Кроме того недостатка, что при обычном снособе выражения принцииа наименьшего действия теорема живых сил не вводитея в интеграл, выражающий этот привцип, плохо еще то, что обычно говорят: интеграл довжен быть наибольшим или наименыпим; между тем нацо сказать: его цервая вариация должна обращатьея в нуль. Смешение этих никоим обравом не тождественных требований так вошло в обычай, что его едва можно ноставить в упрек авторам. На этой почве между Лагранжем и Пуассоном произощло замечательное quiproquo, которое относитея к юратайлей линии. Јагранж говорит совершенно справедливо, что в этом случае интеграл никогда не может сделаться максимумом, потому что как пи длинна будет кривая, соединяющая две точки на данной поверхности, всегда можно найти еще более длинную, а отсюда он заключает, что интеграл всегда должен быть минимумом. Напротив, Пуассон, который знал, что интеграл в известных случаях, в частности для замкнутой поверхности, за известными границами перестает быть минимумом, заклютил отсюда, что в этих случаях интеграл должен быть максимумом. Оба заключепия неправильны; в случае кратчайших линий интеграл во всяком случае нитогда не будет максимумом, а будет либо минимумом, либо ни тем, ни другим, – ни макоимумом, ни минимумом.

Искюченте времени из интеграла, рассматриваеного при получении принципа наименьшего действия, должно шроизводиться обязател;о при помощи принципа живої силы, а не при помощи принципа площадей или какого-либо другого интегрального уравнения гадащ; тольк таким путем говорит, что он в туринеком мемуаре вывел дифференциальне уравнения двитения из щринципа наимешышего действия в соединении с щринципом живых спл. Такой способ выражения носле выше еделанных замечаний недопустим. Лагранж шримения только тто открытое пм вариационое печиоление в пспольованному уже Эйлером прицину наияеныего действия, но употребил при этом чринциц живнх сил в распиренном виде, приданном ему Даниилом Бернулли и тапим обравом пришел в общему символическому уравнению динамики, из которого мы исходили п кохорсе мы здесь еще рав: нашишен; оно быно
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{i}\right\}=\sum\left(X_{i} \delta x_{i}+Y_{i} \delta y_{i}+Z_{i} \delta z_{i}\right),
\]

рде в правой части надо поставить $\delta U$, когда имеет иест принцип живых снл. Еели отвлечся от того, что $\delta U$ в шринятом в вариационном иечисления смысле только тогда может быть поставлена в правой части уравнении, когда величины $X_{i}, Y_{v}, Z_{i}$ являются частными проивводными одной и той же функции $U$, и рассматривать $\delta U$ просто как сиволическое сокращенное обозначение, то равенство
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{t}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{1}}{d t^{2}} \hat{\partial} z_{i}\right\}=\delta U
\]

будет служить также и для того случая, когда теорема живых сил не инеет места. Это уравнение, как было уже раныше упомянуто, справедливо также и тогда, когда имеютел условные уравнешия, но тогда вариации не будут болые независимы друг от друга. Если имеютея $m$ условных уравнений
\[
f=0, \varphi=0, \ldots,
\]

то между вариациями тоже существуют $m$ условных уравнений:
\[
\left\{\begin{array}{l}
\sum\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial f}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right)=0, \\
\sum\left(\frac{\partial \rho}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial \rho}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial \rho}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right)=0
\end{array}\right.
\]

и т. д.
При понощи этих $m$ уравнений можно исключить из уравнения (1) $m$ из $3 n$ вариаций $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}, \ldots$, и если после этого оставшиеся вариации шоложить независимыми пруг от друга, то символичеекое уравнение (1). распадется на дифференциальные уравнения движения. Но это исключение было бы очень затруднительно и имеет, кроме того, некоторые нешриятиые стороны; пейетвительно, во-первых, пришлось бы некоторые координаты предичест, другим, и поэтому получились бы несимметричные формулы, а, во-вторых, для различного чиела условных уравнений получалась бы различная форма результатов исключения, вследетвие чего общность исследования бъла бы сильно затрднена. Все эти трудности поборол Јагранж введением множителей (метод, который уже Эйлер часто употреблял в задачах \”de maximis et minimis\”). Так как в уравнениях (1) п (4) вариации $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$.. входят линейно, то пеклочение $m$ из них можно произвести следующим образом. Унножаем уравнения (4) со́ответственно на множители $\lambda$, $\mu .$. и складываем их с (1), полученное уравнение назовем $(L)$. Определяем тешерь множители $\lambda, \mu \ldots$ так, тобы в уравнении ( $I$ ) $m$ из выражениї, умноженных на вариации $\delta x_{i}$, $\partial y_{i}$, $\delta z_{i} \ldots$, тождественно обращались в нуль, тогда, приравпяв нулю выражения, умноженные на осталњные $3 n-m$ варнаций, получшм дифференциальне уравнения задачи. Таким образом видим, тто в уравнении $(L)$ все $3 n$ выражений, умноженных на $\delta x_{i}$, б $y_{i}$, $\delta z_{i} \ldots$, надо положить равныни нулю и тогда раселатриваль эти уравнения так, что $m$ из них определяют множители $\lambda, \mu .$. , а остальные, в которые надо подставить найденные такпм образом множители, дают дифференциальные уравнения задачи. Цругими с.овами, из $3 n$ уравнений, на которые расшадается уравнение ( $L$ ), если все вариации раскитривать как невависимые, надо искочить $m$ мнолителей $\lambda, \mu \ldots$ и топда получатея $3 n-m$ дифференцияьных уравнений задачи. Но вместо того, чтобы производить это искючение, лучше оставить неизвестные множители в $3 n$ уравнениях и исследовать дамые эти последние, они будут тогда иметь вид:
\[
\left\{\begin{array}{l}
m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=X_{i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial x_{i}}+\mu \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}+\ldots \\
m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=Y_{i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial y_{i}}+\mu \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}}+\ldots, \\
m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=Z_{i}+\lambda \frac{\partial f}{\partial z_{i}}+\mu \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}}+\ldots,
\end{array}\right.
\]

