Принцип последнего множителн позволяет во всех случаях, когда еистема дифференциальых уравнений движения приведена к дифференциальному уравнению шервого порядка с двумя переменными, проитегрировать это последнее путем задания его множителя. Iри этом преділагается, что действующие силы $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$ вависят только от гоординат и от времени.

Если чы в первоначальной системе дифференциальных уравнений движения введем производные $\frac{d x_{i}}{d t} ; \frac{d y_{i}}{d t}, \frac{d z_{i}}{d t}$ гак новые переменные $x_{i}^{\prime}, y_{i}^{\prime}$ $z_{1}^{\prime}$, то она примет следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
m_{i} \frac{d x_{i}^{\prime}}{d t}=X_{i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial x_{i}}+\mu \frac{\partial \omega}{\partial x_{i}}+\ldots ; \frac{d x_{i}}{d t}=x_{i}^{\prime} \\
m_{i} \frac{d y_{i}^{\prime}}{d t}=Y_{i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial y_{i}}+\mu \frac{\partial \omega}{\partial y_{i}}+\ldots ; \frac{d y_{i}}{d t}=y_{i}^{\prime} \\
m_{i} \frac{d z_{i}^{\prime}}{d t}=Z_{i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial \varepsilon_{i}^{\prime}}+\mu \frac{\partial \omega}{\partial z_{i}}+\ldots ; \frac{d z_{i}}{d t}=z_{i}^{\prime} .
\end{array}
\]

Вдесь $6 n$ дифференциальных уравнений; но между входящими в них 6* переменными $x_{i}, y_{i}, z_{i}, x_{i}^{\prime}, y_{i}^{\prime}, z_{i}^{\prime} \ldots$, зависящими от $t$, имеют место уже 2 ст соотношения, именно:
\[
\begin{aligned}
f & =0, \quad \omega=0, \ldots \\
\sum\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} x_{i}^{\prime}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}} y_{i}^{\prime}+\frac{\partial f}{\partial z_{i}} z_{i}^{\prime}\right) & =0 ; \quad \sum\left(\frac{\partial \omega}{\partial x_{i}} x_{i}^{\prime}+\frac{\partial \omega}{\partial y_{i}} y_{i}^{\prime}+\frac{\partial \omega}{\partial z_{i}} z_{i}^{\prime}\right)=0 .
\end{aligned}
\]

Если в $f, \omega, \ldots$ входит явно $t$, то к девым тастям последних $m$ уравнений надо присоединить собтветственно члены $\frac{\partial f}{\partial t}, \frac{\partial \omega}{\partial t}, \ldots$ Таким образом, надо найти еще $6 n-2 m$ интегральных уравнений.

Iредшоложим сначала, что $t$ не входит явно ви в $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$, ни в $f$; $\omega_{2} . .$. ; тога можно ири номощи одного из $6 n$ уравнений, хотя бы при помощи уравнения $\frac{d x_{1}}{d t}=x_{1}^{\prime}$ или $d t=\frac{d x_{1}}{x_{1}^{\prime}}$, псключить из остальных уравнений время и тогда шолучить систему $6 n-1$ дифференциальных уравнений, пля полного интегрирования которой надо найти $6 n-2 m-1$ пнтегралов. IІредположим, что это интегрирование произведено; тогда мөжно 6 n
величин $x_{i}, y_{i}, z_{i}, x_{1}^{\prime}, y_{1}^{\prime}, z_{1}^{\prime} \ldots$ выразить через одну из них, наприхер через $x_{1}$. Если представить себе, таким образом, что $x_{1}^{\prime}$ выражено как функция от $x_{1}$, то уравнение $d l=\frac{d r_{1}}{x_{1}^{\prime}}$ дает после пптегрирования:
\[
t+\text { const }=\int \frac{d x_{1}}{x_{1}{ }^{\prime}} .
\]

