Формулы последних двух лекций ведут очень простым путем к упомянутому уже в двадцать второй лекции (стр. 155) и до сих пор считавшемуся невыполнимым определению кратчайшей линии на трехосном эллипсоиде. Такая линия описывается материальной точкой, принужденной оставаться на цоверхности эллищсоида и двигающейся только под влиянием шервоначального толчка, без воздействия какой-либо внешней силы, так что в этом случае силовая функция $U$ обращается в нуль.

Пусть $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ обозначают прямоугольные координаты движущейея точки, отнесенные к осям эллипсоида; тогда то обстоятөльство, что точка принуждена оставаться на әллисоиде, выразится условным уравнением
\[
\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}+\lambda_{1}}+\frac{x_{2}{ }^{2}}{a_{2}+\lambda_{1}}+\frac{x_{3}{ }^{2}}{a_{3}+\lambda_{1}}=1 .
\]

Дело сводится теперь к тому, чтобы представить $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ как функции двух новых переменных так, чтобы эти выражения, будучи подставлены в условное уравнение, удовлетворяли ему тождественно. Таковыми являются найденные нами выражения для $x_{1}{ }^{2}, x_{2}{ }^{2}, x_{3}{ }^{2}$ через $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$, если в них считать $\lambda_{1}$ постоянною, а $\lambda_{2}$ и $\lambda_{3}$ переменными. Мы выразим живую силу через величины $\lambda_{2}, \lambda_{3}$, заступающие теперь место переменных, ранее обозначенных через $q$, и через их производные $\lambda_{2}{ }^{\prime}=\frac{d \lambda_{2}}{d t}, \lambda_{3}{ }^{\prime}=\frac{d \lambda_{3}}{d t}$; затем введем вместо $\lambda_{2}^{\prime}$ и $\lambda_{3}{ }^{\prime}$ новые геременные $\mu_{2}=\frac{\partial T}{\partial \lambda_{2}{ }^{\prime}}$ и $\mu_{3}=\frac{\partial^{\prime} T^{\prime}}{\partial \lambda_{3}{ }^{\prime}}$, соответствующие величинам, обозначенным через $p$, и положим $\mu_{2}=\frac{\partial T}{\partial \lambda_{2}^{\prime}}=\frac{\partial W}{\partial \lambda_{2}}$, $\mu_{3}=\frac{\partial T}{\partial \lambda_{3}{ }^{\prime}}=\frac{\partial W}{\partial \lambda_{3}}$. Таким образом $T$ получится выраженным через $\lambda_{2}, \lambda_{3}$, $\frac{\partial W}{\partial \lambda_{2}}, \frac{\partial W}{\partial \lambda_{3}}$, п тогда уравнение $T+\alpha=0$, которое можно писать также в форме ${ }_{T}^{\prime}=h$, если положить $\alpha=-h$, является для этой задачи уравнением в частных производных, определяющим $W$ как функцию от $\lambda_{2}, \lambda_{3}$. Если в уравнении (10) двадцать шестой лекции ограничить число переменных тремя, то для живой силы $2 T$ получитея формула преобразования:
\[
2 T=x_{1}{ }^{\prime 2}+x_{2}{ }^{\prime 2}+x_{3}{ }^{\prime 2}=\frac{1}{4} M_{1} \lambda_{1}{ }^{\prime 2}+\frac{1}{4} M_{2} \lambda_{2}{ }^{2}+\frac{1}{4} M_{3} \lambda_{3}{ }^{2},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
M_{1}=\frac{\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)\left(\lambda_{1}-\lambda_{3}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)\left(a_{3}+\lambda_{1}\right)} ; \quad M_{2}=\frac{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)} ; \\
M_{3}=\frac{\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{3}-\lambda_{2}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}
\end{array}
\]

но так как движение шроисходит на длипсоиде, то $\%$, есть шостоянная величина, $\lambda_{1}{ }^{\prime}=0$ и
\[
2 T=\frac{1}{4} M_{2} \lambda_{2}{ }^{\prime 2}+\frac{1}{4} M_{3} \lambda_{3}{ }^{\prime 2} .
\]

