Дальнейним общим рассужениям будет предшествовать разбор некоторых примеров по метоцу Гамиытона. Шервим примером послужит движешие шланети вокруг солнца.

В случае свободной системы $n$ материальных точек уравнение в частных производных, к которому сводятел дифференциальные уравнения движения (см. стр. 147), будет следующе:
\[
T=\frac{1}{2} \sum \frac{1}{m_{i}}\left\{\left(\frac{\partial W}{\partial x_{i}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial y_{i}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial z_{i}}\right)^{2}\right\}=I T-\alpha .
\]

Для движения планеты, имеющей гелиоцентрические кординаты $x, y, z$, сумма сводится к одному члену; далее мы положим масеу планеты равной 1 и обозначим силу притяжения солнца на расстоянии, равном единице, через $k^{2}$; тогда силовой функцией будет выражение
\[
U=\frac{k^{2}}{r}, \quad \text { ге } r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},
\]

н мы имеем:
\[
T=\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\partial W}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial W}{\partial z}\right)^{2}\right\}=\frac{k^{2}}{r}-\alpha .
\]

Так как в правую часть этого уравнения входит радиуе вектор, то целесообразно вместо прямоугольных координат $x, y$, z ввести полярные координати по формулам
\[
x=r \cos \varphi, \quad y=r \sin \varphi \cos \psi, \quad z=r \sin \varphi \sin \psi .
\]

Тогда половина живой силы будет
\[
T=\frac{1}{2}\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\right)=\frac{1}{2}\left(r^{\prime 2}+r^{2} \varphi^{\prime 2}+r^{2} \sin ^{2} \varphi^{\prime \prime 2}\right),
\]

тar что
\[
\frac{\partial T}{\partial r^{\prime}}=r^{\prime}, \frac{\partial T}{\partial \varphi^{\prime}}=r^{\prime} \varphi^{\prime}, \quad \frac{\partial T}{\partial \varphi^{\prime}}=r^{2} \sin ^{2} \varphi \psi^{\prime} .
\]

Эти величины представляют собой прежние величишы $p$, следовательно их надо положить равными $\frac{\partial W}{\partial r}, \frac{\partial W}{\partial \rho}, \frac{\partial W}{\partial \psi}$; поэтому имеем
\[
r^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial r}, \quad \varphi^{\prime}=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial W}{\partial \varphi}, \quad \psi^{\prime}=\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \varphi} \frac{\partial W}{\partial \varphi} .
\]

откуда получим
\[
T=\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial W}{\partial \varphi}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \varphi}\left(\frac{\partial W}{\partial \psi}\right)^{2}\right\} .
\]
11 Зап. 481. – я о 6 н. эЈекцни по дннамакез.

Уравнение в частны проивводных (1) превращается поэтому для полярных хординат в еледующе:
\[
\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial W}{\partial \varphi}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \varphi}\left(\frac{\partial W}{\partial \zeta}\right)^{2}\right\}=\frac{k^{2}}{r} \cdots \alpha .
\]
:то уравнение мы проинтегрируем таким путем, что разбиваем его на песколько уравнениї, каждое из которых содержит тольо олпу пезависимую переменню. Если мы один только первый член левой части положим равних правой части, то нолучим
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{\partial W}{\partial r}\right)^{2}=\frac{k^{2}}{r}-\alpha ;
\]

мо дифференцальное уравнение содержит только одну независимую переменную $r$, и тогда остается уравнение
\[
\left(\frac{\partial W}{\partial \varphi}\right)^{2}+\frac{1}{\sin ^{2} \varphi}\left(\frac{\partial W}{\partial \psi}\right)^{2}=0,
\]

воторое больне пе содержнт ғ. ‘то разбиение можно проделать в песколько более общей форме, шрибавляя и отнимая в правой части уравнения (2) члеп $\frac{\beta}{r^{2}}$ и чосле этого разлагая уравнение (2) на два еледүющих уравғения:
\[
\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}
\partial W \\
\partial r
\end{array}\right)^{2}=\frac{k^{2}}{r} \alpha \cdot \frac{\beta}{r^{2}} \text { н } \frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\partial W}{\partial \rho}\right)^{2}+\frac{1}{\sin ^{2} \varphi}\left(\frac{\partial W}{\partial \psi}\right)^{2}\right\}=\beta .
\]

Иитеграт первого уравнения будет:
\[
W=\int \sqrt{\frac{2 k^{2}}{r}-2 \alpha-\frac{2 \beta}{r^{2}}} d r+H^{\prime}(\varphi, \psi) ;
\]

