Мы переходим теперь к новому приндипу, который уже не дает, подобно грежним, интеграла. Это есть \”principe de la moindre action\”, неправильно называемый принципом наименьшего действия. Значение его заключается, во-первых, в той форме, которую он придает дифференциальным уравнениям движения, во-вторых, в ток, что он дает функцию, которая обращается в минимум, когда удовлетворяются эти дифференциальные уравнения. Хотя такой минимум существует во всех задачах, но, как правнло, неизвестно, где его искать. Шоэтому, в то время как самое интересное в этом принцице то, что вообще можно получить минимум, раньше придавали преувеличенное значение тому, что такой минимум существует. Пример принципа, о котором идет речь, встречается в уже ранее цитированной статье Эйлера nde motu projectorum\”.

После того как он доказал этот принци для случая щритяжения к неподвижшым цептрам, сму пе удалось доцавать его для взаимшых притлясений, тля которых ему было неизвестно значение принципа живой силы; поэтому он повольствуется тем, что говорит, что для случая взаимных притяжений выкладки были бы слипком длинны, но принцип наименьшего действия должен и здесь иметь место, так как основные положения здоровой метафизики показали, что снлы природы всегда обязательно должны производить наименьпее действие (благодаря, кақ оп думал, присупей телам инертности). Но этого не погазывает ни здоровая и никакая вообще метафизика и на самом деле Эйлера побудило к такой фразе только неправильное понимание \”названия „наименше действие\”. Мопертюи хотел этим названием выразить, что природа свои действия производит с наименьшей затратой сил и в этом заключается истинное значение наввания \”principe da la moindre action\”.

Почти во всех учебниках, даже и в лучиих, как Пуассона, Лагранжа п Лапласа, этот принцип представлен так, что по моему мнению его нельзя лонять. Именно, говорится, что интеграл
\[
\int \sum m_{i} v_{i} d s_{i}
\]
(ге $v_{i}=\frac{d s_{i}}{d t}$ обозпачает скорость точки $m_{i}$ ) должен быть минимумом, если интегрирование производится от одного положения системы до другого. Іри этом, правда, говорится, что теорема применима только в том случае, если имеет место теорема живых сил, но при этом забывают сказать, что при помощи теоремы живых сил необхфдимо исключить из предыдущего интеграла время и все свести к пространотвенным элементам. Минимум предыдущего интеграла надо понимать так, что, когда даны начальное и конечное положеяия системы, из всех возможных іутей, ведущих из одного положения в другое, пля действитедьно пробегаемого пути интеграл будет минимумом.

Искночим время из предыдущего пнтеграла. $\operatorname{Tax}$ кая $v_{1}=\frac{d s_{9}}{d t}$
T0
\[
\int \sum m_{i} v_{i} d s_{i}=\int \frac{\sum m_{i} d s_{t}^{2}}{d t}
\]

Но по теореме живых снґ
\[
\frac{1}{2} \sum m_{i} v_{i}^{2}=U+h
\]

आл鹿
\[
\begin{array}{l}
\frac{\sum m_{i} d s_{3}{ }^{2}}{d t^{2}}=2(U+h) \\
\frac{1}{d t}=\sqrt{\frac{2(U+h)}{\sum m_{i} d s_{i}^{2}}} .
\end{array}
\]

Если внести это значение $\frac{1}{d t}$, то получится:
\[
\int \sum m_{i} v_{i} d s_{i}=\int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i} d s_{i}^{2}} .
\]

Дифференциальые уравнения движения дают после интегрирования $3 и$ коор динат задачи, выраженных черев время; но из двух таких выражений дия координат можно исключить время и нолучить при желании $3 n-1$ корди гат, выраженных черев одну из иих, наприхер черев $x_{1}$. Uрп таком предположении можно вместо $\sum m_{i} d s_{i}^{2}$ подетавить $\sum m_{i}\left(\frac{d s_{i}}{d x_{1}}\right)^{2} d c_{1}^{2}$, п тог, по нолучится пнтеграл в форме
\[
\int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i}\left(\frac{d s_{i}}{d x_{1}}\right)^{2} d x_{1}}
\]

