Мы дадим сейчас приложение полученной теоремы относительно вариации определителя в системе дифференциальных уравнений.
Пусть дана следующая сиотема:
\[
\frac{d x_{1}}{d x}=X_{1}, \frac{d x_{2}}{d x}=X_{2}, \ldots \frac{d x_{i}}{d x}=X_{i}, \ldots \frac{d x_{n}}{d x}=X_{n}
\]

и пусть эта система, в которой $X_{1}, X_{2}, \ldots X_{n}$ могут быть проиввольными функциями от $x, x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$, интегрируется при помощи системы уравнений:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=f_{1}\left(x, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right) \\
x_{2}=f_{2}\left(x, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right) \\
\cdots \cdots \alpha_{n}\left(x, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right) .
\end{array}
\]

Если эти значения $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ подставим в $X_{1}, X_{2}, \ldots X_{n}$ и определим производные $\frac{d x_{1}}{d x}, \frac{d x_{2}}{d x}, \ldots \frac{d x_{n}}{d x}$ так же, как фунцции от $x$ и $n$ пронзвольных постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}$, то шри этих значениях система (1) будет выполняться тождественно, т. е. уравнения (1) имеют место для всех значений переменной $x$ и пропзвольных постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}$; поэтому их можно дифференцировать по каждой из этих $n$ постоянных. Каждое ив уравнений (1) образует таким образом $n$ уравнений, всего $n$ систем по $n$ уравнений в каждой спстеме, т. е. $n^{2}$ уравнений, которые все имеют вид:
\[
\frac{d \frac{\partial x_{i}}{\partial \alpha_{k}}}{d x}=\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{1}} \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{k}}+\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{2}} \frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{k}}+\ldots+\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{n}} \frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{k}} .
\]

Система, следующая из первого уравнения $\frac{d x_{1}}{d x}=X_{1}$, будет:
\[
\text { 1) } \begin{array}{l}
\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}+\cdots+\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{n}}=\frac{d \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}}}{d x} \\
\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{2}} \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}} \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}+\cdots+\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{2}} \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{n}}=\frac{d \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{2}}}{d x} \\
\cdots \cdots \cdot \cdot \cdot+\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}} \frac{\partial X_{1}}{\partial x_{n}}=\frac{d \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{n}}}{d x} .
\end{array}
\]

Систекы, следующие из остальных уравнений (1), будут:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}-\ldots+\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{n}}=\frac{d}{d x} \\
\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{2}} \frac{\partial x_{2}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}} \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}} \cdot \ldots+\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{2}} \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{n}}=\frac{d \frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}}}{d x}, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{\partial x_{n}}{\partial x_{n}} \frac{\partial X_{2}}{\partial x_{n}}=\frac{d \frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{n}}}{d x}
\end{array}
\]

Наконец
\[
\begin{array}{l}
\text { п) } \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial \Lambda_{n}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial \Lambda_{n}}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial \Lambda_{n}}{\partial x_{n}}=\frac{d \frac{\partial x_{n}}{\partial x_{1}}}{d x} \text {, } \\
\frac{\partial x_{1}}{\partial x_{2}} \frac{\partial X_{n}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial x_{2}}{\partial x_{2}} \frac{\partial X_{n}}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial x_{2}}{\partial x_{2}} \frac{\partial X_{n}}{\partial x_{i}}=\frac{d \frac{\partial x_{n}}{\partial x_{2}}}{d x}, \\
\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{n}} \frac{\partial X_{n}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{n}} \frac{\partial X_{n}}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}} \frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}=\frac{d \frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}}}{d x} \text {. } \\
\end{array}
\]

