Гамилєтонова форма дифференциальных уравнений двпжения была выведена в восьмой и девятой лецция из того принцига, что если заданы начальные и консчные значения координат, то вариация иптеграла $\int(T+U) d t$ должна обращатьея в нуль. Этот принци можно выразить в более общем виде так, что он имеет место также в том случае, когда заданы не сами начальные и конечные значения, а другие условия, вынодняемые на границах. В этом случае надо положить равной нулю не всю вариацию интеграла $\int(T+U) d t$, но только ту ее часть, которая стоит под знаком интеграла; вариацию можно тогда выразить без знака интеграла или, что то же, варнация от $T+U$ будет полной проивводной. Чтобы это сделать ясным, мы должны вернуться х выводу, данному в восьмой лекци.

Пуеть $T$ будет половина живой силы, а $U$-силовая функци, которая кроме коорлинат может также содержать явно $t$; представим себе $3 n$ координат выражендыми в таких функция от $3 n-m=\mu$ новых переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}$, что эти выражения тождественно удовлетворяют $m$ условным уравнениям; пусть далее
\[
T+U=\varphi ;
\]

тогда, так как $\rho$ есть функция величин $q_{1}, \ldots q_{\mu}$ и $q_{1}{ }^{\prime}, \ldots q_{\mu}{ }^{\prime}$, имеем:
Но здесь имеет место равенство

и если проинтегрировать от нижней границы г до верхней $t$ и значения, соответствующие нижней границе $\tau$, обозначить значком 0 , поставленныж сверху, то получится:
\[
\int \frac{\partial_{\varphi}}{\partial q_{i}^{\prime}} \delta q_{i}^{\prime} d t=\frac{\partial \rho}{\partial q_{i}^{\prime}} \delta q_{i}-\frac{\partial_{c}^{0}}{\partial q_{i}^{\prime}} \delta q_{i}{ }^{0}-\int \frac{d \frac{\partial \rho}{\partial q_{i}^{\prime}}}{d t} \delta q_{i} d t .
\]

Шодставляя это выражение, будем иметь:

Но так как $q_{i}^{\prime}$ не входит в $U$, то
\[
\frac{\partial ?}{\partial q_{i}{ }^{\prime}}=\frac{\partial T^{\prime}}{\partial q_{i}{ }^{\prime}}=\boldsymbol{p}_{i} .
\]

Далее, все стоящие в правой части под знаком интеграла выражения
\[
\frac{\partial_{p}}{\partial q_{i}}-\frac{d \frac{\partial^{\prime} p}{\partial q_{i}^{\prime}}}{d t q_{i}}=\frac{\partial(T+U)}{\partial q_{i}}-\frac{d \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}}{d t}
\]

обрящаются в нуль вследствие уравнений движения, представленных во втогой лагранжевой форме, данной уравнениями (8) (стр. 55) поэтому в искомой вариации остается только член, свободный от знака интеграла, и мы имеем
\[
\delta \int \varphi d t=\sum \frac{\partial ?}{\partial q_{i}{ }^{\prime}} \delta q_{i}-\sum \frac{\partial_{i}{ }^{0}}{\partial q_{i}{ }^{\prime}} \hat{\partial} q_{i}{ }^{0}=\sum p_{i} \delta q_{i}-\sum p_{i}{ }^{0} \delta q_{i}{ }^{0} .
\]

IIо выша сделанноиу предположению начальные и конечные зчачения $q$ были даны, вследствие чего $\delta q_{i}=0$ и $\delta q_{i}{ }^{0}=0$ и поэтоиу. правая часть последнего равенства обращалась в нуль; при настоящих более общих предположения это не имеет места. Чтобы правильно понять смысл, в котором взяты вариации, надо вспомнить, что часть искомой вариации, стоящая под знақом интеграла, обращается в нуль только благодаря дифференциальным уравнениям движения, которые рассиатриваютея кап вынолненные. Величины $q_{i}$ и $q_{i}^{\prime}$, так же как и величины $p_{i}$, должны поэтоиу рассматриваться как данные функции от $t$ и $2 \iota$ постоянных; и вариации $\delta q_{i}$ представляют только те изченения $q_{i}$, которые пропсходят от изченения значений $2 »$ произвольных постоянных. Значения этих вярнаций $\delta q_{1}$, которые соответствуют нижней границе интеграла $\tau$, будут величинами $\delta q_{i}{ }^{0}$. Если мы обозначим интеграл, вариация которого будет рассматриваться, через $V$, так тто
\[
V=\int \varphi d t=\int(T+U) d t,
\]

то вышеполученная формула перепищется так:
\[
\left.\begin{array}{c}
\delta V=p_{1} \delta q_{1}+p_{2} \delta q_{2}+\ldots+p_{i} \delta q_{i}+\ldots+p_{\mu} \delta q_{\mu} \\
-p_{1}{ }^{0} \delta q_{1}{ }^{0}-p_{2}{ }^{0} \delta q_{2}{ }^{0}-\ldots-p_{i}{ }^{0} \delta q_{i}{ }^{0}-\ldots-p_{\mu}^{p} \delta q_{\mu}{ }^{0} ;
\end{array}\right\}
\]

если $t$ рассматриваетея не как независимая переменная, то к этому выражению надо присоединить еще член $\frac{\partial V}{\partial t} \delta t$.

