Есяи да системы дифференцианыш уравнений:
\[
\begin{array}{c}
d t: d q_{1}: d q_{2}: \ldots d q_{n}: d p_{1}: d p_{2}: \ldots: d p_{n}=1: \frac{\partial H}{\partial p_{1}}: \frac{\partial H}{\partial p_{2}}: \ldots \\
\ldots: \frac{\partial H}{\partial p_{n}}:-\frac{\partial H}{\partial q_{1}}:-\frac{\partial H}{\partial q_{2}}: \ldots \ldots: \frac{\partial I}{\partial q_{n}},
\end{array}
\]

ооладаюңей очевидным интегралом $H=h$, даны два независяцих от $t$ интеграла $H_{1}=h_{1}$ и $H_{2}=h_{2}$, то, хотя, как мы это видели, вообще нельзя сказать а priori с определенностью, будет ли выраление $\left(H_{1}, H_{2}\right)$, если его приравнять постоянной величиче, давать новый интеграл, или же $\left(H_{1}, H_{2}\right)$ сведется к независящей от $h, h_{1}, h_{2}$ постоянной, или к чисто числовому зиачению, или, наконец, тто последее сводитс и нулю. Однако этот вопрос может бит шодностью решеп, если $H_{1}=h_{1}$ и $H_{2}=h_{\text {: }}$ являютея интегралами, принадлежащими $ћ$ системе, получаемой из гамилтонова уравнения в частных производных. Именно мы увидия, что, еся $\%=$ const и $=$ const являютея двумя интегралами Гамильтона, то ( $\uparrow, \psi$ ) будеч равно дибо 0 , либо $\div 1$. Таким образом два интеграла этой еистемы никогда не дают нового интеграла. Чтобы догазать эту теорему, мы обращаенея к вспомогательной теореме, которая погазыпает, во что обращается выражение (?, 山), если в и и, кроме величин $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$ и $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, входят еще $m$ величин $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{m}$, которые являютея функцияи от $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$ и $\eta_{1}, p_{2}, \ldots y_{n}$. В этом случае эожно как производные, взятые от $\psi$ и по $p$ и $q$, так и выражение $(\varphi, \psi)$ образовать двун разными способами, смотря по тому, принимать ли во виимание то обстоятенсто, тто переменные $p$ и $q$ входят в $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}$, или не прининать. Производные от и $\psi$, взятые этими двумя способами, мы будем писать соответственно ьо скобками или без скобок, а составлепное из ч и внражение с двойными скобками ( $\rho, \psi$ ) или с простыми скобками; тогда будем иметь:

Єуммы, взятые но $i$, распространяюте на значения $1,2 \ldots n$, и дия лаключенных в скобки пронзводных в (2) имеют место равенетва:
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial \varphi}{\partial p_{i}}\right)=\frac{\partial \varphi}{\partial p_{i}}+\sum_{k} \frac{\partial \varphi}{\partial \omega_{i}} \frac{\partial \omega_{k}}{\partial p_{i}},\left(\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}\right)=\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}+\sum_{k^{\prime}} \frac{\partial \psi}{\partial \omega_{k^{\prime}}} \frac{\partial \omega_{k^{\prime}}}{\partial p_{i}}, \\
\left(\frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}}\right)=\frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}}+\sum_{k} \frac{\partial \varphi}{\partial \omega_{k}} \frac{\partial \omega_{k_{i}}}{\partial q_{i}},\left(\frac{\partial \psi}{\partial q_{i}}\right)=\frac{\partial \psi}{\partial q_{i}}+\sum_{k^{\prime}} \frac{\partial \psi}{\partial \omega_{k^{\prime}}} \frac{\partial \omega_{k^{\prime}}}{\partial q_{i}},
\end{array}
\]

