Вместо принципа наименьшего действия можно подетавить другой принци, который тажже состоит в том, что первая вариация некоторого интеграла обращается в нуль и из которого монно получить дифференциальные уравнения движения еще более просто, чем из принципа наименьшего действия. Этот принци раньпе оставалея невамечениы, вероятно потолу, что вдесь вместе с иечезновением вариации вообе не получается иинимум, как это имеет место для принипа наименьшего действия. Гамильтон был первым, иеходившим из этого принциа. Мы восползуемся им для того, чтобы представить уравнения движения в той форме, которую им дал Лагранж в аналитической механиве. Іусть, прежде всего, силы $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$ будут частными производными функции $U$; далее шусть $T$ будет половина живой силы, т. е.
\[
T=\frac{1}{2} \sum m_{i} v_{i}^{2}=\frac{1}{2} \sum m_{i}\left\{\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d t}\right)^{2}\right\} ;
\]

тогда новый принцип содержитея в уравнении
\[
\delta \int(T+U) d t=0 .
\]

Этот принции по сравнению с принциом напменышего действия постошк бодее общий, поскольк здесь $U$ может содержать явно также и $t$, что в первом шринцие исключается, так как из него время должно быть исключено при помощи теоремы живой силы, которая может иметь место только в том случае, если $U$ не содержит явно времени.

Воспольуемся уравнением (1), чтобы показать возможность приведения дифференциалных уравнений двиљения к однолу дифференциальному уравнению в частных производных переого порядка. Как гоказал Гамилтон, вариацию (1) иожно разложить, с помощю интегрирования по частям, на две части так, что одна из них стоит вне, а другая нод знаком интеграла и каждая сама по себе должна исчезать. Таким обравом, выражение, стоящее под знаком иптеграла, будучи приравнено нул, дает дифферепиалные уравнения задачи, а выражение вне знака интеграла дает их внтегральные уравнения.
Новый принци, выраженный полность, формулируется так:
Если даны положения системь в данжый начальный номент $t_{0}$ \” в данный конечиый момент $t_{1}$, то для определения действительно происходяцего движения служит уравнение
\[
\delta \int(T+U) d t=0
\]

Здесь интеграл берется от $t_{0}$ до $t_{1}$, $U$ есть силовая фунция и может танже содержать явно время, а $T$ есть половина живой силы, так что ихеем:
\[
\begin{array}{r}
T=\frac{1}{2} \sum m_{i}\left(x_{t}{ }^{2}+y_{i}{ }^{2}+z_{i}{ }^{2}\right), \\
x_{i}^{\prime}=\frac{d x_{i}}{d t} ; \quad y_{i}^{\prime}=\frac{d y_{i}}{d t} ; \quad z_{i}^{\prime}=\frac{d z_{i}}{d t} .
\end{array}
\]

Если выполнить указанную в этом прищипе вариацию, придав, по правилам вариационного исчисления, координатам вариации $\delta x_{i}$, $\delta y_{i}$, $\delta z_{i}$ и оставив неизменной независимую переменную $t$, то получим
\[
\delta \int T d t=\int \delta T d t=\int \sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime} \delta x_{i}{ }^{\prime}+y_{i}{ }^{\prime} \delta y_{i}^{\prime}+z_{i}^{\prime} \delta z_{i}{ }^{\prime}\right) d t .
\]

Шодетавляя вместо $\delta x_{i}{ }^{\prime}, \delta y_{i}{ }^{\prime}, \delta z_{i}{ }^{\prime}$ выражения
\[
\frac{d \delta x_{i}}{d t}, \frac{d \hat{y} y_{i}}{d t}, \frac{d \hat{\delta} z_{i}}{d t}
\]

и интегрируя по частяж, найдем:
\[
\begin{array}{c}
\delta \int T d t=\int \sum m_{i}\left(x_{i}{ }^{\prime} \frac{d \delta x_{i}}{d t}+y_{t}^{\prime} \frac{d \partial y_{i}}{d t}+z_{i}^{\prime} \frac{d \delta z_{i}}{d t}\right) d t= \\
=\sum m_{i}\left(x_{i}{ }^{\prime} \delta x_{i}+y_{i}^{\prime} \delta y_{i}+z_{i}{ }^{\prime} \delta z_{i}\right)-\int \sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime \prime} \delta x_{i}+y_{i}{ }^{\prime \prime} \delta y_{i}+z_{i}^{\prime \prime} \delta_{z_{i}}\right) d t .
\end{array}
\]