Такое представление вариации $V$ имеет очень важное значение. Именно, после интегрирования дифференциальных уравневий движения мы можем все переменные, а потому также и $\varphi$, представить как функцию от $t$ и $2 \mu$ постоянных ивтегрирования и из этого представления чить $V$, тақже в виде функции $t$ и тех же $2 \mu$ постоянных. Выбор велнчив, которые обрлзюю систему этих постоянных в интегральных уравнениях, зависит от нашего желания. Если мы выберем для этого $2 \mu$ начальных вначений $q_{i}{ }^{0}, p_{i}{ }^{0}$, то $2 \mu+1$ переменных $t, q_{i}, p_{i}$ и $2 \mu$ ностоянных $q_{i}{ }^{0}, p_{i}^{0}$ обраsуют вместе систему $4 \mu+1$ величин, которые при помощи интегральных уравнений связаны друг с другои $2 \mu$ соотношениями и из которых поэтому любые $2 \mu$ можно рассматривать как функции остальных $2 \mu+1$. IІредставим себе нашример значения $2 \mu$ величин $p_{i}, p_{i}{ }^{0}$ выраженнычи через $2 \imath+1$ величин $t, q_{i}, q_{i}{ }^{0}$ и эти значения $p_{i}{ }^{0}$ подставлевным в $V$, которое вам уже известно как функция от $2 \mu+1$ величин $t, q_{i}{ }^{0}, p_{i}{ }^{0}$; таким образом

$V=\int \varphi d t$ получится как функция от $2 \mu+1$ величин $t, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}$, $q_{1}{ }^{0}, q_{2}{ }^{0}, \ldots q_{\mu}{ }^{0}$. Если вариировать это выражение для $V$, оставляя однако $t$ не вариированным, то получится:
\[
\begin{aligned}
\delta V & =\frac{\partial V}{\partial q_{1}} \delta q_{1}+\frac{\partial V}{\partial q_{2}} \delta q_{2}+\ldots+\frac{\partial V}{\partial q_{\mu}} \delta q_{\mu}+ \\
& +\frac{\partial V}{\partial q_{1}{ }^{0}} \delta q_{1}{ }^{0}+\frac{\partial V}{\partial q_{2}{ }^{0}} \delta q_{2}{ }^{0}+\ldots+\frac{\partial V}{\partial q_{\mu}{ }^{0}} \delta q_{\mu}{ }^{0} .
\end{aligned}
\]

Если сравним это выражение для $\delta V$ с его выражением (3), то будем нмет:
\[
\frac{\partial V}{\partial q_{i}}=p_{i} ; \frac{\partial V}{\partial q_{i}{ }^{0}}=-p_{i}{ }^{0} .
\]

С другой стороны, согласно определению $V$, данному в (2),
\[
\varphi=\frac{d V}{d t} .
\]

Но $t$ содержится в $V$, во-первых, явно, во-вторых, неявно – через велитины $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}$; поэтому имеем:
\[
\varphi=\frac{d V}{d t}=\frac{\partial V}{\partial t}+\sum \frac{\partial V}{\partial q_{i}} \frac{d q_{i}}{d t}
\]

мли, при помощи (4),
\[
0=\frac{\partial V}{\partial \boldsymbol{t}}+\sum p_{i} q_{i}{ }^{\prime} \varphi .
\]

Это уравнение после введения функции
\[
\psi=\sum p_{i} q_{i}^{\prime}-\varphi
\]

дереходит в следующее:
\[
\frac{\partial V}{\partial t}+\psi=0
\]

Уравпение (6), если $\psi$ предетавить в надлежащей форме, есть уравнение в частных производных для фунцци $V$. В самом деле, величины $q_{i}^{\prime}$ и величины $p_{i}$, введенные выше уравшениями
\[
p_{i}=\frac{\partial ?}{\partial q_{i}{ }^{\prime}},
\]

