Мы будем тешерь исследовать, какую шольз можно нзвлечь ды уравнения в частных ироизводных из принциа сохрапения центра тяжести.

Коль скоро можно выбрать переменные так, что одна из них сама не входит в уравнение в частных производшых $T \leftrightharpoons U-\alpha$, а входит топьк шроивводная, взятая по этой переменной от функции $W$, то мы можем тем же способом преобразования, которым была выведена функция $W$ из $V$, исключить эту переменную из дифференциаиьного уравнения и таким обравом уменьшить число входящих в него переменных.

Расснотрим случай свободной системы $n$ материальнх точек, где $T=$ $=\frac{1}{2} \sum m_{i}\left(x_{i}{ }^{2}+y_{i}{ }^{2}+z_{i}{ }^{2}\right)$; тода мы имеем (см. двадцать шервую лекцию: стр. 147) уравнение в частных производных:
\[
\frac{1}{2} \sum \frac{1}{m_{i}}\left(\left[\frac{\partial W}{\partial x_{i}}\right]^{2}+\left[\frac{\partial W}{\partial y_{i}}\right]^{2}+\left[\frac{\partial W}{\partial z_{i}}\right]^{2}\right)=U-\alpha .
\]

Если имеет место принцип сохранения центра тяжести, то $U$ зависнт толь от разностей координат, так что, если по:южить
\[
\xi_{1}=x_{1}-x_{n}, \xi_{2}=r_{2}-r_{n}, \ldots \xi_{n-1}=r_{n-1}-r_{n} .
\]

то $U$, рассматриваемая как функция координат $x$, выразитея тольк через величины $\xi$. Будем писать частные производные функции $W$ с квадратными скобами, когда $W$ рассматриваетея как фунцция от $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$, и без них, когда она рассматриваетея как функция от $\xi_{1}, \xi_{, 2}, \ldots \xi_{n-1}, \ldots$ тогда нотучим
\[
\begin{array}{c}
{\left[\frac{\partial W}{\partial x_{1}}\right]=\frac{\partial W}{\partial \xi_{1}},\left[\frac{\partial W}{\partial x_{2}}\right]=\frac{\partial W}{\partial \xi_{2}}, \ldots\left[\frac{\partial W}{\partial x_{n-1}}\right]=\frac{\partial W^{*}}{\partial \xi_{n-1}} .} \\
{\left[\frac{\partial W}{\partial x_{n}}\right]=-\left(\frac{\partial W}{\partial \xi_{1}}+\frac{\partial W}{\partial \xi_{2}}+\ldots+\frac{\partial W}{\partial \xi_{n-1}}\right)+\frac{\partial W}{\partial x_{n}} .}
\end{array}
\]

и при помощи этих формут дія сумиы $\sum \frac{1}{m_{i}}\left[\frac{\partial W^{r}}{\partial x_{i}}\right]^{2}$, входящей в уравнение (1), поаччитея новое выражение:
\[
\sum \frac{1}{m_{i}}\left[\frac{\partial W}{\partial x_{i}}\right]^{2}=\sum \frac{1}{m_{s}}\left(\frac{\partial W}{\partial s_{s}}\right)^{2}+\frac{1}{m_{n}}\left(\frac{\partial W}{\partial x_{n}}-\sum \frac{\partial W}{\partial s_{s}}\right)^{2},
\]

еяцееся к значку s-от 1 до ж-1. Іоле введения этого выранения неременная $r_{n}$ больше не будет входить, а будет входин тонью взятая но посредетвом ураввения
\[
\frac{\partial H^{\prime}}{\partial x_{n}}=x^{\prime} .
\]

а вмето 11 — новую переменную
\[
H_{1}=H^{\prime}+\left(\alpha_{0}-x_{n}\right) \frac{\partial H}{\partial x_{n}},
\]

которая рассматриваетея как функия от $\xi_{1}$, $\xi_{2}, \ldots \xi_{n-1}$ и $\alpha^{\prime}$, причея $\alpha_{0}$ обозначает произвольную постоянную. Ири помощи уравпений
\[
\frac{\partial W_{1}}{\partial \vartheta_{1}}=\frac{\partial W^{-}}{\partial \xi_{1}}, \frac{\partial W_{1}}{\partial \xi_{2}}=\frac{\partial W^{*}}{\partial \xi_{2}} . \cdots \frac{\partial W_{1}}{\partial \xi_{n-1}}=\frac{\partial W}{\partial \xi_{n-1}}
\]

