Мы переходим теперь к движению точки, притягиваемой двумя нешодвижными центрами. Ограничимся сначала тем случаем, когда движение происходит в плоскости, что будет всегда иметь место, если направление начальной скорости лежит в одной плоскости с прямой, соединяющей неподвижнье центры. эту прямую возьмем за ось $x_2$; прямую перпендикулярную к ней, проходящую посредине между шеподвижными, отстоящими друг от друга на $2f$ центрами, возьмем за ось $x_1$. Выразим теперь $x_1$ и $x_2$ через ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$ и внберем постоянные $a_1$ и $a_2$, входяцие в подстановку, так, что оба неподвижные центра попадают в фокусы софокусной еистемы: тогда мы придем к интегрированию дифференциального уравнения
$$\frac{(a_1+{\lambda }_1)(a_2+{\lambda }_1)}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}{\left(\frac{\partial W}{\partial {\lambda }_1}\right)}^2+\frac{(a_1+{\lambda }_2)(a_2+{\lambda }_2)}{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{\left(\frac{\partial W}{\partial {\lambda }_2}\right)}^2=\frac{1}{2}l+\frac{1}{2}h,$$

пе $l$ тақж должно быть выражено через ${\lambda }_1$ п ${\lambda }_2$.
Пусть $r$ и $r_1$ будут расотолпия притлгиваемой точи от обоих центров; тогда мы имеем

พมก
$$r^2={(x_2+t)}^2+x_1{}^2,r_1{}^2={(x_2-f)}^2+x_1{}^2$$
$$r^2=x_1{}^2+x_2^2+f^2+2f{x}_2:r_1^2=x_1^2+x_2^2+f^2-2f{x}_2.$$

По основному свойству эллинса
$$f^2=(a_2+{\lambda }_1)-(a_1+{\lambda }_1)=a_2-a_1;$$

кроме того подетановка
$$r_1=\sqrt{\frac{(a_1+{\lambda }_1)(a_1+{\lambda }_2)}{a_1-a_2}},x_2=\sqrt{\frac{(a_2+{\lambda }_1)(a_2+{\lambda }_2)}{a_2-a_1}}$$

дает, как мы знаем, уравнение
$$x_1^2+x_2^2=a_1+a_2+{\lambda }_1+{\lambda }_2$$

поәтому будем иметь:
$$\begin{array}{rl}{r}^2=x_1^2+x_2^2+f^2+& -2f{x}_2=2a_2+{\lambda }_1+{\lambda }_2+2\sqrt{(a_2+{\lambda }_1)(a_2+{\lambda }_2)}=\\ & ={\{\sqrt{a_2+{\lambda }_1}+\sqrt{a_2+{\lambda }_2}\}}^2\\ r_1^2=x_1^2+x_2^2+f^2& -2f{x}_2=2a_2+{\lambda }_1+{\lambda }_2-2\sqrt{(a_2+{\lambda }_1)(a_2+{\lambda }_2})=\\ & ={\{\sqrt{a_2+{\lambda }_1}-\sqrt{a_2+{\lambda }_2}\}}^2.\end{array}$$
l’акиу образом:
$$r=\sqrt{a_2+{\lambda }_1}+\sqrt{a_2+{\lambda }_2}:r_1=\sqrt{a_2+{\lambda }_1}-\sqrt{a_2+{\lambda }_2}.$$

јади подетавить әти выражения в силовую фунвцию
$$U=\frac{m}{r}+\frac{m_1}{r_1}=\frac{m{r}_1+m_{1}r}{r{r}_1}.$$

го получитед
$$I=\frac{(m+m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_1}-(m-m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_2}}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}$$

Нсли нодетавим то значение $U$ в уравнение в частных производных (1) и умножим на ${\lambda }_1-{\lambda }_2$, то получим:
$$\begin{array}{r}(a_1+{\lambda }_1)(a_2-{\lambda }_1){\left(\frac{\partial W}{\partial {\lambda }_1}\right)}^2-(a_1+{\lambda }_2)(a_2+{\lambda }_2){\left(\frac{\partial W}{\partial {\lambda }_2}\right)}^2=\\ & =-\frac{1}{2}h{\lambda }_1+\frac{1}{2}(m+m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_1}-\\ & -\{\frac{1}{2}h{\lambda }_2+\frac{1}{2}(m-m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_2}\end{array}\}$$