Таким образои, если время не входит явно, то последнее интегрирование сводится к шростой квадратуре, п тогда время всегда складываетея с произвольной постоянной; это имеет место папример при эллиптическон движении шланет. Но если мы предцоложим, что система из $6 n-1$ дифференциальных уравпений, полученных после исключения времени, проинтегрирована не полностью, нехватает еще одного интегрирования, так что найдено не $6 n-2 m-1$ интегралов, а $6 n-2 m-2$, то пельзя все неременные выразить через одну из них, например через $x_{1}$, но можно выразить через две, папример через $x_{1}$ п $y_{1}$. В этом случае остаетея еще проинтегрировать дифференциальное уравнение, связываюцее $x_{1}$ и $y_{1}$; пменно, если из $\frac{d y}{d t}=y_{1}{ }^{\prime}$ исключить диф.јеренцил времени при цомоци соотношения $d t=\frac{d x_{1}}{r_{1}^{\prime}}$, то получитея
\[
d x_{1}: d y_{1}=x_{1}{ }^{\prime}: y_{1}{ }^{\prime},
\]

где $x_{1}^{\prime}$ и $y_{1}^{\prime}$ квляютея но нанему предиожожению функциями от $x_{1}$ и $y_{1}$. Устаповленный мною прищип дает множитсль этого дифференциального уравнения. Іропнтегрировав его при пимощи этого нножителя, найдем, как уже занечено выше, время посредством простой квадратуры. Таким образом, если время не входит явно, то надо проиввести только $6 n-2 m-2$ интегрирования, чтобы два последние интегрирования полутились уже без всякого затруднения.

Но если время входит явно, т. е. не только под знаком дифференциала, то его нельзя исключить из дифференциальпых уравнений. Однако, если тога произвести $6 n-2 m-1$ интегрирований, благодаря теяу все сведётся к интегрированию дифференциального уравнения вида
\[
d x_{1}-x_{1}^{\prime} d t=0,
\]

где $x_{1}{ }^{\prime}$ есть функция от $x_{1}$, и $t$, то последний ннтеграл получится снова 13 принципа последнего множителя.

Теперь, когда мы видии, что дает принци, о котором ндет речь, мы приступаем к выводу его.

ІІосле того как Эйлер увидел на многочисленных щримерах, что дифференцильные уравнения первого поряда с думя переменными можно сделать шри помощи множителей полным дифферешцалами и таким образом проинтегрировать, прошел еще больюй промежуток времени, ирежде чем он пришел в убеждению, чю это есть ойцее свойство этих дифференциальых уравнений. Это произошло потому, что он был далек от мысли репить интегральное уравнение относительно произвольной постоянной. Будь эта мысль ему ближе, он также не отчаялея бы в возможноэти сводить линейные дифференциаьные уравнения с частными шроизводными к обыкновепны дифферещцалыны уравнениям – задача, которую он считал трудпее, чем задача проиптегрировать дифферепциальное уравнение второго порядка с двумя щеременными, которал еще и сейчас не репепа, в то время как приведение линейного дифференцианого уравнения с частыми ироизводпыми к обыкновепному дифферещцанному уравнению считаетея дементарпой задачей. it

дифференциальных уравнений, хотя этот случай трактуетея также просто, если предположить интегральные уравнения репенными относительно произвольных постоянных.

Возьмем дифференцильное уравнение с цвумя переменныи $x$ и $y$, и пусть оно дано в виде пропорции
\[
d x: d y=X: Y,
\]

которая тождественна с уравнением
\[
X d y-Y d x=0 .
\]

Предположим, что интеграл дан в форме $F=$ const; дифференцируя это равенство, получим уравнение
\[
\frac{\partial F}{\partial y} d y+\frac{\partial F}{\partial x} d x=0,
\]

левая часть которого может отличаться от левой части предыдущего дифференциального уравнения только множителем $M$. Таким образом имеем
\[
M X=\frac{\partial F}{\partial y} ; \quad-M Y=\frac{\partial F}{\partial x},
\]
– откуда получается для определения $M$ уравнение
\[
\frac{\partial(M X)}{\partial x}+\frac{\partial(M Y)}{\partial y}=0 .
\]

Распространим теорию этого множителя $M$ на систему двух совместных дифференциальных уравнений с тремя переменными. Пусть она дана в форме
\[
d x: d y: d z=X: Y: Z,
\]