где $x_{i}{ }^{\prime \prime}, y_{i}{ }^{\prime \prime}, z_{i}{ }^{\prime \prime}$ – вторые производные от $x_{i}, y_{i}, z_{i}$, взятье по $t$. Но так как начальные и конечные положения ланы, то $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$ уничтожаютея на границах иџтегрирования и члены, стоящие вне знака иптеграла, обращаютея в нуль, так что
\[
\delta \int T d t=-\int\left\{\sum m_{i}\left(x_{i}{ }^{\prime \prime} \delta x_{t}+y_{i}{ }^{\prime \prime} \delta y_{i}+z_{i}{ }^{\prime \prime} \delta z_{t}\right)\right\} d t
\]

такнм обравом инеем
\[
\delta \int(T+U) d t=-\int\left\{\sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime \prime} \partial x_{i}+y_{i}^{\prime \prime} \partial y_{t}+z_{i}^{\prime \prime} \partial z_{i}\right)-\hat{\partial} U\right\} d t,
\]

где
\[
\delta U=\sum\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial U}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial U}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right) .
\]

Из уравнения (2) на сауон деле следует данное ранее во второй хекции (стр. 13) символичекое основное уравнение (2) динамики.

Содержацийся в уравнении (1) шрищи очень полезен при преобразовании координат. Уравнение это имеет место для всякой системы координал; поэтому в новой системе надо так же вариировать по новым координатам, как раныше по старым, и воя шодетановка, которая должна быть произведена, ограничивается обоими выражениями $T$ и $U$.

Примения это сначала к полярным координатам; формулы преобразования в этом стучае инеех такие:
\[
\begin{array}{l}
x_{i}=r_{i} \cos \sigma_{i}, \\
y_{i}=r_{1} \sin \sigma_{i} \cos \psi_{i}, \\
z_{i}=r_{i} \sin \sigma_{i} \sin \psi_{i} .
\end{array}
\]

Отсюда следует после дифференцирования:
\[
\begin{array}{l}
d x_{i}=\cos \varphi_{i} d r_{i}-r_{i} \sin \varphi_{i} d \varphi_{i}, \\
d y_{i}=\sin \varphi_{i} \cos \psi_{i} d r_{i}+r_{i} \cos \varphi_{i} \cos \psi_{i} d \varphi_{i}-r_{i} \sin \varphi_{i} \sin \psi_{i} d \psi_{i}, \\
d z_{i}=\sin \varphi_{i} \sin \psi_{i} d r_{i}+r_{i} \cos \varphi_{i} \sin \psi_{i} d \varphi_{i}+r_{i} \sin \varphi_{i} \cos \psi_{i} d \psi_{i} ;
\end{array}
\]

поэтом у
и.Ји
\[
\begin{aligned}
d x_{i}^{2}+d y_{i}^{2}+d z_{i}^{2} & =d r_{i}^{2}+r_{i}^{2} d \varphi_{i}^{2}+r_{i}^{2} \sin ^{2} \varphi_{i} d \psi_{i}^{2}, \\
x_{i}^{\prime 2}+y_{i}^{\prime 2}+z_{i}^{\prime 2} & =r_{i}^{\prime 2}+r_{i}^{2} \varphi_{i}^{\prime 2}+r_{i}^{2} \sin ^{2} \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime 2},
\end{aligned}
\]

где
\[
x_{i}^{\prime 2}+y_{i}^{\prime 2}+z_{i}^{\prime 2}=r_{i}^{\prime 2}+r_{i}^{2} \varphi_{i}^{\prime 2}+r_{i}^{2} \sin ^{2} \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime 2}
\]
\[
r_{i}{ }^{\prime}=\frac{d r_{i}}{d t} ; \quad \varphi_{i}^{\prime}=\frac{d \varphi_{i}}{d t} ; \psi_{i}^{\prime}=\frac{d \psi_{i}}{d t} .
\]

Таким образом тотчас нолучаем:
\[
T=\frac{1}{2} \sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime 2}+y_{i}^{\prime 2}+z_{i}^{\prime 2}\right)=\frac{1}{2} \sum m_{i}\left(r_{i}^{\prime 2}+r_{i}^{2}{ }_{i}^{\prime 2}+r_{i}^{2} \sin ^{2} \varphi_{i}^{\prime}{ }^{\prime 2}\right) .
\]

IІри этом предположении и допущении, что $U$ также выражено через новыө юоординаты, мы найдем уравнение, следующее из $\delta \int(T+U) d t=0$ по общим правилам вариационного исчисления.