и так как, введя произвольную постоянную $\beta$, можем разбить это уравнение на два обыкновенных дифференциальных уравнения:
$$\begin{array}{l}{\left(\frac{\partial W}{\partial {\lambda }_1}\right)}^2=\frac{\frac{1}{2}h{\lambda }_1+\frac{1}{2}(m+m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_1}+\beta }{(a_1+{\lambda }_1)(a_2+{\lambda }_1)}\\ {\left(\frac{\partial W}{\partial {\lambda }_2}\right)}^2=\frac{\frac{1}{2}h{\lambda }_2+\frac{1}{2}(m-m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_2}+\beta }{(a_1+{\lambda }_2)(a_2+{\lambda }_2)}\end{array}$$

то поғучим:
$$\begin{array}{c}W=\int d{\lambda }_1\sqrt{\frac{\frac{1}{2}h{\lambda }_1+\frac{1}{2}(m+m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_1}+\beta }{(a_1+{\lambda }_1)(a_2+{\lambda }_1)}}+\\ +\int d{\lambda }_2\sqrt{\frac{\frac{1}{2}h{\lambda }_2+\frac{1}{2}(m-m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_2}+\beta }{(a_1+{\lambda }_2)(a_2+{\lambda }_2)}}.\end{array}$$

Еели мы хотим телерь’ избавиться от иррациональности под знаком квадратного корня. тก полагаем
$$\sqrt{a_2+{\lambda }_1}=p,\sqrt{a_2+{\lambda }_2}=q,$$

и получаем:
$$\begin{array}{rl}W& =\int dp\sqrt{\frac{2(h{p}^2+(m+m_1)p+2\beta -h{a}_2)}{p^2-f^2}}+\\ & +\int dq\sqrt{\frac{2(h{q}^2+(m-m_1)q+2\beta -h{a}_2)}{q^2-f^2}}.\end{array}$$

Из равенства (4) получатся интегральные уравнения в форме:
$${\beta }^{\prime }=\frac{\partial W}{\partial \beta };t-\tau =\frac{\partial W}{\partial h}.$$

Лагранж в первом томе туринских мемуаров старалея найти такисилы, которые можно присоединить в притяжению в двум неподвижным центрам, чтобы эйлерово решение задачи иродолжало иметь место. Хотя это исследование не шривело ни к какому существенному результату, тем не менее оно представляет огромный интерес и притом не только при тог-
дапнеи состоянии најки, но и в настоящее врен. Син, которую можно присоединить согласно Лагранж, есть прияжение, направленное х точке, гежащей посредине между ббоими нешодвияными центрами и пропорииопалное расстоянию. Это вполне согласуетея с тем, что мы нашли пля гратчайпей линии на аллипсоде. Действитепно, багодаря этой силе в сиювую фуніцию войдет член
$$\frac{1}{2}k(x_1^2+x_2^2)=\frac{1}{2}k({\lambda }_1+{\lambda }_2+{\dot{a}}_1+a_2),$$

следовательно в правую часть уравнения в частных проивводных, т. е. в $\frac{1}{2}U({\lambda }_1-{\lambda }_2){}_2$ войдет выражение $\psi \left({\lambda }_1\right)-\psi \left({\lambda }_2\right)$, если положить $\psi (\lambda )=$ $=\frac{1}{4}k\{{\lambda }^2+(a_1+a_2)\lambda \}$. Притом $\psi \left({\lambda }_1\right)$ н $\psi \left({\lambda }_2\right)$ будут тогда соответственно членами, на воторые возрастут числнтели под знаками квадратных корней. в интегралах, взятых по ${\lambda }_1$ п ${\lambda }_2$ в выражении (4) для $W$.

При помощи вышенаписанных формул мы решили голностью задачу притяжения точки к двум нешодвижным цептрам, когда движение происходит в плоскости; теперь остается только свести более общий случай к этому. Әто достигается при помощи принципа площадей.