и пусть интегральные уравнения, решенные относительно произвольных достоянных, будут
\[
f=\alpha, \quad \varphi=\beta ;
\]

тогда
\[
\frac{\partial f}{\partial x} d x+\frac{\partial f}{\partial y} d y+\frac{\partial f}{\partial z} d z=0 ; \quad \frac{\partial \varphi}{\partial x} d x+\frac{\partial \varphi}{\partial y} d y+\frac{\partial \varphi}{\partial z} d z=0,
\]

а отсюда получитея:
\[
d x: d y: d z=\left(\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial \varphi}{\partial z}-\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial \varphi}{\partial y}\right):\left(\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial \varphi}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial \varphi}{\partial z}\right):\left(\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial \varphi}{\partial y}-\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)
\]

Положим
\[
\boldsymbol{A}=\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial \varphi}{\partial z}-\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial \varphi}{\partial y} ; \quad B=\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial \varphi}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial \varphi}{\partial z} ; \quad C=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial \varphi}{\partial y}-\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial \varphi}{\partial x} ;
\]

тогда
\[
d x: d y: d z=A: B: C,
\]

что́ после сравнения с данной системой (2) ведет к пропорции:
\[
A: B: C=X: Y: Z .
\]

Таким образом существует множитель $M$, обладающий тем свойствои, что
\[
A=M X ; \quad B=M Y ; \quad C=M Z .
\]

Но величины $A, B, C$ удовлетворяют тождественно равенству
\[
\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial B}{\partial y}+\frac{\partial C}{\partial z}=0
\]

портому имеем для $M$ уравнение
\[
\frac{\partial(M X)}{\partial x}+\frac{\partial(M Y)}{\partial y}+\frac{\partial(M Z)}{\partial z}=0,
\]

или
\[
X \frac{\partial M}{\partial x}+Y \frac{\partial M}{\partial y}+Z \frac{\partial M}{\partial z}+\left\{\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right\} M=0 .
\]

Так как $f=\alpha$ и $\varphi=\beta$ являются интегралами данной системы (2), то df п без обращения к помощи интегральных уравнений. Но щы имеем
\[
d f=\frac{\partial f}{\partial x} d x+\frac{\partial f}{\partial y} d y+\frac{\partial f}{\partial z} d z ; \quad d \varphi=\frac{\partial \varphi}{\partial x} d x+\frac{\partial \varphi}{\partial y} d y+\frac{\partial \varphi}{\partial z} d z,
\]

откуда, шринимая во внимание вистему (2), получим уравнения
\[
X \frac{\partial f}{\partial x}+Y \frac{\partial f}{\partial y}+Z \frac{\partial f}{\partial z}=0 ; X \frac{\partial \varphi}{\partial x}+Y \frac{\partial \varphi}{\partial y}+Z \frac{\partial \varphi}{\partial z}=0,
\]

которые могут быть рассматриваемы как уравнеиия, определяющие интегралы системы (2).

Пользуясь этим, можно показать, что всякая функция от $f$ и $\varphi$, приравненная постоянной величине, также есть интеграл системы (2). В самом соответственно на $\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial f}$ и $\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial \varphi}$ и сложив их, получим
\[
X\left(\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial \tilde{f}} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial \varphi} \frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)+Y\left(\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial \varphi} \frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)+Z\left(\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial f} \frac{\partial f}{\partial z}+\frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial \varphi} \frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)=0,
\]

프
\[
X \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial x}+Y \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial y}+Z \frac{\partial \tilde{\omega}}{\partial z}=0
\]
т. е. е есть интеграл уравневий (2). Обратно, вслкий интеграл уравнепий (2) будет обязателино фунцией от $f$ и $\varphi$. В самом деле, предноложим, что существует интеграл $\tilde{\omega}=\gamma$, который не будет фунцций от $f$ и для $\tilde{\omega}$ имеет место уравнение (6). Іуспь теперь $\omega$ будет произвольнал фунцция от $f$, $\varphi$ и б. Умножим уравнения (5) и (6) соответственно на $\frac{\partial \omega}{\partial f}$. $\frac{\partial \omega}{\partial \varphi}$ и $\frac{\partial \omega}{\partial \tilde{\omega}}$ п сложим; тогда получим:
\[
X \frac{\partial \omega}{\partial x}+Y \frac{\partial \omega}{\partial y}+Z \frac{\partial \omega}{\partial z}=0 .
\]