Iуусть $P$ есть функция нескольких переменных… $p .$. и их первых производных… $p^{\prime}$…, причем предподагается, что все $p$ зависят от одной независимой переменной $t$, и пусть первая вариация от $\int P d t$ нсчезает, т. е.
\[
\hat{\delta} \int P d t=0,
\]

где интеграл надо брать от $t_{0}$ до $t_{1}$ и где значения $p$, соответствующие этим значениям $t$, заданы; тогда путем выкладок, таких же, как и в шестой лекции (стр. 43 и след.), Іридем к уравнению:
\[
0=\sum\left[\frac{d \frac{\partial P}{\partial p^{\prime}}}{d t}-\frac{\partial P}{\partial p}\right] \delta p .
\]

В нашем случае вместо величин $p$ стоят $r_{i}, \varphi_{i}$, $\psi_{i}$, а $P=T+U$; далее, $U$ не содержит производных $r_{i}^{\prime}, \varphi_{i}^{\prime}, \psi_{i}^{\prime}$; поэтому получаем:
\[
\begin{array}{c}
0=\sum\left[\frac{d \frac{\partial T}{\partial \boldsymbol{r}_{i}^{\prime}}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial r_{i}}-\frac{\partial U}{\partial r_{i}}\right] \delta r_{i}+\sum\left[\frac{d \frac{\partial T}{\partial \varphi_{i}^{\prime}}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial \varphi_{i}}-\frac{\partial U}{\partial \varphi_{i}}\right] \delta \varphi_{i}+ \\
+\sum\left[\frac{d \frac{\partial T}{\partial \psi_{i}^{\prime}}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial \psi_{i}}-\frac{\partial U}{\partial \psi_{i}}\right] \delta \psi_{i} .
\end{array}
\]

Но, на основании уравнения (3),
\[
\begin{array}{rlrl}
\frac{\partial T}{\partial r_{i}^{\prime}} & =m_{i} r_{i}^{\prime} ; & \frac{\partial T}{\partial \varphi_{i}^{\prime}} & =m_{i} r_{i}^{2} \varphi_{i}^{\prime} ; \quad \frac{\partial T}{\partial \psi_{i}^{\prime}}=m_{i} r_{i}^{2} \sin ^{2} \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime} ; \\
\frac{\partial T}{\partial r_{i}} & =m_{i}\left(r_{i} \varphi_{i}^{\prime 2}+r_{i} \sin ^{2} \psi_{i} \psi_{i}^{\prime 2}\right) ; \frac{\partial T}{\partial \varphi_{i}} & =\frac{1}{2} m_{i} r_{i}^{2} \sin 2 \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime 2} ; \frac{\partial T}{\partial \psi_{l}}=0
\end{array}
\]

таким образом имеем:
\[
\begin{array}{c}
0=\sum\left\{m_{i}\left(\frac{d r_{i}^{\prime}}{d t}-r_{i} \varphi_{i}^{\prime 2}-r_{i} \sin ^{2} \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime 2}\right)-\frac{\partial U}{\partial r_{i}}\right\} \delta r_{i}+ \\
+\sum\left\{m_{i}\left(\frac{d\left(\boldsymbol{r}_{i}^{2} \varphi_{i}{ }^{\prime}\right)}{d t}-\frac{1}{2} r_{i}^{2} \sin 2 \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime 2}\right)-\frac{\partial U}{\partial \varphi_{i}}\right\} \delta \varphi_{i}+ \\
+\sum\left\{m_{i} \frac{d\left(r_{i}^{2} \sin ^{2} \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime}\right)}{d t}-\frac{\partial U}{\partial \psi_{i}}\right\} \delta \psi_{i},
\end{array}
\]