Чтобы рассмотреть задачу в ее напбольшей общности, мы предположим. что точка притягивается не, двумя, а произвольным числом пеподвнжных. центров, лежащих на одной прямой. В этом случае, и даже в более общем, когда присоединяется еще постоянная сила, параллельная той же прямой, имеет место принцип площадей по отношению к плоскости, перпепдикулярной в этой црямой. Если теперь начальная скорость движущейся точки лежит в одной плоскости с этой прямой, то всё движение происходит в этой плоскости, и нет необходимости приненять теорему площадей. Напротив, если начальная скорость не лежит в одной плоскости с той прямой, то точка описывает кривую двоякой кривизны. Іри этом очень выгодно разложить движение на два; в самом деле, предположим, что через точку и терез прямую, содержащую центры, проведена плоскость; предетавим себе, что эта шлокость врацается вогруг прямой и кроме того точка двигается по врацаюцейся плоскости. Это разложение, которое возможно при всех обстоятельствах, в общем случае не дает пикакого ущрощения, но в рассматриваемом случае можно, благодаря принципу площадей, совершенно отделить движение точки в поскости от врацательного движения, так что мы разыскиваем сначала движение точки по плоскости, а шоеле того как оно найдено, получаем простой квадратурой угол вращения этой плоскости (отсчитанный от некоторого огределенного ее положения). Дифференциальные уравнения движения точки но вращающейся шлоскости отличаются, как мы увидим, от дифференциальных уравнений, получаемых, когда движение вообще остается илоским, только тем, что присоединяетея член, пропорциональный $\frac{1}{r^3}$, где $r$ обозначает расстояние точки от прямой, содержащей центры. Пусть эта прямая, содержацая неподвижные центры, будет ось $x$; представим далее уравнения движения точки, не выпсывая на самом теле выражения для сил, в обычном виде формулами
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=X,\frac{d^{2}y}{d{l}^2}=Y,\cdot \frac{d^{2}z}{d{t}^2}=Z;$$

тогда имеет место условное уравнение
$$yearrow-zY=0.$$
Это уравнение, которое говорит, что силы $Y,Z$ так относятся друг к другу, как координаты $y,z$, т. е. что направление их равнодействующшх проходит через ось $x$, равносильно принциу плопадей; в самом деле, положим $\frac{d^{2}y}{d{t}^2}$ и $\frac{d^{2}z}{d{t}^2}$ вместо $Y$ и $Z$, тогда получим:
$$y\frac{d^{2}z}{d{t}^2}-z\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=0$$
а. отсюда ннтегрированием найдем
$$y\frac{dz}{dt}-z\frac{dy}{dt}=\alpha .$$

Чтобы теперь отделить движение точки в плоскости, проходящей через ось $x$; от вращательного движения этой плоскости, мы должны положить
$$y=r\cos \phi ,z=r\sin \phi ,$$

так что $x,r$ обозначают координаты точки на вращающейся плоскостк — үгол вращения, отсчитываемый от плоскости $x,y$. Тогда имеем:
$$\begin{array}{c}r=\sqrt{y^2+z^2};\frac{dr}{dt}=\frac{y\frac{dy}{dt}+z\frac{dz}{dt}}{\sqrt{y^2+z^2}}\\ \frac{d^{2}r}{d{t}^2}=\frac{y\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+z\frac{d^{2}z}{d{t}^2}}{\sqrt{y^2+z^2}}+\frac{{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2}{\sqrt{y^2+z^2}}-\frac{{(y\frac{dy}{dt}+z\frac{dz}{dt})}^2}{{(y^2+z^2)}^{\frac{3}{2}}}.\end{array}$$

Два последние члена, будучи соединены в один, дают:
$$\frac{(y^2+z^2)\{{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2\}-{(y\frac{dy}{dt}+z\frac{dz}{dt})}^2}{{(y^2+z^2)}^{\frac{3}{2}}}$$