образуют, как мы знаем, две системы величин, которые с помощыо величин $q_{i}$ п $t$ могут замещать друг друга, тағ что каждое данное выражение, завиеящее от $3 \mu+1$ переменных $t, q_{i}, q_{i}^{\prime}, p_{i}$, может быт представлено в то же время как функция от $2 \mu+1$ переменных $t, q_{i}, q_{i}^{\prime}$ и как функция от $2 \mu+1$ леременных $t, q_{i}, p_{i}$. Таким выражением является
\[
\psi=\sum p_{i} q_{i}{ }^{\prime}-\varphi_{i} .
\]

Если мы $\psi$ представим как функцию величин $t, q_{i}, p_{i}$ и вместо величин $p_{i}$ подставия частные пронзводные $\frac{\partial V}{\partial q_{6}}$ согласно цервому ив уравнений (4), то $\psi$ будет выражено овончательно через величины $t, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}$, $\frac{\partial V}{\partial q_{1}}, \frac{\partial V}{\partial q_{2}} \cdots \frac{\partial V}{\partial q_{\mu}}$, и уравнение (6) примет форму:
\[
\frac{\partial V}{\partial t}+\psi\left(t, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}, \frac{\partial V}{\partial q_{1}}, \frac{\partial V}{\partial q_{2}} \ldots \frac{\partial V}{\partial q_{\mu}}\right)=0 .
\]

Это есть гамильтоново уравнение в частных производных, которому удовлетворяет $V=\int \varphi d t$, если его рассматривать как функцию от $t, q_{1}$, $q_{2}, \ldots q_{\mu}$ и $q_{1}{ }^{0}, q_{2}{ }^{0}, \ldots q_{\mu}{ }^{0}$. Таким образом интегрирование дифференциальных уравнений движения дает для этого уравнения в частных производных решение, содержащее $\mu$ пропзвольных постоянных $q_{1}{ }^{0}, q_{2}{ }^{0}, \ldots q_{\mu}{ }^{0}$.

Всё предыдүщее имеет место не только для механических задач, но также и тогда, когда $\varphi$ вместо того, чтобы быть равной $T+U$, обовначает произвольную функцию от $t, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}, q_{1}{ }^{\prime}, q_{2}{ }^{\prime}, \ldots q_{\mu}{ }^{\prime}$. В механических же задачах, как уже было показано в девятой декции, $\psi$ получает простое значение. Действительно, если в выражении
\[
\psi=\sum p_{i} q_{i}^{\prime}-\varphi
\]

подставим вместо
\[
\varphi=T+U,
\]

где $U$ зависит только от величин $q_{i}$, а $T$ есть однородная функция второи степени от величин $q_{i}^{\prime}$, то будем пметь
\[
\begin{array}{c}
p_{i}=\frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}, \sum_{i} q_{i}^{\prime}=\sum q_{i}^{\prime} \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}=2 T, \\
\psi=T-U=H,
\end{array}
\]

и уравнение в частных производных переходит в следующее:
\[
\frac{\partial V}{\partial t}+H=0 \text {. }
\]

Результат предыдущих исследований может быть выражен сначада для механических задач следующим образом.
Если
\[
H=T-U, \quad p_{i}=\frac{\partial T}{\partial q_{i}{ }^{\prime}}
\]

и $H$ виражено через величины $p_{i} u q_{i}$, то дифференцильнъе уравнения движения будут:
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}} ; \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} .
\]

Рассмотрим движение в ижтервале от г до $t$ иведем в ижтегральные уравнения, как произвольные постоянные, начальные значения $q_{1}{ }^{0}$, $q_{2}{ }^{0}, \ldots q_{\mu}{ }^{0}$ и $p_{1}{ }^{0}, p_{2}{ }^{0}, \ldots p_{\mu}{ }^{0} ;$ далее пэложим в $H$
\[
p_{i}=\frac{\partial V}{\partial q_{i}}
\]
mогда
\[
\frac{\partial V}{\partial t}+H=0
\]
9 Зак. 481. – Я к о б и. эЛекции по динамикез.

есть уравнение в частных производных переого порядка, определяющее $V$ как функцию от $t, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}$. Ооразуем тепер интеграл
\[
\int_{\tau}^{t}(T+U) d t
\]

где, благодаря интегральным уравнениям, $T+U$ есть функция только от $t$ $u$ 2 $\mu$ постоянных $q_{1}{ }^{0}, q_{2}{ }^{0}, \ldots q_{\mu}{ }^{0}, p_{1}{ }^{0}, p_{2}{ }^{0}, \ldots p_{\mu}{ }^{0}$, и выразия результат квадратуры через $t, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu} u q_{1}{ }^{0}, q_{2}{ }^{0}, \ldots q_{\mu}{ }^{0} ;$ тогда представленное таким образом значение интеграла
\[
V=\int_{i}^{t}(T+U) d t
\]