Иди
\[
\begin{array}{c}
\sum m_{i}\left\{\left(\frac{d^{2} r_{i}}{d t^{2}}-r_{i} \varphi_{i}^{\prime 2}-r_{i} \sin ^{2} \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime 2}\right) \delta r_{i}+\left(\frac{d\left(r_{i}^{2} \varphi_{i}^{\prime}\right)}{d t}-\frac{1}{2} r_{i}^{2} \sin 2 \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime 2}\right) \delta \varphi_{i}+\right. \\
\left.+\frac{d\left(r_{i}^{2} \sin ^{2} \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime}\right)}{d t} \delta \psi_{i}\right\}=\sum\left(\frac{\partial U}{\partial r_{i}} \delta r_{i}+\frac{\partial U}{\partial \varphi_{i}} \delta \varphi_{i}+\frac{\partial U}{\partial \psi_{i}} \delta \psi_{i}\right)=\delta U .
\end{array}
\]

Если имеютел еще условные уравнения $f=0, \omega=0 \ldots$, то в правой части обравом, в этом случае получится:
\[
\begin{array}{c}
\sum m_{i}\left\{\left(\frac{d^{2} r_{i}}{d t^{2}}-r_{i} \varphi_{i}^{\prime 2}-r_{i} \sin ^{2} \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime 2}\right) \delta r_{i}+\left(\frac{d\left(r_{i}^{2} \varphi_{i}^{\prime}\right)}{d t}-\frac{1}{2} r_{i}^{2} \sin 2 \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime 2}\right) \delta \varphi_{i}+\right. \\
\left.+\frac{d\left(r_{i}^{2} \sin ^{2} \varphi_{i} \psi_{i}^{\prime}\right)}{d t} \delta \psi_{i}\right\}=\delta U+\lambda \delta f+\mu \delta \omega+\ldots
\end{array}
\]

Это уравнение распадается на $3 n$ уравнений следующего вида:

Особешную важность имеет преобразование первоначальных координат в новые, которые выбраны так, что когда все через них выражепо, то условные уравнения выполнотся сами собой. Именно, если имеется $m$ условных уравнениї, то можно все $3 n$ координат выразить через $3 n-m$ из них или через $3 n-m$ фунциї от них. В большинстве случаев очень важно ввести не самые корринаты, по повые величины так, чтобы избежать иррацвональностей. Напршер, црп движении точки по эллисоиду наиболышу важность имеют формулы:
\[
x=a \cos \eta ; \quad y=b \sin \eta \cos \zeta ; \quad z=c \sin \eta \sin \zeta .
\]

Обозначим новые $3 n-m=k$ величин через $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{k}$; этп величины должны быт таковы, что если через них выразить $x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, y_{2}, z_{2}, \ldots$ и подставить эти выражения в $m$ условных уравнений $f=0, \omega=0, \ldots$, то левые части этих уравнепий обратятся тождественно в нуль, т. е. должны нчеть место тождества:
\[
f\left(q_{1}, q_{2}, \ldots q_{k}\right)=0 ; \quad \omega\left(q_{1}, q_{2}, \ldots q_{k}\right)=0, \ldots,
\]

прнчем $q$ не связаны никаким уравнением. Благодаря этому дшфференциальные уравнения движепия значительно упростятся, Именно, общее символическое основное уравиение динамики для любой системы гоординат щри суцествовании условных уравнений будет
\[
\sum\left[\frac{d \frac{\partial T^{\prime}}{\partial y_{s}^{\prime}}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial q_{s}}\right] \delta q_{s}=\delta U+\lambda \delta f+\mu \delta \omega+\ldots,
\]

где знак сумы распространяетея на все $q$. Но для наших величин $q$ уравнения (7) имеют место тождественно; поэтому после введения этих величин будем иметь $\delta f=0, \delta \omega=0$ и т. д., и предыдущее уравнение прпводитея к уравнению
\[
\sum\left[\frac{d \frac{\partial T}{\partial q_{s}^{\prime}}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial q_{s}}\right] \delta q_{s}=\delta U
\]

которое разлагается на $k$ дифференциальных уравнений вида
\[
\frac{d \frac{\partial T}{\partial q_{s}^{\prime}}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial q_{s}}=\frac{\partial U}{\partial q_{s}} .
\]

Это та форма, в которой Лагранж предетавил дифференциальные уравнения 耳вижения уже в старом издании Аналитической механики.