тде для всех $n$ значений $i$ везде входят одни и те же множители $\lambda, \mu \ldots$ Это и есть та формула, которую Лагранж дал уравнениям движения системы, связанной любыми уёловиями.

Величины, прибавленные в силам $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$, выражают действие системы, т. е. изменение, которое приложенные силы претерпевают благодаря связям материальных точек. $К$ әтому же результату приходят в статике, когда доказывают, что в том случае, когда в $n$ точках системы прияожены силы
\[
\lambda \frac{\partial f}{\partial x_{i}}+\mu \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}+\ldots, \lambda \frac{\partial f}{\partial y_{i}}+\mu \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}}+\ldots \lambda \lambda \frac{\partial f}{\partial z_{i}}+\mu \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}}+\ldots,
\]

наралельные кординатным осям, то эти силы уничтожалтея связями сиетемы, откда вытекает, что уничтожаемые связями системы силы не определены, но .содержат неопределенные величины $\lambda, \mu . .$. Iоэтому введение множителей $\lambda, \mu .$. не есть просто искусотвенный ирием вычисления,-. на самом деле эти велитины имеют в статике виоде ошределепное значение. От только что приведенной теоремы сталики можьо теперь перейти к уравнения (5) двикения, притом основывая переход от статики к механике на следующем рассунении.

Благодаря связи системы, материапные точки не могут следовать сообщенным им имгуысам. Чтобы получить истинное движение, надо присоединить такие силы, ксшекс которых уничтожался бы свявью системы и носле щрисоединения которых систему можно было бы рассматривать так, как будто точки следуют прнложенным к ним силам без сопротивления: другими словами, после присоединения сил, уничтожающихся овязью системы, можно расслатривать сиетему как свободную. Уто можно установить как принци, и из него сами собою получапся уравнения (5).

Именно этот шринцип, давший нам благодаря присутетвию связей системы изненение сил, вызывающих ускорение, служит также и для того, чтобы найти изменение мгновенных сил благодаря связям системы. Формулы, которые тут надо применить, соверпенно те же самие. Если на точку $m_{i}$ действуют мгновенные ингльсы $a_{i}, b_{i}, c_{i}$, то, иринияая во внимание связь системы, получим следующие измененные импцьсы:
\[
\left\{\begin{array}{c}
a_{i}+\lambda_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}+\mu_{1} \frac{\partial p}{\partial x_{i}}+\ldots \\
b_{i}+\lambda_{1} \frac{\partial f}{\partial y_{i}}+\mu_{1} \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}}+\ldots \\
c_{i}+\lambda_{1} \frac{\partial f}{\partial z_{i}}+\mu_{1} \frac{\partial p}{\partial z_{i}}+\ldots
\end{array}\right.
\]

где величины $\lambda_{1}, \mu_{1}, \ldots$ снова остаютея одними и теми же для всех точек системы.

Еели ұы хотия определиг величины $\lambda, \mu, \ldots$ п $\lambda_{1}, \mu_{1}, \ldots$, то падо дифференцировать уравнения $f=0, c=0, \ldots$ Дяя ошределения величин $\lambda$, $\mu, \ldots$ надо продиффереццировать два рапа и залез подетавить вторые производие корлинат из уравнений (5); для опрелеления же величин $\lambda_{1}, \mu_{1}, \ldots$ деле уравненил для оиределеция $\lambda_{1}, \mu_{1}, \ldots$, иредиолагая, что мгновенные пиулье $a_{1}, b_{1}, c_{1}$ дейотушт в начале движения и что система в этот момент находится в подном шоке. Іри таких облоятельсвах мы можем нля патала пвнешия совем не принимать во внимание сил, вызывающих ускорение, так как ти силы могут дать тольо безконечно-малые скорости, поэтому мы должны для определевия $\lambda_{1}, \mu_{1} \ldots$ составить цифференциальные уравнения
\[
\begin{array}{l}
\sum\left\{\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \frac{d x_{i}}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}} \frac{d y_{i}}{d t}+\frac{\partial f}{\partial z_{i}} \frac{d z_{i}}{d t}\right\}=0 \\
\sum\left\{\frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}} \frac{d x_{i}}{d t}+\frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}} \frac{d y_{i}}{d t}+\frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}} \frac{d z_{i}}{d t}\right\}=0 \\
\text { и м. д.s. }
\end{array}
\]

