Все наши предыдущие исследования касались систем дифференциальных уравнений, в которые входят только производные первого порядка. Сиетемы такого рода можно рассматривать как частный сдучай тех систем в воторые входят цроизводные люоого порядва. Но обратно, увеличевием числа переменных можно привести систему с производными выстего поряда к системе, содержащей только проивводные первого порядка, так что первая есть частный случай второй. Сначала мы будем заниматься этим приведением любой системы $к$ другой, в которую входят производные только первого порядка. Іусть имеется система $i$ дпфференциальных уравнений с $i+1$ переменными $t, x, y, z \ldots$, где $t$ рассматривается как независимал, а $x, y$, $z, \ldots$ – как зависимые переменные. Іусть наивыспий порядок производных, которые входят в эти қифференциальные уравнения, будет $m$-ый дая $x$, $n$-ый для $y, p$-ый для $z$ и т. д. Іредположим далее, это данные дифференциальные уравнения можно репить относительно этих высших производных, тав что они прихут следующую форму:
\[
\frac{d^{m} x}{d t^{m}}=A, \quad \frac{d^{n} y}{d t^{n}}=B, \quad \frac{d^{p} z}{d t^{p}}=C, \ldots,
\]

где выспие проивводные, входящие в $A, B, C \ldots$, будут $m$-1-ая дая $x$, $n-1$-ая для $y, p-1$-ая для $z$ и т. д. Тогда это будет канонической формой дифференциальных уравнений, для которой и надо проиввести все исследования. $К$ этой канонической форме (1) не всегда можно непосредственно привести каждую данную систему; например этого нелья сделать, если в одно из данных уравнений не входят высшие производные
\[
\frac{d^{n} x}{d t^{n}}, \frac{d^{n} y}{d t^{n}}, \frac{d^{p} z}{d t^{p}} .
\]

Тогда к исключению надо присоединить дифференцирование. Іредподожнм например, что в уравнении, о вотором идет речь, напвысшие производные будут
\[
\frac{d^{m-\mu} x}{d t^{m-\mu}}, \frac{d^{n-
u} y}{d t^{n-1}}, \frac{d^{p-\pi} z}{d t^{p-\pi}}, \ldots
\]

и что $\mu \leqslant
u \leqslant \pi \leqslant \ldots$; тогда продифференцируем $\mu$ раз по $t$ и востользуемся полученным таким образом уравнением для исключения $\frac{d^{m} x}{d t^{m}}$ из остальных уравнений. Если между уравнениями, полученныии после этого исключения, снова найдетея одно, в которое не входит ни одна из выстих производных от $y, a, \ldots$, то это уравнение надо снова дифференцировать и т. д. Если это рассждение и достаточно , для того, чтобы показать, тұо ириведение к канонической форме возможно в каждом случае, то оно всё же не дает предварительно нивакого общего метода для этого приведения. Установить такой метод было бы преврасной вадачей; *) она совпадает с задачей определения числа проввольных постоянных, которые содержатся в ннтегралах данной системы дифференциальны уравнений; это число получится непосредственно из канонической формы, именно оно равно $m+$ $+n-p+\ldots$ Задача оредедения стедени уравнения, получающегося в результате исключения из данной системы алгебранческих уравнений, имеет поэтому некоторое сходетво с той, о которой идет речь.

Особенный случай канонической формы есть тот, в вотором мы исключаем все переменные $y$, $z, \ldots$ кроме двух $t$ и $x$ и располагаем по производным от $x$ по $t$. Но это исключение не необходимо ддя наших рассмотрений; нам нужно только, как сказано, предположить дифференциальные уравнения приведенными $\mathrm{i}$ форме (1), где наивыспие производные в $A, B$, $C .$. будут $m-1-\mathrm{a}$ для $x, n-1$-ая для $y, p-1$-ая для $z \ldots$

Iредположив это, введем $m+n+p+\ldots-i$ новых переменны именно:
\[
\left.\begin{array}{l}
x^{\prime}=\frac{d x}{d t}, x^{\prime \prime}=\frac{d x^{\prime}}{d t}, \ldots x^{(m-1)}=\frac{d x^{(m-2)}}{d t} ; \\
y^{\prime}=\frac{d y}{d t}, y^{\prime \prime}=\frac{d y^{\prime}}{d t}, \ldots y^{(n-1)}=\frac{d y^{(n-2)}}{d t} ; \\
z^{\prime}=\frac{d z}{d t}, z^{\prime \prime}=\frac{d z^{\prime}}{d t}, \ldots z^{(p-1)}=\frac{d z^{(p-2)}}{d t} ; \\
. . . . . . . . . . . .
\end{array}\right\}
\]