Если сравним эти системы с теми, которые были установлены в 4 шредыдущей лекции цри рассмотрении теоремы о вариации определителя, то найхем, что те системы переходят в эти при следующих прелоложения:
\[
\begin{array}{l}
a_{1}=\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}}, b_{1}=\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{1}}, \ldots p_{1}=\frac{\partial x_{n_{2}}}{\partial \alpha_{1}}, \\
a_{2}=\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{2}}, \quad b_{2}=\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}}, \ldots p_{2}=\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{2}}, \\
u_{n}=\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{n}}, b_{n}=\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{n}}, \ldots p_{n}=\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}}, \\
h=\Sigma \pm a_{1} b_{2} \ldots p_{n}=\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}} \cdot \frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}} \ldots \frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}}, \\
x_{1}{ }^{\prime}=\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}, x_{2}{ }^{\prime}=\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{2}}, \ldots x_{n}{ }^{\prime}=\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{n}}, \\
x_{1}{ }^{\prime \prime}=\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{1}}, x_{2}{ }^{\prime \prime}=\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}, \ldots x_{n}{ }^{\prime \prime}=\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{n}}, \\
x_{1}{ }^{(n)}=\frac{\partial \dot{X}_{n}}{\partial x_{1}}, x_{2}{ }^{(n)}=\frac{\partial \dot{X}_{n}}{\partial x_{2}}, \ldots x_{n}{ }^{(n)}=\frac{\partial \dot{X}_{n}}{\partial x_{n}}, \\
\delta=\frac{d}{d x} \text {. } \\
\end{array}
\]

Позтому подную производную по $x$ от $\lg R$ можно представить в с.өдующей ванечательной форме:
\[
\frac{d \lg R}{d x}=\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}},
\]

rде
\[
R=\sum \pm \frac{\partial r_{1}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}} \ldots \frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}} .
\]

Такнх образом, по вынолнении интегрнрования системы (1), найдем $R$ й уравнения (2) посредством квадратуры по $x$. Но существуют сучаи, в которых определите.и $R$ может быт дан до шроивводства каких-иибо интегрирований, именно когда сумма $\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}$ может быть преобразована с цомощью системы (1) в полную производную го $x$ ил, чті представляет еще более простой случай, когда $X_{1}$ не содержит $x_{1}, X_{2}$ пе содержит $x_{2}, \ldots, \mathrm{X}_{n}$ не сопержит $x_{n}$. Тогиа $\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}+\ldots \frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}=0$; поT TOM
\[
\frac{d \lg R}{d x}=0, R=\text { const. }
\]

Содернашаяся в уравнешии (2) теорема был установлена внервые Іиувилдем и притом в этой же форме (Lionville Journat, t. 11, p. 348): г другой форме, в которой произвольные постоянные е заменени независимым переменными $x$, а эти последние заменены функцияи $f$ от перемениых $x$, эта теорема ветречаетея в одной из моих статей (Crelle Journal, Bd. 22, p. 336). Диувиль не извлек из этой теоремы той поықзы, которую ова доетавляет қя интегрирования. Раные чем перейти д этому цриоженик, иридадим полученному резуытату нескольо более обцую форуу, произведя в нем некоторое измененне, которое хотя и не канетея очень еущестенным, но без которого, тем не менее, применение этого результата бы бы горазто более ограниченным.
Напипем систену (1) в форме пропорции:
\[
d x: d x_{1}: d x_{2}: \ldots: d x_{n}=1: X_{1}: X_{2}: \ldots: X_{n} \text {; }
\]
время $X_{1}, \quad X_{2}, \ldots X_{n}$ соответетвено частньми $\frac{X_{1}}{X}, \frac{X_{2}}{X}, \ldots X_{n}$ vи уожем придать еіі ранее рассмотрепный вит:
\[
d x: d x_{1}: d x_{2}: \ldots: d x_{n}=X: X_{1}: X_{2}: \ldots: X_{n} .
\]

Іри таком изменении уравнение (2) переходит в стедующее:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \lg R}{d x}=\frac{\partial\left(\frac{X_{1}}{X}\right)}{\partial x_{1}}+\frac{\partial\left(\frac{X_{2}}{X}\right)}{\partial x_{2}}-\ldots+\frac{\partial\left(\frac{X_{n}}{X}\right)}{\partial x_{n}}= \\
=\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right)-\frac{1}{X^{2}}\left(X_{1} \frac{\partial X}{\partial x_{1}}+X_{2} \frac{\partial X}{\partial x_{2}}+\ldots X_{n} \frac{\partial X^{2}}{\partial x_{n}}\right) .
\end{array}
\]
\[
\frac{X_{1}}{X}=\frac{d x_{1}}{d x} ; \quad \frac{X_{2}}{X}=\frac{d x_{2}}{d x} ; \ldots \quad X_{n}=\frac{d x_{n}}{d x}
\]

приведен к форме:

и.Iи
\[
-\frac{1}{\mathrm{X}} \cdot\left(\frac{d X}{d x}-\frac{\partial X}{\partial x}\right) .
\]

