Положим
\[
\begin{array}{l}
P=\left(a_{2}-a_{1}\right)\left(a_{3}-a_{1}\right) \ldots\left(a_{s}-a_{1}\right) \ldots\left(a_{n}-a_{1}\right) \\
\left(a_{3}-a_{2}\right) \ldots\left(a_{s}-a_{2}\right) \ldots\left(a_{n}-a_{2}\right) \\
\text {. . . . . . . . . . . . } \\
\cdot\left(a_{n}-\dot{a}_{n-1}\right) \\
\end{array}
\]

тогда произведение $P$, таким образом определенное, обладает тем свойством, что оно при любой перестановке величин $a_{1}, a_{2}, \ldots a_{n}$, или, что то же, значков $1,2 \ldots n$, меняет только свой знак, но не свое абсолютное значение. Об этих перестановках должно быть сказано здесь только следующее:

Обовнатим внатии $1,2, \ldots n$, после того как их порядок изменен еоверпенно произвольным образом, через $i_{1}, i_{2}, \ldots i_{n}$ п перестановку, при помощи которой
\[
1,2,3, \ldots s, \ldots n
\]

переходят в
\[
i_{1}, i_{2}, i_{3}, \ldots i_{s}, \ldots i_{n},
\]

обозначим через $J$. Какова бы ни была перестановка $J$, всегда можно значки $1,2, \ldots n$ разделить на группы, обладающие тем свойством, что при перестановке $J$ значки, принадлежащие одной групше, либо переходят цруг в друга, либо все переходят в другую грушну, так что во всяком случае значки, принадлежащие одной груше, остаются друг при друге. В отношении этих груші снова можно классифицировать перестановки, так что для некоторых из них все групшы переходят в самих себя, для других некоторая груша значков переходит в другую и т. Д. Этот, еще никоим образом не исчерпанный, материал является одним из важнейших в алгебре; во всех случаях, когда до сих пор возможно было решение уравнений, надо в нем искать обоснование.

Наиважнейшая из этих классифнкаций перестановок есть та, которая делит перестановки на положительные и отрицательные; первые оставляют $P$ без изменения, а вторые превращают $P$ в $–P$. Ко второму классу принадлежит например простейший случай; в котором только два значка $i$ и $i^{\prime}$ перемещаюте между собой. Это сразу видно, если представить $P$ в форме
\[
P= \pm\left(a_{i}-a_{i^{\prime}}\right) \text { II }\left(a_{i}-a_{k}\right) \text { II }\left(a_{i^{\prime}}-a_{k}\right) \text { II }\left(a_{k}-a_{k^{\prime}}\right),
\]

где $k$ изображает все значки, отличные от $i$ и $i^{\prime}$, а $k, k^{\prime}$ – все комбинации вначков, отличных от $i$ и $i^{\prime}$ и взятых по два, причем перестановка двух значков, входящих в одну и туже разность, исключается, Чтобы определить, будет ли перестановка
\[
\left.\begin{array}{c}
1,2,3, \ldots n \\
i_{1}, i_{2}, i_{3}, \ldots i_{n}
\end{array}\right\}
\]

положительн или отрицательа, надо сравпивать по очереди каждое $i$ со следующими числами. Если и есть число тех случаев, когда большее $i$ стоит перед следующим мепьии, то (J) будет шоложительной или отрицательной перестановкой смотря по тому, будет ли $\mu$ четным или нечетным; или проще: (э) положительна нли отрицательа в зависимости от того, четиым или нечетным числом перестановог шо два элемента из $1,2,3, \ldots n$ получитея $i_{1}, i_{2}, i_{3}, \ldots i_{n}$.
Чтобы от предылущего перейти к определителям, рассмотрим $n^{2}$ величин
\[
\begin{array}{c}
a_{1}, b_{1}, c_{1}, \ldots p_{1} \\
a_{2}, b_{2}, c_{2}, \ldots p_{2} \\
\cdot \dot{b}_{n}, \cdot b_{n}, \ldots p_{n} .
\end{array}
\]