Отюда следует, что
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial T}{\partial \lambda_{2}{ }^{\prime}}=\frac{1}{4} M_{2} \lambda_{2}{ }^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial \lambda_{2}}, \quad \frac{\partial T}{\partial \lambda_{3}{ }^{\prime}}=\frac{1}{4} M_{3} \lambda_{3}{ }^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial \lambda_{3}}, \\
\lambda_{2}{ }^{\prime}=\frac{4}{M_{2}} \frac{\partial W}{\partial \lambda_{2}}, \lambda_{3}{ }^{\prime}=\frac{4}{M_{3}} \frac{\partial W}{\partial \lambda_{3}}
\end{array}
\]

и мы получим для $2 T$ выражение
\[
2 T=\frac{4}{M_{2}}\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{2}}\right)^{2}+\frac{4}{M_{3}}\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{3}}\right)^{2} .
\]

На основании ;того нскоиое уравнение в частных производыых имеет вид:
\[
\begin{array}{l}
T=2 \frac{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right)}\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{2}}\right)^{2}+ \\
-2 \frac{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}{\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{3}-\lambda_{2}\right)}\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{3}}\right)^{2}=h
\end{array}
\]

или
\[
\begin{array}{c}
\frac{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{2}}\right)^{2}- \\
-\frac{\left(a_{1}+\lambda_{9}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}{\lambda_{3}-\lambda_{1}}\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{3}}\right)^{2}=\frac{1}{2} h\left(\lambda_{2}-\lambda_{5}\right) .
\end{array}
\]

Это уравнение в частных производных онять распадается само собою на два обыкновенных дифференциальных уравнения, из которых каждое содержит төлько одну независимую переменную; при этои в правой части опять одновременно прибавляем и вычитаем произвольную постоянную. Таким образом получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{2}}\right)^{2}=\frac{1}{2} h\left(\lambda_{2}+\beta\right), \\
\frac{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}{\lambda_{3}-\lambda_{1}}\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{3}}\right)^{2}=\frac{1}{2} h\left(\lambda_{3}+\beta\right) .
\end{array}
\]

Ко:ффициент при $\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{2}}\right)^{2}$ положителен, так как из трех иножителей числителя только первый отрицателен и ( $\lambda_{2}-\lambda_{1}$ ) также отрицательно, поэтому $\frac{1}{2} h\left(\lambda_{2}+\beta\right)$ должно быть положительным; напротив, коэффициент при $\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{3}}\right)^{2}$ отрицателен так как оба первые множнтеля числителя отрицательны и знаменатель $\lambda_{3}-\lambda_{1}$ также, следовательно $\frac{1}{2} h\left(\lambda_{3}+\beta\right)$ должно быть отрицательным. Но постоянная $h$ положительна, так как она равна половине живой силы, т. е. по своей природе положительной величине. Так как поэтому $\lambda_{2}+\beta$ должно быть положительным, а $\lambda_{3}+\beta$ отрицательным, то мы имеем неравенства:
\[
\begin{array}{c}
\beta+\lambda_{2}>0, \quad \beta+\lambda_{3}<0 \\
-\lambda_{2}<\beta<-\lambda_{3},
\end{array}
\]

и эти два условия совместны, так как $\lambda_{2}>\lambda_{3}$.

Мы получаем из вншенаписанных обыкновенных цифференциальных чравнений следующее полное решение уравнения в частных производных (1):
\[
\begin{aligned}
W= & \sqrt{\frac{1}{2}} h \iint d \lambda_{2} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}+\beta\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}}+ \\
& \left.+\int d \lambda_{3} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{3}+\beta\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}}\right\} .
\end{aligned}
\]

Отсюда получится для кратчайшей линии на трехосном эллипоиде уравнение $\frac{\partial W}{\partial \beta}=$ const или
\[
\begin{aligned}
& \int d \lambda_{2} \sqrt{\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)\left(\beta+\lambda_{2}\right)}}+- \\
+ & \int d \lambda_{3} \sqrt{\frac{\lambda_{3}-\lambda_{1}}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)\left(\beta+\lambda_{3}\right)}}=\text { const. }
\end{aligned}
\]