Если представим себе все координаты выраженными через величины $q$, то получим после дифференцирования:
\[
\begin{aligned}
x_{i}{ }^{\prime} & =\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} q_{1}{ }^{\prime}+\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} q_{2}{ }^{\prime}+\ldots+\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}} q_{k}{ }^{\prime}, \\
y_{1}{ }^{\prime} & =\frac{\partial y_{i}}{\partial q_{1}} q_{1}{ }^{\prime}+\frac{\partial y_{i}}{\partial q_{2}} q_{2}{ }^{\prime}+\ldots+\frac{\partial y_{i}}{\partial q_{k}} q_{k}{ }^{\prime}, \\
z_{i}{ }^{\prime} & =\frac{\partial z_{i}}{\partial q_{1}} q_{1}{ }^{\prime}+\frac{\partial z_{i}}{\partial q_{2}} q_{2}{ }^{\prime}+\ldots+\frac{\partial z_{i}}{\partial q_{k}} q_{k}{ }^{\prime} .
\end{aligned}
\]

Если подставим эти значения в $T=\frac{1}{2} \sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime 2}+y_{i}^{\prime 2}+z_{i}^{\prime 2}\right)$, то получим выражение, которое представляет из себя однородную функцию второй степени относптельно величин $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots q_{k}^{\prime}$, коэффициенты которой известные функции от $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{k}$. Если мы положим
\[
\frac{\partial T}{\partial q_{\mathrm{s}}{ }^{\prime}}=p_{\mathrm{s}}
\]

то уравнение (8) можем написать еще так:
\[
\frac{d p_{s}}{d t}=\frac{\partial(T+U)}{\partial q_{s}} .
\]

Это, правда, еще не окончательная форма уравнений двнжения, так как она требует еще дальнейших преобразований; но раньше чем этим заняться, распространим предыдущее рассужденне на тот случай, когда не существует силовой функции, а на месте $\delta U$ в цервоначальном символическом уравнении стоит $\sum\left(X_{i} \delta x_{i}+Y_{i} \delta y_{i}+Z_{i} \delta z_{i}\right)$. Когда всё выражено в величинах $q$, то $\delta U=\sum_{s} \frac{\partial U}{\partial q_{s}} \delta q_{s}$. Если это сравнить с только-что упомянутым выражением $\sum\left(X_{i} \delta x_{i}+Y_{i} \delta y_{i}+Z_{i} \delta z_{i}\right)$ и вспомнить $о$ правиле, данном во второй лекции (стр. 14), по которому при преобразовании координат надо подставить вместо $\delta x_{i}, \quad \delta y_{i}, \quad \delta z_{i}$ соответственно $\sum_{s} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}} \delta q_{s} ; \quad \sum_{s} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}} \delta q_{s} ; \quad \sum_{s} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}} \delta q_{s}$, то легко видеть, что вместо $\sum_{s} \frac{\partial U}{\partial q_{s}} \hat{\partial} q_{8}$ войдет выражение
\[
\sum_{i} \sum_{s}\left(X_{i} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}}+Y_{i} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}}+Z_{i} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}}\right) \delta q_{s}
\]

п, таким образом, вместо $\frac{\partial U}{\partial q_{s}}$ будет стоять выражение:
\[
Q_{s}=\sum_{i}\left(X_{i} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}}+Y_{i} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}}+Z_{i} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}}\right) .
\]

Посредством этого преобразовапия уравнение (8) заменится следующим:

Если будем подетавлять сюда вместо $s$ значения от 1 до $k$, то получим для рассматриваемого случая уравнения движения, выраженные в величинах $q$.

Мы хотим убедиться в справедливости уравнения (11) еще другим путем и для этого будем исходить из уравнений (5), данных в предыдущей лекции (стр. 47):
\[
\begin{array}{l}
m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=\mathrm{X}_{i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial x_{i}}+\mu \frac{\partial \omega}{\partial x_{i}}+\ldots \\
m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=Y_{i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial y_{i}}+\mu \frac{\partial \omega}{\partial y_{i}}+\ldots \\
m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=Z_{i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial z_{i}}+\mu \frac{\partial \omega}{\partial z_{i}}+\ldots
\end{array}
\]

Умножаем эти уравнения на $\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}}, \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}}, \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}}$ и суммируем но $i:$ тогда шолучим множителем при $\lambda$ выражение:
\[
\sum_{i}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}}+\frac{\partial f}{\partial z_{i}} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}}\right)=\frac{\partial f\left(q_{1}, q_{2}, \ldots q_{k}\right)}{\partial q_{s}} .
\]

Но выражение в правой части исчезает на основании уравнений (7), и то же будет е коэффициентом при $\ldots$…; поэтому голучаем, принимая во внимание уравнение (10):
\[
\sum_{i} m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}}\right\}=Q_{s} .
\]