Следовательно о также будет интегралом уравнений (2). Но ш еси соверснмы друг от друга. Іоэтому можно было бы ввесии $f, \varphi$, б, как новые иеремеьные вместо первовачальнх переменных $x, y, z$, и эти первонячальфункцию от $x, y, z$ шредставить как фувнию от $f, \varphi, \tilde{\omega}$, а проивволікая боразом вместо ш можьо подставить энбую фунццию от $x, y, z$, т. е. всякая функция от $x, y, z$, приравненная постояноий величине, есть интеграл системы (2), что́ невозмолно. Следователно могут существовать только два независимых друг от друга интеграла системы (2), а всякий третий есть функция двух, друг от друга независимых, $f$ и $ю$.

Этим ревультатом можно воспользоваться для того, чтобы из одного вначения множителя $M$ получить все остальные. Пусть $N$ будет вторым значением этого множителя; тогда имеем:
\[
\begin{array}{l}
X \frac{\partial M}{\partial x}+Y \frac{\partial M}{\partial y}+Z \frac{\partial M}{\partial z}+\left\{\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right\} M=0 \\
X \frac{\partial N}{\partial x}+Y \frac{\partial N}{\partial y}+Z \frac{\partial N}{\partial z}+\left\{\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right\} N=0 .
\end{array}
\]

Если умножить второе из этих уравнений на $M$, первое на $N$ и ревультаты вычесть один из другого, то получитея:
\[
0=X\left\{M \frac{\partial N}{\partial x}-N \frac{\partial M}{\partial x}\right\}+Y\left\{M \frac{\partial N}{\partial y}-N \frac{\partial M}{\partial y}\right\}+Z\left\{M \frac{\partial N}{\partial z}-N \frac{\partial M}{\partial z}\right\}
\]

или после деления на $M^{2}$ :
\[
0=X \frac{\partial\left(\frac{N}{M}\right)}{\partial x}+Y \frac{\partial\left(\frac{N}{M}\right)}{\partial y}+Z \frac{\partial\left(\frac{N}{M}\right)}{\partial z} .
\]

Таким обравом $\frac{N}{M}=$ oonst есть интеграл системы (2) и вместе с этим $\frac{N}{M}$ есть функция от $f$ и $\varphi$, или
\[
N=M F(f, \varphi)
\]
т. е., если $\boldsymbol{\text { I }}$ есть одно значение нножителя, то все прочие значения содержатся в форме $M F(f, \varphi)$. Но по предположению $f=\alpha$ и $=\beta$ являются интегралами системы (2) п следовательно $F(f, \varphi)=$ const. Таким образомя если воспольоваться интегральными уравнениями, то различные значени. множителя $M$ будут отличаться друг от друга только постоянным множителем.

Іосмотрим теперь, капие выгоды представляет знание одного значения $M$ IІри помоци его находят не самый интеграл, как это имеет место для оцного дифференциального уравнения с двуня переменными, но, пользуясь уравнениями $A=M X, B=M Y, C=M \mathcal{L}$, находят значения величин
\[
A=\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial \varphi}{\partial z}-\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial \varphi}{\partial y} ; \quad B=\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial \varphi}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial \varphi}{\partial z} ; \quad C=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial \varphi}{\partial y}-\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial \varphi}{\partial x} .
\]