выражение (2) цреобразуетея тенерь так:
\[
\sum \frac{1}{m_{i}}\left[\frac{\partial W^{*}}{\partial x_{i}}\right]^{2}=\sum \frac{1}{m_{s}}\left(\begin{array}{c}
\partial H_{1}^{r} \\
\partial s_{s}
\end{array}\right)^{2}+\frac{1}{m_{s}}\left(\alpha^{\prime}-\sum \frac{\partial W_{1}}{\partial \xi_{s}}\right)^{\prime \prime} ;
\]

ес.и теперь правую часть (3) подставия в (1) и примем во внимание, что при дифференцировании по $y_{i}$ или $z_{i}$ производные от $W$ и от $W_{1}$ равны щежду собой, то уравнение (1) превратится в уравнение в частных производных дяя $W_{1}$ и в это уравнение будет входить только сама переменная $\alpha^{\prime}$, но не пропзводная $\frac{\partial W_{2}}{\partial \alpha^{\prime}}$. Чтобы от переменных $\alpha^{\prime}$ и $W_{1}$ снова вернуться $k x_{n}$ Н $\mathrm{H}^{r}$. воспользенея уравнениями:
\[
\frac{\partial W_{1}}{\partial \boldsymbol{\alpha}^{\prime}}=\alpha_{0}-x_{n}, \quad W=W_{1}-\alpha^{\prime} \frac{\partial W_{1}}{\partial \alpha^{\prime}} .
\]

Выражение (3) эожно еще больпе упростить, заставив исчезнуть те хлены, которые линейны относительно частных производных зависимой переменной, что достигаетея при помощи нового преобразования, аналогичного приведению уравнения конического сечения к его центру. Иненно, положим
\[
W_{1}=W_{2}+\sum g_{s} s_{s} .
\]

где $g_{1}, g_{2}, \ldots g_{n-1}$ обозпачают постоянные, еще нуждающиеся в определении. так что будет
\[
\frac{\partial H_{1}}{\partial \xi_{s}}=\frac{\partial H_{2}}{\partial \xi_{s}}+g_{s}
\]

тогда выражение (3) перейдет в следующее:
\[
\sum \frac{1}{m_{i}}\left[\frac{\partial W}{\partial x_{i}}\right]^{2}=\sum \frac{1}{m_{s}}\left\{\frac{\partial W_{2}}{\partial \xi_{s}}+g_{s}\right\}^{2}+\frac{1}{m_{n}}\left\{\alpha^{\prime}-\sum g_{s}-\sum \frac{\partial W_{2}}{\partial \xi_{s}}\right\}^{2} .
\]

Пусть $s^{\prime}$ есть один из зи ов $s$; разыскиваем в правой части уравнения (4)

тогда нолучим:
\[
\frac{g_{s^{\prime}}}{m_{s^{\prime}}}-\frac{\alpha^{\prime}-\sum g_{s}}{m_{n}}=0 .
\]

Это уравнение должно иметь место для $n-1$ значения $s^{\prime}$. Умнжая его на $m_{s^{\prime}}$ и суммиру от $s^{\prime}=1$ до $s^{\prime}=n-1$, получим сначала значение $\sum g_{s}$, именно
\[
\left(1+\frac{\sum m_{s}}{m_{n}}\right) \sum g_{s}=\frac{\alpha^{\prime} \sum m_{s}}{m_{n}},
\]

откуда, вводя, как это было сделано в третьей жекции, обозначение
\[
M=m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}=\sum m_{s}+m_{n},
\]

получим:
\[
\begin{array}{l}
\sum g_{s}=\alpha^{\prime}\left(1-\frac{m_{n}}{M}\right), \\
\alpha^{\prime}-\sum g_{s}=\frac{\alpha^{\prime}}{M} m_{n} .
\end{array}
\]

Внося это выражение в (5), для $g_{s^{\prime}}$ найдем простое значение:
\[
g_{s^{\prime}}=\frac{\alpha^{\prime}}{M} m_{s^{\prime}}
\]

так что формула преобразования $W_{1}$ в $W_{2}$ напишется с.едующим образом
\[
W_{1}=W_{2}+\frac{\alpha^{\prime}}{M} \sum m_{s} \xi_{s} .
\]

После подстановки значения $g_{s}$ в (4) та часть этого выражения, которая не зависит от величин $\frac{\partial W_{2}}{\partial \xi_{8}}$, будет иметь вид
\[
\sum \frac{1}{m_{s}} g_{s}^{2}+\frac{1}{m_{n}}\left\{\alpha^{\prime}-\sum g_{s}\right\}^{2}=\frac{\alpha^{\prime 2}}{M},
\]