откуда, па основании известной формулы
$$(y^2+z^2)\{{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2\}={(y\frac{dy}{dt}+z\frac{dz}{dt})}^2+{(y\frac{dz}{dt}-z\frac{dy}{dt})}^2$$

получаем:
$$\frac{{(y\frac{dz}{dt}-z\frac{dy}{dt})}^2}{{(y^2+z^2)}^{-\frac{3}{2}}}$$

восподвовавиись теперь теоремой площадей, окончательно получаем выр-женге
$$\frac{{\alpha }^2}{r^3}\text{. }$$

Таким образои мы имеем уравнение:
$$\frac{d^{2}r}{d{t}^2}=\frac{y\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+z\frac{d^{2}z}{d{t}^2}}{\sqrt{y^2+z^2}}+\frac{{\alpha }^2}{r^3}=\frac{yY+zZ}{r}+\frac{{\alpha }^2}{r^3}.$$

Нусть теперь $R$ будет сила, действующая на точку в направлении, перпендикулярном оси $x$, т. е. равнодействующая сил $Y^{\ast }$ и $Z$; тогда ищеем
$$\begin{array}{c}Y=\frac{y}{r}R,Z=\frac{z}{r}R,\\ yY+zZ=\frac{y^2+z^2}{r}R=rK,\end{array}$$

и ноэтому
$$\frac{d^{2}r}{d{t}^2}=R+\frac{{\alpha }^2}{r^3}.$$

Таким образом мы получим оба уравнения движения точки по вращающейся плоскости в виде
$$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=X,\frac{d^{2}r}{d{t}^2}=R+\frac{{\alpha }^2}{r^3}.$$

Так как теперь в расматриваемом нами случае силы совершенно не зависят от угла врацения $\phi$, то $X$ и $R$ зависят только от $x$ и $r$. Поэтому мы можем эти оба уравнения интегрировать самостоятельно, и определив при помощи интегральных уравнений $x$ и $r$ кав фунццй от $t$, получим из теоремы площадей угол вращения $\phi$. Эта теорема после введения $r$ и ‘p приобретает вид:
$$r^2\frac{d\phi }{dt}=\alpha$$

так что ; определитея формулой
$$\phi =a\int \frac{dt}{r^2}.$$

Слецовательно мы свели первоначальную систему дифференциальных уравнений шестого порядка в $x,y,-z,t$ к системе четвертого порядка в $x,r,t$, и так как в нее $t$ явно не входит, то ее можно привести в системе третьего порящка, придав ей форму
$$dx:dr:d{x}^{\prime }:d{r}^{\prime }=x^{\prime }:r^{\prime }:X:(R+\frac{{\alpha }^2}{r^3}).$$

Если мы знаем два интеграла этой системы, то третий получим по принипу последнего множителя, а после этого найдем время помощью одной квадратуры. Если например все переменные $x,x^{\prime }$ и $r^{\prime }$ выражены через $r$, то можно еще до того, как $r$ выражено через $t$, представить, при помощи равенства
$$t=\int \frac{dr}{r^{\prime }}$$

ке кағ взятый по $\vartheta$ интеграл
$$\phi =\alpha \int \frac{dr}{r^2{r}^{\prime }}.$$

Чтобы тешерь шолностью решить задачу, нужно только знать два интеграла системы третьего порядка (7). Но один из этих интегралов дает теорема живой силы, которая, как известно, всегда имеет место при притяжениях к неподвижным центрам и при взаимных притяжениях. В самом деле, в уравнении
$$\frac{1}{2}\{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2\}=\int (Xdx+Ydy+Zdz)$$

шоложим цля рассматриваемого случая
$$\begin{array}{c}Y=\frac{y}{r}R;Z=\frac{z}{r}R;\\ Ydy+Zdz=R\frac{ydy+zdz}{r}=R_{1}dr;\end{array}$$

далее имеем
$${\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2={\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2+{\mathit{r}}^2{\left(\frac{d\phi }{dt}\right)}^2,$$

йи, так как по принцищу шлощадей $\frac{d\rho }{dt}=\frac{\alpha }{r^2}$, то
$${\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dz}{dt}\right)}^2={\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2+\frac{{\alpha }^2}{r^2}.$$