Если это последнее выражение подставить в формулу дая $\frac{d \lg P}{d x}$, то получитея
\[
\frac{d \lg R}{d x}=\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right)-\frac{1}{X}\left(\frac{d X}{d x}-\frac{\partial X}{\partial x}\right)
\]

ห.Іи
\[
\frac{d \operatorname{Ig}(X R)}{d x}=\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial X_{2}}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right) .
\]

Мы можез, таким образом, определить $R$ по всех интегрирований, если величина $\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right)$ при помощи данной системы (3) может быт преобразована в полную пронзводую но $x$ или если $\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}=0$.
В последнем случае ихеем
\[
X R=\text { const. }
\]

так что
\[
R=\frac{\text { const. }}{X}
\]

где, как прежде,
\[
R=\sum \pm \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}} \cdot \frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}} \ldots \frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}} .
\]

Предиодожин теперь, что система (3) в самом деле обдадает тем свойством, что $R$ может быть определено до всех интегрирований, и предположим, что $n$– 1 интегралов уже найдено, а $n$-го еще недостает; тогда молно $n-1$ интегральны уравнений представить в форме
\[
\begin{array}{l}
x_{2}=\eta_{2}\left(x_{1}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots a_{n}\right) \\
x_{3}=y_{3}\left(x, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots a_{n}\right) \\
\left.\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot a_{n}\right),
\end{array}
\]

носле чего остаетея еще проинтегрировать уравнение
\[
\backslash d x_{1}-X_{1} d x=0,
\]

интеграл которого можно представить в виде
\[
x_{1}=a_{1}\left(x, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right) .
\]

Нз сравнения с вышешриведенной полной системої ннтегралов днфференциальных уравнений (1) следует, кроме того, что функция, обовначенная тешерь через $\varphi_{1}$, есть та, которая была обозначена выше через $f_{1}$, и тто функции $?_{2}, \varphi_{3}, \ldots \varphi_{n}$ переходят соответственно в $f_{2}, f_{3}, \ldots f_{n}$, если вместо $x_{1}$ нодставлено его значение $\varphi_{1}$.

Если производные величин $x_{2}, x_{3}, \ldots x_{n}$, поскольку мы их рассматриваем как функции от $x, x_{1}, x_{2}, \alpha_{3}, \ldots x_{n}$, заключим в скобкп для отличия от до сих пор рассхатриваемых производпых, то шолучим
\[
\frac{\partial x_{t}}{\partial x_{k}}=\left(\frac{\partial x_{i}}{\partial x_{k}}\right)+\left(\frac{\partial x_{i}}{\partial x_{1}}\right) \frac{\partial x_{i}}{\partial x_{k}},
\]

где $i$ и 7 ногут принимать все значения от 2 до $n$ включительно. Д,ля $l_{i}=1$ имеем
\[
\frac{\partial x_{i}}{\partial x_{1}}=\left(\frac{\partial x_{1}}{\partial x_{1}}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial x_{1}}
\]
:то уравнение тоже можно включить в обцую формулу, если принать во внимание, что
\[
\left(\frac{\partial x_{2}}{\partial x_{1}}\right)=\left(\frac{\partial x_{3}}{\partial x_{1}}\right)=\ldots=\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial x_{1}}\right)=0 .
\]

Отсюда вытекает формула
\[
\frac{\partial x_{i}}{\partial x_{k}}=\left(\frac{\partial x_{i}}{\partial \alpha_{k}}\right)+\left(\frac{\partial x_{i}}{\partial x_{1}}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{k}},
\]

где $i$ изненяетея от $i=2$ до $i=n$ и $k-$ от $k=1$ до $k=n$. Ноэтом
\[
\begin{array}{l}
R=\sum \pm \frac{\partial x_{1}}{\partial x_{1}}\left\{\left(\begin{array}{c}
\partial x_{2} \\
\partial x_{2}
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}
\partial x_{2} \\
\partial x_{1}
\end{array}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{2}}\right\}\left\{\left(\frac{\partial x_{3}}{\partial x_{3}}\right)+\right. \\
\left.+\left(\frac{\partial x_{3}}{\partial x_{1}}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial x_{3}}\right\} \ldots\left\{\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial x_{n}}\right)+\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial x_{1}}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial x_{n}}\right\}, \\
\end{array}
\]
т. е. $T$ оудет определителем, составленным пз величнн
\[
\begin{array}{ll}
\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}}, & \left(\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{1}}\right)+\left(\frac{\partial x_{2}}{\partial x_{1}}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}}, \ldots\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{1}}\right)+\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial x_{1}}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}} \\
\partial x_{1} \\
\partial \alpha_{2} & \left(\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}}\right)+\left(\frac{\partial x_{2}}{\partial x_{1}}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{2}}, \ldots\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial x_{2}}\right)+\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial x_{1}}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial x_{2}} \\
\left.\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}}\right)+\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial x_{1}}\right) \frac{\partial x_{1}}{\partial x_{n}} .
\end{array}
\]