есть решение уравнения в частных производных
\[
\frac{\partial V}{\partial t}+H=0
\]

Если на месте $T+U$ стоит произвольная функция $\varphi$ от величин $q_{i}$ $q_{i}^{\prime}$ и $t$, то на место дифференциальных уравнений движения надо поставить те уравнения, которые обращают в нуль часть вариации, столщую под знаком интеграла. Для полноты аналогии мы должны привести эти дифференциальные уравнения к той же форме, которую придал дифференциальным уравнениям движения Гамильтон, для чего здесь также заменяем производные $q_{i}^{\prime}$ через величины $p_{i}=\frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}^{\prime}}$, вводим функцию $\psi=\sum p_{i} q_{i}^{\prime}-\varphi$ и затем постунаем подобно тому, как в девятой лекции. Образуем вариацию от функции $\psi:$
\[
\delta \psi=\sum q_{i}^{\prime} \hat{\partial} p_{i}+\sum p_{i} \hat{\partial} q_{i}^{\prime}-\hat{\partial}
\]

и подставим сюда вместо
\[
\partial_{\varphi}=\sum \frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}} \delta q_{i}+\sum p_{i} \delta q_{i}^{\prime}+\frac{\partial \varphi}{\partial t} \delta t,
\]

которое содержит также член, пропорциональный висимая переменная; тогда получится:
\[
\partial \varphi=\sum q_{i}{ }^{\prime} \delta p_{i}-\sum \frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}} \delta q_{i}-\frac{\partial \varphi}{\partial t} \delta t .
\]

Если сравним это выражение $\delta$ с тем, которое получится, когда $\Varangle$ предетавлена как функция от величнн $q_{i}, p_{i}$ и $t$, т. е. с выражением
\[
\partial \psi=\Sigma\left(\frac{\partial \Psi}{\partial p_{i}}\right) \delta p_{i}+\boldsymbol{\Sigma}\left(\frac{\partial \Psi}{\partial q_{i}}\right) \delta q_{i}+\left(\frac{\partial \Psi}{\partial t}\right) \delta t,
\]

в котором частные производные, взятые при последнем предположении, для отличия заключены в скобки, то из сравнения следует:
\[
q_{i}^{\prime}=\left(\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}\right), \frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}}=-\left(\frac{\partial \psi}{\partial q_{i}}\right), \frac{\partial \varphi}{\partial t}=-\left(\frac{\partial \psi}{\partial t}\right) .
\]

Благодаря второму из этих трех уравнений, дифференциальные уравнения
\[
\frac{d \frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}^{\prime}}}{d t}=\frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}}
\]

поторые должны быть выполнены для того, чтобы стоящая под знаком интеграла часть вариации $\hat{\delta} \varphi \varphi d t$ обращалась в нүль, превращаются в
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=-\left(\frac{\partial \psi}{\partial q_{i}}\right),
\]

в то время как первое из этих трех уравнений тождественно с
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\left(\frac{\partial \Psi}{\partial p_{i}}\right) \text {. }
\]

Таким образом дифференциальные уравнения всех изопериметрических задач, в которых под знаком данного ннтеграла находятся только первые производные, имеют форму
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\left(\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}\right), \frac{d p_{i}}{d t}=-\left(\frac{\partial \Psi}{\partial q_{i}}\right),
\]

и их интегрирование всегда дает решение уравнения в частных провзводных первого порядка
\[
\frac{\partial V}{\partial t}+\psi=0 \text {. }
\]

Отбрасывая у пропзводных $\left(\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}\right),\left(\frac{\partial \psi}{\partial q_{i}}\right)$ теперь уже ненужные скобки, можем результат, полученный для общего случая, выразить так:

Iусть о есть какая-ниоудь данжая функиия от $t, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu} u$ $q_{1}{ }^{\prime}, q_{2}{ }^{\prime}, \ldots q_{\mu}{ }^{\prime}$; введем вместо производных $q_{i}{ }^{\prime}$ новые переменные
\[
p_{i}=\frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}^{\prime}},
\]

положим
\[
\psi=\sum p_{i} q_{i}^{\prime}-\varphi
\]
$u$ выразим функиию ‡ через переменные $p_{i}, q_{i}$ и $t$; тогда уравнения
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}, \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial \Psi}{\partial q_{i}}
\]