и мы шолучим:
\[
\sum \frac{1}{m_{i}}\left[\frac{\partial W}{\partial x_{i}}\right]^{2}=\sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial W_{2}}{\partial \xi_{s}}\right)^{2}+\frac{1}{m_{n}}\left(\sum \frac{\partial W_{2}}{\partial \xi_{s}}\right)^{2}+\frac{\alpha^{\prime 2}}{\boldsymbol{M}} .
\]

Если это выражение подставить в уравнение (1) п принять во внимание, что $W_{1}$ отличается от $W_{2}$ на величины, не зависящие от $y_{i}$ и $z_{i}$, так что при дифференцирөвании по $y_{i}$ или $z_{i}$ равны между собою не только производные от $W$ и $W_{1}$, но также и производные от $W_{1}$ и $W_{2}$, то уравнение (1) перейдет в уравнение в частных производных для зависимой переменной $W_{2}$. Это дифференциальное уравнение не содержит болыше $3 n$ независимых переменных $x_{i}, y_{i}, z_{i}$, но только $3 n-1$; действительно, $n$ переменных $x$ заменены через $n-1$ переменных $\xi$, а вновь введенная величина $\alpha^{\prime}$ должна расматриваться как шостоянная в виду того, что производная от $W_{2}$ по этой величине отсутствует. Iроинтегрировав уравнение в частных производных дыя $W_{2}$ и определив $W_{1}$ из $W_{2}$ при помощи уравнения (6), вводим, как уже замечено выше, $x_{n}$ при помощи уравнения $\frac{\partial W_{1}}{\partial \alpha^{\prime}}=\alpha_{0}-x_{n}$; после замены $W_{3}$
на $W_{2}$ это уравнение переходит в следующее:
\[
\alpha_{0}-x_{n}=\frac{\partial W_{2}}{\partial \alpha^{\prime}}+\frac{1}{M} \sum m_{s} s_{s} .
\]

Это последнее уравнение есть в то же время интеграл дифференциальных уравнений движения, которые могут быть приведены к уравнению в частных производных (1), и притом тот интеграл, который надо присоединить поеле нахождения интегралов, содержащих $3 n-1$ переменных $\xi_{s}$ : $y_{i}$ п $z_{i}$, совсем попобно тому, как уравневие $\tau-t=\frac{\partial W}{\partial \tau}=\frac{\partial W_{2}}{\partial \alpha}$, при посредотве которого вводитея затем $t$, образует в то же время постедний интеграл.
Если оба преобразовавия
\[
\begin{array}{c}
W=W_{1}-\alpha^{\prime} \frac{\partial W_{1}}{\partial \alpha^{\prime}}=W_{1}-\alpha^{\prime}\left(\alpha_{0}-x_{n}\right) \\
W_{1}=W_{2}+\frac{\alpha^{\prime}}{M} \sum m_{s} \xi_{s}
\end{array}
\]

сединить в одно, то получитея формула
\[
W_{2}=W-\frac{\alpha^{\prime}}{M} \sum_{i=1}^{i=n} m_{i} x_{i}+\alpha^{\prime} \alpha_{0},
\]

в которой, қроме того, можно опустить член $\alpha^{\prime} \alpha_{0}$ благодаря связанной с $W$ произвољъной постоянной, так как само $W$ не входит в уравнение (1).

Так же как этим преобразованием $n$ переменных $x_{i}$ уравнения в частных производных (1) были приведены к $n-1$ переменным $\xi_{s}=x_{s}-x_{n}$, мы можем двумя новыми преобразованиями того же вида привести $2 n$ переменных $y_{i}$ и $z_{i}$ к $2(\boldsymbol{n}-1)$ перененным $\eta_{s}=y_{s}-y_{n}$ п $\xi_{s}=z_{s}-z_{n}$ и, соединив все преобразования в одно, нолучить следующую теорему:
$B$ случае своӧодной системи п материальны точек, для которой дифференциальные уравнения движения могут оыть приведены $к$ ураєнению в частных производных
\[
\frac{1}{2} \sum_{m_{i}}\left\{\left[\frac{\partial W}{\partial x_{i}}\right]^{2}+\left[\frac{\partial W}{\partial y_{i}}\right]^{2}+\left[\frac{\partial W}{\partial z_{i}}\right]^{2}\right\}=U-\alpha,
\]
nonaraeм:
\[
\begin{array}{l}
\xi_{1}=r_{1}-x_{n}, \cdot \xi_{2}=x_{2}-x_{n}, \ldots \xi_{n-1}=x_{n-1}-x_{n}, \\
r_{i_{1}}=y_{1}-y_{n}, \quad \eta_{2}=y_{2}-y_{n}, \ldots \eta_{n-1}=y_{n-1}-y_{n}, \\
\zeta_{1}=z_{1}-z_{n}, \quad \zeta_{2}=z_{2}-z_{n}, \ldots \zeta_{n-1}=z_{n-1}-z_{n}
\end{array}
\]