и следовательно получим:
$$\frac{1}{2}\{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2\}=\int (Xdx+Rdr)-\frac{1}{2}\frac{{\alpha }^2}{r^2}$$

эо и есть интегральное уравнение системы (7).
Тешерь дело сводится к тому, чтобы найти еще один интеграл; следовательно задача притяжения точки любым числом неподвижных центров, лежащих на одной прямой, цричем на эту точку может кроме того действовать еще постоянная сила, шараллельная той прямой, приводится к разысканию одного интегрального уравнения некоторой системы второго порядка.

Если имеются только два неподвижных центра, то мы пайдем это интегральное уравнение по методу, изложеншому в начале этой лекции. Координаты $x$ и $r$ будут те самые, которые выше обозначены через $x_2$ и $x_1$, но силовая функция уже не будет бодыше та же самая. Когда все движение происходит в плоскости, то ее значение будет $\int (Xdx+Rdr)$; теперь же приеоединяется член $-\frac{1}{2}\frac{{\alpha }^2}{r^2}$ или, согласно прежнему обозначению,
$$-\frac{1}{2}\frac{{\alpha }^2}{x_1^2}.$$

Для того, чтобы дифференциальное уравнение (1), после присоединения этого члена к силовой функции, можно было бы всё же интегрировать по прежнему методу, этот член должен допускать приведение к форме
$$\frac{1}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}[\chi \left({\lambda }_1\right)+\psi \left({\lambda }_2\right)]$$

и это на самом деле имеет место, так как согласно равенству (2)
$$x_1^2=\frac{(a_1+{\lambda }_1)(a_1+{\lambda }_2)}{a_1-a_2},$$

и разложением на простейшие дроби получим:
$$-\frac{1}{2}\frac{{\alpha }^2}{x_1^2}=\frac{1}{2}{\alpha }^2\frac{a_2-a_1}{(a_1+{\lambda }_1)(a_1+{\lambda }_2)}=-\frac{1}{2}{\alpha }^2\frac{a_2-a_1}{{\lambda }_1-{\lambda }_2}\{\frac{1}{a_1+{\lambda }_1}-\frac{1}{a_1+{\lambda }_2}\}.$$

Такнм обравом к правой части уравнения (3) или, что то же, $к\frac{1}{2}U({\lambda }_1-{\lambda }_2)$ присоединяется выражение
$$-\frac{1}{4}{\alpha }^2(a_2-a_1)\{\frac{1}{a_1+{\lambda }_1}-\frac{1}{a_1+{\lambda }_2}\}=-\frac{1}{4}{\alpha }^2{f}^2\frac{1}{a_1+{\lambda }_1}+\frac{1}{4}{\alpha }^2{f}^2\frac{1}{a_1+{\lambda }_2},$$

н поэтому мы получим тешерь следующее уравнение в частных пронвводных:
$$\begin{array}{l}(a_1+{\lambda }_1)(a_2+{\lambda }_1){\left(\frac{\partial W}{\partial {\lambda }_1}\right)}^2-(a_1+{\lambda }_2)(a_2+{\lambda }_2){\left(\frac{\partial W}{\partial {\lambda }_2}\right)}^2=\\ =\frac{1}{2}h{\lambda }_1+\frac{1}{2}(m+m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_1}-\frac{1}{4}{\alpha }^2{f}^2\frac{1}{a_1+{\lambda }_1}\\ -\{\frac{1}{2}h{\lambda }_2+\frac{1}{2}(m-m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_2}-\frac{1}{4}{\alpha }^2{f}^2\frac{1}{a_1+{\lambda }_2}\}.\end{array}$$

