Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Особого рассмотрения требует уже выпеотмеченный случай, когда $t$ не входит в $े$ В этом случае уравнение в частных производных $\frac{\partial V}{\partial t}+y=0$ может быть сведено к другому уравнению, содержащему одной переменной меньпе. Это основывается на одном замечательном преобразовании уравнений в частных цроизводных, при котором одна из независимых переменных и частная производная, взятая по этой переменной, меняютея ролями. Пусть $z$ рассматриваетея как функция $n$ переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ : если обозначить через $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ тастные производиые от $z$, взятые но $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ то Іосле того как мы перенесем в левую часть член $p_{1} d x_{1}$ и, кроме того, ив обеих частей вычтем $x_{1} d p_{1}$, уравнение (1) превратится в такое: если мы теперь положим ти ово превратитея в Поэтому мы получаем, если $y=z-p_{1} x_{1}$ рассматривать как фунцци от $p_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots x_{n}$, Еели теперь z уддовлетворяет уравнению в чаетных производных первого порядка и если ввести вместо $z$ новую переменную $y=z-p_{1} x_{1}$, а вместо $x_{1}$ – новую переменную – $\frac{\partial y}{\partial p_{1}}$, то уравнение в частных проиввдных (3) превратится в стедующее: Это преобразование, находящееся в третьем томе интегрального исчиеления Эйлера, имеет особую важность тогда, когда $x_{1}$ не входит в (3), так как тогда одновременно $\frac{\partial y}{\partial p_{1}}$ не входит в (4) и поэтому $p_{1}$ при интегрированин может рассматрватьея как постоянная. Применим это к уравнению Так вак в $\psi$ не входит $t$, то в выше данных формулах на место $x_{1}$ ставим $t$. Tеперь вместо $t$ надо ввести новую независимую геременную вместо $V$ – повую зависимую переменную тогда будем иметь: प Мы можем вывести формулы цля этого преобразования и не прибегая ж помощи дифференциального уравнения В самом деле, $V$ есть фунњця от $t, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}$ и от произвольных постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2} \ldots$ Положим теперь и введем в $W$ вместо $t$ новую переменную $\alpha$ посредством равевства тогда $t$ будет функцией от $\alpha$ и от црочих велічин, входяцих в $V$, кроме $t$, a. будет функцией от $\alpha, q_{1}, q_{2}, \ldots q_{\mu}$ п от постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots$ Іоэтому, припимая во внимание различеый схысл дифференцирования для фушкций $V$ ง. нолучаем: Таким обравом, если, соглаено нанему предположению, в фуикцию $\psi$ травнения ( $)$ не входит явно времи $t$, то вводим вместо $t$ п $l$ повые переценные $x$ и іI посредством уравнениі и преорразвивам таким путем (э) в уравнение Iоеле интегрирования :+того уравнения находия $V$ пз уравнения которе, после того как в пего подставлени превраңаете в уравнение В $l$, кроме того, снова, должно оыть введено $t$ вместо $\alpha$ п притом посредетвом уравнения которое должно быть репено относительно $\alpha$. и $t$ вводитея уже не при посредстве уравнения $\frac{\partial W}{\partial \alpha}=-t$, но при посредстве уравнения Тогда $V$ содержих достаточное число $\mu+1$ постоянных, именно $\mu-1$ постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{y-1}$, входящих в $W$ номимо аддитивной постоянной, саму аддитивнүю постоянную и связанную с $t$ псстоянную г. Поэтому интегральные уравнения изопериметрических дифференциальнх уравнений будут следүющие: Так как $\tau$ входит тодько в соединенип $t$ – $\tau$, то поэтому последнее из $\mu$ интегральнх уравнений может быть заменено следующим: Отсюда следует, что уравнение $\frac{\partial V}{\partial t}=\alpha$, посредством которого мы вместо / вводили $\alpha$, есть интеграл п что $\alpha$ должна оыть рассматриваема как постоянная. Как мы видим, оба уравнения $\frac{\partial V}{\partial t}=\alpha$ и $\frac{\partial W}{\partial \alpha}=\tau-t$ равновначны $и$, кроме того, частные производные $\frac{\partial V}{\partial \alpha_{i}}$ и $\frac{\partial W}{\partial \alpha_{i}}$, где $i$ обовначает одно из чисел от 1 до $е-1$, равны друг другу; таким образом можно, не прибегая к помоци $V$, выразить интегральные уравнения также непосредетвенно через $W$ и получить их в виде: Также можем систему первых интегральных уравнений выразить через $W$, и так как $\frac{\partial V}{\partial q_{i}}=\frac{\partial W}{\partial q_{i}}$, получить ее в форме: В случае задачи механики $\psi=T-U$; поэтому мы ихеем теоремұ: на место $p_{i}$ выражение $\frac{\partial W}{\partial q_{i}}$, так что это уравнение перейдет в уравнение в частных производны для $W$. Если мы знаем полное решение этого последнего уравнения, содержащее кроме постоянной, соединенной с $\mathrm{W}$ аддитивно, $\mu-1$ постоянную $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{\mu-1}$, то выраэсния яєляются интегральными уравнениями дифференчиальныс уравнсний движения, к которым можно еще присосдинить уравнения кал систему первых интегральных уравнений. В слутае совершенно свободной системы $u=3 n$; в жо же веля на место величин $p_{l}$ входят величивы тогда и уравневие в частных ироизводных привимает форму:
|
1 |
Оглавление
|