с которой связано теперь вполне определеное понятие.
Напишем телерь, чтобы не давать ни одной из коордипап предиочтения. интеграл в прежней форме
\[
\int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i} d s_{i}^{2}}
\]

Если даны два положения системы (т. е., сели изеспны значен, которые принияанот для $x_{1}=a$ и $x_{1}=\dot{b}$ оспальне 3 п- 1 кооринат น. интеграл
\[
\int \sqrt{2(U+h)} V \sum m_{1} d s_{i}^{2}
\]

распространен на весь путь систелы от первого ее положения до внорого. то его значение будет для истинного пути минимумов по еравнению со всеми остальными возможными путями, т. е. с тақими, готорне совмеетнг с условиями системы (если таковые существуют). Тищи обравом
\[
\int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i} d s_{i}^{2}}
\]

будет минимумом илп
\[
\int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i} d s_{i}^{2}}=0 \text {. }
\]

Теперь уже трудно вайти хетафизическую причину да принциа наименв него действия, когда он, қак ото щеобходиио, рырален в әтой нетпнной форме. Существуют minima совсем другого рода, из которых тожө кожно получить дифференциальные уравнения движения и которые в этом отношении обещают много больше.

Принципу наименьшего действия должно быть поставлено еще одно ограничение. Именно, минимум интеграла имеет место не между двумя дюбыми положениями системы, но только тогда, когда конечное и начальное положения достаточно бливки друг к другу. Мы сейчас объясним, какую границу здесь нельзя переходить.

Рассиотрим сначала один особенный случай. Іусть единственная материальная точка двигается по данной поверхности под влиянием начального толчка, и пусть на нее не действуют силы притяжения. В этом случае $U=0$, а сумма $\Sigma m_{1} d s_{i}{ }^{2}$ преврацается в $m d s^{2}$; таким обравом $\int d s$ или $s$ будет минимумом, т. е. матернальная точка описываєт кратчайшую линию на данной поверхности. Но кратчайшие линии сохраняют свое свойство быть минимумом только между пцвестными границами; нашример, на шаре, где кратчайшими линиями служат больие круги, это свойство прекращаетея как