Чтобы убедиться в сграведливости уравнения (11), мы должны показать, что его левая часть тождественна с левой частью уравнения (12). Это будет показано таким образом. Мы имеем
\[
T=\frac{1}{2} \sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime 2}+y_{i}^{\prime 2}+z_{i}^{\prime 2}\right) ;
\]

шоэтому
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial T}{\partial q_{s}{ }^{\prime}}=\sum_{i} m_{i}\left(x_{i}{ }^{\prime} \frac{\partial x_{i}{ }^{\prime}}{\partial q_{s}{ }^{\prime}}+y_{i}{ }^{\prime} \frac{\partial y_{i}{ }^{\prime}}{\partial q_{s}{ }^{\prime}}+z_{i}{ }^{\prime} \frac{\partial z_{i}{ }^{\prime}}{\partial q_{s}{ }^{\prime}}\right) ; \\
\frac{\partial T}{\partial q_{s}}=\sum_{i} m_{i}\left(x_{i}{ }^{\prime} \frac{\partial x_{i}{ }^{\prime}}{\partial q_{s}}+y_{i}{ }^{\prime} \frac{\partial y_{i}{ }^{\prime}}{\partial q_{s}}+z_{i}{ }^{\prime} \frac{\partial z_{i}{ }^{\prime}}{\partial q_{s}}\right) .
\end{array}
\]

Но мы имеем еще дифференциальные уравнения:
\[
x_{i}^{\prime}=\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} q_{1}^{\prime}+\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} q_{2}^{\prime}+\ldots+\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}} q_{k}^{\prime}
\]

\[
\begin{array}{l}
y_{i}{ }^{\prime}=\frac{\partial y_{i}}{\partial q_{1}} q_{1}{ }^{\prime}+\frac{\partial y_{l}}{\partial q_{2}} q_{2}{ }^{\prime}+\ldots+\frac{\partial y_{l}}{\partial q_{k}} q_{k}{ }^{\prime} \\
z_{i}{ }^{\prime}=\frac{\partial z_{i}}{\partial q_{1}} q_{1}{ }^{\prime}+\frac{\partial z_{i}}{\partial q_{2}} q_{2}{ }^{\prime}+\ldots+\frac{\partial z_{i}}{\partial q_{k}} q_{k}{ }^{\prime} .
\end{array}
\]

Откуда следует, что
\[
\frac{\partial x_{i}{ }^{\prime}}{\partial q_{s}^{\prime}}=\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}} ; \quad \frac{\partial y_{i}{ }^{\prime}}{\partial q_{s}{ }^{\prime}}=\frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}} ; \quad \frac{\partial z_{i}{ }^{\prime}}{\partial q_{s}^{\prime}}=\frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}} .
\]

Далее имеем:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial x_{i}{ }^{\prime}}{\partial q_{s}}=\frac{\partial^{2} x_{i}}{\partial q_{s} \partial q_{1}} q_{1}{ }^{\prime}+\frac{\partial^{2} x_{i}}{\partial q_{s} \partial q_{2}} q_{2}{ }^{\prime}+\ldots+\frac{\partial^{2} x_{i}}{\partial q_{s} \partial q_{k}} q_{k}{ }^{\prime}=\frac{d \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}}}{\partial t} \\
\frac{\partial y_{i}^{\prime}}{\partial q_{s}}=\frac{\partial^{2} y_{i}}{\partial q_{s} \partial q_{1}} q_{1}{ }^{\prime}+\frac{\partial^{2} y_{i}}{\partial q_{s} \partial q_{2}} q_{2}{ }^{\prime}+\ldots+\frac{\partial^{2} y_{i}}{\partial q_{s} \partial q_{k}} q_{k}{ }^{\prime}=\frac{\partial \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}}}{d t} \\
\frac{\partial z_{i}^{\prime}}{\partial q_{s}}=\frac{\partial^{2} z_{i}}{\partial q_{s} \partial q_{1}} q_{1}{ }^{\prime}+\frac{\partial^{2} z_{i}}{\partial q_{s} \partial q_{2}} q_{2}{ }^{\prime}+\ldots+\frac{\partial^{2} z_{i}}{\partial q_{s} \partial q_{k}} q_{k}{ }^{\prime}=\frac{\partial \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}}}{d t} .
\end{array}
\]