Дяя времени мы имеем уравнение $\tau-t=\frac{\partial W}{\partial \alpha}=-\frac{\partial W}{\partial h}$, или, так как $W$ зависит от $h$ только через множитель $\sqrt{h}$ и вследетвие этого $\frac{\partial W}{\partial h}=\frac{1}{2 h} W$, тo
\[
t-\overline{=}=\frac{1}{2 h} W .
\]

Еели $s$ означает дугу кратчайшей линии, отсчитанную от точки, в которой находилась движущаяся точка в момент времени $\tau$, то теорема живой силы дает $T=\frac{1}{2}\left(\frac{d s}{d t}\right)^{2}=h ; \quad d s=\sqrt{2 h} d t$,
\[
s=\sqrt{2 h}(t-\tau) .
\]

Отсюда, сравнивая с (4), получим для дуги $s$ равевство $s=\frac{1}{\sqrt{2 h}} W$ или
\[
\begin{aligned}
s= & \frac{1}{2}\left\{\int d \lambda_{2} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}+\beta\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}}+\right. \\
& \left.+\int d \lambda_{3} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{3}+\beta\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}}\right\}
\end{aligned}
\]

таким образом произведено также спрямление кратчайшей линии.
Так одним взглядом на уравнение в частных пропзводных иы репили задачу, которая до сих пор считалась неразрешимой. Хотя применение подстановки составляет существенное требование для этого решения, но метод приведения к уравнению в частных производных также значительно облегчает дело. Действительно, когда Миндинг хотел применить опубликованную мною подстановку, он встретил на обычном гути интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения трудности, которые он по собственному признанию не мог бы преодолеть, если бы ему не был уже известен данный мною результат. ${ }^{1}$

Іри помощи этой же шодстановки, давшей нам уже репение многих трудных задач, мы можен также разрешить задачу проектирования карт для трехосного элиисоида. Из различных способов изображения кривой поверхности на плоскости, как это нужно для карт, предпочтителен тот сцособ

${ }^{1}$ Cp. Crelles Journal, т. XX, стр. 325.

проекции, при котором бесконечно малые элененты остаются подобными. Эту проекцию многосторонне изучал Јамберт в прошлом столетии, с чем можно ближе познакомиться по его математическим статьям. Заинтересованный этим, тогдашний коллега Ламберта, Лагранж предпринял исследование этого предмета и достиг полного решения для всех поверхностей вращения. Копенгагенское общество, позже назначившее премию за решение этой задачи для всех кривых поверхностей, премпровало стать, присланную Гауссом. В этой последней нет никакого упоминания о работе Јагранжа, к которой оставалось только немного прибавить.

Руководящая идея при решении задачи проектирования карт следующая. Если мы соединим точку, лежацую на поверхности, с бесконечно близкими точками и то же самое проделаем с соответствующими точками на шлоскости, то для того, чтобы бесконечно малые элементы были подобны, соответствующие длины должны быть цропорционяльны, и обратно, если соответствующи длины пропорциональны, то бесконечно малые элементы подобны. Эту пропорциональность надо выразить аналитически.

Іусть координаты $x, y, z$ точки на поверхности даны как функции двух величин: $p$ и $q$; тогда квадрат әлемента дуги какой-нибудь кривой на поверхности будет представлен выражением
\[
d s^{2}=d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}=A d p^{2}+2 B d p d q+C d q^{2} .
\]

Квадрат соответствующего элемента дуги на плоскости есть
\[
d \sigma^{2}=d u^{2}+d v^{2},
\]

гце $u$ и $v$ обозначают прямоугольные координаты на шлоскости. Для того чтобы теперь бесконечно малые длины были пропорциональны друг другу, должно быть $d \sigma^{2}=m d s^{2}$, где $m$ может быть какой-нибудь функцией от $p$ и $q$. Соответствие между величинами $u, v$ и $p, q$ должно быть следовательно таким, чтобы имело место уравнение
\[
d u^{2}+d v^{2}=m\left(A d p^{2}+2 B d p d q+C d q^{2}\right),
\]