тогда можно все эти уравнения вместе с уравнениями (1) представить в ве следующей системы:
\[
\left\{\begin{array}{c}
d t: d x: d x^{\prime}: \ldots: d x^{(m-1)} \\
: d y: d y^{\prime}: \ldots: d y^{(n-1)} \\
: d z: d z^{\prime}: \ldots: d z^{(p-1)} \\
. . \cdot . \cdot . \cdot .
\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
1: x^{\prime}: x^{\prime \prime}: \ldots: A \\
: y^{\prime}: y^{\prime \prime}: \ldots: B \\
: z^{\prime}: z^{\prime \prime}: \ldots: C . \\
. . \ldots . .
\end{array}\right\}
\]

Если применим к этой системе общую теорию, то получим следующее дифференциальное уравнение для множителя:
\[
0=\frac{d \lg M}{d t}+\frac{\partial A}{\partial x^{(n-1)}}+\frac{\partial B}{\partial y^{(n-1)}}+\frac{\partial C}{\partial z^{(p-1)}}+\ldots
\]

IІотому чожно найти $M$ во всех случаях, в которых сумма
\[
\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial x^{(m-1)}}+\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial y^{(n-1)}}+\frac{\partial C}{\partial z^{(p-1)}}+\ldots
\]
) Якоби сам решил эту задачу; указания на это находятся в его етатье относительно множителя (Журнал Крелля, Bd. XXIX, стр. 369), где упомннаетея об ожидаемой далее статье, которая должна быть посвящена этому предмету. Из двух посмертно найденных мемуаров относительно рассматриваемой задачи, один, который содержит очень полное изложение результатов (De aequationum differentialium systemate non normali ad formam normalem revocando), прнсоединен к первому изданию этих лекции; другой, содержащий докавательства, напечатан в 64 -м томе Математического журнала (De investigando ordine systematis aequationum differentialium vulgarium cujuscunque). Jacobi.
Оба мемуара натли себе место в 5-м томе полного собравия сочнвений (Iтрик. Кмебй.)

есть полный дифференциал. Есан напрнмер
\[
\frac{\partial A}{\partial x^{(m-1)}}+\frac{\partial B}{\partial y^{(n-1)}}+\frac{\partial C}{\partial z^{(p-1)}}+\ldots=0,
\]
qгo, в частности, будет всегда, когда $A$ не содержит $\frac{d^{m-1} x}{d t^{m-1}}, B$ не содержит $\frac{d^{n-1} y}{d t^{n-1}}, C$ не содержит $\frac{d^{p-1} z}{d t^{p-1}}$ и т. д., то имеен
\[
M=\text { const. }
\]

н можез поэтому, согласно нащей теорип, поскольку дифференциальные уравнения (1) приведены к дифференциальному уравнению первого порядка с двучя переменными, найти интегрирующий множитель этого последнего уравнения.

Это рассуждение не имело бы очень больного интереса, еоли бы такие случаи не встречались на практике. Но на самом деле они имеют несто. Именно, коль скоро движение свободной сиетемы материальных точек зависит только от ее конфигурации, так что сопротивление среды не иривимается в расчет, дифференциальные уравнения движения будтт:
\[
m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=X_{i} ; \quad m_{i} d^{2} y_{i} t^{2}=Y_{i} ; \quad m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=Z_{i},
\]

тде $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$ не содержат первых производных; поэтому имеен
\[
\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{i}^{\prime}}=0 ; \cdot \frac{\partial Y_{3}}{\partial y_{i}^{\prime}}=0 ; \quad \frac{\partial Z_{i}}{\partial z_{i}^{\prime}}=0,
\]

так что
\[
\frac{d \lg M}{d t}=0 ; \quad M=\text { const. }
\]

и прицци последнего множителя в этом случае приложим. Но он находит еще приложение, как это мы покажем позке, даже для системы, ограниченной ぇакими-нибудь связями.