в которых суммы но $k$ и $k^{\prime}$ надо брать ог 1 до $m$. Если эти выражения нодетавить в (2), то в результате получитея простая сумма, взятая по $i$, двойная сумма по $i$ и $k$ (или $k^{\prime}$ ) и тройная сумма по $i, k$ и $k^{\prime}$. Имевно мм иолучим:
\[
\begin{array}{c}
((\varphi, \psi))=\sum_{i}\left(\frac{\partial \rho}{\partial p_{i}} \frac{\partial \psi}{\partial q_{i}}-\frac{\partial \Psi}{\partial p_{i}} \frac{\partial c}{\partial q_{i}}\right)+ \\
+\sum_{i} \sum_{k^{\prime}}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial p_{i}} \frac{\partial \psi}{\partial \omega_{k^{\prime}}} \frac{\partial \omega_{k^{\prime}}}{\partial q_{l}}-\frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}} \frac{\partial \psi}{\partial \omega_{k^{\prime}}} \frac{\partial \omega_{k^{\prime}}}{\partial p_{i}}\right)- \\
-\sum_{i} \sum_{k}\left(\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial \omega_{k}} \frac{\partial \omega_{k}}{\partial q_{i}}-\frac{\partial \psi}{\partial q_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial \omega_{k}} \frac{\partial \omega_{k}}{\partial p_{i}}\right)+ \\
+\sum_{i} \sum_{k} \sum_{k^{\prime}} \frac{\partial \varphi}{\partial \omega_{i}} \frac{\partial \psi}{\partial \omega_{k}}\left(\frac{\partial \omega_{k^{\prime}}}{\partial p_{i}} \frac{\partial \omega_{k^{\prime}}}{\partial q_{i}}-\frac{\partial \omega_{k^{\prime}}}{\partial p_{i}} \frac{\partial \omega_{k}}{\partial q_{i}}\right) ;
\end{array}
\]

есди мы в двойных и троӥных суммах переставим порядок суммированин и примем во внимание данное равенством (3) определение выражений вида ( $s, \psi$ ), заключенных в простые скобки, то получим:
\[
\begin{array}{c}
((\varphi, \psi))=(\varphi, \psi)+\sum_{k^{\prime}} \frac{\partial \psi}{\partial \omega_{k^{\prime}}}\left(\varphi, \omega_{k^{\prime}}\right)-\sum_{k} \frac{\partial \varphi}{\partial \omega_{k}}\left(\psi, \omega_{k}\right)+ \\
+\sum_{k} \sum_{k^{\prime}} \frac{\partial \varphi}{\partial \omega_{k}} \frac{\partial \psi}{\partial \omega_{k}}\left(\omega_{k}, \omega_{k^{\prime}}\right) .
\end{array}
\]

Так как суммирование по $k$ и $k^{\prime}$ распространяетея на одни и те же значения от 1 до $m$, то в первой сумме первой строчки можно написать $k$ вмеско $k^{\prime}$. Во второй строчке члены, для которых вначения $k$ и $k^{\prime}$ совпадают, обращаются в нуль благодаря множителю ( $\left.\omega_{k}, \omega_{h^{\prime}}\right)$; остальные члены можно попарно ооединять в одип члеп, тап как ( $\left.\omega_{k^{\prime}}, \omega_{k}\right)=-\left(\omega_{k}, \omega_{k^{\prime}}\right)$. Поэтому суми надо распространять тольо на комбинации Іо цва разлиных между собой значениӥ $k$ и $k^{\prime}$, и тогда ( $\omega_{k}$, $\omega_{k^{\prime}}$ ) получитея умноженным на $\left(\frac{\partial \varphi}{\partial \omega_{k}} \frac{\partial \psi}{\partial \omega_{k^{\prime}}}-\frac{\partial \psi}{\partial \omega_{k}} \frac{\partial \varphi}{\partial \omega_{k^{\prime}}}\right)$, так что в конце концов мы будем иметь равеногво
\[
\left.\begin{array}{rl}
((\varphi, \psi)) & =(\varphi, \psi)+\sum_{k} \frac{\partial \psi}{\partial \omega_{k}}\left(\varphi, \omega_{k}\right)-\sum_{k} \frac{\partial \varphi}{\partial \omega_{k}}\left(\psi, \omega_{k}\right)+ \\
& +\sum_{k, k^{\prime}}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial \omega_{k}} \frac{\partial \psi}{\partial \omega_{k^{\prime}}}-\frac{\partial \varphi}{\partial \omega_{k}} \frac{\partial \varphi}{\partial \omega_{k^{\prime}}}\right)\left(\omega_{k}, \omega_{k^{\prime}}\right) .
\end{array}\right\}
\]