где $\sqrt{m}$ обозначает отношение подобия.
Этому дифференциальному уравнению мы можем удовлетворить следующим образом. Разбиваем выражение $A d p^{2}+2 B d p d q+C d q^{2}$ на два линейных множителя
\[
\begin{array}{l}
\sqrt{A} d p+\left(\frac{B}{\sqrt{A}}+\sqrt{C-\frac{B^{2}}{A}} \sqrt{-1}\right) d q \\
\sqrt{A} d p+\left(\frac{\infty}{\sqrt{A}}-\sqrt{C-\frac{B^{2}}{A}} \sqrt{-1}\right) d q
\end{array}
\]

и представляем себе $m$ разложенным на иножители $a+b \sqrt{-1}$ и $a-b \sqrt{-1}$; тогда вышенаписанное дифференциальное уравнепие может быть разбито на два следующие:
\[
\begin{array}{l}
d u+d v \sqrt{-1}=(a+b \sqrt{-1})\left\{\sqrt{A} d p+\left(\frac{B}{\sqrt{A}}+\sqrt{C-\frac{B^{2}}{A}} \cdot \sqrt{-1}\right) d q\right\}, \\
d u-d v \sqrt{-1}=(a-b \sqrt{-1})\left\{\sqrt{A} d p+\left(\frac{B}{\sqrt{A}}-\sqrt{C-\frac{B^{2}}{A}} \cdot \sqrt{-1}\right) d q\right\} .
\end{array}
\]

Если теперь можно определить $a$ п $b$ так, что правые части этих уравнений станут полными дифференциалами, то после интегрирования $u$ и $v$ получатея как функции от $p$ и $q$. Определить же интегрирующий множитель $a \pm b \sqrt{-1}$ это значит проинтегрировать дифференциальные уравнения:
\[
\begin{array}{l}
0=\sqrt{A} d p+\left(\frac{B}{\sqrt{A}}+\sqrt{C-\frac{B^{2}}{A}} \cdot \sqrt{-1}\right) d q \\
0=\sqrt{A} d p+\left(\frac{B}{\sqrt{A}}-\sqrt{C-\frac{B^{2}}{A}} \cdot \sqrt{-1}\right) d q,
\end{array}
\]

и это интегрирование есть та задача, к решению которой мы в заключение приходим. Если $B=0$, то должны быть пайдены множители $a+b \sqrt{-1}$ и $a-b \sqrt{-1}$, делающие интегрируемыми выражения
\[
\sqrt{A} d p+\sqrt{C} \sqrt{-1} d q \text { и } \sqrt{A} d p-\sqrt{C} V \overline{-1} d q,
\]

п тогда $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ есть отнонение подобия.
Если поверхность есть трехосный эллипсоид, то, вводя величины $\lambda_{1}, \lambda_{2}$, $\lambda_{3}$, из коих $\lambda_{1}$ полагаетея постоянной, мы получим, вследствие уравнения (2) двадцать седьмой лекции, для элемента дуги вакой-либо кривой, на нем лежащей, выражение:
\[
\begin{array}{c}
d s^{2}=A d \lambda_{2}^{2}+C d \lambda_{3}^{2}=\frac{1}{4} \frac{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)} d \lambda_{2}{ }^{2}+ \\
+\frac{1}{4} \frac{\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{3}-\lambda_{2}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)} d \lambda_{3}{ }^{2}
\end{array}
\]

и следовательно надо найти множители, которые делают интегрируемым выражения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}} d \lambda_{2}+ \\
+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{3}-\lambda_{2}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}} \sqrt{-1} d \lambda_{3} \\
\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}} d \lambda_{2} \ldots \\
-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{3}-\lambda_{2}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}} V=1 d \lambda_{3} \text {. } \\
\end{array}
\]