будут теми дифференциальными уравнениями, которые должны оыть выполнены для того, чпобы стоящая под знаком интеграла часть вариации ¿ $\int \varphi d t$ обращалась в нуль. Ооозначим далее значения $2 \mu$ переменных для нижней границы интегрирования т через $q_{1}{ }^{0}, q_{2}{ }^{0}, \ldots q_{\mu}{ }^{0}, p_{1}{ }^{0}, p_{2}{ }^{0}, \ldots p_{\mu}{ }^{0}$ и введем эти величины вместо произвольных постоянных в интегральные уравнения системы; наконеч положим
\[
p_{i}=\frac{\partial V}{\partial q_{i}} ;
\]
mогда
\[
\frac{\partial V}{\partial t}+\psi=0
\]

ееть дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка, которое определяет $V$ как функиию от переменных $t, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}$. Если образуем теперь интеграл
\[
\int^{t} \varphi d t
\]

где $\varphi$, благодаря интегральным уравкениям, есть функиия только от $t$ и от $2 \mu$ постоянных $q_{1}{ }^{0}, q_{2}{ }^{0}, \ldots q_{\mu}{ }^{0}, p_{1}{ }^{0}, \boldsymbol{p}_{2}{ }^{0}, \ldots p_{\mu}{ }^{0}$, и прдставим результат квадратуры кап функцию от $t, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu} u q_{1}{ }^{0}, q_{2}{ }^{0}, \ldots q_{\mu}{ }^{0}$, то выраженное таким образом значение интеграла
\[
V=\int_{\tau}^{t} p d t
\]

есть решение уравнения в частных производных
\[
\frac{\partial V}{\partial t}+\dot{\psi}=0
\]

Зависимость между функциями $\varphi$ и $\psi$, заключающаяся в уравнении (5), устанавливает между ними некоторый род взаимности. Именно, если положим
\[
\psi=\sum q_{i}{ }^{\prime} \frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}^{\prime}}-\varphi=\sum p_{i} q_{i}^{\prime}-\varphi,
\]

где
\[
\boldsymbol{p}_{i}=\frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}^{\prime}}
\]

и $\varphi$ рассматривается как функция от $q_{i}, q_{i}^{\prime}$ и $t$, то одновременно будет
\[
q_{i}^{\prime}=\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}},
\]

в предположении, что $\psi$ рассматриваетея как функция от $q_{i}, p_{i}, t$;оэтому имеем также
\[
\varphi=\sum p_{i} \frac{\partial \psi}{\partial p_{i}}-\psi
\]

куда на место $p_{i}$ должны быть введены величины $q_{i}^{\prime}$ при посредстве уравнений
\[
q_{i}^{\prime}=\frac{\partial \psi}{\partial p_{i}} .
\]

Мы можем таним образом найти при помощи равенства (7) для каждой данной фунцщии ф от $t$ и от величин $q_{i}$ и $p_{i}$ сопряженную функцию $\varphi$ от $t$ и от величин $q_{i}$ п $q_{i}^{\prime}$; поэтому уравнение $\frac{\partial V}{\partial t}+\psi=0$ представляет напболее общее уравнение в частных производных первого порядка, которое определяет $V$ как функию от $t, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}$, не содержит самого $V$ и решено относптельно $\frac{\partial V}{\partial t}$. В этом заключается замечательная зависимость между двумя, далеко друг от друга отетоящими, задачами: изопериметрической рассматриваемого рода и задачей интегрирования уравнений в частных провзводных шервого порядка. Эту зависимость можно распространить на прочие изопериметрическе задачи, содержащие под знагом интеграла производные норядка выше первого.

Найденное рещение уравнения в частных производных $\frac{\partial V}{\partial t}+\psi=0$, как мы видели, содержит $\mu$ произвольных постоянных $q_{1}{ }^{0}, q_{2}{ }^{0}, \ldots q_{\mu}{ }^{0}$, и так как в $\psi$ сама величина $V$ не входит, то к этому решению $V$ можно прибавить еще одну пропзвольную постоянную, и тогда голучится решение с $\mu+1$ проиввольными постоянными. Таким образом репение $V$ есть то, которое мы называем полным репением уравнения в частных проивводных первого порядка; именно оно должно содержать столько независимых друг от друга постоянных, сколько независимых друг от друга переменных входит в дифференциальное уравнение.