Имея в виду дальнейшее прихенепие, мы придадим формуле (4) некоторыӥ епециальный вид, для чего вместо величин $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots \omega_{n}$ подставия уже ранее ${ }^{1}$ рассматривавшиеся $n$ функций $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$, которые не содержат произвольных постоянных и зависят только от переменных $q_{1}, q_{2}$, . . $q_{n}$, $p_{1}, \ldots p_{n}$ и которые, будучи приравнены друг от друга невависимым произвольным постоянным $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$, тап определяют переменные $p_{1}$, $\mu_{2}, \ldots p_{n}$ в функциях от шеременных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, что выражение
\[
p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}
\]

становится полным дифференциалом, а его интеграл будет полным решением $V$ уравнения в частных производных $H=h$. Тогда, как мы знаем, будет иметь место тожнественное равенство
\[
\left(H_{k}, H_{k^{\prime}}\right)=0
\]
1 См. триддать вторую лекдию, стр. 225.

и, следовательно, в общей форнуле (4) двойная сумма, взятая по $k, k^{\prime}$, обратнтея в нуль, после чего мы получим
\[
((\varphi, \psi))=(\varphi, \psi)+\sum_{k} \frac{\partial \psi}{\partial K_{k}}\left(\varphi, H_{k}\right)-\sum_{k} \frac{\partial \varphi}{\partial H_{l}}\left(\psi, H_{l}\right),
\]

где сумиы берутся от $k=0$ по $k=n-1$.
Приведем эту формулу к еще более специальному виду. Согласно напему прежнему предположению функци $\varphi$ и $\psi$ содержат переменные $p$ и $q$, во-первых, явно, во-вторых, неявно посредством вегичин $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$. Iредположим теперь, что функции $\varphi$ и $\dot{\psi}$ содержат переменные $p$ только в последней форме, т. е. только неявно, чего всегда можно достигнут введением величин $H$ как новых цеременных вместо $n$ величин $p$. Так как виесте с тем $\varphi$ и $џ$ выразятся только через $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}, I I, H_{1}, \ldots H_{n-1}$, то при такой гипотезе получитея значительне упрощение входящих в равенетво (5) выражений:
\[
\begin{array}{c}
(\varphi, \dot{\varphi})=\sum_{i}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial p_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}}-\frac{\partial \varphi}{\partial p_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}}\right), \\
\left(\varphi, H_{k}\right)=\sum_{i}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial p_{i}} \frac{\partial H_{k}}{\partial q_{i}}-\frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}} \frac{\partial H_{k}}{\partial p_{i}}\right),\left(\psi, H_{k}\right)=\sum_{i}\left(\frac{\partial \Psi}{\partial p_{i}} \frac{\partial H_{k}}{\partial q_{i}}-\frac{\partial \psi}{\partial q_{i}} \frac{\partial H_{k}}{\partial p_{i}}\right) .
\end{array}
\]

Iроизводные $\frac{\partial \varphi}{\partial p_{i}}, \frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}$ обратятея в вущ, для всякого значения $i$, п получитея

и общєе выражение (5) ды $(i, \psi)$ ) теперь принимает следующий простой вид:
\[
((\varphi, \psi))=-\sum_{k} \frac{\partial \psi}{\partial H_{k}} \sum_{i} \frac{\partial \rho}{\partial q_{i}} \frac{\partial H_{k}}{\partial p_{i}}+\sum_{k} \frac{\partial \varphi}{\partial H_{k}} \sum_{i} \frac{\partial \psi}{\partial q_{i}} \frac{\partial H_{k}}{\partial p_{i}} .
\]

Это равенств явяяется специальной формой вепомогатещьнй теоремы (4), и мы будем им пользоваться при рассмотревии гамильтоновой формы интетралов.