Этими мнжителямн для обоих выражениӥ будет $\frac{2}{\sqrt{\lambda_{2}-\lambda_{3}}}$; поэтому имеем $a=\frac{2}{\sqrt{\lambda_{2}-\lambda_{3}}}, b=0$ и дифференцильные уравнения, которые дают сөотношение между $u$, $v$ и $p, q$, получатся в внде:
\[
\begin{array}{l}
d u+d \cdot v=\sqrt{\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}} d \lambda_{2}+ \\
+\sqrt{\frac{\lambda_{1}-\lambda_{3}}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}} \sqrt{-1} d \lambda_{3} ; \\
d u-d v \sqrt{-1}=\sqrt{\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}} d \lambda_{2}- \\
-\sqrt{\frac{\lambda_{1}-\lambda_{3}}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}} \sqrt{-1} d \lambda_{3} . \\
\end{array}
\]

Отеюда еледует:
\[
\begin{array}{c}
u=\int d \lambda_{2} \sqrt{\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}}, \\
n=\int d \lambda_{3} \sqrt{\frac{\lambda_{1}-\lambda_{3}}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}} .
\end{array}
\]

итномение подобия есть
\[
\sqrt{m}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\frac{2}{\sqrt{\lambda_{2}-\lambda_{3}}} ;
\]

на определенную таким образом величину $\sqrt{m}$ должны умножаться длины на нлинсоиде для получения соответствуюцих длин на плоскости.

Формулы, которые мы нашли пля кратчайпей линии на трехосном элипсоде, претерпевают существенное изменение в случае элипсоида вращения. При этом надо рассматривать два случая: шервый случай сплюснутого ефероида, у которого равны между собой обе больиие оси, где таким образом $a_{2}=a_{3}$, второй случай удлиненного сфероида, у которого равны между собою обе меньшие оси, тде таким образом $a_{2}=a_{1}$. Из этих двух случаев мы рассмотрим только первый, так как последний может быть рассмотрен совершенно аналогично. Поступаем при этом по известному способу, предшолагая сначала $a_{2}$ и $a_{3}$ бесконечно мало отличающимися друг от друга и только в заключение заставляя их совнасть друг с другом. Итак џусть еначала
\[
\dot{a}_{3}=a_{2}+\omega
\]

г, $е$ обозначает бесконечно-малую величину. Согласно общим рассуждениям $\lambda_{3}$ лежит между $-a_{2}$ и – $a_{3}$, а в рассматриваемом случае между $-a_{2}$ н — $\left(a_{2}+\omega\right)$; поэтому можно положить
\[
\lambda_{3}=-\left(a_{2}+\omega \sin ^{2} \varphi\right)
\]
\[
\begin{array}{l}
a_{2}+\lambda_{3}=-\omega \sin ^{2} \varphi, \\
a_{3}+\lambda_{3}=\omega-\omega \sin ^{2} \varphi=\omega \cos ^{2} \varphi . \\
d \lambda_{3}=-\omega \cdot 2 \sin \varphi \cos \varphi d \varphi .
\end{array}
\]

Отсюда следует:
\[
\frac{d \lambda_{3}}{\sqrt{-\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}}=-2 d \varphi .
\]

Мы должны это подставить в уравнение кратчайшей ииин, т. в. уравнение
\[
\begin{array}{c}
\int d \lambda_{2} \sqrt{\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)\left(\beta+\lambda_{2}\right)}}+ \\
+\int d \lambda_{3} \sqrt{\frac{\lambda_{3}-\lambda_{1}}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)\left(\beta+\lambda_{3}\right)}}=\text { const. }
\end{array}
\]

Из мнонителей, стоящих в первом интеграле под знаком корня, $a_{2}+\lambda_{2}$ п $a_{3}+\lambda_{2}$ будут равны друг другу, интеграл преврацаетея ноэтому в эллиттический. Второй же переходит в следующий:
\[
-2 \sqrt{\frac{a_{2}+\lambda_{1}}{\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(\beta-a_{2}\right)}} \int d \varphi=-2 \sqrt{\frac{a_{2}+\lambda_{1}}{\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(\beta-a_{2}\right)}} \Psi_{*}
\]

и уравнение (3) принимает форму:
\[
\int \frac{d \lambda_{2}}{a_{2}+\lambda_{2}} \sqrt{\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(\beta+\lambda_{2}\right)}}-2 \sqrt{\frac{a_{2}+\lambda_{1}}{\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(g-a_{2}\right)}} \varphi=\text { const. }
\]