Черт. 1. тодько будем рассматривать длину, которая больше чем $180^{\circ}$. Чтобы это увидеть, не надо обращаться к помощи дополнешия до $360^{\circ}$, что ничего не доказало бы, так как minima должны иметь место всегда только по отношению к бесконечно близко лежащим линиям; мы убеждаемся в этом пњым способом. Нусть $B$ будет полюсом $A$; подолжим большой пруг $A \alpha B$ через $B$ до $C$ и проведем болыпой круг $A \beta B$ бесконечно близко к $A \alpha B$; тогда $A \alpha B C=A \beta B+B C=A \beta+\beta B+B C$. Далее, пусть $\beta$ лежит бесконечно близко к $B$, а. $\beta C$ есть дуга большого круга; тогда $\beta C<\beta B+B C$ и, следовательно, ломаная линия $A \beta+\beta C$ меньше, чем болыюй круг $A \alpha B C$. Тагим
Үерт. 2. образом, на шаре $180^{\circ}$ есть граница минимальных свойств. Чтобы эту границу ошределить в общем случае, я путем более глубоюих исследований установил следующую теорему.
Если из каной-ниоуро поти поверхостн провести по осем напраелениял кратчайшие линии, то могут встретиться два случая: две бесконсчно олизкие кратчайшие линии либо проходят все время одна еозле другой, не пересепаясь, либо они вновь пересекатоте и погда последовательность всех точек пересечения ооризует их огиоаюшую кривую. $B$ первом случае кратчайшие линии никогда не перестают оыть кратчайшими, во втором они будут таковыми только до мочки касания с огиогющей криеой.
Первое пмеет место, как это само собой разумеетел, для всех развертывающихся поверхностей, так как на плоскости прямые, проходящие черев одну точку, никогда вновь не пересекаюто; далее, как я нашел, это имеет иесто для всех вогнуто-выпуклы поверхностей, т. е. для таких, у которых. два взаимно перпендикулярные нормальные сечения икеют радиусы кривизны, направленные в противоположные стороны, например для однополостого гиперболопда и для гишерболического параболоида. Из этого, впрочем, не следует, что не могут сущестеовать вогнуто-вогнутье поверхности, которые принадлежали бы к этой категории, по крайней иере невозможность такого схчая не доказана. IІример второго рода дает эллипсоид вращения. Возьмем его мало отличающимся от пара; тогда кратчайщне линии, которые проходят через любую точку поверхноети, хотя н не буцут, как на наре, нересекатья все в полюсе, но булут в окрестности полюса иметь маленькую огибающ привую. Іри поверхностном расемотрении это обстолтельство кажется парацогеальным; действительно, огибающая кривая вообще имеет то свойство, что система кривых, которые она огибает, не может входить во внутреннюю ее область. Поэтому должна была бы существовать часть поверхности, обладаюцқя свойствои, что в любую точк внутри ее нелья провести из данной точки кратчайшую линию, что невозможно. Но нарадокс этот выясняетея при более точпом исследовании огибающей кривої, как вицю из црплагаемого чертежа, на котором $A B C I$ изображает опибаюую кривую, которая Она выходит из $E$, входит в част, поверхности, ограниченную огибающей, касаетея ее в точке $I$ п перестает с этого места быть кратчайшей линией. Это свойство кратчайших линий, что они перестают быть таковыми после соприкосновения с общей их огибающей, найдено, как сказано, путем глубоких иселедований; но после того как оно найдено, его легко увидеть, потому что, когда две бескошетно близие пратчайшие линии пересекаются, в их точке шересечения обращаетея в нуль не только первая, но и вторая вариация, и разность сводитея, таким образом, к бесконетно малым величинам 3-го порядка, т. е. не будет никагого мипимума.
Мы возвращаемся теперь снова к общим рассмотрениям минимума для прищциша наихешышего действия. Произвольные постоянные, которые получаютя после интегрирования дифферепцильных уравнений движения, определятел всего щроще через начальные положения и наяальные скорости движения; через эти начальные , даные опреде’Iерт. 3. лятся все постоянние пнтегрирования, так что ве может быть никакої многозначности. Но при принципе наниеныего действия предилагаося заданными не начальые полижения и начальпые скорости, а пачальные и конечпые положения системы. Iопому, ттобы найти истинное движение, надо решить уравнения, огределяющие пачалные скорости из конных шоложений. Эти уравнения не обязательшо будут линейными, вследетвие чего можно получить нескольо спем значений начальых скоростей, и им соответствует тогда несколюо положения, и все эти двияения дают minima отросительно бесконечьо близких к ним движений. Еели теперь интервал начащыых и конечных шоложений изменлть нещрерывно, начиная от нуля, то различиые системы значений, которые получаютея при решенин уравнений для натальниу њоросей, также будут пзенятея. Когда при таком изменени спетеи значений настунит случаї, хто две снетемы значений равны труг другу, то то н будет границеї, за которой нет болыпе минимума.

Эту теорему, которая, кстати сказать, не имеет никакого значения ды механики в уюом смыеле, я опубиновал в журнлле Крелля, *) но только как заметку без доказательства. Как пример к ней, рассмотрим пвитение плапет вокруг солнца. Даны: фокус $A$ эллипа, как местопололение солнца. больная ось эллитеа и кроме того қва положения $p$ и $q$ плауеты. Обознамим второї, гока неизвестный, фокуе через $B$; тогда через данные отрезки огределятея расстояния точки $B$ от обоих положений нданеты $p$ и $q$, а именно, эии расстояния равны $a-A p$ и $a-A q$, благодаря иввестному свойству элипса. Но это џает тля $B^{\prime}$ два положения $B$ и $B^{\prime}$, одио выше, друге

*) Bd. 17. p. 68 и след

ниже линии, соединяющей $p$ и $q$. Таким образом, получаются два эллипа, а вместе с тем также два движения планеты, которые возможны при заданных отрезках. Чтобы оба решения совпали, точки $B$ и $B^{\prime}$ должны лежать на линии, соединяющей $p$ и $q$, т. е. $p, B$ и $q$ должны лежать на одной прямой, а тогда $q$ совшадает с $p^{\prime}$. Таким образом, $p^{\prime}$ обозначает границу, за которую нельзя распространять ивтеграл, пмеюций начало в $p$, так чтобы он не переставал быть минимумом.