Особенного рассмотрения заслуживает тот случай, когда в дифференциальных уравнения, представленных в канонической форуе
\[
\frac{d^{m} x}{d t^{m}}=A, \quad \frac{d^{n} y}{d t^{n}}=B, \quad \frac{d^{p} \xi^{\prime}}{d t^{p}}=C, \ldots
\]

величины $A, B, C \ldots$ не содержат $t$. В этом случае $t$ можно совсем искичить и притом просто таким образом, что в дифференциальных уравнениях, данных в форме (3), опускаем с девой стороны $d t$, а с правой – соответствующий езу член 1. Таким образом получаем систему, порядок которой на единицу меныше, именно равен $m+n+p+\ldots$ – 1. Если пропнтегрировать эту систему и выразить вместе с тем все переменные, следовательно также и $x^{\prime}$, через одну, наприяер через $x$, то $t$ подучится, как уже выше упомявуго, из қифференциального уравнения
\[
d x-x^{\prime} d t=0 .
\]

Такия образом имеем:
\[
d t=\frac{d x}{x^{\prime}} ; \quad t=\int \frac{d x}{x^{\prime}}+C .
\]

Тахнм образом $t$ находктея простой квадрагурой.

Если теперь мы имеем множитедь $M$, свободный от $t$ (сюда в частности принадлежит случай, когда
\[
\frac{\partial A}{\partial x^{(m-1)}}+\frac{\partial B}{\partial y^{(n-1)}}+\frac{\partial C^{\prime}}{\partial z^{(p-1)}}+\ldots \ldots \ldots=0
\]

и следовательно $M=$ const.), то это значение $M$ дает последний множитель системы $(m+n+p+\ldots-1)$-го порядка, из которой исвлючено $t$; таким обравом можно произвести оба последние интегрирования. Наоборот, если имеется только одно значение $M I$, содержащее $t$, то отсюда нельзя извлечь пикакой пользы для ( $m+n+p+\ldots-1)$-го интегрирования, но только для $(m+n+p+\ldots)$-го, которое дает значение $t$ и уже сведено к одной квадратуре; притом эта польза состоит в том, что можно избежать и этой квадратуры и определить $t$, решая некоторое уравнение. В самом деле, на основании первого из уравнений (4) прошлой, лекции мы имеем для множителя $M$ системы $n$-го порядка с переменными $x, x_{1}, \ldots x_{n}$, обозначенної через (3), следующую формулу:
\[
\dot{M X}=\tilde{\omega} \Sigma \pm \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \ldots \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}},
\]

где $f_{1}=\alpha_{1}, f_{2}=\alpha_{2}, \ldots f_{n}=\alpha_{n}$ шредставляют собой интегралы этоӥ снетемы, а $\tilde{\omega}$ есть функция от $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}$, и так как эти величины при помощи интегралов системы обращаютея в постоянные, то о) обозначает постоянную. Примения это к системе (6). Если
\[
f_{1}=\alpha_{1}, f_{2}=\alpha_{2}, \ldots f_{m+n+p+\ldots-1}=\alpha_{m+n+p}+\ldots-1
\]

представляют интегралы приведенной системы, полученной из (6) исключением $t$, и если
\[
f=t-\int \frac{d x}{x^{\prime}}=\text { const. }
\]

есть последниї интеграл системы (6), доставляющий значение $t$, то из формұлы (7) получится для множителя $M$ системы (6) следующая формула:
\[
M=\tilde{\omega} \Sigma \pm \frac{\partial f^{\prime}}{\partial x} \frac{\partial f_{1}}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x^{\prime \prime}} \cdots \frac{\partial f_{m-1}}{\partial x^{(m-1)}} \frac{\partial f_{m n}}{\partial y} \ldots \frac{\partial f_{m+n-1}}{\partial y^{(n-1)}} \frac{\partial f_{m+n}}{\partial z} \ldots \frac{\partial f_{m+n+p-1}}{\partial z^{(p-1)}} \ldots ;
\]

ддя этого надо только вместо $x, x_{1}, \ldots x_{n}$ подставить $t, x, x^{\prime}, \ldots x^{(m-1)}, y$, $y^{\prime}, \ldots y^{(n-1)}, z, z^{\prime}, \ldots z^{(p-1)} \ldots$ и, в силу этого, вуесто $X$ подставить единищу. Но мы нмеен $f=t-\int \frac{d x}{x^{\prime}}$, где $x^{\prime}$ есть данная функция от $x$; поэтому
\[
\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{1}{x^{\prime}}, \frac{\partial f}{\partial x^{\prime}}=0, \frac{\partial f}{\partial x^{\prime \prime}}=0, \ldots \frac{\partial f}{\partial z^{(p-1)}}=0 \text { п т. д. }
\]

и вместе с этим
\[
M=\text {-const. } \cdot \frac{1}{x^{\prime}} \sum \pm \frac{\partial f_{1}^{\prime}}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x^{\prime \prime}} \ldots \frac{\partial f_{m+n+p-1}}{\partial z^{(p-1)}} \ldots
\]