Іодобно тому как интегрирование рассмотренных ивопериметрических уравнений или уравнений движения дает укаванное полное решение уравнения в частных производных $\frac{\partial V}{\partial t}+\psi=0$, так и обратно, предположив иввестным полное репение, можно образовать из него интегральные уравнения рассматриваемых изопериметрических п механических дифференциальных уравнений, причем они содержатся в уже выше (стр.128) данных уравнениях
\[
\frac{\partial V}{\partial q_{i}}=p_{i}, \quad \frac{\partial V}{\partial q_{i}{ }^{0}}=-p_{i}{ }^{0},
\]

которые имеют место также в случае рассматриваемой изопериметрической задачи. Таким образом мы представили интегральные уравнения в той же самой форме, в какой раньше были представлены дифференциальные уравнения, именно посредством тастных производных от одной фувкци $V$. Это было найдено Гамильтоном, готорый функции $V$ дал название the principal function. Вторая система уравнений $\frac{\partial V}{\partial q_{i}{ }^{0}}=-p_{i}{ }^{0}$, зақлюченная в (4), дает самые интегральные уравнения; первая система $\frac{\partial V}{\partial q_{i}}=p_{i}$ дает величины $p_{i}$ или $q_{i}^{\prime}$, выраженные через $t$ и $q_{i}$ с $\mu$ постоянными $q_{i}{ }^{0}$; это есть система шервых интегральных уравнений, но чреввычайно важно, что они тақже могут быть выражены через частные проивводные функции $V$. Кақ мы позже шокажем, $\mu$ постоянных, содержащихся в $V$, не обязательно должны быть начальными значениями $q_{i}{ }^{0}$; но, если только мы вообще знаем полное решение $V$ уравнения в частных проивводных $\frac{\partial V}{\partial t}+\psi=0$ с какими угодно постоянными, интегральные уравнения всегда могут быть выражены через частные производные от этого репения по содержащимся в нем постоянным.

Гамильтон, опубликовавший свое открытие в двух статьях в Philosophical Transactions, *) определяет $V$ не через одно только уравнение в частных производных $\frac{\partial V}{\partial t}+\psi=0$, а устанавливает одновременно еще второе уравнение в частных производных, которому $V$ также должно удовлетворять. Но это последңе уравнение можно отброспть, так как его можно вывести из уже установленного уравнения и так как его присоединение только отнимает у исследования его простоту; действительно, вопрос об определенин функции двумя совместными дифференцильными уравнениями не может быть решен в общем виде при теперешних средствах анализа.

Чтобы вывести это второе уравнение в частных производных из уже найденного уравнения $\frac{\partial V}{\partial t}+\psi=0$, мы должны будем воспольвоваться следующей легво доказываемой теоремой.

Пусть дана система п обыћновенных дифференииальных уравнений c $n+1$ переменными $t, x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n} ;$ пусть начальному значению $\tau$ пере-
*) 1834 , P. II и 1835, P. I.

менной $t$ соответствуют значения $x_{1}{ }^{0}, x_{2}{ }^{0}, \ldots x_{n}{ }^{0}$ и данная система диффережииальных уравнений удовлетворяется системой интегральных уравнений:
\[
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}=f_{1}\left(t, \tau, x_{1}{ }^{0}, x_{2}{ }^{0}, \ldots x_{n}{ }^{0}\right), \\
x_{2}=f_{2}\left(t, \tau, x_{1}{ }^{0}, x_{2}{ }^{0}, \ldots x_{n}{ }^{0}\right), \\
\dot{x_{n}}=f_{n}\left(t, \tau, \dot{x_{1}{ }^{0}} \cdot \dot{x_{2}{ }^{0}} \cdot \cdot \dot{x}_{n}{ }^{0}\right) .
\end{array}\right.
\]

Переставляя переменные $t, x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$, с их начальными значениями $\tau, x_{1}{ }^{0}, x_{2}{ }^{0}, \ldots x_{n}{ }^{0}$, получим равнозначную систему интегральных уравнений, так что можем обойтись совериенно без обременительного дела исключения и без дальнейших выкладок представить интегральные уравнения, решенные относительно произвольных постоянных, в таком виде:
\[
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}{ }^{0}=f_{1}\left(\tau, t, x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}\right), \\
x_{2}{ }^{0}=f_{2}\left(\tau, t, x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}\right), \\
\dot{x_{n}{ }^{0}}=f_{n}\left(\tau, t, \dot{x}_{1}, \dot{x_{2}} \cdot \ldots x_{n}\right) .
\end{array}\right.
\]

Доказательство этой теоремы следующее: если данной системе дифференцильных уравнений удовлетворяет система интегральных уравнений
\[
\left\{\begin{array}{c}
x_{1}=F_{1}\left(t, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right) \\
x_{2}=F_{2}\left(t, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right) \\
\dot{x_{n}}=\dot{F}_{n}\left(\dot{i}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right),
\end{array}\right.
\]

то отсюда следует для натальных значений та же система уравнений:
\[
\left\{\begin{array}{c}
x_{1}{ }^{0}=F_{1}\left(\tau, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right), \\
x_{2}{ }^{0}=F_{2}\left(\tau, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right), \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot F_{n}\left(\tau, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right) .
\end{array}\right.
\]

Система (А) должна получаться из (C) и (D) исключением $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}$. Но системы (C) и (D) переходят одна в другую, если заменить $t$ на $\tau$ и в то же время $x_{1}$ на $x_{1}{ }^{0}, x_{2}$ на $x_{2}{ }^{0} \ldots x_{n}$ на $x_{n}{ }^{0}$; следовательно возможно произвест как раз эту замену в (А) и подучающаяся из систены (А) система (B) должна быть равнозначна с (A).