Образуем проивведение
\[
a_{1} b_{2} c_{3}, \ldots p_{n}
\]

шереставим в нем значки всеми возможными способами, придадим каждому получаюенуся произведению знаг плюс или минус смотря по толу, положительа или отрицательна перестановка, и просуммируем все эти произведешия с шрипацежащими им знаками. Получающееся таким образом рыражение
\[
R=\sum-a_{1} b_{2} c_{3}, \ldots p_{n},
\]

где двойной знак имеет укаванное вначение, есть определитель $n^{2}$ величин $a_{1} \ldots p_{n}$, и эти $n^{2}$ величин называютея элементами определителя $R$. Можно представить себе $h$ образовавшимся из равложения $P$ таким образом, что к ьаждому члену присоединется, как мпожитель в нулевой степени, то $a$, готорое в него пе входит, и затем для всякого значения значка $i$ вместо степеней $a_{i}^{0}, a_{i}{ }^{1}, a_{i}{ }^{2}, \ldots a_{i}^{n-1}$ ставится соответственно $a_{i}, b_{i}, c_{i} \ldots p_{i}$. Oпределитель $R$ имеет следующи основные свойства:
1. При перестановке двух значков $i$ и $k$ или двух букв, например $a$ и $b$, одной па место другой определитель $R$ шереходит в – $h$. Отсюда следует, что когда два ряда величип совпадают друг с другом, т. е. когда

или
\[
a_{i}=a_{k}, b_{l}=b_{k}, \ldots p_{i}=p_{k},
\]
\[
g_{1}=h_{1}, g_{2}=h_{2}, \ldots g_{n}=h_{n},
\]

определитель $R$ обращается в нуль.
2. Определитель $l$ однороден и лиеен по отнопению ко всем величинам, стояцим в одном ряду, т. е. как по отношению к величинам
\[
a_{i}, b_{i}, \ldots p_{i},
\]

та̨к и по отнопению в велпинам
\[
g_{1}, g_{2}, \ldots g_{n} .
\]

Поэтому имеем:
\[
\begin{array}{c}
g_{1}, g_{2}, \ldots g_{n} \cdot \\
R=\frac{\partial R}{\partial a_{i}} a_{i}+\frac{\partial R}{\partial b_{i}} b_{i}+\ldots+\frac{\partial R_{i}}{\partial p_{i}} p_{l} \\
R=\frac{\partial R}{\partial g_{1}} g_{1}+\frac{\partial R}{\partial g_{2}} g_{2}+\ldots+\frac{\partial R}{\partial g_{n}} g_{n} .
\end{array}
\]

Положим
\[
\frac{\partial R}{\partial a_{i}}=A_{i}, \frac{\partial R}{\partial b_{i}}=B_{i}, \ldots \frac{\partial R}{\partial p_{i}}=I_{i}
\]

тогда
\[
R=A_{i} a_{i}+B_{i} b_{i}+C_{i} c_{i}+\ldots+P_{i} p_{i}
\]

и тав же
\[
R=A_{k} a_{k}+B_{k} b_{k}+C_{k} c_{k}+\ldots+P_{k} p_{k} .
\]

Но при перестановье значков $i$ и $k$ определитель $R$ переходит в $-R$, так что, как отсюда ясно, $A_{i}$ переходит в $-A_{k}, B_{i}$ в – $B_{k}$ и т. д.; вместе с этим тот член $A_{i}$, который умножен на $b_{k}$, шереходит в тот член $-A_{k}$, который умножен на $b_{i}$, т. е. в определителе $R$ члены $a_{i} b_{k}$ п $a_{k} b_{i}$ имею́т множители обратные по знаку, или
\[
\frac{\partial^{2} R}{\partial a_{i} \partial b_{k}}=-\frac{\partial^{2} R}{\partial a_{k} \partial b_{i}}
\]

