Предметом настоящих лекций будет исследование тех преимуществ, которые можно извлечь при интегрировании дифференциальных уравнений движения ив особой формы этих уравнений. В \”Аналитической механике\” можно найти все, что касается задачи составления п преобравования дифференциальных уравнений, но для их интегрирования сделано очень мало. Угомянутая задача едва поставлена; единственно, что можно к этому отнести, есть метод вариации постоянных – метод приближений, который покоится на особенной форме дифферепциальных уравнений, встречающихся в механике.

Среди болыного количества задач, ставлщихся в механике, мы будем рассматривать тольк те, которые относятся к систеще $n$ материальных точек, т. е. $n$ тел, размерами которых можно пренебреть и массу которых шредполагают находящейся в центре тяжести. Далее мы будем рассматривать только те задачи, при которых движение зависит только от взаимного расголожения точек, а не от их скорости. Благодаря этому исключаются все задачи, при которых принимается в расчет сопротивление.

Сначала мы установия дифференциальные уравнения движения такой системы, а затем укажем приложимые к ней принцшы. Этими принципами являются:
1. Принцип сохранения движения центра тяжести.
2. IIринцип сохранения живой силы.
3. Іринциш сохранения площадей.
4. Шринцип наименьпего действия или, тучше сказать, наименьшей затраты силы.

Первые три из этих прищциов дают интегралы составленной системы дифференциальных уравнений; последний не дает никакого интеграла, но дает символическую формулу, -которая объединяет систему дифференциальных уравнений. Однако этот принцип не менее важен, чем остальные и Лагранж вначале даже вывел из него все свои результаты в механике. Позже, когда он захотел их строго обосновать, он отказался от принциша наименьшего действия и принял за основапие своих выводов принпил виртуальных скоростей. *)

Таким образом, принцип паименышего действия, бывиий источником всех новых результатов, был трактован, как недостаточный.

Л присоединил новый прищип механики, который согласуется с принцнами сохранения живой силы и сохранения плоцадей в том отнопении, что тоже дает интеграл, но в остальном он совершенно другой природы. Во-первых, он является более общим, чем они, так как он имеет место всякий раз, когда дифференциальные уравнения содержат одни координаты; во-вторых, в то время, как те принципы дают первые интегралы в форме: фукция от координат и их производных равна некоторой цостоянной, т. е.
*) Сначала в сочинении о либрации луны, премированном Парнжской Академией, а затем в ${ }_{n}$ Аналитической механике“.

интегралы, из дифференцирования которых проистекают уравнения, обращающиеся шри исшолзовании данных дифференциальных уравнений тождественно в нуль, – новый принцип дает последний интеграл в предположении, что предыдущие интегралы известны. Именно, если сделать предиольжение, тто задача механики свелась к дифференциальному уравнению первого порядка с двумя переменными, то, согласно с этим принципом, иожно найти множитель этого уравнения.

Гаким образом в тех случаях, когда остальные принциы сводят задачу к дифференциальном уравнению первого порядка, новый принции решает ее полпостью. Сюда принадлежит задача притяжения точки неподвижным центром, иричем закон притяжения произволен; далее следует притяжение к двум пеподвижным цедтрам, в предположении, что имеет место притяжепие по закону Ньютона, и наконец, вращение вокруг точк тела, не подверженного действию внешних сил. Щри притяжении к двум нешодвижным центрам, проме применения старых принципов, совершенно необходии еще интеграл, найденный Эйлером особым искусственным приемом; при помощи әтого интеграла задача сводится к дифференциальному уравнению первого порядка с двумя переменными. Но это уравнение крайне сложно и его интегрирование есть одно из величайших уастерских творений Эйлера. Іри помощи нового принина множитель этого уравнепия получается саи собой.

Особенно надо отметить те классы задач, для которых одновременно имеют место принци живой силы и принцип наименыпего действия. Гамильтон заметил, что в этом случае задача может быть сведена к нелннейному дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка. Если найдено одно его полное решение, то получаютея тотчас все интегральные уравнения. Функцию, определенную этим дифференциальным уравнением в частных производных, Гамильт называет характеристической функцией.

Iрекрасное соотнопение, найденное І’амиптоном, было нескольюо недостушо и туманно, вследствие того, то он свою характеристическую функцию заставил зависеть еще от второго дифференциального уравнения в частных производных. Присоединение этого уедовия усложняет ненужным образом все открытие, так как более точное иселедование цоказывает, что второе дифференциальное уравнение в частных производных совершенно из.типне.

Мы введем қи определенности следующие тернины: интегралы обыкновенных дифференциальных уравнений мы будем называть интегралами или ннтегральными уравнениями, интегралы же уравнений в частных производных – решениями. Далее, для системы дифференциальых уравнений мы будеи различать интегралы и интегральные уравнения. Интегралаии пуст, будут те первые интегралы, которые имеют форму: функция от ноординат и их производных равна постоянной, и ее гроизводная при использовании данной систены дифференциальных уравнений обращается тождественно в нуль без помощи других интегралов; интегральными уравненияии называются все остальные интегралы. Таким образом принципы живой силы и площадей дают в этом смысле интегралы, а не интегральые уравнения.