Из этой теоремы можно вывести замечательное следствие. Равенства (B) являютея интегралами, т. е. такими интегральными уравнениями, которые, если их продифференцировать и принять во внимание дифференциальные уравнения, дадут тождественно исчезающий результат. Нащротив, каждое из уравнений (А) содержит $n$ постоянных, из которых ни одна не является липней (supervacanea).*) Поэтому, если продифференцировать одно из них, например $x_{1}=f_{1}\left(t, \tau, x_{1}{ }^{0}, x_{2}{ }^{0}, \ldots x_{n}{ }^{0}\right)$, затем воспользоватьея дифференциальными уравнениями и продолжать эту операцию далее, то получатея последовательно все интегральные уравнения. Извлечь такую польу из знания одного интеграла const. $=l^{\prime}\left(t, \tau, x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}\right)$, где $\tau$ обозначает некоторое частное значение $t$, вообще нельзя. Но если случится, что эта постоянная есть как раз значение одной из перененных, например $x_{1}$, соответствующее значению т переменной $t$, то из одного интеграла с одной только постоянной
*) См. статью: „Dilucidationes de aequatt. diff. vulg. systematis . Crelles Journal, Bd. 23.

можно вывести все интегральные уравнения. Это имеет место в том случае, когда функция $F\left(t, \tau, x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}\right)$ для $t=\tau$ сводитея к $x_{1}$; тогда, на основании вышеприведенной теоремы, можно переместить переменные и их начальные значения, и таким образом из одного интеграла
\[
\text { const. }=F\left(t, \tau, x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}\right)
\]

получитея интегральное уравнение
\[
x_{1}=F^{\prime}\left(\tau, t, x_{1}^{0}, x_{2}^{0}, \ldots x_{n}{ }^{0}\right),
\]

из которого можно последовательным дифференцированием вывести все остальные.

Посмотрим теперь, что будет с $V$ при перестановке переменных с их начальными значениями. Пусть рассмотренные изопериметрические и динамические дифференциальные уравнения интегрируются при шомощи системы:
\[
\begin{array}{l}
q_{1}=\chi_{1}\left(t, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{2 \mu}\right), \quad p_{1}=\tilde{\omega}_{1}\left(t, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{2 \mu}\right), \\
q_{2}=\chi_{2}\left(t, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{2 \mu}\right), \quad p_{2}=\tilde{\omega}_{2}\left(t, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{2 \mu}\right), \\
\cdot \cdot \dot{\chi}_{\mu \mu}\left(t, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{2 \mu}\right), \quad p_{\mu}=\tilde{\omega}_{\mu}\left(t, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{2 \mu}\right) ;
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{ll}
q_{1}^{0}=\chi_{1}^{2}\left(\tau, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{2 \mu}\right), & p_{1}^{0}=\tilde{\omega}_{1}\left(\tau, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{2 \mu}\right), \\
q_{2}{ }^{0}=\chi_{2}\left(\tau, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{2 \mu}\right), & p_{2}^{0}=\tilde{\omega}_{2}\left(\tau, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{2 \mu}\right), \\
\dot{q}_{\mu}{ }^{0}=\dot{\chi}_{\mu}\left(\tau, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \dot{\alpha}_{2 \mu}\right), & \dot{p}_{\mu}{ }^{0}=\tilde{\omega}_{\mu}\left(\tau, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \dot{\alpha}_{2 \mu}\right) .
\end{array}
\]

В интеграле
\[
V=\int_{\tau}^{t} \varphi d t
\]
$\varphi$ есть функция от $t, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}, p_{1}, p_{2}, \ldots p_{\mu}$; следовательно, после подстановки значений $q_{1}, \ldots q_{\mu}, p_{1}, \ldots p_{\mu}$ из интегральных уравнений, $\varphi$ будет фунқцией только от $t, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{2 \mu}$. Поэтому можем положить
\[
\int \varphi d t=\Phi\left(t, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{2 \mu}\right)
\]

тогда получим:
\[
V=\int_{\tau}^{t} \varphi d t=\Phi\left(t, \alpha_{1}, \ldots \alpha_{2 \mu}\right)-\Phi\left(\tau, \alpha_{1}, \ldots \alpha_{2 \mu}\right) .
\]