Выражения координат для точек поверхности трехосного эллипсоида были:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=\sqrt{\frac{\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)}{\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(a_{1}-a_{3}\right)}}, \\
x_{2}=\sqrt{\frac{\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)}{\left(a_{2}-a_{1}\right)\left(a_{2}-a_{3}\right)}}, \\
x_{3}=\sqrt{\frac{\left(a_{3}+\lambda_{1}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}{\left(a_{3}-a_{1}\right)\left(a_{3}-a_{2}\right)}} ; \\
\end{array}
\]

в емуче спдюснтого сфероида они будут иметь вид:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=\sqrt{\frac{a_{1}+\lambda_{1}}{a_{1}-a_{2}}} \sqrt{a_{1}+\lambda_{2}}, \\
r_{2}=\sqrt{\frac{a_{2}+\lambda_{1}}{a_{2}-a_{1}}} \sqrt{a_{2}+\lambda_{2}} \sin \% \\
r_{3}=\sqrt{\frac{a_{2}+\lambda_{1}}{a_{2}-a_{1}}} \sqrt{a_{2}+\lambda_{2}} \cos \varphi \text {. } \\
\end{array}
\]

Так как общие формулы для $x_{2}$ и $x_{3}$ переходят одна в пругую ири нереетановке $a_{2}$ и $a_{3}$, то при поверхностном рассмотрении можно было бы подумать, что при $a_{2}=a_{3}$ будет также $x_{2}=x_{3}$; но, как мы видия, это никоим \”бразом не случитея. Формулы, которне имеют тогда место, будут те же, юоторые получатся, если координаты $x_{1}$ и $\sqrt{x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}$ меридиана сфероида выразить через $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ при шомощ подстаповки, шригодной ти плоскости, а ,ля долготы на сфероиде ввести угол $\varphi$.

Для ранее рассмотренного проектирования карт при прияенении к сфероиду также получаются особепные формулы. Этот особенный случай проекции носит назвиние стерографической; характеристическое его свойство, что гомологичше грпвые на поверхности и на плоскости пересекаются пол одинаковыми уламп, есть только другое выражение подобия бесконечно малых элементов.

Уравнешие в частных производных, интегрирование которого дало нам уравнение кратчайних линий на пллисоиде, имело форму
\[
\frac{f\left(\lambda_{2}\right)\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{2}}\right)^{2}-f\left(\lambda_{3}\right)\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{3}}\right)^{2}}{\lambda_{2}-\lambda_{3}}=\text { coms. }
\]
sae
\[
f(\lambda)=\frac{\left(a_{1}+\lambda\right)\left(a_{2}+\lambda\right)\left(a_{3}+\lambda\right)}{\lambda-\lambda_{1}} .
\]

В правой части равенства стоит постоянная, потому что мы предполагаем движущуюся точку не подверженной никакой силе, кроме первоначального голчка. Мы можем поставить себе тенерь вошрос-.-каковы должны быт, силы, действующие на точку, чтобы вытекающая отсюда форма вышестоящего дифферешциаьного уравнения допускала тот же метод интегрирования, который

ұы применяли до сих пор. Общая форма, к которой должна приводиться для атой цели силовая функция, будет, как легко видеть, иметь вид
\[
\frac{\chi\left(\lambda_{2}\right)+\psi\left(\lambda_{3}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{3}},
\]