Благодаря открытию Гамильтона система интегральных уравнениі задач механики получила замечательнчю форму. Именно, если характеристичесвую фунццию дифференцировать по произвольным постолнныи, воторые она содержит, то получатся интегральные уравнеция данной оистеиы днфференциальных уравнений. Это аналогично теореме Лагранжа, согласно которой дифференциальные уравнения задачи в том случае, когда имеет често принцип наименьшего действия, могут быть представлены как частные проивводные одной величины. Однако, Гамильтон хотя и установнл ту форму интегральных уравнений, о воторой идет речь и которую эти уравнения принимают при посредстве характеристической функции, но он ничего не сделал для разыскания этой последней. Этим мы и займемся и с помощью полученных результатов изучим: притяжение к неподвижножу центру, притяжение к двум неподвижным центрам и движение точки, не подверженной силе тяжести, по трехосному эллипоиду (определение этого движения совпю, с нахождением кратчайшей линии на эллипсоиде).

Соотношение, отьрытое Гамильтоном, дает новые зақлючения относительно нетода вариации постоянных. Этот метод покоится на нижеследующем: интегралы системы дифференциальных уравнений динамики содержат пввестное число произвольных постоянных, значения которых в каждом отдельноу слутае определятся через начальные положения н начальные скорости движущихся точек. Если эти последние получают во время движения толчви, то благодаря этому изменяютея только значения постоянных, а форма интегральных уравнений остается та же. Например, если планета цвижется по эллису вокруг солнца и нолучает во время движения толчок, то она будет после этого двигаться по новому әллипсу или, может быть, по гишерболе, во всяком случае по коническому сечению, а форма уравнений остается та же. Еели такие толчьи происходят не моментально, а продолжаются непрерывно, то явление можно рассматривать так, как будто шостоянные изменяются нешрерывно и притом таким образом, что этп изменения в точпости изображают действие возчущающих сил. Эта теория вариации постояндых предетавитея в течение напего псоледования в новом свете.

Ірннцип сохранения живой силы охватывает бодышой класс задач, к которым в частности принадлежит задача трех тел или бодее общая задача движения $n$ тел, которые взаимно притягиваютея.

Чем больше мы проникаем в природу сил, тем больше мы своднм все к взаимным џритяжениям и отталкиваниям и тем важнее становится задача определения двнження $n$ взаимно притягивающихся тел. Эта задача принадлежит в категории тех задач, $\kappa$ которым приложима наша теория, т. е. которые приводятея к интегрированию уравнения в тастных производных, откуда ясна необходимость изучения этих уравнений. Но в течение 30 лет *! занимаютея только линейными дифференциальными уравнениями в частных производных, в то время как для нелинейных не сделано ничего. Для трех переменных задачу репил уже Лагранж; для болыпего числа переменных IIфафф представии, хотя п имеющую достоннства, но несовершенную работу. По Пфаффу для решения уравнения в частных производных надо сначала проинтегрировагь снстему обыкновенных дифференцильных уравнений; после интегрирования этой последней составляют новую систему дифференциальных уравнений, которая содержит двумя переменными меньше; эту спстем? снова интегрируют ит. д. и таким образом интегрируют, наконец, уравненне в частных производных. Согласно с этим, Гамильтоп, приведя дифференциальное уравнение двнжения к уравнению в частных производных, свел задачу к более трудной, так как по Пфаффу интегрирование уравнения ; частных производных требует интегрирования ряда систем обыкновенных дифференциалыи уравнениӥ, в то время как механическая задача требует интегрирования только одной системы обыкновенных дифференциальных гравнений. Поэтому больпее значение имело здесь обратное приведение, при юомощи которого уравнение в частных производных сводится к одной скэтеме дифференциальных уравнений. Первая система Пфаффа совпадает как раз с той, которая получается в механике и можно показать, что остальпые системы тогда не пужны. Очень часто приведение одной задачи к дру-

*) Эти лекции были прочитаны зимой 1842/43 г. (Iрим. Клебиа).

гой нодет быль произведено в обранном порядке, как это имеет место в рас сматриваемом случае. В тапих приведения важно соотношение, которое устанавдиваетея между двумя задачами. Соотношение, о котором здесь идет речь, укавывает, что всякое достижение в теории уравнепий в частных производных ведет за собой тагже и достижение в механике.

Более глубокое изучение дифферешцильных уравнений механики показывает, что число интегрпрований всегда может быть сведено к половине нервоначального их числа, в то время как вторая половина заменяется квацратурами. Существует заметательная теорема, юоторая показывает, что между интегралами имеет место качественное различие. Именно, в то врезя как некоторые интегралы имеют значение только как квадратуры, существџют другие, готорые содержат в себе все остальные.

Эта теорема формулируется следующим обравом: „Если, кроме интеграла, данного принципом живой силы, известны еще два интеграла уравнений динамики, то из этих двух можно получить третий\”. IІрияером тому служат так называемые теоремы площадей относительно трех координатных плоскостей; если две из них имеют место, то третья выводится из них.

Если по приведенной общей теореме из двүх интегралов пайден третий, то из этого носледнего и одного из прежних находитея четвертый и т. д., пока не вернемся к одному из данных. Существуют интегралы, которые прп этой операции исчершывают всю систему интегральных уравнений, в то время как для других цикл замыкаетел раныше. Смысл этой основной теоремы, известной уже в течение 30 лет, был в сущности скрыт. Она была открыта Пуассоном и была также известна Лагранжу, который подызовалея ею как вспомогательной теоремой во второй части \”Аналитической механикн\”, ноявившейся только после его смерти. *) Но этой теореме придавалось всегда совершенно иное значение; она должна была только потазывать, что в некотором разложении известные члены не зависят от времени, и увидеть в ней ее теперешнее значение было не так легко. В этой теореме валожен в то же время фундамент для интегрирөвания дифференциальных уравпепий в частных производных первого порядка.
*) Mec. anal. sect. VII, 60. 61 (Band II, стр. 70 и след., изд. 3-е);