Определенная таким образом величина $V$ будет полным репением уравнения в частных производных $\frac{\partial V}{\partial t}+\psi=0$, если исключить постоянные $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{2 \mu}$ при помощи вышеприведенных $2_{\mu}^{\mu}$ уравнений для $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}, q_{1}{ }^{0}$, $q_{2}{ }^{0}, \ldots q_{\mu}{ }^{0}$. Но из этих $2 \mu$ уравнениї одна половина переходит в другую, если заменить $t$ через $\tau$ и величины $q_{i}$ – через величины $q_{i}{ }^{0}$. Поэтому каждая из величин $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{2 \mu}$, выраженная как функция от $t, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}$, $\tau, q_{1}{ }^{0}, q_{2}{ }^{0}, \ldots q_{\mu}{ }^{0}$, должна обладать тем свойством, что она остается без изменения, если $t$ заменить через $\tau, q_{1}$ – через $q_{1}^{0}, q_{2}$ – через $q_{2}^{0}, \ldots q_{\mu}$ через $q_{\psi}{ }^{0}$. Если принять это во внимание, то становится ясно, что при помощи этой подстановки
\[
V=\Phi\left(t, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{2 \mu}\right)-\Phi\left(\tau, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{2 \mu}\right)
\]

переходит в
\[
\Phi\left(\tau, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{2 \mu}\right)-\Phi\left(t, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{2 \mu}\right),
\]
т. е. $\mathrm{B}-V$.

Во всем предыдущем мы ве делали никаких особенных гипотез относительно дифференциальных уравнений. Теперь, чтобы получить случай, рассмотренный Гамильтоном, мы должны предноложить, что переменная $t$ не входит явно в. . Это имеет место в механике, когда время $t$ не содержитея в силовой функции $U$, а следовательно также и в функции $\psi=H=T-U$. Тогда в дифференциальные уравнения движения
\[
d t: d q_{1}: d q_{2}: \ldots: d q_{\mu}: d p_{1}: \ldots: d p_{\mu}=1: \frac{\partial \psi}{\partial p_{1}}: \frac{\partial \psi}{\partial p_{2}}: \ldots: \frac{\partial \psi}{\partial p_{\mu}}:-\frac{\partial \psi}{\partial q_{1}}: \ldots:-\frac{\partial \psi}{\partial q_{\mu}}
\]

входит только дифференциал величивы $t$. Отбросив $d t$ и 1 , исключим совершенно время, выразим после интегрирования оставшейся системы все переменные через одну, например через $q_{1}$, и определим эту последнюю как функцию времени, для чего решим относительно $q_{1}$ уравнение
\[
t-\tau=\int_{q_{1}{ }^{0}}^{q_{1}} \frac{d q_{1}}{\frac{\partial \psi}{\partial p_{1}}},
\]

получаемое квадратурой из дифференциальной формулы
\[
d t=\frac{d q_{1}}{\frac{\partial \varphi}{\partial p_{1}}} .
\]

Так мы получим $q_{1}$ как фунццию от $t$-т, п так как прочие переменные уже выражены как функции от $q_{1}$, то все переменные зависят только от равности $t-\tau$. Это имеет место также для функции $V$, которая тоже содержит обе величины $t$ и $\tau$ тольно в соединении $\theta=t-\tau$; повтому имеем:
\[
\frac{\partial V}{\partial t}=-\frac{\partial V}{\partial \tau}=\frac{\partial V}{\partial \theta} .
\]

Если теперь величины $t, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}$ цереставить с их начальными значениями $\tau, q_{1}{ }^{0}, q_{2}{ }^{0}, \ldots q_{\mu}{ }^{0}$, то $V$ перейдет в $-V, \theta$ в $-\theta$, а $\frac{\partial V}{\partial \theta}$ останется без изменения. Если далее $\psi_{0}$ обозначает то значение, в которое перейдет $\psi$, когда величины $q_{i}$ и $p_{i}=\frac{\partial V}{\partial q_{i}}$ переставлены с величинами $q_{i}^{0}$ и $p_{i}^{0}=$ $=-\frac{\partial V}{\partial q_{i}{ }^{0}}$, то уравнение
\[
0=\frac{\partial V}{\partial t}+\psi=\frac{\partial V}{\partial \theta}+\psi
\]

перейдет в уравнение
\[
0=\frac{\partial V}{\partial \theta}+\psi_{0}=-\frac{\partial V}{\partial \tau}+\psi_{0} .
\]

Это есть второе Гамильтовово уравнение в частных производных, для поторого мы таким обраяом доказали, что оно может быть выведено из ранеє полученного уравнения перестановкой переменных с их начальными значениями.