подетавля мто значение во второе уравнешие, полүчим для $I^{\prime}\left(\varphi_{+}^{+}\right)$диффе-ревциальное уравнение
\[
\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\partial V^{r}}{\partial \varphi}\right)^{2}+\frac{1}{\sin ^{2} p}\left(\frac{\partial F}{\partial \varphi}\right)^{2}\right\}=\beta .
\]
irо уравнение в частпих проивводпых можно снова разделить да два уравнения, каждое ив которых содержит тодько одну независимую переменную. њ самом деле, в правой части енова прио́авим и вычтем $\frac{\gamma}{\sin ^{2} \varphi}$ и разложих уравнение на дия таких:
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{\partial F}{\partial \varphi}\right)^{2}=\beta-\frac{\gamma}{\sin ^{2} ?} \quad \text { н } \quad \frac{1}{2}\left(\frac{\partial l}{\partial \psi}\right)^{2}=\gamma .
\]

Интеграл первого уравнения будет
\[
v(\varphi, \psi)=\int \sqrt{2 \beta-\frac{2 \gamma}{\sin ^{2} \varphi}} d \varphi+f(\psi),
\]
денно
\[
\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial r_{j}^{\prime}}\right)^{2}=\gamma
\]

T. e.

таким образом
\[
f(\psi)=\sqrt{2 \gamma} \cdot \psi
\]
\[
F(\varphi, \phi)=\int \sqrt{2 \beta-\frac{2 \gamma}{\sin ^{2} \varphi}} d \varphi+V 2 \gamma \cdot \psi
\]

и, окончательно,
\[
W=\int \sqrt{\frac{2 k^{2}}{r}-2 \alpha-\frac{2 \beta}{r^{2}}} d r+\int \sqrt{2 \beta-\frac{2 \gamma}{\sin ^{2} \varphi}} d \varphi+\sqrt{2 \gamma} \cdot \psi .
\]

Это есть полное решение дифференциального уравнения (2), так как оно содержит необходимое число произвольных постоянных. Таким образом подучаем интегральные уравнения движения в форме
\[
\frac{\partial W}{\partial \alpha}=\alpha^{\prime}-1, \quad \frac{\partial W}{\partial \beta}=\beta^{\prime}, \quad \frac{\partial W}{\partial \gamma}=\gamma^{\prime},
\]

где $\alpha^{\prime}$ еоть ностоянная, раныше обозначенная через г. Вынолнив дифференцирование, получим:
\[
\begin{array}{l}
1-\alpha^{\prime}=\int \frac{d r}{\sqrt{\frac{2 k^{2}}{r}-2 \alpha-\frac{2 \beta}{r^{2}}}}, \\
\beta^{\prime}=-\int \frac{d r}{r^{2} \sqrt{\frac{2 k^{2}}{r}-2 \alpha-\frac{2 \beta}{r^{2}}}}+\int \frac{d \varphi}{\sqrt{2 \beta-\frac{2 \gamma}{\sin ^{2} \varphi}}}, \\
\gamma^{\prime}=-\int \frac{d \varphi}{\sin ^{2} \varphi \sqrt{2 \beta-\frac{2 \gamma}{\sin ^{2} \varphi}}}+\frac{1}{V 2 \gamma} \psi \text {. } \\
\end{array}
\]

Следует заметить, что метод, посредством колорого мы проинтегрировали уравнение (2), может быть распространен на любое число переменных. это основывается па следующем. Если имеются $n$ переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$, то цолагаем
\[
\begin{array}{l}
r_{1}=r \cos \varphi_{1}, \\
r_{2}=r \sin \varphi_{1} \cos \varphi_{2}, \\
x_{3}=r \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \cos \varphi_{3}, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \operatorname{l} \cdot \cdot \sin \varphi_{1} \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3} \ldots \sin \varphi_{n-2} \cos \varphi_{n-1}, \\
x_{n-1}=r \sin \varphi_{2} \sin \varphi_{3} \ldots \sin \varphi_{n-2} \sin \varphi_{n-1} ; \\
x_{n}=r \sin \varphi_{1} \sin
\end{array}
\]

тогда
\[
\begin{array}{c}
d x_{1}^{2}+d x_{2}^{2}+\ldots+d x_{n}^{2}=d r^{2}+r^{2} d \varphi_{1}^{2}+r^{2} \sin ^{2} \varphi_{1} d \varphi_{2}{ }^{2}+ \\
+r^{2} \sin ^{2} \varphi_{1} \sin ^{2} \varphi_{2} d \varphi_{3}^{2}+\ldots+r^{2} \sin ^{2} \varphi_{1} \sin ^{2} \varphi_{2} \ldots \sin ^{2} \varphi_{n-2} d \varphi_{n-1}{ }_{n-1} .
\end{array}
\]

Поэтому выпеприведенный метод может быть применен без дальпейших рассуждений, если правая част, уравнения в частных производных может быть представлена в форме:
\[
\begin{array}{l}
f(r)+\frac{1}{r^{2}} f_{1}\left(\varphi_{1}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \varphi_{1}} f_{2}\left(\varphi_{2}\right)+\ldots+ \\
+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \varphi_{1} \sin ^{2} \varphi_{2} \cdots \sin ^{2} \varphi_{n \cdots 2}} f_{n-1}\left(\varphi_{n-1}\right) .
\end{array}
\]

Іроизвольные постоянные $\beta, \gamma$, входящие в интегральные уравнепия (4), имеют замечательные свойства, которые делают очень важным их введениө в задачу возмущения. Іоэтому интересно исследовать геометрическое значение этих постоянных. Это значение получится следующим образом.