Точно тав же имеем для трех значков $i, k, l$ :
\[
\frac{\partial^{3} R}{\partial a_{i} \partial b_{k} \partial c_{l}}=\frac{\partial^{3} R}{\partial a_{k} \partial b_{l} \partial c_{i}}=\frac{\partial^{3} R}{\partial a_{l} \partial b_{i} \partial c_{k}}=-\frac{\partial^{3} R}{\partial a_{l} \partial b_{k} \partial c_{i}}=-\frac{\partial^{3} R}{\partial a_{k} \partial b_{i} \partial c_{l}}=-\frac{\partial^{3} R}{\partial a_{i} \partial b_{l} \partial c_{k}} ;
\]

отсюда получаются следующие выражения для $R$ :
\[
\begin{array}{c}
R=\sum \sum\left(a_{i} b_{k}-a_{k} b_{i}\right) \frac{\partial^{2} R}{\partial a_{i} \partial b_{k}} ; \\
R=\sum \sum \sum\left\{a_{i}\left(b_{k} c_{l}-b_{l} c_{k}\right)+a_{k}\left(b_{l} c_{i}-b_{i} c_{l}\right)+a_{l}\left(b_{i} c_{k}-b_{k} c_{i}\right)\right\} \frac{\partial^{3} R}{\partial a_{i} \partial b_{k} \partial c_{l}} .
\end{array}
\]

Здесь суммирование распространяется на все отлитные друг от друга комбинации значков $1,2, \ldots n$, іо два н по три.

Это выражение определителя через проивведение определителей низшего порядка было помещено впервые в Парижских мемуарах от 1772 г. в одной из статей Лапласа относительно мировой системы. Јаплае и Крамер в Женеве были вообще шервыми, исследовавшими должным образом свойства определителей.
3. Вышеприведенное уравнение
\[
R=g_{1} \frac{\partial R}{\partial g_{1}}+g_{2} \frac{\partial R}{\partial g_{2}}+\ldots+g_{n} \frac{\partial R}{\partial g_{n}}
\]

дает, если написать $a$ вместо $g$,
\[
R=a_{1} \frac{\partial R}{\partial a_{1}}+a_{2} \frac{\partial R}{\partial a_{2}}+\ldots+a_{n} \frac{\partial R}{\partial a_{n}} .
\]
$К$ этогу уравнению присоединяются еще $n-1$ других уравнений, которые доказываютея на основании того обстоятельства, что $R$ должно тождественно обращаться в нуль, если два ряда величин положить равными друг другу. Эти уравнения будут:
\[
\begin{aligned}
0 & =b_{1} \frac{\partial R}{\partial a_{1}}+b_{2} \frac{\partial R}{\partial a_{2}}+\ldots+b_{n} \frac{\partial R}{\partial a_{n}} \\
0 & =c_{1} \frac{\partial R}{\partial a_{1}}+c_{2} \frac{\partial R}{\partial a_{2}}+\cdots+c_{n} \frac{\partial R}{\partial a_{n}} \\
\cdots & \cdots \cdot \cdot \cdot \\
0 & =p_{1} \frac{\partial R}{\partial a_{1}}+p_{2} \frac{\partial R}{\partial a_{2}}+\cdots+p_{n} \frac{\partial R}{\partial a_{n}}
\end{aligned}
\]

На этих формулах основывается решевие линейных уравнений. В самом деле, если имеем систему
\[
\begin{array}{l}
a_{1} x_{1}+b_{1} x_{2}+\ldots+p_{1} x_{n}=y_{1} \\
a_{2} x_{1}+b_{2} x_{2}+\cdots+p_{2} x_{n}=y_{2} \\
\cdots \cdots \\
a_{n} x_{1}+b_{n} x_{2}+\cdots+p_{n} x_{n}=y_{n}
\end{array}
\]

и умножим эти уравнения соответственно на $\frac{\partial R}{\partial a_{1}}, \frac{\partial R}{\partial a_{2}}, \ldots \frac{\partial R}{\partial a_{n}}$, на $\frac{\partial R}{\partial b_{1}}$, $\frac{\partial R}{\partial b_{2}}, \ldots \frac{\partial R}{\partial b_{n}}$ п т. д., где $R$ имеет данное выле значение
\[
R=\Sigma \pm o_{1} b_{2} \ldots p_{n},
\]