Обозначим через $R_{1}$ п $R_{2}$ определители, которие получатея из $l_{i}$, если мы только их первыми членами, а для $R_{2}$ – их вторыми членами, так тто $h$. как линейная однородная функция тех и величнн, будет равняться сумме $R_{1}$ и $R_{2}$. Но $R_{2}$ имеет общиӥ множитель $\left(\frac{\partial x_{2}}{\partial x_{1}}\right)$, и если мы его вынесем, то величины, стояцие в цервом и во втором вертикальных рядах, совнадут. т. е. $R_{2}$, па основании п. 1 предыдущей лекции, окажется равным ную. а $R$-равшым $R_{1}$; таким образом ошределитель $R$ остается без изменения. если величины второго вертикального ряда заменить их шервыми члевами. То же самое имеет место и для величин третьего, четвертого, …n-ю вертикальных рядов, и тақим образом $R$ оқазывается равным определителю из величин
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{2}},\left(\frac{\partial x_{2}}{\partial x_{2}}\right),\left(\frac{\partial x_{3}}{\partial x_{2}}\right), \ldots\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial x_{2}}\right) \\
\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{n}},\left(\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{n}}\right),\left(\frac{\partial x_{3}}{\partial \alpha_{n}}\right), \ldots\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}}\right) . \\
\end{array}
\]

Если тешерь представить зтот ощеделитель как линейную фунццию величин шервого горизонтального ряда п шринять во внимание, тто, ва основании (5), все этн величины, за исключением $\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}}$, нсчезают, то $h$ по дучаетея как произведение $\frac{\partial x_{1}}{\partial x_{1}}$ ва $\frac{\partial P}{\partial \frac{\partial x_{1}}{\partial x_{1}}}$, т. е. как произведение $\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}}$ ва онределител
\[
\varphi=\sum \pm\left(\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}}\right)\left(\frac{\partial x_{3}}{\partial \alpha_{3}}\right), \ldots\left(\frac{\partial x_{n}}{\partial x_{n}}\right),
\]

лементы которого те же самые, что и те, которые получатся из носледней таблицы, если в ней отбросить первый горизонтальный рлд и первый вертикальный ряд. Таким образом пмеем окончательно:
\[
R=\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}} Q .
\]

Это уравнение имеет величайшую важность. Именно, тақ как по нащему предподожению $h$ из данной системы (3) можно найти а priori, без всяких интегрирований, п так как, галее, $Q$ при посредстве $n-1$ уже проивведенного интегрирования известно, то уравнение (7), как это мы тотчас увидим, дает возможность выполнить еще недостающеө $n$-ое интеррирование, так как оно определяет интегрирующий множитель цля дифференциального уравнения
\[
X d x_{1}-X_{1} d x=0,
\]

в котором $X$ п $X_{1}$ предетавлены кағ функии от $x$ и $x_{1}$. Пусть полный интеграл этого уравнения будет
\[
\text { F }\left(x, x_{1}\right)=a_{1} .
\]

Отсюда получаем, решая относительно $x_{1}$, то же еамое выражение, которое мы раньше обовначили через
\[
x_{1}=\varphi_{1}\left(x, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots a_{n}\right) .
\]

Подстановка этого выраження вместо $x_{1}$ превращает (8) в тождество; поэтому нолучаем дифференцированием по $\alpha_{1}$
\[
\frac{\partial F}{\partial x_{1}} \frac{\partial x_{1}}{\partial x_{1}}=1 .
\]

Отсюда, принимая во внимание, что, на основании равенства (7),
\[
\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}}=\frac{R}{Q}
\]

имеeм:
\[
\frac{\partial F^{\prime}}{\partial x_{1}}=\frac{Q}{R} .
\]