Выгоду отсюда можно извлечь только тогда, көгда одиж интеграл, например $\varphi$, уже известен, а второй $f$ ицется. Вводим вместо одной шеременной, например вместо $z$, выражение $\varphi$, так что $z$ предетавится как функця $\varphi$, $x$ и $y$; согласно с этим предположим искомый интеграл $f$ выраженным через $x, y, \varphi$ и образованные при такой гипотезе частные пропзводные обозначим через $\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right),\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right),\left(\frac{\partial f}{\partial \varphi}\right)$; тогда имеем:
\[
\frac{\partial f}{\partial x}=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial \varphi}\right) \frac{\partial \varphi}{\partial x} ; \frac{\partial f}{\partial y}=\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)+\left(\frac{\partial f}{\partial \varphi}\right) \frac{\partial \varphi}{\partial y} ; \frac{\partial f}{\partial z}=\left(\frac{\partial f}{\partial \varphi}\right) \frac{\partial \varphi}{\partial z}
\]

и для величин $A, B, C$ получаем выражения:
\[
A=\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) \frac{\partial \varphi}{\partial z} ; \quad B=-\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) \frac{\partial \varphi}{\partial z} ; \quad C=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) \frac{\partial \varphi}{\partial y}-\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) \frac{\partial \varphi}{\partial x} .
\]

Из этих последних вытевает, что когда известны интеграл $\rho=\beta$ и одно значение множителя $M$, то можно определить $f$. Действительно, представим себе $f$ выраженным через $x, y$ и $\varphi=\beta$; тогда
\[
d f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) d x+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) d y+\left(\frac{\partial f}{\partial \varphi}\right) d \varphi,
\]

или, так как $d \stackrel{p}{p}=0$,
\[
d f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) d x+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) d y .
\]

Но из вышеполученных уравнений для $A$ и $B$ имеем
\[
\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{A}{\frac{\partial \varphi}{\partial z}} ; \quad\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=-\frac{B}{\frac{\partial \varphi}{\partial z}},
\]

так ч’т0
\[
d f=\frac{A d y-B d x}{\frac{\partial \rho}{\partial z}},
\]

и так как тенерь
\[
A=M X ; \quad B=M Y
\]

то
\[
d f=\frac{M}{\frac{\partial \varphi}{\partial z}}(X d y-Y d x) .
\]

Отсюда получается, как второй иптеграл системы (2), выранение:
\[
\int \frac{M}{\frac{\partial \varphi}{\partial z}}(\mathrm{X} d y-Y d x)=f=\alpha .
\]

Здесь надо предполагать $X$ и $Y$, которые даны как функции от $x, y$ и $z$, выраженныи черев $x, y$ п $\varphi=\beta$. Iри таком предположении $\frac{M}{\frac{\partial \varphi}{\partial z}}$ булет интегрирующия мнокителем дифференцнального уравнения $X d y-Y d x=0$, как это мы видим из уравнения (8). Итақ мы илеен следующую теорему: Если дана система дифференцильны уравнений
\[
d x: d y: d z=X: Y: Z
\]
и. известни, во-первих, один ее интеграл, $\varphi=\beta$, во-вторых, одно зналение множителя $M$ этой системи, удовлетворяющее уравнению в частных производных
\[
\mathrm{X} \frac{\partial M}{\partial x}+Y \frac{\partial M}{\partial y}+Z \frac{\partial M}{\partial z}+\left\{\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right\} M=0,
\]

по выражение
\[
\frac{M}{\frac{\partial !}{\partial z}}
\]

будет интегрируюиия множителем дифференциального уравнения
\[
X d y-Y d x=0,
\]

в предположении, что кан из данного множителя, так $и$ из $X$ и $Y$, исключена переменная $z$ при посредстве уже найденного интеграла $\varphi=\beta$. Эту теорему можно было бы счесть бесполезной; действительно, в то время как для нахождения второго интеграла $f$ требуется решить уравнение в частных производных
\[
X \frac{\partial f}{\partial x}+Y \frac{\partial f}{\partial y}+Z \frac{\partial f}{\partial z}=0
\]

для того, чтобы определить $M$ и из него найти второй интеграл $f$, надо репить гораздо более сложное дифференциальное уравнение:
\[
X \frac{\partial M}{\partial x}+Y \frac{\partial M}{\partial y}+Z \frac{\partial M}{\partial z}+\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right) M=0 .
\]

Таким образом кажется, что более легкая задача приведена в более сложной; однако здесь имеет место одно своеобразное обстоятельство. Дифференциальное уравнение в частных пронзводных, которое определяет $f$, т. е. уравнение
\[
X \frac{\partial f}{\partial x}+Y \frac{\partial f}{\partial y}+Z \frac{\partial f}{\partial z}=0
\]