так как тогда делается возможным разделение на два обыкновенных дифференциальных уравнения. Но из этой аналитической формы в общем случае нельзя вывести никакого механического значения; мы рассмотрим только один случай, который допускает такое значение, именно случай, когда силовая функция имеет форму $\lambda_{2}+i_{3}$, каковое выражение допускает приведение к форме $\frac{\lambda_{2}{ }^{2}-\lambda_{3}{ }^{2}}{\lambda_{2}-\lambda_{3}}$ и следовательно принадлежит к рассматриваемой категории. Этот случай соответствует той механической задаче, когда точка, двигающаяся по поверхности элипсоида, подвержена силе, притягивающей ее к цевтру пропорционально расстоянию этой точки от центра. В самом деле, в этом случае сила, действующая на точку в направлении радиуса-вектора $r$, выходящего из цептра, равна $k r$; следовательно силовая функция будет $\frac{1}{2} k r^{2}=\frac{1}{2} k\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)$. Если мы тенерь вспомним общие выражения для $x_{1}{ }^{2}, x_{2}{ }^{2}, \ldots x_{n}{ }^{2}$ через $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$, данные в двадцать шестой лекции [равенство (2)], т. е. выражения
\[
\begin{aligned}
x_{n}{ }^{2} & =\frac{\left(a_{n}+\lambda_{1}\right)\left(a_{m}+\lambda_{2}\right) \ldots\left(a_{m}+\lambda_{n}\right)}{\left(a_{m}-a_{1}\right)\left(a_{m}-a_{2}\right) \ldots\left(a_{m}-a_{m-1}\right)\left(a_{m}-a_{m+1}\right) \ldots\left(a_{n}-a_{n}\right)}= \\
& =\frac{a_{m}{ }^{n}+\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\ldots+\lambda_{n}\right) a_{m-1}^{n}+\ldots+\lambda_{1} \lambda_{2} \ldots \lambda_{n}}{\left(a_{m}-a_{1}\right)\left(a_{m}-a_{2}\right) \ldots\left(a_{m}-a_{m-1}\right)\left(a_{m}-a_{m+1}\right) \ldots\left(a_{n}-a_{n}\right)},
\end{aligned}
\]

то из известных теорем относительно простейших дробей следует замечательная формула
\[
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}+\lambda_{1}+\lambda_{2}+\ldots+\lambda_{n} .
\]

Для $n=3$ будем иметь
\[
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3} .
\]

В рассматриваемом нами случае $\lambda_{1}$ есть постоянвая величина, так тто иы по.туаем для силовой функции выражение
\[
\frac{1}{2} k\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)=\frac{1}{2} k\left(\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)+\text { const, }
\]

следовательо в этом случае уравнение в частны производных интегрируется с такою же легкостью, как и раньше.

Это рассмотрение можно еще расщирить и предположить, что присоединенная сила не направлена более к центру эллипсоида. В только что рассмотренном случае $k r$ была сила, действующая на точку по направлению радиуса вектора, поэтому ее составляющие по координатным осям были $k x_{1}$, $k x_{2}, k x_{3}$. Если мы придадим тешерь координатам различные коэффициенты $m_{1}, m_{2}, m_{3}$, то интегрирование будет также еще возможным, если эти велициџы подчинить некоторому условию. В самом деле, если составляющие по направлению координатных осей будут $m_{1} x_{1}, m_{2} x_{2}, m_{3} x_{3}$, то силовая функция выразится так:
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2}\left(m_{1} x_{1}^{2}+m_{2} x_{2}^{2}+m_{3} x_{3}^{2}\right)=\frac{1}{2} m_{1} \frac{\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)}{\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(a_{1}-a_{3}\right)}+ \\
+\frac{1}{2} m_{2} \frac{\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)}{\left(a_{2}-a_{1}\right)\left(a_{2}-a_{3}\right)}+\frac{1}{2} m_{3} \frac{\left(a_{3}+\lambda_{1}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}{\left(a_{3}-a_{1}\right)\left(a_{3}-a_{2}\right)} ;
\end{array}
\]

следовательно она может быть представлена в виде
\[
A+B\left(\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)+C \lambda_{2} \lambda_{3}
\]

и ноэтому будет иметь надлежамую форму, если $C^{\prime}$ исчезнет, т. е. если будет иметь место уравнение:
\[
\frac{m_{1}\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)}{\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(a_{1}-a_{3}\right)}+\frac{m_{2}\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)}{\left(a_{2}-a_{1}\right)\left(a_{2}-a_{3}\right)}+\frac{m_{3}\left(a_{3}+\lambda_{1}\right)}{\left(a_{3}-a_{1}\right)\left(a_{3}-a_{2}\right)}=0 .
\]

Если значения $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ удовлетворяют этому условному уравнению, то шрименим прежний метод интегрирования.