Обозначии черев $\mathrm{N}$ интегрнрующий мижитель выражения $\mathrm{X} d x_{1}-\mathrm{X}_{2} d x$; тогда
\[
N X=\frac{\partial F}{\partial x_{1}}, \quad-N X_{1}=\frac{\partial F}{\partial x},
\]

так что из первого из этих уравнений следует, что
\[
N=\frac{1}{X} \frac{\partial F}{\partial x_{1}}=\frac{Q}{X R} ;
\]

таким образом $N=\frac{Q}{R X}$ есть интегрирующий иножитель уравнения $\quad$ I $d x_{1}-$ $-\mathrm{X}_{1} d x=0$. Итак, имеем теорему:
Если в системе дифференчиальжых уравнений
\[
d x: d x_{1}: d x_{2}: \ldots: d x_{n}=X: X_{1}: X_{2}: \ldots: X_{n}
\]

вырансение
\[
\frac{1}{\boldsymbol{X}}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial \boldsymbol{X}_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial \boldsymbol{X}_{n}}{\partial x_{n}}\right)
\]

есть полная производая по $x$; если известны $n-1$ интеграл данной системы и из этих ижтегралов можно определить персменные $x_{2}, x_{3}, \ldots x_{n}$, как функции от $x, x_{1} u$ n-1 произвольных постокнных интегрирования, в виде
\[
\begin{array}{c}
x_{2}=\varphi_{2}\left(x, x_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right) ; \\
x_{3}=\varphi_{3}\left(x, x_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right) ; \ldots x_{n}=\varphi_{n}\left(x, x_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right)
\end{array}
\]
\” если поэтому остаетея только проинтегрировать дифферениильног уравнение

то виракения
\[
X d x_{1}-X_{1} d x=0,
\]
\[
N=\frac{Q}{X T}
\]

ссть ижмегрируючий множитель этого дифференцильного уравнения, гд\”
\[
\mathrm{X} R=e^{\int \frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\cdots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}\right) d x}
\]
$u$
\[
Q=\Sigma \pm \frac{\partial x_{2}}{\partial x_{i}} \frac{\partial x_{8}}{\partial \alpha_{3}} \ldots \frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}} .
\]
Б.сли $\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}=0$, то $X R=$ const, и в том случаe сам определитель $Q$ есть птегрирующий множитель дифференциллного уравнения $X d x_{1}-X_{1} d x=0$.

Если уравнение (4) этой леции сошоставить с уравнением (11) десятой лекции, то оказывается, что то дифферепцильное уравнение, котороиу удовлетворяет – $\lg X R$, будет для $n+1$ неременных совнадать с тем уравнепием, которое мы тогда (для системы двух дифференцциальны уравнений с тремя переменными) получили для $\lg$ М. Поэтому можно положнть,
\[
\lg M=-\lg X
\]

или
\[
M=\frac{1}{\mathrm{X} h},
\]

и, при предположениях тольо-что изложенной теоремы, $M Q$ будет интегрирующим множителем последнего дифференциального уравнения $X d x_{1}$ $-X_{1} d x=0$, где $M$ определяется из уравнения
\[
X \frac{d \lg M}{d x}+\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial X_{1}}{\partial x_{1}}+\ldots+\frac{\partial X_{n}}{\partial x_{n}}=0 .
\]

Расемотренный перед этим определитель $Q$ можно образовать равличныии способами. Простейшее представление есть в форме произведения. Именво, қак только мы исключим посредством $x_{1}$ из переменных $x_{2}, x_{3}, \ldots x_{*}$ поотоянную $\alpha_{1}$ и после этого представим определитель $R$ как произведение $\frac{\partial x_{1}}{\partial \alpha_{1}}$ на определитель $Q$, порядок которого на единицу ниже, чем порядок $R$, то мы сможем снова исключить посредством $x_{2}$ из геременных $x_{3}, x_{4}, \ldots x_{n}$ шостоянную $\alpha_{2}$ и представить тогда $Q$ как произведение $\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}}$ на определитель $P=\Sigma \pm \frac{\partial x_{3}}{\partial \alpha_{3}} \frac{\partial x_{4}}{\partial \alpha_{4}} \ldots \frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}}$. Таким же образом можно продолжать дальше: исвлючаем посредством $x_{3}$ постоянную $\alpha_{3}$ ив $x_{4}, x_{5}, \ldots x_{n}$, посредетвом $x_{4}$ – постоянную $\alpha_{4}$ нз $x_{5}, x_{6}, \ldots x_{n}$ и т. ц. Таким образом получаем еледующее представление интегральных уравнений:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=F_{1}\left(x, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} \ldots \alpha_{n-1}, \alpha_{n}\right) \\
x_{2}=F_{2}\left(x, x_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, x_{4} \ldots \alpha_{n-1}, \alpha_{n}\right) \\
r_{3}=I_{3}\left(x, x_{1}, x_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} \ldots \alpha_{n-1}, \alpha_{n}\right) \\
x_{1}=F_{4}\left(x, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \alpha_{4} \ldots \alpha_{n \ldots 1}, \alpha_{n}\right) \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . } \\
x_{n}=I_{n}^{\prime}\left(x, x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n-1}, \alpha_{n}\right) ; \\
\end{array}
\]