Чтобы при этих предположения написатт полностью в гамильтоновой форме интегралы системы дифференциальных уравнениї (1), воснопьуемся, іри сохранении прежних обозначений, уравнениями
\[
H=h, H_{1}=h_{1}, \ldots H_{n-1}=h_{n-1},
\]

которые так определяют переменние $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, что
\[
V=\int\left(p_{1} d q_{1}+\boldsymbol{p}_{2} d q_{2}+\ldots+\boldsymbol{p}_{n} d q_{n}\right)
\]

будет подным решением уравнения в частных производных $H=h$. Тогда, как мы знаем, 1 интегральные уравнения системы (1) в гамильтоновой форме нашищутея так:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial V}{\partial q_{1}}=p_{1}, \quad \frac{\partial V}{\partial q_{2}}=p_{2}, \ldots \frac{\partial V}{\partial q_{n}}=p_{n}, \\
\frac{\partial V}{\partial h}=t+h^{\prime}, \quad \frac{\partial V}{\partial h_{1}}=h_{1}{ }^{\prime}, \ldots \frac{\partial V}{\partial h_{n-1}}=h^{\prime}{ }_{n-1},
\end{array}\right\}
\]
1 См. двадцатую лекцию, стр. 148.

рде $h^{\prime}, h_{1}^{\prime}, \ldots h_{n-1}^{\prime}$ обозначают новые провзвольные постоянные. Но эт пнтегральные уравнения не все решены относительно произвольных постоянных. Чтобы их получить в этой форме, т. е., согласно напей терминодогии. как интеграль, мы заменяем первую половину интегральных уравнений (7) равновначныи им интегралами:
\[
H=h, H_{1}=h_{1} \ldots H_{n-1}=h_{n-1},
\]

а во второй их половине, которая уке ренена относительно проиввольных чостоянных $h^{\prime}, h_{1}^{\prime}, \ldots h_{n-1}^{\prime}$, вместо $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$ подставляем их значенин $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$. Тогда интегральные уравнения, стоящие во второй строке системы (7), в том случае, когда $H^{\prime}, H_{1}^{\prime}, \ldots H^{\prime}{ }_{n-1}$ обозначают функции переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}, p, \ldots p_{n}$, в которые после этой подстановки превратятся величины $\frac{\partial V}{\partial h}, \frac{\partial V}{\partial h_{1}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial h_{n-1}}$, получатея в форме интегралов:
\[
H^{\prime}=t+h^{\prime}, H_{1}^{\prime}=h_{1}^{\prime}, H_{2}^{\prime}=h_{2}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}=h_{n-1}^{\prime} .
\]

Величины $H^{\prime}, H_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}$ содержат переменние $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ только неявно при госредстве величин $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$, таг как функция $V$ и ее шроизводные $\frac{\partial V}{\partial h}, \frac{\partial V}{\partial h_{1}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial h_{n-1}}$ зависят только от $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}, h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$, и понтому величины $H^{\prime}, H_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}$ зависят тольк от величин $q_{1}$, $q_{2}, \ldots q_{\ell}, H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$. Следовательно $H^{\prime}, H_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}$ идеют как раз ту форму, в которой, по нашему предположению, предетавлены величины : и $\psi$ в равенстве (6). То же самое имеет место, как это само собой разуиеетея, да величин $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$, если мы их рассматриваем ьак функции от них самих, по топько тогда в них также не входят явно переменные $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n l}$. $К$ выражениям $\left(\left(H_{\alpha}{ }^{\prime}, H_{\beta}{ }^{\prime}\right)\right)$ или. $\left(\left(H_{\alpha}{ }^{\prime}, H_{\beta}\right)\right)$, двойшье скобки которых мы теперь отбросим для упрощения обозначений, теперь может быть применена формула (6), данная для ( $(\varphi, \psi)$ ).