допускает решение $f=$ const, но это очевидное решение не дает интеграла данной системы и потому должно быть исключено. Такое исключение решения для множителя $I f$ не является необходимым и если например $M$, положенное равным постоянной величине, дает решение уравнения (4), то это значение $M$ можно употребить как множитель так же хоропо, как и всякое другое значение. Случай, когда можно положнть $M=$ const, имеет место, когда
\[
\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}=0
\]

так как тогда уравнение (4) приводится к уравнению
\[
X \frac{\partial M}{\partial x}+Y \frac{\partial M}{\partial y}+Z \frac{\partial M}{\partial z}=0,
\]

так что можно положить $M=$ const равным например единице, и тогда получится теорема:
Если в системе дифференциальных уравнений
\[
d x: d y: d z=X: Y: Z
\]
$X, Y, Z$ представляют функции от $x, y, z$, удовлетворяющие условию
\[
\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}=0 ;
\]

если, далее, известен один интеграл $\varphi=\beta$ данной системы и из этого уравнения $z$ выражен через $x, y, \beta$ найденное значение подставлено B $X, Y, \frac{\partial \varphi}{\partial z}, m_{0}$
\[
\frac{1}{\frac{\partial \varphi}{\partial z}}(X d y-Y d x)=d f
\]

дудет полным дифференциалом и, таким образом, второй интеграл $f=a$ данной системъ найдется простой квадратурой.

Надо упомянуть еще втюрой общий случай, который заключает в себе только-что указанный и в котором $M$ также может быть определено. Именно, если в уравнение (4), имеющее место для $M$, после того как это уравнение делением на $M X$ приведено к форме
\[
\frac{1}{M}\left(\frac{\partial M}{\partial x}+\frac{Y}{X} \frac{\partial M}{\partial y}+\frac{Z}{\mathrm{X}} \frac{\partial M}{\partial z}\right)+\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right)=0,
\]

ввести значения
\[
\frac{Y}{X}=\frac{d y}{d x} ; \quad \frac{Z}{X}=\frac{d z}{d x},
\]

следующие из данной системы (2), то получится
\[
\frac{1}{M}\left(\frac{\partial M}{\partial x}+\frac{\partial M}{\partial y} \frac{d y}{d x}+\frac{\partial M}{\partial z} \frac{d z}{d x}\right)+\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right)=0,
\]

ทли
\[
\frac{1}{M} \frac{d M}{d x}+\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right)=0,
\]

или наљонец
\[
\frac{d \lg M}{d x}+\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right)=0 .
\]

Если теперь $\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right)$ есть полная производная, взятая по $x$, т. е. вида $\frac{d \xi}{d x}$, то мы имеем:
\[
\frac{d \lg M}{d x}+\frac{d \xi}{d x}=0 ; \quad M=C e^{-\xi} .
\]

Отсюда подучаетея теорема:
Пусть дана система
\[
d x: d y: d z=X: Y: Z
\]

пусть далее выражение
\[
\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right)
\]

равно $\frac{d \xi}{d x}$, т. е. равно капой-нибудь полной производной по $x ;$ наконец, пусть. $\varphi=\beta$ есть известный интеграл систежы; тогда выражение
\[
\frac{e^{-\xi}}{\frac{\partial \varphi}{\partial z}}(\boldsymbol{X} d y-Y d x)
\]

есть полный дифференциал, в предположении, что здесь всё выражено в х и у при посредстве интеграла $\varphi=\beta$. Этот результат можно выразить конечно еще и так, что обе переменные дифференциального выражения, для которого дается интегрирующий множитель, будут не $x$ и $y$, а $x$ и $z$ или $y$ и $z$.