Из этого уравнения получится:
$$\begin{array}{rl}W& =\int d{\lambda }_1\sqrt{\frac{\frac{1}{2}h{\lambda }_1+\frac{1}{2}(m+m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_1}-\frac{1}{4}{\alpha }^2{f}^2\frac{1}{a_1+{\lambda }_1}+\beta }{(a_1+{\lambda }_1)(a_2+{\lambda }_1)}}+\\ +\int d{\lambda }_2\sqrt{\frac{\frac{1}{2}h{\lambda }_2+\frac{1}{2}(m-m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_2}-\frac{1}{4}{\alpha }^2{f}^2\frac{1}{a_1+{\lambda }_2}+\beta }{(a_1+{\lambda }_2)(a_2+{\lambda }_2)}}\end{array}\}\text{ (8) }$$

к отсюда дифференцированием по постоянной $\beta$ получится пскомое второє интегральное уравнение системы (7):
$${\beta }^{\prime }=\frac{\partial W}{\partial \beta }.$$

Это есть уравнение кривой, которую описывает движущаяся точка на вращающейся шлоскости. Теперь нам остается еще ошределить угол вращения $е;$ при этом нам встретится некоторое затруднение. Именно, если мы выразим дифференциал $\phi$, который на основании уравнения (6) и в настоящих обозначениях дается формулой
$$d\stackrel{c}{p}=\alpha \frac{dt}{x_1^2}$$

в величинах ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$, то сначала не полутим полного цифференциала. цействительно, если подставить в уравнение, служащее для определения времени
$$t-\tau =\frac{\partial W}{\partial h},$$

вместо $W$ его значение (8), то дифференциал $t$ получится в форме
$$dt=F_1\left({\lambda }_1\right)d{\lambda }_1+F_2\left({\lambda }_2\right)d{\lambda }_2,$$

г это выражение, бупучи умножено на
$$\frac{\alpha }{x_1^2}=\frac{\alpha (a_1-a_2)}{(a_1+{\lambda }_1)(a_1+{\lambda }_2)},$$

не дает непосредотвенно полного дифференциала и может быть превращено в таковой только с помощью имеющего место для переменных ${\lambda }_1$ и ${\lambda }_2$ уравнения (9).

Этой трудности можно избежать, если задачу притяжения к двум неподвижным центрам полностью свести тагже для пространства к уравнению в частных производных, не входя в частные рассмотрения. Обций вид уравнения в частіых производных ді свободного движения, когда имеет место теорема живой сниы, есть
$${\left(\frac{\partial W}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial W}{\partial y}\right)}^2+{\left(\frac{\partial W}{\partial z}\right)}^2=2U+2h.$$

Если мы вместо $y$ п $z$ введем полярные кординаты п положин
$$y=r\cos \phi ,z=r\sin \phi ,$$

то получим:
$${\left(\frac{\partial W}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial U}{\partial r}\right)}^2+\frac{1}{r^2}{\left(\frac{\partial W}{\partial \phi }\right)}^2=2U+2h.$$

Так как в $U$ не входит переменная, то по общему, уже часто применявпемуся методу, можно положить
$$W=W_1+\alpha ,$$

те $W_1$-фнкция тодько от $x$ и $r$, но не от $\phi$ : тогда будем иметь
$$\frac{\partial W}{\partial x}=\frac{\partial W_1}{\partial x},\frac{\partial W}{\partial \mathit{r}}=\frac{\partial W_1^r}{\partial \mathit{r}},\frac{\partial W}{\partial \phi }=\alpha ,$$

и уравнение в частных производных для $W$ превратится в следующее:
$${\left(\frac{\partial W_1}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial W_1}{\partial r}\right)}^2=2U-\frac{{\alpha }^2}{r^2}+2h.$$

才то дифференцильное уравнение совпадает в точности с тем, которое мы получили выше приведением движения в пространстве к движению по вращающейся плоскости; так как проивведенное там рассмотрение ноказало, что от $U$ надо отнять члеи $\frac{{\alpha }^2}{2r^2}$, то введенная теперь постоянная $\alpha$ в точности совпадает с ранее так обозначенной. Поэтому выше полученное выражение (8) для $W$ удовлетворяет пифференциальному уравненио (10) для $W_1$, и мы определяем из пего $W$ с помощью равенства
$$W=W_1+\alpha \phi \text{. }$$
‘’ога отсюда вытекаю’ оба инғегральные уравнения
$${\beta }^{\prime }=\frac{\partial W}{\partial \beta }=\frac{\partial W_1^{-}}{\partial \beta };a^{\prime }=\frac{\partial W}{\partial \alpha }=\frac{\partial W_1}{\partial \alpha }+\phi ,$$