Если в формуле (6) положим сначала $\varphi=H_{\alpha}{ }^{\prime}, \psi=H_{\beta}{ }^{\prime}$, где а и ? обовначают числа из ряда $0,1, \ldots n-1$, то получится:
\[
\left(H_{\alpha}^{\prime}, H_{\hat{i}}{ }^{\prime}\right)=-\sum_{k} \frac{\partial H_{\beta}^{\prime}}{\partial H_{k}} \sum_{i} \frac{\partial H_{\alpha}{ }^{\prime}}{\partial q_{i}} \frac{\partial H_{k}}{\partial p_{i}}+\sum_{k} \frac{\partial H_{\alpha}{ }^{\prime}}{\partial H_{k}} \sum_{i} \frac{\partial H_{\beta}{ }^{\prime}}{\partial q_{i}} \frac{\partial H_{k}}{\partial p_{i}} .
\]

Но шо определению величин $H_{2}^{\prime}$ имеем:
\[
H_{\alpha}^{\prime}=\frac{\partial V}{\partial h_{\alpha}}
\]

в щредшоложении, что в чроизводной $\frac{\partial V}{\partial h_{\alpha}}$ вместо величин $h_{k}$ цоставлены величины $H_{l \text { : }}$. Так как из равенства, служащего для опрегеления $V$,
\[
V=\int\left(p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}\right)
\]

для шроизводной от $V$ по $h_{\alpha}$ получитея зшачение
\[
\frac{\partial V}{\partial h_{o}}=\int\left(\frac{\partial p_{1}}{\partial h_{\alpha}} d q_{1}+\frac{\partial p_{2}}{\partial h_{\alpha}} d q_{2}+\ldots+\frac{\partial p_{\mu_{\mu}}}{\partial h_{\alpha}} d q_{n}\right),
\]

то, взяв отсюда частную производную по $q_{i}$, будем имет:
\[
\frac{\partial\left(\frac{\partial V}{\partial h_{\alpha}}\right)}{\partial q_{i}}=\frac{\partial p_{i}}{\partial h_{\alpha}} .
\]

Следовательно после замены величин $h_{k}$ соответетвующими величинами $H_{k}$ получим:
\[
\frac{\partial H_{\alpha}^{\prime}}{\partial q_{i}}=\frac{\partial p_{i}}{\partial H_{\alpha}} .
\]

Іри посредстве зтого равенства суммн, взятые по $i$, входяцие в форуулу (8), принимают следующие простые значения:
\[
\begin{array}{c}
\sum_{i} \frac{\partial H_{\alpha}^{\prime}}{\partial q_{i}} \frac{\partial H_{k}}{\partial p_{i}}=\sum_{i} \frac{\partial H_{k}}{\partial p_{i}} \frac{\partial p_{i}}{\partial H_{\alpha}}=\frac{\partial H_{k}}{\partial H_{\alpha}}, \\
\sum_{i} \frac{\partial H_{\beta}^{\prime}}{\partial q_{i}} \frac{\partial H_{k}}{\partial p_{i}}=\sum_{i} \frac{\partial H_{k}}{\partial p_{i}} \frac{\partial p_{i}}{\partial H_{\beta}}=\frac{\partial H_{k}}{\partial H_{\beta}}
\end{array}
\]

и равенотво (8) переходит в такое:
\[
\left(H_{\alpha}^{\prime}, H_{\beta}^{\prime}\right)=-\sum_{k} \frac{\partial H_{\beta}^{\prime}}{\partial H_{k}} \frac{\partial H_{k}}{\partial H_{\alpha}}+\sum_{k} \frac{\partial H_{\alpha}{ }^{\prime}}{\partial H_{k}} \frac{\partial H_{k}}{\partial H_{\beta}} ;
\]
$k=\alpha$ обращатет в единицу, то
\[
\left(H_{\alpha}{ }^{\prime}, H_{\beta}{ }^{\prime}\right)=-\frac{\partial H_{\bar{\beta}}{ }^{\prime}}{\partial H_{\alpha}}+\frac{\partial H_{\alpha}{ }^{\prime}}{\partial H_{\beta}} .
\]