отенода
\[
R=\frac{\partial x_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial x_{2}}{\partial x_{2}} \frac{\partial x_{3}}{\partial x_{3}} \ldots \frac{\partial x_{n}}{\partial x_{n}},
\]

тде вместо величин $x_{1}$ до $x_{n}$ надо подетавить выражения $F_{1}$ до $F_{n}$. Для стого же способа изображения интегральных уравнений пмеем:
\[
Q=\frac{\partial x_{2}}{\partial \alpha_{2}} \frac{\partial x_{3}}{\partial x_{3}} \ldots \frac{\partial x_{n}}{\partial \alpha_{n}} .
\]

Iреобразование, которым мы здесь воспользовались, состоит таким образом в следующем:

Если $n$ величин $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ даны кал функции и дтуги величин $x_{1}, \alpha_{2}, \ldots x_{n}$, max «mo
\[
\begin{array}{c}
x_{1}=f_{1}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right) \\
x_{2}=f_{2}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right) \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
\dot{x}_{n}=f_{n}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{n}\right),
\end{array}
\]
4 если представия путем последовательного исключения величины $x_{1}$, $x_{2}, \ldots x_{n}$ следуючин образом
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=F_{1}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \ldots x_{n-1}, \alpha_{n}\right) \\
x_{2}=F_{2}\left(x_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \ldots x_{n-1}, x_{n}\right) \\
x_{3}=F_{3}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots \alpha_{n-1}, a_{n}\right) \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
x_{n}=F_{n}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots x_{n-1}, \alpha_{n}\right),
\end{array}
\]

mо будем н.меті. лучи. $:$

Форма (F) для интегральных уравнений есть та, которую они иринихают сами собой в случае одного дифференциалного уравнения высшего порддка ири последовательном интегрировапии. Последовательное интегрнрование уравнения
\[
y^{(n+1)}=f\left(y^{(n)}, y^{(n-1)}, y^{(n \cdot 2)}, \ldots y^{\prime \prime}, y^{\prime}, y, x\right)
\]
iaet
\[
\begin{array}{l}
y^{(n)}=f_{1}\left(\alpha_{n}, y^{(n-1)}, \eta^{(n-\cdots)}, \ldots l^{\prime \prime}, y y^{\prime}, l /, x\right) \\
y^{(n-1)}=f_{2}^{\prime}\left(x_{n}, x_{k-1}, y^{(n-2)}, \ldots y^{\prime \prime}, y^{\prime}, !, x\right) \\
y^{\prime \prime} \quad=f_{n-1}^{\prime}\left(\alpha_{n}, \alpha_{n-1}, \ldots \alpha_{2}, y^{\prime}, y, x\right) \\
!^{\prime}=t_{n}^{\prime}\left(\alpha_{n}, \alpha_{n-1}, \ldots \alpha_{i,}, \alpha_{1}, y, x\right) \text {. } \\
\end{array}
\]
для которых множнтель $M$ ножет быт определен а priori, то ми ифферевциального уравнения первого порядка
\[
y^{\prime}=f_{n}
\]

интегрирующий множнтель будет
\[
H(i,
\]
r, re
\[
u=\frac{\partial y_{n}}{d \alpha_{n}} \frac{\partial y_{n-1}}{\partial \alpha_{n-1}} \ldots \frac{\partial y^{\prime \prime}}{\partial g_{2}} \frac{\partial y^{\prime}}{\partial \alpha_{1}} .
\]