Іравая часть этого равенства есть в то же вречя множитель свободной ог $t$ енотемы $(m+n+p+\ldots-1)$-го порядка; действительно, для множнтелн этой скстемы, воторый будет обозначен через $\mu$, получим, применяя равенство (7), формулу:
\[
\mu x^{\prime}=\text { const. } \cdot \Sigma \pm \frac{\partial f_{1}}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x^{\prime \prime}} \ldots \frac{\partial f_{m+n+p-1}}{\partial z^{(p-1)}} \ldots,
\]

где $\mu$, как это само собой разумеетея, есть выражение, свободное от $t$. Ни имеем таким образом
\[
M=\text { const. } \mu,
\]

и так как по предположению $M$ содержит $t$, то $t$ подучитея ретение ятого уравнения. Между тем мы знаем, благодаря уже известному нам опредедению
\[
t=\int \frac{d x}{x^{\prime}}+\text { const. }
\]

что постоянная соединена с $t$ аддитивно; чтобы такое соединение $t$ с постоянной вытекало также из предыдущего уравнения дяя $M$, необходимо, чтобы $M$ нмело форму
\[
e^{n t} N
\]

где $\lambda$ не зависит от $t$. Тогда получаем логарифмированием:
\[
m t=\lg \frac{\mu}{N}+\lg \text { const. }
\]

Таким образом, если $A, B, C, \ldots$ не содержат переменной $t$, то $M$, если оно в свою очередь не содержит $t$, даст предпоследнеө интегрирование. Если, напротив, $M$ содержит переменную $t$, то благодаря знанию $M$ можно избежать одной квадратуры, которая иначе была бы необходима для опрещеления $t$.

К первому случаю принадлежат дифференциальные уравнения (5), имеющие место для движения системы $n$ материальных точек, так вак извествое нам значение их множителя $M=$ const. не вависит от $t$. Дифференциаьные уравнения (5) образуют систему $6 n$-го порялка, которая по нашему методу выравится через $6 n+1$ переменных $x_{i}, x_{i}^{\prime}, y_{i}, y_{i}^{\prime}, z_{i}, z_{t}^{\prime}, t$. Ғсли для этой системы известно $6 n-2=$ рнтегралов, ве содержамих геременной $t$,
\[
f_{1}=\alpha_{1}, f_{2}=\alpha_{2}, \ldots f_{y}=\alpha_{,},
\]

так что все зависимые переменные хожно выразить через две, готя бы через $x_{1}$ и $y_{1}$, для которых нмеет несто дифференцильное уравнение первого порядка
\[
x_{1}^{\prime} d y_{1}-y_{1}^{\prime} d x_{1}=0,
\]

которое надо еще проинтегрировать, то хожно определить пнтегрвруюий множитель $R$ этого последнего уравнения. Обозначим те $6 n-2=v$ переменных, которые останутся из $6 n$ переменных $x_{i}, x_{i}^{\prime}, y_{i}, y_{i}^{\prime}, z_{i}, z_{i}^{\prime}$ noеле исключения $x_{1}$ и $y_{1}$, через $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{v}$; тогда
\[
R=\Sigma \pm \frac{\partial p_{1}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial p_{2}}{\partial \alpha_{2}} \ldots \frac{\partial p_{y}}{\partial \alpha}
\]

где џредположено, что вместо переменных $p_{1}, p_{2}, \ldots p$, подставлены их значения, нолучающиеся из интегралов $f_{1}=\alpha_{1}, f_{2}=\alpha_{2}, \ldots f_{y}=\alpha_{1}$. Если данные $v$ интегральных уравнений не репены ни относительно переменных $p_{1}$, $p_{2}, \ldots p_{y}$, ни относительно произвольных постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{y}$ и если они обознатены через
\[
\tilde{\omega}_{1}=0, \quad \tilde{\omega}_{2}=0, \ldots \tilde{\omega}_{v}=0,
\]

то на основании теоре м относнтельно функцновальны определителей, нзложенных в тринадцатой лекции, дая интегрирующего множителя $R$ пөлуунтея пробь:
\[
r=\frac{\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial \tilde{\omega}_{1}}{\partial \tilde{\alpha}_{1}} \frac{\partial \tilde{\omega}_{2}}{\partial \alpha_{2}} \cdots \frac{\partial \tilde{\omega}_{v}}{\partial \boldsymbol{\alpha}_{v}}}{\boldsymbol{
u} \pm \frac{\partial \tilde{\omega}_{1}}{\partial p_{1}} \frac{\partial \tilde{\omega}_{2}}{\partial p_{2}} \cdots \frac{\partial \tilde{\omega}_{v}}{\partial p_{v}}}
\]

