тап постунать можно только е условием, что в разложении $\delta U$ частная проивводная $\frac{\partial U}{\partial x_{t}}$ будет ваменена черев $X_{i}$. Таким образом, вак правило, приходят қ верным результатам, когда пмеют дедо с линейными подстановками. Этот смелый путь проложил Лагранж в своих туринских мекуарах, вравда пе обосновав еғо должным образом. Обозначение $\delta U$ также очень подезно, когда вместо коордннат $x_{1}, y_{1}, z_{1}$; $x_{2}, y_{2}, z_{2} ; \ldots ; x_{n}, y_{n}, z_{n}$ вводятся новые $3 n$ переменных $q_{1}, q_{3}, \ldots, q_{\mathbf{s}_{n}}$. Тогда нужно тодько подставить эти новые переменные в $U$ и раскрыть по правияам дифференциального иечнсления:
\[
\delta U=\frac{\partial U}{\partial q_{1}} \delta q_{1}+\frac{\partial U}{\partial q_{2}} \delta q_{2}+\ldots+\frac{\partial U}{\partial q_{3 n}} \delta q_{\beta_{k}} ;
\]

в то же время надо подставить вместо $\delta x_{i}$ :
\[
\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} \delta q_{1}+\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} \delta q_{2}+\ldots+\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{3 n}} \delta q_{3 n}=\sum_{s} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}} \delta q_{s} .
\]

Справедливость этого утверждевия можно доказать следующим образоц. $3 n$ днфференциальных уравнений двнжения имеют вид:
\[
m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial x_{i}} ; \quad m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial y_{i}} ; \quad m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial z_{i}},
\]

где $i$ принимает все значения от 1 до $n$ включительно. Іредставнм себе: что эти $3 n$ уравнений помножены соответственно на $\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}}, \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{k}}, \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{k}}$ и сложены; тогда шодучится:
\[
\sum_{i} m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{k}}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{k}}\right\}=\frac{\partial U}{\partial q_{k}} .
\]

Если вместо $q_{k}$ подставлять один за другим все $q$, то таких уравненип нолучится $3 n$. Эти $3 n$ уравнений вполне заменяют первоначальную систем уравнений, так что одна из этих систем всегда может быть поставлена вместо другой. Если мы умножим последнюю систему на произвольные множители $\delta q_{1}, \delta q_{2}, \ldots, \delta q_{8}, \ldots \delta q_{3 n}$ и сложим, то получим новое символическое уравнение, которое вполне заменяет последнюю систему дифференциальных уравнений, а потому также и прежнюю систему. Это символическое уравнение будет:
\[
\sum_{s} \sum_{i} m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}}\right\} \delta q_{s}=\sum_{s} \frac{\partial U}{\partial q_{s}} \delta q_{s},
\]

или, если сумирование в левой части этого уравнения пронзвести в обрат-. ном порядке
\[
\sum_{i} m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \sum_{s} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}} \delta q_{s}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \sum \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}} \delta q_{s}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \sum \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}} \delta q_{s}\right\}=\sum_{i} \frac{\partial U}{\partial q_{s}} \hat{\partial} q_{s} .
\]

Это уравнение – то же самое, в которое переходит (2), если ваето $े U$ подставить $\sum_{s} \frac{\partial U}{\partial q_{0}} \delta q_{s}$, а вместо $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$ соответственно:
\[
\sum_{s} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}} \delta q_{s}, \sum_{s} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}} \delta q_{s}, \sum_{s} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}} \hat{\partial} q_{s} .
\]

Таким образом, доказано выше данное правило для подстановки новых пере-. ненных. В преобразованном уравнении снова надо рассматривать $\delta q_{s}$ кав: независнмые друг от друга величины, и тогда преобразованное символическое уравнение распадается на только что данную систему $3 n$ уравнений.

Но не в этих удобствах для вычисления заключаетея важность наших символических уравнений (1) и (2). Иетинное значение этого изображения состоит главным образом в том, что оно может быть сохранено также тогда, когда система уже больше не свободна, а имеютея условные уравнения. выражающие связи между точвами. Но тогда вариации нельзя больше рассматривать как совершенно произвольные, но как виртуальные вариации, т. е. такие, которие совместны с уеловиями. Если мы, например, предположнм, что еуществуют три условные уравнения:
\[
f=0, \quad \varphi=0, \quad \psi=0,
\]

то между вариациями существуют соотнопения, которые их делают внртуальными и которые определяются следующими уравненияя:
\[
\text { of }=0, \quad \delta_{\varphi}=0, \quad \delta \psi=0
\]

или в развернутом виде:
\[
\begin{array}{l}
\sum\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial f}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right)=0, \\
\sum\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right)=0, \\
\sum\left(\frac{\partial \psi}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial \psi}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial \psi}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right)=0 .
\end{array}
\]

Каждое условное уравнение дает, таким образом, линейное соотношение между $3 n$ вариациями … $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i} \ldots$ Если имеютея $m$ условных уравнений, следовательно, также $m$ соотношений между вариациями, то можно все вариации выразить через $3 n-m$ из них и получить через их подетановку наше символическое уравнение свободным от $m$ вариаций. Одпако, это исключсние $m$ вариаций крайне сложно. Лагранж, введя систему множителей, нашел средство избежать эту трудность.

Вышешриведенное раепространепие нашего символического уравнения на систему, ограниченную условиями, само собой разумеется не доказано, но приведено только как историческое утверждение. Отметить это обстоятельство является, как кажетея, необходимым, так как хотя Лаплас в Небесной механике это распространение и не доказал, а рассматривал также как историческое, подобно тому, как это сделано и здесь, тем не менее все же это ечитали за токазательство. Пуансо написал статью ) против этого мнения и говорит в ней очень справедливо, что математиков часто вводит в зао́луждение очень длинный путь, пройденный ими, но иногда также п очень короткий. Длинный путь вводит их в заблуждение, когда они после долгих выкладок приходят наконец к тождеству и принимают его за теорему. IIрниер шротивоположного дает наш случай.

Доказывать это распространение ни в коей чере не являетея напей задачей, скорей мы хотим его рассматривать как принцип, доказывать который не нужно. Таков взгляд многих математиков, в частности Гаусеа. **)
\”) Liouvilles Journal, vol. 3, p. 244.
*: Вероятно Гаусс сообщал об этом Якойи устно; ничего написанного Годеcost по этому поводу не найдено; так по крайней мере любезно сообщаст г-н профессор ПІеринд. (Прим. К.ебйа.)