то полуним:
\[
\begin{array}{l}
R x_{1}=\frac{\partial R}{\partial a_{1}} y_{1}+\frac{\partial R}{\partial a_{2}} y_{2}+\cdots+\frac{\partial R}{\partial a_{n}} y_{n} \\
R x_{2}=\frac{\partial R}{\partial b_{1}} y_{1}+\frac{\partial R}{\partial b_{2}} y_{2}+\cdots+\frac{\partial R}{\partial b_{n}} y_{n} \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
R x_{n}=\frac{\partial R}{\partial p_{1}} y_{1}+\frac{\partial R}{\partial p_{2}} y_{2}+\cdots+\frac{\partial R}{\partial p_{n}} y_{n} .
\end{array}
\]
4. Іри помощи этих формул доказывается одна замечательная теорена относительно вариации определителя $R$. Обозначим вариации величин $a_{i}, b_{i}, \ldots p_{i}$ через $\delta a_{i}, \delta b_{i}, \ldots \delta p_{i}$ и образуем следующие $n$ систем линейных уравнениӥ:
1)
\[
\begin{array}{l}
a_{1} x_{1}{ }^{\prime}+b_{1} x_{2}{ }^{\prime}+\ldots+p_{1} x_{n}{ }^{\prime}=\delta a_{1} \\
a_{2} x_{1}{ }^{\prime}+b_{2} x_{2}{ }^{\prime}+\ldots+p_{2} x_{n}{ }^{\prime}=\delta a_{2}
\end{array}
\]
\[
a_{n} x_{1}^{\prime}+b_{n} x_{2}^{\prime}+\cdots \cdots+p_{n} x_{n}^{\prime}=\delta a_{n}
\]
2)
n)

Далее имеем:
\[
\begin{array}{c}
a_{1} x_{1}{ }^{(n)}+b_{1} x_{2}{ }^{(n)}+\ldots+p_{1} x_{n}{ }^{(n)}=\delta p_{1} \\
a_{2} x_{1}{ }^{(n)}+b_{2} x_{2}{ }^{(n)}+\cdots+p_{2} x_{n}{ }^{(n)}=\delta p_{2} \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{n} x_{1}{ }^{(n)}+b_{n} x_{2}{ }^{(n)}+\cdots \cdots+p_{n} x_{n}{ }^{(n)}=\delta p_{n} .
\end{array}
\]
\[
\delta R=\sum_{i}\left\{\frac{\partial R}{\partial a_{i}} \delta a_{i}+\frac{\partial R}{\partial b_{i}} \delta b_{i}+\ldots+\frac{\partial R}{\partial p_{i}} \delta p_{i}\right\} .
\]

Но, на основании выпеполучевны формул для решения уравпений, имеем
\[
R x_{1}{ }^{\prime}=\frac{\partial R}{\partial a_{1}} \delta a_{1}+\frac{\partial R}{\partial a_{2}} \delta a_{2}+\ldots+\frac{\partial R}{\partial a_{n}} \delta a_{n}=\sum_{i} \frac{\partial R}{\partial a_{i}} \delta a_{i}
\]

п так же
\[
R x_{2}{ }^{\prime \prime}=\sum_{i} \frac{\partial R}{\partial b_{i}} \delta b_{i}, R x_{3}{ }^{\prime \prime}=\sum_{i} \frac{\partial R}{\partial c_{i}} \delta c_{i}, \ldots R x_{n}^{(n)}=\sum_{i} \frac{\partial R}{\partial p_{i}} \delta p_{i}
\]

так что
\[
\delta R=R\left\{x_{1}{ }^{\prime}+x_{2}{ }^{\prime}+x_{3}{ }^{\prime \prime}+\ldots+x_{n}{ }^{(n)}\right\},
\]

или
\[
\delta \lg R=x_{1}{ }^{\prime}+x_{2}{ }^{\prime \prime}+x_{3}{ }^{\prime \prime}+\ldots+x_{n}{ }^{(n)} .
\]