из которых первое то же самое, которое ми уже нашли выше, в то время ґак второе дает значение $\risingdotseq$ из уравнения ${\alpha }^{\prime }-\phi =\frac{\partial W_1}{\partial \alpha }$.Здесь на место $W_1$ надо подставить выражение (8) для $W$. Итак, оба интегральные уравнения, совокупность которых определяет кривую второго порядка, по Һоторой двигается точка, будут следующие:
$${\beta }^{\prime }=\frac{\partial W}{\partial \beta }\text{ и }{\alpha }^{\prime }-\phi =\frac{\partial W}{\partial x},$$

где
$$\begin{array}{c}W=\int d{\lambda }_1\sqrt{\frac{\frac{1}{2}h{\lambda }_1+\frac{1}{2}(m+m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_1}-\frac{1}{4}{\alpha }^2{f}^2\frac{1}{a_1+{\lambda }_1}+\beta }{(a_1+{\lambda }_1)(a_2+{\lambda }_1)}}+\\ +\int d{\lambda }_2\sqrt{\frac{\frac{1}{2}h{\lambda }_2+\frac{1}{2}(m-m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_2}-\frac{1}{4}{\alpha }^2{f}^2\frac{1}{a_1+{\lambda }_2}+\beta }{(a_1+{\lambda }_2)(a_2+{\lambda }_2)}}\end{array}$$

а время выразится при помощи уравнения
$$ı-\tau =\frac{\partial W}{\partial h}.$$

Шосле вылолнения дифференцирований мы получаем следующие готовые формулы
$$\begin{array}{l}+\int \frac{\frac{1}{2}d{\lambda }_2}{\sqrt{a_2+{\lambda }_2}\sqrt{[\frac{1}{2}h{\lambda }_2+\frac{1}{2}(m-m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_2}+\beta ](a_1+{\lambda }_2)-\frac{1}{4}{\alpha }^2{t}^2}}\\ \psi -{\alpha }^{\prime }=\int \frac{\frac{1}{4}\alpha f^{2}d{\lambda }_1}{(a_1+{\lambda }_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_1}\sqrt{[\frac{1}{2}h{\lambda }_1+\frac{1}{2}(m+m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_1}+\beta ](a_1+{\lambda }_1)-\frac{1}{4}{\alpha }^2{f}^2}}+\\ +\int \frac{\frac{1}{4}\alpha f^{2}d{\lambda }_2}{(a_1+{\lambda }_2)\sqrt{a_2+{\lambda }_2}\sqrt{[\frac{1}{2}h{\lambda }_2+\frac{1}{2}(m-m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_2}+\beta ](a_1+{\lambda }_2)-\frac{1}{4}{\alpha }^2{f}^2}};\\ 1-\tau =\int \frac{\frac{1}{4}{\lambda }_{1}d{\lambda }_1}{\sqrt{(a_2+{\lambda }_1)}\sqrt{{[\frac{1}{2}h{\lambda }_1+\frac{1}{2}(m+m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_1}+\beta ](a_1+{\lambda }_1)-\frac{1}{4}{\alpha }^2)}^2}}\\ +\int \frac{\frac{1}{4}{\lambda }_{2}d{\lambda }_2}{\sqrt{(a_2+{\lambda }_2)}\sqrt{[\frac{1}{2}h{\lambda }_2+\frac{1}{2}(m-m_1)\sqrt{a_2+{\lambda }_2}+\beta ](a_1+{\lambda }_2)-\frac{1}{4}\cdot x^2{t}^2}}\end{array}$$
3десь можек так же, как это было сделано выпе, устранить иррациональность под знаком квадратного корня, вводя вместо ${\lambda }_1,{\lambda }_2$, как новџе переменные, велитиы
$$\sqrt{a_2+{\lambda }_1}=p,\sqrt{a_2+{\lambda }_2}=q.$$