Мы возвращаемся теперь к собственно механическому значению принипа наименьпего действия. Оно состопт в том, тто в уравнении (1) этой лекции заключаютел основные уравнения дипаиики в том случае, когда имеет место принцип живой силы. В самом деле, уравнение (1) было:
\[
\delta \int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i} d s_{i}^{2}}=0 .
\]

Здесь после исключения времени все гоординаты можно выразить как фунъции одной из них, например $x_{1}$, и поэтому можно написать:
\[
\delta \int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i}\left(\frac{d s_{i}}{d x_{1}}\right)^{2}} d x_{1}=0
\]

или
\[
\delta \int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i}\left\{\left(\frac{d x_{1}}{d x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{i}}{d x_{1}}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d x_{1}}\right)^{2}\right\}} \cdot d x_{1}=0 .
\]

Если положим теперь
\[
\frac{d x_{1}}{d x_{1}}=x_{1}^{\prime}, \quad \frac{d y_{1}}{d x_{1}}=y_{i}^{\prime}, \quad \frac{d z_{1}}{d x_{1}}=z_{i}{ }^{\prime},
\]
ro
\[
\delta \int \sqrt{2(U+h)} \sqrt{\sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime 2}+y_{i}^{\prime 2}+z_{i}^{\prime 2}\right)} d x_{1}=0 .
\]

Введя обозначения
\[
2(U+h)=A, \quad \boldsymbol{y} m_{i}\left(x_{i}^{\prime 2}+y_{i}^{\prime 2}+z_{i}^{\prime 2}\right)=B, \quad \sqrt{A} \cdot \sqrt{B}=1,
\]

имеем наконец
\[
\delta \int P d x_{1}=0,
\]

откуда полүчается правило: подставляем в $\int P d x_{1}$ вместо $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ соответственно $x_{i}+\delta x_{i}, y_{i}+\delta y_{i}, z_{i}+\delta z_{i}$, где $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$ обозначают произвольные функции, умноженные на бесконечно малый множитель $\alpha$ и не обращающиеся в бесконечность внутри границ интегрирования, разлагаеи по степеням $\alpha$ и тогда полагаем член, умноженный на первую степень $\alpha$, равным нулю. При этом надо заметить, что, во-первых, так кағ границы интегрирования даны, то от них не будет никаких вариаций, во-вторых, что по той же причине все вариации на границах должны исчезать и, даконец, что $\delta x_{1}$ вообще есть нуль, тав как $x_{1}$ есть независимая переменная. Поэтому по правилам вариационного исчисления получаем:
\[
\begin{aligned}
\delta \int P d x_{1}= & \int \delta P d x_{1}=\int \sum\left(\frac{\partial P}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial P}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial P}{\partial z_{i}} \delta z_{i}+\right. \\
& \left.+\frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}} \delta x_{i}^{\prime}+\frac{\partial P}{\partial y_{i}^{\prime}} \delta y_{i}^{\prime}+\frac{\partial P}{\partial z_{i}^{\prime}} \delta z_{i}^{\prime}\right) d x_{1} .
\end{aligned}
\]

Ho
\[
\int \frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}} d x_{1}^{\prime} d x_{1}=\int \frac{\partial P}{\partial x_{1}^{\prime}} \frac{d \delta x_{i}}{d x_{1}} d x_{1}=\frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}} \delta x_{1}-\int \frac{d \frac{\partial F}{\partial x_{1}^{\prime}}}{d x_{1}} \delta x_{i} d x_{i}
\]