Мы дадим цримеры этих теорем. Пусть сначала надо пропнтегрировать обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, именно
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=f\left(x, y, \frac{d y}{d x}\right)=u \text {. }
\]

Если ввести новую переменную $z=\frac{d y}{d x}$, то получим два уравнения:
\[
\frac{d y}{d x}=z ; \frac{d z}{d x}=u \text {. }
\]

Таким образом
\[
d x: d y: d z=1: z: u
\]

и потому, согласно прежним обозначениям,
\[
X=1 ; \quad Y=z ; \quad Z=u .
\]

Чтобы можно было применить первую из выведенных теорем, должно быть
\[
\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}=0 ;
\]

но в рассматриваемом случае $\frac{\partial X}{\partial x}=0, \frac{\partial Y}{\partial y}=0, \frac{\partial Z}{\partial z}=\frac{\partial u}{\partial z}$, так что имеет место условие
\[
\frac{\partial u}{\partial z}=0
\]
т. е. в $u$ не должно входить $z$ пли, что то же, $\frac{d y}{d x}$. Сделав это допущение, получаем теорему:
IIредположия, ито дано дифференциальное уравнение
\[
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=f(x, y)
\]

где $f$ не содержит $\frac{d y}{d x}$ и известен один его первый интеграл
\[
\varphi\left(x, y, \frac{d y}{d x}\right)=\alpha,
\]

который, будучи решен относительно $\frac{d y}{d x}$, дает
\[
\frac{d y}{d x}=\psi(x, y, \alpha)
\]

или

тогда выражение
\[
d y-\psi(x, y, \alpha) d x=0
\]
\[
\frac{1}{\frac{\partial \varphi}{\partial \frac{d y}{d x}}},
\]

представленное как функция от $x, y$ и будет интегрирующим множителем этого дифференциального уравнения.

Пример на вторую теореиу дает вариациовное исчисление. Простейшая его задача есть та, в которой интеграл
\[
\int \psi\left(x, y, \frac{d y}{d x}\right) d x
\]

должен быть максимумом или минимумом. Эта задача приводит к дифференциальным уравнениям
\[
\frac{d \frac{\partial \psi}{\partial y^{\prime}}}{d x}=\frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad y^{\prime}=\frac{d y}{d x} .
\]

Первое из них, представленное в раввернутом виде, дает
\[
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x \partial y^{\prime}}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y \partial y^{\prime}} y^{\prime}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{\prime 2}} \frac{d y^{\prime}}{d x}=\frac{\partial^{2}}{\partial y} ;
\]

таким образом
\[
\frac{d y^{\prime}}{d x}=\frac{\frac{\partial \psi}{\partial y}-\frac{\partial^{2} \Psi}{\partial x \partial y^{\prime}}-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y \partial y^{\prime}} y^{\prime}}{\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{\prime 2}}}=u
\]

или, если для краткости положить
\[
v=\frac{\partial^{\psi}}{\partial y}-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x \partial y^{\prime}}-\frac{\partial^{2} \Psi}{\partial y \partial y^{\prime}} y^{\prime}=\frac{\partial^{2} \Psi}{\partial y^{\prime 2}} \frac{d y^{\prime}}{d x},
\]
ro
\[
\frac{d y^{\prime}}{d x}=\frac{v}{\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{\prime 2}}}=u \text {. }
\]

Но кроме того
\[
\frac{d y}{d x}=y^{\prime}
\]

поэтому
\[
d x: d y: d y^{\prime}=1: y^{\prime}: u .
\]

Здесь $y^{\prime}$ стокт на месте переменной, выпе обозначенной через $z$, и таким образом
\[
X=1 ; \quad Y=y^{\prime} ; \quad Z=u .
\]

Чтобы можно было ирименить вторую теорему, выражение
\[
\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right)
\]

должно быть полной производной по $x$. В рассматриваемом случае оно равно
\[
\frac{\partial u}{\partial y^{\prime}},
\]

и следовательно, спрашивается, может ли $\frac{\partial u}{\partial \bar{y}^{\prime}}$ быть предетавлена как полная производная по $\dot{x}$. Имеем
\[
u=\frac{v}{\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{\prime 2}}},
\]

так что
\[
\frac{\partial u}{\partial y^{\prime}}=\frac{\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{\prime 2}} \frac{\partial v}{\partial y^{\prime}}-\frac{\partial^{3}}{\partial y^{\prime 3}} v}{\left(\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{\prime 2}}\right)^{2}}
\]