и подставить в них вместо $\frac{d x_{i}}{d t}, \frac{d y_{i}}{d t}, \frac{d z_{i}}{d t}$ величины (6), разделив их предварительно на $m_{i}$. Это дает следующий результат: полагаем
\[
\begin{aligned}
A & =\sum \frac{1}{m_{i}}\left(-\frac{\partial f}{\partial x_{i}} a_{i}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}} b_{i}+\frac{\partial f}{\partial z_{i}} c_{i}\right), \\
B & =\sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial p_{i}}{\partial x_{i}} a_{i}+\frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}} b_{i}+\frac{\partial p_{i}}{\partial z_{i}} c_{i}\right),
\end{aligned}
\]
\[
\begin{array}{l}
(f, f)=\sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}} \frac{\partial f}{\partial y_{i}}+\frac{\partial f}{\partial z_{i}} \frac{\partial f}{\partial z_{i}}\right), \\
(f, \varphi)=\sum \frac{1}{m_{i}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial x_{i}}+\frac{\partial f}{\partial y_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial y_{i}}+\frac{\partial f}{\partial z_{i}} \frac{\partial \varphi}{\partial z_{i}}\right),
\end{array}
\]

тогда для определения $\lambda_{1}, \mu_{1}, \ldots$ имеем уравнения:
\[
\left\{\begin{array}{l}
0=A+(f, t) \lambda_{1}+(f, \varphi) \mu_{1}+(f, \psi)
u_{1}+\ldots, \\
0=B+(\varphi, t) \lambda_{1}+(\varphi, \varphi) \mu_{1}+(\varphi, \psi)
u_{1}+\ldots, \\
0=C+(\psi, t) \lambda_{1}+(\varphi, \varphi) \mu_{1}+(\psi, \psi) v_{1}+\ldots,
\end{array}\right.
\]

и т. д.
Той же формы будут уравнения дяя огределения $\lambda, \mu, \ldots$, только тут $A, B, C \ldots$ принимают пругие значения.

Возвращаемся тешерь к дифференциальны уравнениям (5). Если мы их номножим соответственно на $\partial x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$ и сложим все $3 n$ произведения, то получим снова символическое уравнение, которое мы обознұчили выне черев $(L)$, именно:
\[
\sum m_{i}\left(\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{i}\right)=\delta U+\lambda \delta f+\mu \delta \varphi+\ldots,
\]

это урявнение равнозначно системе (5).
Чтобы рассмотреть всю совокупность задач, которые содержатея в уравнениях (5), мы должны принять во внпмание тот случай, когда в узловия входит явно время; тогда тоже имеют место уравнения (5). Чгобы получить предетавление о том, как время может входить в условия, предположим, например, что материальные точки связаны с подвижными центрами, движение которых дано; связь эта такова, что центры действуют на материальные точки не вызывая реакции. Но для этого предположения необходимо дат, подвижным центрам назы, которые по сравнению с масами материальных точек беэконечно велики. В этом случае без дальнейпих расуждений берем для материальных точек уравнения (5); подвижные же ценгры сохраняют без изменения данные им движения. В самом деле, пусть $M$ будет маса одного ценгра, принищаеная за беэюнечно больпую, $p$-одна из его координат;
4 Заг. 481. – я к о б и. слекцин по динамиве.

топда сила, действующал в направлєнии ксоринаты $p$, пропориональна $\boldsymbol{3}$; если иы назовеи ее $M T$, то имеем, принимая во нихание связи системы,
\[
M \frac{d^{2} p}{d t^{2}}=M P+\lambda \frac{\partial f}{\partial p}+\mu \frac{\partial p}{\partial p}+\ldots
\]

После делепия на бесконечно больмую массу $M$ получия
\[
\frac{d^{2} p}{d t^{2}}=P
\]

все же остальные члены выпадт. То же получим дия прочих коодинат. т. е. цептры слелуют данным им деижениям, не обраңая вгидапия на связи. Зпачения $\lambda, \mu, \ldots$ и $\lambda_{1}, \mu_{1}, \ldots$ будул, вдесь конечно, другие, чем рание, так ъак шри дифференцировании присоединяются еще чаетные производные но $t$. Наприхер, к $A$ (уравнепия (7)) присоединяется член $\frac{\partial f}{\partial t}$, к $I$ также $\frac{\partial \varphi}{\partial t}$ и т. д.

Однако, время может входить в условия совершенно иначе, нанричер, когда свявь двух точек ослаблятея или распиряетея, хотя бы при возрастании темшературы; но все условия такого рола можно свести к подвнжным центрам, если тольк взять как основное положение, что две связи, которые приводят к одним и тем же уравнениям, могут замевять одна другую.

Времл, кроме того, может еще очень затрулнить дело, если, нащример, c течепием его мениютея масы. Но до сих пор не было неободимости делать это предположение для мировой системы, так как наблюдения деобходияые чтобы решить пмеет аи оно место, еше деноетаточно точны.