Подстановка этих вначений в $\frac{\partial T}{\partial q_{s}{ }^{\prime}}$ и в $\frac{\partial T}{\partial q_{s}}$ дает
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial T^{\prime}}{\partial q_{s}^{\prime}}=\sum_{i} m_{i}\left(x_{i}{ }^{\prime} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}}+y_{i}^{\prime} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}}+z_{i}{ }^{\prime} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}}\right) . \\
\frac{\partial T}{\partial q_{8}}=\sum_{i} m_{i}\left(x_{i}^{\prime} \frac{d \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}}}{d t}+y_{i}^{\prime} \frac{d \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}}}{d t}+z_{i}^{\prime} \frac{d \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}}}{d t}\right) ; \\
\end{array}
\]

поэтому
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \frac{\partial T}{\partial q_{s}^{\prime}}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial q_{s}}=\sum_{i} m_{i}\left(\frac{d x_{i}{ }^{\prime}}{d t} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}}+\frac{d y_{i}{ }^{\prime}}{d t} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}}+\frac{d z_{i}{ }^{\prime}}{d t} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}}\right)= \\
=\sum_{i} m_{i}\left(\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{s}}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{s}}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{s}}\right),
\end{array}
\]

а отсюда следует тождественность уравнений (11) и (12) и вместе с гех правидьность первого из них.

Итак, если силовой фунњии пет, то уравнения движения будут вида (11); если она есть, то уравнения будүт иметь вид (8) или, что то же, вид (9), а именно:
\[
\frac{d p_{s}}{d t}=\frac{\partial(T+U)}{\partial q_{s}} ; \quad p_{s}=\frac{\partial T}{\partial q_{s}{ }^{\prime}} .
\]

Благодаря форме этих уравнений получаем непосредственно следующий замечательный результат: Ёсли можно выбрать жовые переменные так, что одна из них $q_{s}$ не входит в силовую функцию и что в $T$ же входит сама переменная $q_{s}$, а входит только ее производная $q_{s}^{\prime}$, то из этого обстоятельства каждый раз получится интеграл данной системы дифференцальных уравнений, иженно $p_{s}=$ const или, чпо то же, $\frac{\partial T}{\partial q_{s}^{\prime}}=$ const. Действительно, при сделанном предположении $\frac{\partial(T+U)}{\partial q_{s}}=0$; поэтому имеем
$\frac{d p_{8}}{d t}=0$, откда $p_{s}=$ const. Этот случай имеет место например при притяжении точки одним ненодвнжным центром. Еели этот центр паходится в начале координат, то имеем в полярных координатах [см. уравнение (3)]:
\[
U=\frac{\alpha}{r} ; \quad T=\frac{1}{2} m\left(r^{\prime 2}+r^{2} \varphi^{\prime 2}+r^{2} \sin ^{2} \varphi \psi^{\prime 2}\right),
\]

и тапим образом $\psi$ не входит в $U$, а в $T$ входит не само $\psi$, а его производная $\psi^{\prime}$; поэтому имеем
\[
\frac{\partial T}{\partial Y^{\prime}}=m r^{2} \sin ^{2} p \cdot y^{\prime}=\text { const. }
\]

али, внося множитель $m$ в постоянную,
\[
r^{2} \sin ^{2} \varphi \cdot \psi^{\prime}=\text { const, }
\]

что можно было бы вывести и из третьего уравнения (6). Это есть иринци влощадеӥ относително шлоскости $y$, z. В самом деле, так как
\[
x=r \cos \varphi ; \quad y=r \sin \varphi \cos \psi \quad z=r \sin \varphi \sin \psi,
\]
su
\[
\operatorname{tg} \psi^{\prime}=\frac{z}{y} ; \quad \frac{1}{\cos ^{2} y^{\prime}}=\frac{y z^{\prime}-z y^{\prime}}{y^{2}},
\]

ил, после умпожения на $y^{2}=r^{2} \sin ^{2} \varphi \cos ^{2} \varphi$ :
\[
r^{2} \sin ^{2} p \cdot y^{\prime}=y \frac{d z}{d l}-z \frac{d y}{d t} ;
\]

воному нолущим:
\[
r^{2} \sin ^{2} g \cdot y^{\prime}=y \frac{d z}{d t}-z \frac{d y}{d t}=\mathrm{const},
\]
2. е. принип площадей цля пиоскост $y$, а