Іравая часть этого равенства есть нудь; действительно, пусть $V^{\prime}$ обозначает функцию, в которую превращается $V$, если величины $h_{k}$ заменяются сответствующими величинами $H_{k}$; тогда имеют место равенства
\[
H^{\prime}=\frac{\partial V^{\prime}}{\partial H}, \quad H_{1}^{\prime}=\frac{\partial V^{\prime}}{\partial H_{1}}, \quad H_{2}^{\prime}=\frac{\partial V^{\prime}}{\partial H_{2}}, \ldots H_{n}^{\prime}=\frac{\partial V^{\prime}}{\partial H_{n}},
\]

так что получин
\[
\begin{array}{l}
\text {. } d H_{a}{ }^{\prime} \quad d H_{\beta}{ }^{\prime} \\
d H_{\beta}=\partial H_{0}{ }^{\prime}, \\
\end{array}
\]

а отююда следует равенство
\[
\left(H_{\alpha}^{\prime}, H_{f}^{\prime}\right)=0 .
\]

Теперь, чтобы преобразовать выражения вида $\left(H_{a}{ }^{\prime}, H_{\beta}\right)$, мы подставик
\[
\left(H_{a}^{\prime}, H_{\beta}\right)=-\sum_{k} \frac{\partial H_{\beta}}{\partial H_{k}} \sum_{i} \frac{\partial H_{\alpha}^{\prime}}{\partial q_{i}} \frac{\partial H_{k}}{\partial p_{i}}+\sum_{k} \frac{\partial H_{\alpha}^{\prime}}{\partial H_{k}} \sum_{i} \frac{\partial H_{\beta}}{\partial q_{i}} \frac{\partial H_{k}}{\partial p_{i}} .
\]

Нервая входяцая сюда, взятая по $i$, сумма при посредетве равенотна (9) принимает значение:
\[
\sum_{i} \frac{\partial H_{\alpha}{ }^{\prime}}{\partial q_{i}} \frac{\partial H_{k}}{\partial p_{i}}=\sum_{i} \frac{\partial H_{k}}{\partial p_{i}} \frac{\partial p_{i}}{\partial H}=\frac{\partial H_{k}}{\partial H_{\alpha}} .
\]

Вторая же сумма, взятая по $i$, исчезает; в самом деле, так как иы рассматриваем величины $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$ и $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$ как независимые переменные, то $H_{\beta}$ не содержит $q_{i}$ и все производные $\frac{\partial H_{\beta}}{\partial q_{i}}$ равны нулю. Таким образом равенство (10) превращается в следующее:
\[
\left(H_{\alpha}{ }^{\prime}, H_{\beta}\right)=-\sum_{k} \frac{\partial H_{\beta}}{\partial H_{\alpha}} \frac{\partial H_{\beta}}{\partial H_{k}} \frac{\partial H_{k}}{\partial H_{\alpha}}=-\frac{\partial H_{\beta}}{\partial H_{\alpha}},
\]

и так как $\frac{\partial H_{\beta}}{\partial H_{\alpha}}$ равняется 0 или 1 , смотря по тому, отичаетея $\beta$ от $\alpha$ или равно $\alpha$, то қая двух различных между собой значений $\alpha$ и $\beta$ имееи
\[
\left(H_{\alpha}{ }^{\prime}, H_{\beta}\right)=0 ;
\]

если же $\alpha=\beta$, то
\[
\left(H_{\alpha}{ }^{\prime}, H_{\alpha}\right)=-1 .
\]

Наконец, благодаря условным уравнениям, определяющим величины $H$, получаем
\[
\left(H_{\alpha}, H_{\beta}\right)=0 .
\]