должен быть максимумом или минимумом. Эта задача гриводит к дифференциальным уравнениям
\[
\frac{d \frac{\partial \psi}{\partial y^{\prime}}}{d x}=\frac{\partial \psi}{\partial y}, \quad y^{\prime}=\frac{d y}{d x} .
\]

Первое из них, представленное в развернутом виде, дает
\[
\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x \partial y^{\prime}}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y \partial y^{\prime}} y^{\prime}+\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{\prime 2}} \frac{d y^{\prime}}{d x}=\frac{\partial^{2}}{\partial y} ;
\]

таким обрразом
\[
\frac{d y^{\prime}}{d x}=\frac{\frac{\partial \psi}{\partial y}-\frac{\partial^{2} \Psi}{\partial x \partial y^{\prime}}-\frac{\partial^{2} \Psi}{\partial y \partial y^{\prime}} y^{\prime}}{\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{\prime 2}}}=u
\]

или, если для краткости положить
\[
v=\frac{\partial^{\psi}}{\partial y}-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial x \partial y^{\prime}}-\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y \partial y^{\prime}} y^{\prime}=\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{\prime 2}} \frac{d y^{\prime}}{d x},
\]

To
\[
\frac{d y^{\prime}}{d x}=\frac{v}{\frac{\partial^{2} \psi}{\partial y^{\prime 2}}}=u \text {. }
\]

Но кроме того
\[
\frac{d y}{d x}=y^{\prime}
\]

поэтому
\[
d x: d y: d y^{\prime}=1: y^{\prime}: u .
\]

Здесь $y^{\prime}$ стоит на месте переменной, выше обозначенной через $z$, и таким образом
\[
\mathrm{X}=1 ; \quad Y=y^{\prime} ; \quad Z=u .
\]

Чтобы можно было применить вторую теорему, выражение
\[
\frac{1}{X}\left(\frac{\partial X}{\partial x}+\frac{\partial Y}{\partial y}+\frac{\partial Z}{\partial z}\right)
\]

должно быль полной проивводной шо $ж$. В рассматриваемом случае оно равно
\[
\frac{\partial u}{\partial y^{\prime}} \text {, }
\]

и следовательно, спрашивается, может ли $\frac{\partial u}{\partial y^{\prime}}$ быть представлена как полная пропзводная по $x$. Имеем

так что
\[
\frac{\partial u}{\partial y^{\prime}}=\frac{\frac{\partial^{2} \Psi}{\partial y^{\prime 2}} \frac{\partial v}{\partial y^{\prime}}-\frac{\partial^{3} \Psi}{\partial y^{\prime 3}} v}{\left(\frac{\partial^{2} \Psi}{\partial y^{\prime 2}}\right)^{2}}
\]
72

по выражение
\[
\frac{1}{\frac{\partial \varphi}{\partial \frac{d y}{d x}}} \cdot \frac{\partial^{2} \Psi}{\partial y^{\prime 2}},
\]

представленное как функиия от $x, y$ и а, есть интегрируюгий множитель этого дифференииального уравнения.

К этой категории задач максимума или минимума принадлежит например определение вратчайшей линии на данной поверхности. Эта задача приводит к дифференциальном уравнению второго порядка; если известен один интеграл этого уравнения, то можно огределить множитель того дифференциального уравнения первого порядка, которое остается еще проинтегрировать.

Всё, что было сказано до сих пор о простейшем случае вариационного исчисления, можно распространить на самый общий случай, в котором под знаком интеграла стопт функция, содержащая произвольно большое число переменных $y, z, u \ldots$, зависящих от одной переменной $x$, и сверх того еще производные до какого угодно высокого порядка от этих переменных. Когда такая задача сведена к дифференциальному уравнению первого порядка с двумя переменными, то последнее интегрирование также может быть вышолнено. Но, чтобы получить этот результат, необходимо привести некоторые теоремы относительно выражений, которые встречаютея шри решении линейных уравнений и которые навваны Лашласом результантами, Гаусам – оределителями и Коши – альтернативными функциями.