и вбодим вместо $W$ новую зависимую переменную
\[
\mathrm{Q}=W-\frac{\alpha^{\prime}}{M} \sum m_{i} x_{i}-\frac{\beta^{\prime}}{M} \sum m_{i} y_{i}-\frac{\gamma^{\prime}}{M} \sum m_{i} z_{i} ;
\]

тогда уравнение в частных производиы (1) превращаетея в следующеє:
\[
\frac{1}{2} \sum \frac{1}{m_{s}}\left\{\left(\frac{\partial Q}{\partial \xi_{s}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial Q}{\partial \eta_{s}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial Q}{\partial \zeta_{s}}\right)^{2}\right\}+\frac{1}{2 m_{n}}\left\{\left(\sum \frac{\partial Q}{\partial \xi_{s}}\right)^{2}+\left(\sum \frac{\partial Q}{\partial \eta_{s}}\right)^{2}+\right.
\]
\[
\left.+\left(\boldsymbol{\sum} \frac{\partial \mathbf{Q}}{\partial \zeta_{s}}\right)^{2}\right\}=U-\beta
\]
$2 \partial \mathrm{c}$
\[
\beta=\alpha+\frac{\alpha^{\prime 2}+\beta^{\prime 2}+\gamma^{\prime 2}}{2 M} \text {. }
\]

Мосте интегрирования этого уравнения в частных ироизводных для $\Omega$ вволате переменнье $x_{n}, y_{n}, z_{n}$ поредством уравнений
\[
\begin{array}{l}
x_{0}-x_{n}=\frac{\partial \mathrm{Q}}{\partial a^{\prime}}+\frac{1}{M} \sum m_{s i s}^{\prime} \quad \beta_{0}-y_{n}=\frac{\partial \mathrm{Q}}{\partial \beta^{\prime}}+\frac{1}{M} \sum m_{s} \eta_{i}, \\
\gamma_{0}-z_{i}=\frac{\partial \mathrm{Q}}{\partial \gamma^{\prime}}+\frac{1}{M} \sum m_{i}{ }^{\prime}, \\
\end{array}
\]

и наконец определяетя переменная $t$ цз уравнения
\[
=-t=\frac{\partial \Omega}{\partial x} \text {. }
\]

Но, так как четыре постоянные $\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}, \gamma^{\prime}$ и $\alpha$ сфединились в одну постояднүю 3 , мы имеем
\[
\frac{\partial Q}{\partial x^{\prime}}=\frac{\alpha^{\prime}}{M} \frac{\partial Q}{\partial \beta}, \quad \frac{\partial Q}{\partial \beta^{\prime}}=\frac{\beta^{\prime}}{M} \frac{\partial Q}{\partial \beta}, \quad \frac{\partial Q}{\partial \gamma^{\prime}}=\frac{\gamma^{\prime}}{M} \frac{\partial Q}{\partial \beta}, \frac{\partial Q}{\partial \alpha}=\frac{\partial Q}{\partial \beta},
\]

и полтм предыдущие четыре ураввения переходят в следующие:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial Q}{\partial \beta}=z-t, \\
\alpha_{0}-x_{n}=\frac{\alpha^{\prime}}{M}(z-t)+\frac{1}{M} \sum m_{s_{s}}, \\
\beta_{0}-y_{n}=\frac{\beta^{\prime}}{M}(=-i)+\frac{1}{M} \sum m_{s} r_{i s}, \\
\gamma_{0}-z_{n}=\frac{\gamma^{\prime}}{M}(\tau-t)+\frac{1}{M} \sum m_{b_{0}} . \\
\end{array}
\]

Последние три формулы, если мы их приведем к виду
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{0}+\frac{\alpha^{\prime}}{M}(t-\tau)=x_{n}+\frac{1}{M} \sum m_{s} \xi_{s}=\frac{1}{M} \sum m_{i} x_{i}, \\
\beta_{0}+\frac{\beta^{\prime}}{M}(t-\tau)=y_{n}+\frac{1}{M} \sum m_{s} \eta_{i}=\frac{1}{M} \sum m_{i} y_{i}, \\
\gamma_{0}+\frac{\gamma^{\prime}}{M}(t-\tau)=z_{n}+\frac{1}{M} \sum m_{s} \gamma_{s}=\frac{1}{M} \sum m_{i} z_{i},
\end{array}
\]

согласуютея с данными в третьей лекции [стр. 17 формула (3)] формулами для прямолинейного движения центра тяжести, так как величины в чравой части являютея не чем иным, как координатами центра тяжести.