Приравняв нулю выражение, стоящее под знаком корня в интегралах, взятых по $r$, получим уравнение второї степени относительно $r$; корни этого уравнения предетавляют наибольнее и напешые значения, которне может принимать радиус-вектор. Корни уравнения
\[
\alpha r^{2}-k^{2} r+\beta=0
\]

будут таким образом $a(1+e)$ и $a(1-e)$, где $a$ есть большая полуось, а $e$-эьсентриситет орбиты планеты. Это дает уравнения
\[
\frac{k^{2}}{\alpha}=2 a, \quad \frac{\beta}{\alpha}=a^{2}\left(1-e^{2}\right),
\]

так что
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{k^{2}}{\alpha}=2 a, \quad-\frac{\beta}{\alpha}=a^{2}\left(1-e^{2}\right), \\
\frac{k^{2}}{2 a}, \quad \beta=\frac{k^{2}}{2} a\left(1-a^{2}\right)=\frac{k^{2}}{2} \cdot \frac{p}{2},
\end{array}\right\}
\]

ге $p$ есть параметр.
Если положить выражение, стоящее под знаком квадратного корня в интегралах, взятых по $\varphi$, равным нулю, то получится нанбодышее или наименыпее значение для $\sin \varphi$, пменно $\sqrt{\frac{\gamma}{\beta}}$. Но $\cos \varphi=\frac{x}{r}$, где $x$ обозначает расстолние планеты от эклиптики (плоскости $y, z$ ), и следовательно $\cos \varphi$ может уменьшаться до иуля; поэтому для cos $\varphi$ не существует минимума, а только максимум, и это имеет место, колда $\varphi=90^{\circ}-J$, где $J$ обозпачает наклоп орбиты планеты к эклиптке. Следовательно этому значению сответетвует минимальное значение $\sin \varphi$, равное $\sqrt{\frac{\gamma}{\beta}}$, т. е. будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
\sqrt{\frac{\gamma}{\beta}}=\sin \left(90^{\circ}-J\right)=\cos J \\
V_{\gamma}=\cos J \sqrt{\beta}=\frac{l}{2} \cos J V \bar{p} .
\end{array}
\]

Чтобы определить геометрическое значение постоянных $\alpha^{\prime}$, $\beta^{\prime}, \gamma^{\prime}$, надо сначала точнее установить границы иттегралов, входящих в (4). Именно, за нижнюю границу одного из этих интегралов можно взять либо какое-нибудь данное числовое значение, либо такое значение, которое обращает в нуль квадратный корень, стояций под знаком интеграла. IIри последнем предшоложении, которое мы прнмем в гальнейшем, границы завнсят от произвольных постолнных $\alpha, \beta, \gamma$, и так как интегральные ураннения (1) получились из уравнения (3) дифференцрованием по этим постолнным, то можно было бы думать, что к уравнениям (4) должны присоединиться новые члены, которые происходят от границ. Но, по известным правилам дифференцирования, присоединяющиеся члены умножаются на те значения, которые принимают для нижних границ иптегралов фупкции, стоящие в уравнении (3) под знаком интегралов, а так кағ эти значения обрацаютея в нуль, то уравнения (4) остаютея без изменения.

Іри этих предноложениях мы принимаем за нижнюю границу иптеграла, взятого по $r$ и входящего в червое уравнение (4), значение $a$ (1-e), которое $r$ принимает в перигелии. Если тогда верхняя граница падает на то же значение $r$, то первое уравнение (4) даеэ $t-a^{\prime}=0$, т. е.
\[
\alpha^{\prime}=\text { времени грохожденшя через шеригелий. }
\]

Чтобы найти значение $\beta^{\prime}$, определпм сначала значение взятого по ч и входящего во второе уравнение (4) интеграла
\[
\phi=\int \frac{d \varphi}{\sqrt{2 \beta-\frac{2 \gamma}{\sin ^{2} \varphi}}}=\int \frac{\sin \varphi d \varphi}{\sqrt{2 \beta-2 \gamma-2 \beta \cos ^{2} \varphi}},
\]