Таким образои мы имеем дая величин $H_{\alpha}$ и $H_{\dot{\alpha}}^{\prime}$ следующие тождества:
\[
\begin{array}{c}
\left(H_{\alpha}, H_{\beta}\right)=0, \quad\left(H_{\alpha}{ }^{\prime}, H_{\beta}{ }^{\prime}\right)=0, \\
\left(H_{\alpha}, H_{\beta}{ }^{\prime}\right)=0,
\end{array}
\]

из которых два первых имеют место для всех значений $\alpha$ и $\beta$, а последнее только для различных между собой значений $\alpha$ и $\beta$, в то время как для $\alpha=\beta$ инеет место равенство
\[
\left(H_{\alpha}, H_{\alpha}^{\prime}\right)=1 .
\]

Эфи результаты можно обобщить в следующую теорему:
Іусть дана система изопериметрически дифферениильньх уравненицй
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d q_{1}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{1}}, \frac{d q_{2}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{2}}, \ldots \frac{d q_{n}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{n}} ; \\
\frac{d p_{1}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{1}}, \frac{d p_{2}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{d p_{n}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{n}},
\end{array}\right\}
\]

в поторой $\boldsymbol{H}$ обозначает данную функиию от переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ и которая при $H=T-U$ переходит в систему дифференциальных уравнений динамики для случая, когда имеет место принцип мивой силь. Рассмотрим уравнение в частных производных
\[
H=h,
\]

в romopo.s
\[
p_{1}=\frac{\partial V}{\partial q_{1}}, \quad p_{2}=\frac{\partial V}{\partial q_{9}}, \ldots p_{n}=\frac{\partial V}{\partial q_{n}}
\]

и $x$ коморому может быть приведена система (1).
ПІусть
\[
\boldsymbol{H}_{1}=h_{1}, H_{2}=h_{2}, \ldots H_{n-1}=h_{n-1}
\]

лают $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ кан функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, что выраэенне
\[
p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}
\]

становится нолным дифференциалом, а его ннтеграл
\[
V=\int\left(p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}\right)
\]

оудет полныл решениел уравнения в частных производных $H=h$. Обозначим далее через $H^{\prime}, H_{1}^{\prime}, \ldots H^{\prime}{ }_{n-1}$ те функиии перемених $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, в которые преврашаются производные $\frac{\partial V}{\partial h}, \frac{\partial V}{\partial h_{1}} \ldots \frac{\partial V}{\partial h_{n-1}}$, носле того кан постоянные $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$ заменятся функииями $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$, и составим для системы дифференииальных уравнений (1) систему ес интегралов в форме Гамильтона, т. е. в форме равенств
\[
\begin{array}{c}
H=h, H_{1}=h_{1}, H_{2}=h_{2}, \ldots H_{n-1}=h_{n-1}, \\
H^{\prime}=t+h^{\prime}, H_{1}^{\prime}=h_{1}^{\prime}, H_{2}^{\prime}=h_{2}^{\prime} \ldots H_{n-1}^{\prime}=h_{n-1}^{\prime} ;
\end{array}
\]

могда $2 n$ функиий $H, H_{1}, \ldots H_{n \rightarrow 1}, H^{\prime}, H_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}$ оорразующих левые части этих ннтегралов, обладают тем свойством, что если в вираженнн
\[
(\odot, \psi)=\left\{\begin{array}{r}
\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \Psi}{\partial q_{1}}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \Psi}{\partial q_{2}}+\ldots+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{n}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{n}} \\
-\frac{\partial \Psi}{\partial p_{1}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{1}}-\frac{\partial \psi}{\partial p_{2}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{2}}-\ldots-\frac{\partial \varphi}{\partial p_{n}} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{n}}
\end{array}\right\}
\]

подетавит вместо ч н $\Psi$ какие-нибудь $2 n$ всличи $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}$, $H^{\prime}, H_{1}^{\prime}, \ldots{H^{\prime}}_{n-1}$, то эмо выражение обратитея в нуль, за единственным ним едтнице.

Іосредетвом этой теоремы можно уетаповить очень проетые формуын хя вариации шестиних, что составит предмет следующей декции.