Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Чтобы в заключение показать на особенно важном примере всю ьилу подстановки, разобранной в двадцать шестой лекци и давшей нам уже репение ряда механических задач, мы ее применим к теореме Абеля. Эта теорема относится $к$ некоторой системе обыкновенных дифференциальных уравнений и дает две различные системы ее интегральных уравнений, ив которых оцна выражается через трансцендентные функции, другая – цисто алгебраически. Эти пве системы интегральных уравнений, так различные по своей форме, тем не менее вполне тождественны. Iо напему методу система обыкновениы дифференциальны уравнений сводится к одному уравнению в частных производных первого порядка, затем ицется полное решение этого уравнения, и производные, взятые от этого решения по произвольным постоянным, дают систему интегральных уравнений. Но решение уравнения в частных производных может принимать чрезвычайно разняциеся друг от друга формы; разыскивая эти различные формы, мы получаем различные по виду системы интегральных уравнениї, которые однако должны по своему значению совпадать друг с другом. Это и есть тот путь, следуя воторым мы будем доказывать теорему Абеля. Мы будем исходить ив уравнения в частных производных соответствющего при $u=3$ простейшей механической задаче- ирямолинейному равномерному движению точи в пространстве. Оно заменяет обыкновенные дифференциальные уравнения Если восшользоватся подстановкой, данной в двадцать шестой лекции, то получится теорема Абеля и притом в более наглядной форме, чем та; в которой она дана Абелем. Тақ как в уравнение (1) сами переменные $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ не входял, то полное репение $V$ получим, полагая В самом деле, тогда постоянные $\alpha_{1}, x_{2}, \ldots \alpha_{n}$ должны только удовлетворятк. условию так что и поэтому $V$ содержит, не счптая постоянной, которую можно еще прибавить, $n$ – 1 постоянных; следовательно это есть полное репение. Как интегральные уравнения, мы получим следующие: ท.งи мли наконец, подставляя последнее уравнение в остальные, Іри $n=3$ это в самом деле будут уравнения прямолинейного движения. Здесь не видно непосредственно, каким обравом в этом уравнении переменные могут быть отделены друг от друга. Но надо только, вспомнив данную в двадцать шестой лекции (стр. 179) вспомогательную теорему из теории простейших дробей, составить следующую вытекающую из нее формулу в которой $c, c_{1}, \ldots c_{n-2}$ обозначают проиввольные постоянные, и это выражение для $\frac{1}{2} h$ подставить в (4). Если удовлетворить получающемуся отсюда уравнению чриравнивал друг цругу соответствующие члены обеих частей, и таким образом рұзложить уравневие в частных производных (6) на $n$ обыкновенных дифференциальных уравнений лде $i=1,2, \ldots n$, то для $V$ получитея следующее полное решение: а отсюда следуют интегральные уравнения жоторые носле введения обозначения иримут вид: Эти выражения являютея трансцендентными интегральными уравнениям дыя системы обыкновенных дифференцильных уравнений в то время как выражения (3) представляют алгебраические интегральные уравнения той же системы. В этом алгебраическом кнтегрировании дифференциальных уравнений (9) и состоит теорема Абеля; притом здесь она является в форме, имеющей перед формой, данной первоначально Абелем, то преимущество, что она сущетвенно облегчает, иначе связанные с большими затруднениями, исследования как относительно веществености переменыш, так и отпосительно границ, внутри которых надо их брать. Шоэтому вышешриведенное докавательство теоремы Абеля дало нечто существенно новое, и если Рипело позже из самой теоремы Абеля смог вывести те же следствия, 1 то всё же данный здесь путь есть тот, который приводит к ним напбодее естествепным обрагом. Так как постоянные $c, c_{1}, \ldots c_{n-2}$ совершенно шроиввольны, то вх падо ошределить тақ, чтобы стоящне под янаком корня выражения $f\left(\lambda_{1}\right)$ были положительны и вместе с бтим все интегралы стали веществешными. Из предыдущего теорема Абеля полутится еще не совсем поліостью; действительно, функция $f(\lambda)$ есть фунция ( $2 n-1$ )-й степени, т. е. нечетгой, и поэтому необходимо особо рассмотреть эугой случий, являющийся здесь как более общий, когда $f(\lambda)$ будет $2 n$-й стенепи. Мы получим его таким образом, что в правой части уравневия в частых производвых (1) * постоянной $2 h$ прибавляем еще другие члевы. Іримепевный метод пвтегрирования остается допустимым, если к $h$ црибавить сумм квадратов $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}$, умноженную па постоянную величину $k$ В переменных $\lambda$ это выражение иринимает такую форму: в, вводя вместо $h$ новую постоянную мы должны теперь в правую часть уравнения (4) вместо $\frac{1}{2} k$ подетавигь выражение Еслн это уравнение преобравовать при помопи вынеупомянутой всномогательной теоремы, подобно тому, как это было сделано для уравнения (5), то окажется, что в правых частях уравнений (5) и (6) произойдет только то ивменение, что под зваком сумыы в числителе прибавится член п $h$ превратитея в $h^{\prime}$. Поэтому в трансцендентых интегрзлины уравиения (8) теоремы Абеля теперь па меспе прежней фуєиии ( $2 n-1$ )-й степенн $f(\lambda)$ стоит фунцция $2 n$-й степени: Алгебраптески интегральные уравнения в этом случае будут несколько более сложный. Уравнение в частых производных, выражепное в переменпых $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$, имеет вид: п поэтому может быть разложено на следующие уравнения: где Отсюда находии Іредставим себе теперь, что при помощи вышенашисанного соотношения $\beta_{n}$ выражено через $h$ и прочие $\beta$, и обозначим взятые при этом предположении производные от $V$ скобками; тогда обыкновенные дифференциальные уравнения, соответствующие уравнению в частных проивводных (11), имеют следующие интегралы: Если же производные от $V$, прп образовапии которых не принимается во ппиапие соотнопение, имеющее место между величинами $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots \beta_{23}$, обопачать без скобок, то получатся равенства: Поютоиу, вводя для постоянных $2 \beta_{1}{ }^{\prime}-\tau, 2 \beta_{2}{ }^{\prime}-\tau, \ldots-\tau$ – обозпачение $\tau_{1}$, $\tau_{g}, \ldots \tau_{n}$. можем придать интегральным уравнениям симметричный вид: Эти уравнения конечно не выражают неносредственно алгебраической зависимости между перененными $x$. Но эта зависимость тотчас же выявится, как только мы определим значения интегралов, которые приводятся либо все к дугам круга, либо все к логарифмам, и заметим, что получающиеся отсюда значения переменных $x$ будут выражаться либо все через синусы и коскнусы, лио́ все через показательные величины, аргумент которых представляет произведение $t$ на одну и ту же постоянную. Поэтому, исключая $t$ из вынепашисанных уравнений, мы получим алгебрапческие соотношения. Значениям переменных $x$ можно дать следующую форму: Соотношения, получаемые исключением $t$ из этих равенств, могут быть так представлены, что только одно из них будет второй степени, а все остальные линейны относительно $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$. Система обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствуюцая уравнению в частных производных (11), будет следующая: Таким образом из предыдущего видим, что если исходить из дифференциальных уравнений (9), выраженных через переменные $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$, в предположении, что $f(\lambda)$ есть целая функция $2 n$-й степени (10) от $\lambda$, и сделать замену переменных $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$ через $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$, то мы должны придти к этим простым дифференциальным уравнениям (12) с переменными $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$. Такой способ исстедования я применил в своей статье о теореме Абеля в 29-м томе Журнала Крелля, не касаясь однако раскрытых здесь исходшых точек. Подобным же образом Лагранж в первом томе туринских мемуаров, в статье о притяжении к двум нецодвижным центрам, доказал основную теорему относительно эллиптических травсцевдентностей, составляющую частшый случай ( $n=2$ ) этого исследования.
|
1 |
Оглавление
|