или, так как $і x_{1}$ исчезает на границах интегрирования,
\[
\int \frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}} \delta x_{i}^{\prime} d x_{1}=-\int \frac{d \frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}}}{d x_{1}} \delta x_{i} d x_{1} .
\]

Подобные же уравнения получатея цля $y_{i}$ и $z_{i}$; пользуясь ими, пслучим:
\[
\begin{aligned}
\delta \int P d x_{1}=\int \sum & {\left[\left(\frac{\partial P}{\partial x_{i}}-\frac{d \frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}}}{d x_{1}}\right) \delta x_{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial y_{i}}-\frac{d \frac{\partial P}{\partial y_{i}^{\prime}}}{d x_{1}}\right) \delta y_{i}+\right.} \\
& \left.+\left(\frac{\partial P}{\partial z_{i}}-\frac{d \frac{\partial P}{\partial z_{i}^{\prime}}}{d x_{1}}\right) \delta z_{i}\right] d x_{1} .
\end{aligned}
\]

Ho
\[
\begin{array}{l}
P=\sqrt{A} \sqrt{B}, \quad A=2(U+h), \quad B=\sum m_{1}\left(x_{1}^{\prime 2}+y_{1}^{\prime 2}+z_{1}^{\prime 2}\right), \\
\frac{\partial P}{\partial x_{i}}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{B}{A}} \frac{\partial A}{\partial x_{i}}=\sqrt{\frac{B}{A}} \frac{\partial U}{\partial x_{i}}, \\
\frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{A}{B}} \frac{\partial B}{\partial x_{i}^{\prime}}=\sqrt{\frac{A}{B}} m_{i} x_{i}^{\prime} \text { : } \\
\end{array}
\]

сдедовательно
\[
\frac{\partial P}{\partial x_{i}} \frac{d \frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}}}{d x_{1}}=\sqrt{\frac{B}{A}} \frac{\partial U}{\partial x_{i}}-\frac{d\left(m_{i} \sqrt{A} \frac{d x_{i}}{\bar{B} d x_{i}}\right)}{d x_{i}} .
\]

Есяи теперь положим (см. стр. 40)
\[
\sqrt{\frac{B}{A}} d x_{1}=d t
\]

то получич
\[
\frac{\partial P}{\partial x_{i}}-\frac{d \frac{\partial P}{\partial x_{i}^{\prime}}}{d x_{1}}=\sqrt{\frac{B}{A}}\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}}-m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}\right)
\]

п подобние зе уравнения ддя $y_{i}$ и $z_{i}$. Введя эти выраженпя, найдем:
$\delta \int P d c_{1}=\int \sqrt{\frac{B}{A}} \sum\left\{\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}}-m_{1} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}\right) \delta x_{i}+\left(\frac{\partial U}{\partial y_{1}}-m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}\right) \delta y_{1}+\right.$
\[
\left.+\left(\frac{\partial U}{\partial z_{i}}-m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}\right) \delta z_{i}\right\} d x_{i} .
\]

Но так как по напему принципу эта вариация должна исчевнуть, то имеем:
\[
0=\sum\left\{\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}}-m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}\right) \delta x_{i}+\left(\frac{\partial U}{\partial y_{i}}-m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}\right) \delta y_{i}+\left(\frac{\partial U}{\partial z_{i}}-m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}\right) \delta z_{i}\right\}
\]

или
\[
\begin{array}{l}
\sum m_{i}\left(\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{i}\right)= \\
=\sum\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial U}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial U}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right)=\delta U, \\
\end{array}
\]

а это есть прежнее символическое уравнение.
уравнение (2) есть не что иное, кап теорема живых сил: действительно, при помощи пвадратуры получаем
\[
B d x_{1}^{2}=A d t^{2}
\]

или
\[
\sum m_{i}\left\{\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}=2(U+h) .
\]

ђто можно было предвидеть, таг каг мы исключили вреня из интегра.а иринципа наищеньшего действия при помощи теоремы живых сил.