Іри сдежанвои выше предгожожении, что интегральные уравнения решены относительно произвольных постоянных, надо положить $\tilde{\omega}_{i}=f_{i}-\alpha_{i}$; тогла числитель дроби сведетея к единице н интегрируюциї множител будет:
\[
R=\frac{1}{\Sigma \pm \frac{\partial f_{1}}{\partial p_{1}} \frac{\partial f_{2}}{\partial p_{2}} \ldots \frac{\partial f_{v}}{\partial p_{v}}}
\]

Ђолее общий саучай, в котором стоящий в чистителе вышенаписанной дроби определитель значительно упрощается, есть тот, когда ш́ содержит только $\alpha_{1}$, $\tilde{\omega}_{2}$-только $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ и т. д. н вообще $\tilde{\omega}_{i}$-то.тько $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{i}$; тогда оиределитель
\[
\sum \pm \frac{\partial \tilde{\omega}_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial \tilde{\omega}_{2}}{\partial x_{2}} \cdots \tilde{\omega}_{v}^{\partial x_{v}}
\]

еведется к одноиу чиену
\[
\frac{\partial \tilde{\theta}_{1}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial \tilde{\omega}_{2}}{\partial \alpha_{2}} \ldots \frac{\partial \tilde{\omega}_{y}}{\partial \alpha_{y}} .
\]

Тақая форма интегральных уравненяй, конечно, всегда может быть ностигнута постеценным искичением. Аналогичный случай для знаменателя $R$ есть тот, когда $\tilde{\omega}_{1}$ из всех перененных $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{v}$ содержит только одну $p_{1}$, $\widetilde{\omega}_{2}$ – только $p_{1}$ и $p_{2}$ и т. д., $\tilde{\omega}_{i}$ – только $p_{1}, p_{2} \ldots p_{i}$. Тогда определитель
\[
\Sigma \pm \frac{\partial \tilde{\omega}_{1}}{\partial p_{1}} \frac{\partial \tilde{\omega}_{2}}{\partial p_{2}} \ldots \frac{\partial \tilde{\omega}_{v}}{\partial p_{v}}
\]

сведется к одному чиен:
\[
\frac{\partial \tilde{\omega}_{1}}{\partial p_{1}} \frac{\partial \tilde{\omega}_{2}}{\partial p_{2}} \cdots \frac{\partial \tilde{\omega}_{
u}}{\partial p_{v}}
\]

Если ны знаем не v нолных интегралов, $a \vee$ частных, т. е. таких, в которых постоянным $\alpha_{1}, \ldots \alpha_{v}$ приданы частные значения, то, хотя мы можем составить определитель в знаменателе $R$, но в числителе эторо сделать не можем, так как дая этого надо было бы знать, в какой форме ностоянные входят в интегралы. Но если установлено, что до того, как пронзвольным постоянным приданы частне значения, в $\tilde{\omega}_{1}$ входила тольво $\alpha_{1}$ в $\tilde{\omega}_{2}$ – только $\alpha_{1}$ н $\alpha_{2}$ и т. д., в $\tilde{\omega}_{1}$ – только $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{1}$, то для того, чтобы быть в состоянии образовать определитель в числителе $R$, требуется тодько знать форму, в которой $\alpha_{1}$ содержалась в $\tilde{\omega}_{1}, \alpha_{2}$ – в $\tilde{\omega}_{2}, \ldots \alpha_{i}-$ в $\tilde{\omega}_{i}$, $\alpha_{v}$ – в $\tilde{\omega}_{y}$. Напротив, нам не надо знать, каг $\tilde{\omega}_{2}$ зависит от $\alpha_{1}, \tilde{\omega}_{3}$ – от $\alpha_{1}$, $\alpha_{i}, \ldots, \tilde{\omega}_{i}$ – от $\alpha_{1}, \alpha_{2} \ldots \alpha_{i-1}$, так как ны вндели, тто весь определитель приводится к одному члену $\frac{\partial \tilde{\omega}_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial \tilde{\omega}_{2}}{\partial x_{2}} \cdots \frac{\partial \tilde{\omega}_{,}}{\partial \alpha_{4}}$. Этот сдучай имеет место пи интегрирования обыкновенного дифференциашного уравнения высшего порядга, если иредположено, что каждое интегрирование можно провести полностью, но тогда, чтобы интегрировать дальше, надо придать произвольной шостоянной некоторое частное значенне.