приняв за его нижнюю границу $\varphi=90^{\circ}-J$
Іри подстановке
\[
\begin{array}{c}
\cos \varphi=\sqrt{\frac{\beta-\gamma}{\beta}} \cos \tau_{i}, \\
\sin \varphi d \varphi=\sqrt{\frac{\beta-\gamma}{\beta}} \sin \eta d \eta
\end{array}
\]

рассматриваемый интеграл переӥдет в
\[
\Phi=\sqrt{\frac{\beta-\gamma}{\beta} \int \frac{\sin \eta d \eta}{\sqrt{2(\beta-\gamma)\left(1-\cos ^{2} \eta\right)}}} .
\]
T. e. $\mathrm{B}$
\[
\Phi=\frac{1}{\sqrt{2 \beta}} \int d \eta .
\]

Pис. 4.

Для нижей границы $\varphi=90^{\circ}-J$ получим, согласно уравнению (6), $=1, \sin \eta=0$. На основании этого интеграл, взятый но $\eta$ надо брать ов нижней границы $\eta=0$, и тогда получитея
\[
\psi=\frac{1}{\sqrt{2} \eta} \eta
\]

так что второе уравнение (4) шереїдет в следующее:
\[
\beta^{\prime}=-\int \frac{d r}{r^{2} \sqrt{\frac{2 k^{2}}{r}-2 \alpha-2 \beta}+\frac{1}{r^{2}}} \cdot \text {. }
\]

Из соононения, имеющего место между $\varphi$ и $\eta$, можно ошределить геометрическое зшаченде $r_{i}$, потому что $\varphi$ есть гинотенуза прямоугльного сферического треугольник, катетами которого являотея $\eta$ п $90^{\circ}-J$.

Іусть тенерь $E E$ есть элинтика, $P$-ее полюе, $B B$– плоскост, оро́ты планеты, $O$ – восходящиї узел; через $T$, перпендикуляно к $B B$, следоватьно $P^{\prime} Q=90^{\circ}$-J. Еели далее радиус вектор, проведенный
\[
\eta_{i}=p p_{\ell}=90^{\circ}-O p \text {. }
\]
расстояпие терез $\zeta$. Тогда имеем:
\[
\begin{array}{l}
\eta=90^{\circ}-\zeta \\
\xi^{\prime}=-\int \frac{d r}{r^{2} \sqrt{2 k^{2}-2 \alpha-\frac{2 \beta}{r^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{2 \beta}}\left(90^{\circ}-\zeta\right) \\
\end{array}
\]

Чтобы определить $\beta^{\prime}$, нужно теперь только взят момент времени, в который планета проходит через перигелий; тогда интеграл, взятый по $r$, будет равен нулю, и мы получим:
\[
\beta^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{2 \beta}}\left(90^{\circ}-\right.\text { ддаление перигилия от восходнщего узла). }
\]

Наконец, $\gamma^{\prime}$ получится из третьего уравнения (4). Для $\varphi=90^{\circ}-J$, т. е. когда радиус вектор планеты встречает шар в $Q$, пнтеграл, взятый по ९, равен пулю, и мы получим:
\[
\gamma^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{2 \gamma}} \psi^{\prime}
\]

гие $\psi^{\prime}$ есть значение уга $\psi$ соответетвющее точке $Q$. Так как теперь $\operatorname{tg} \psi=\frac{z}{y}$, то $\psi^{\prime}$ обозначает угол, который ось $y$ образует е плоскостью $P\left(R\right.$, т. е., если ось $y$ проходит через точку равноденствия $V$, то $\psi^{\prime}=$ $=V R=V O+O R$ равно долготе восходящего узла $+90^{\circ}$. Таким образом имеем:
\[
\gamma^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{2 \gamma}}\left(90^{\circ}+\right.\text { долгота восходящего узда). }
\]

Таким образом определены все постоянные, входящие в уравнение (4). При интегрировании уравнения в частных производных (2) мы могли бы также воспользоватьея тем обстоятельством, что в (2) входит не сама $\%$, а только $\frac{\partial W}{\partial \psi}$. Іреобравовапие
\[
W=W_{1}+\varepsilon \psi, \frac{\partial W}{\partial \psi}=\varepsilon,
\]

цримененное на основании этого, привело бы нас к уравнению в частных іроизводных
\[
\frac{1}{2}\left\{\left(\frac{\partial W_{1}}{\partial r^{*}}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial W_{1}}{\partial \varphi}\right)^{2}\right\}=\frac{k^{2}}{r}-\alpha-\frac{e^{2}}{2 r^{2} \sin ^{2} \varphi} .
\]

содержащему только две независимые переменные. Но его интегрирование потребовало бы выкладок, по существу не отличающихея от выше примененних.