Мы нашли принцип сохранения движения центра тяжести в предположении, что силовая функция $U$ и условные уравнения остаютея неизменными, если все координаты $x$ изменить на одну и ту же величину, все координаты $y$-на вторую, все кординаты $z$ – на третью. Эти изменения координат сводятея к тому, что переноснтея их начало, а координатные осн остаются шараллельными.

Мы сделаем тешерь другое предположение: условные уравнения не должны нзменяться, если, шри ненодвнжной оси $x$, оси $y$ и $z$ поворачиваются в их нлоскости на любой угол. Если ноложить
\[
y=r \cos v, \quad z=r \sin v
\]

то это равносильно увеличению угла $v$ на произвольный угол $\delta v$. Еели мы обозначим угол $v$,ля различных точек системы соответственно через $v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{i} \ldots$, то $U$ и условные уравнения должны оставаться без изменения, когда все $v$ изменяются на один и тот же угол $\delta v$, т. е. они должны зависеть только от разностей $v_{i}-v_{i}$. Сюда принадлежит совершенно свободная система и, вообще, всякий случай, где входят только расстояния между цошарно взятыми материальными точками системы. Вводя $r$ и $v$, получим для такого расстояния следующее выражение:
\[
\begin{array}{c}
r_{1,2}^{2}=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(r_{1} \cos v_{1}-r_{2} \cos v_{2}\right)^{2}+\left(r_{1} \sin v_{1}-r_{2} \sin v_{2}\right)^{2}= \\
=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2 r_{1} r_{2} \cos \left(v_{1}-v_{2}\right) ;
\end{array}
\]

оно зависит только. от равности $v_{1}-v_{2}$. Также сюда принадлежит случай, когда точки системы принуждены двигаться по поверхности вращения, ось которой есть ось $x$; в этом случае $v$ совсем не входят в условные уравнения. Далее надо заметить, что если в задачу должны входить неподвижные точки, то они обязательно лежат на оси $x$.

При таком предноложении относительно $U$ и условных уравнений, можно все $v_{i}$ одновременно увеличить на $\delta v$; тогда $x_{i}$ останутся без изменения, а $y_{i}$ и $z_{i}$ варьируютея, так как
\[
y_{i}=r_{i} \cos v_{i}, \quad z_{i}=r_{i} \sin v_{i} .
\]

Таким образом, получаем
\[
\delta x_{i}=0, \quad \delta y_{i}=-r_{i} \sin v_{i} \delta v=-z_{i} \delta v, \quad \delta z_{i}=r_{i} \cos v_{i} \delta v=y_{i} \delta v,
\]

как виртуальные вариации координат для нашей задачи. Внесение этих вначений в символическое уравнение (2) второй лекции приводит к уравнению:
\[
\delta v \sum m_{i}\left\{-z_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}+y_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}\right\}=\delta U
\]

для данных отклоневий $U$ остается неизменным, тақ что $\delta U=0$ и ми имеем
\[
\sum m_{i}\left\{y_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}-z_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}\right\}=0 .
\]

Заметим сразу же, что это уравнение в более общем случае, когда вместо $\delta U$ в правой части стоит выражение $\sum\left(X_{i} \delta x_{i}+Y_{i} \delta y_{i}+Z_{i} \delta z_{i}\right)$, также имеет место, если только
\[
\sum\left(Y_{i} z_{i}-Z_{i} y_{i}\right)=0 .
\]

Если это выражение ве равно пуло, то опо войдет в правую часть уравнения (1) на место нуля. Итаж, будем преднолагать, что или существует силовая функция $U$ с укязанными свойствами, или в общем случае, гогда она не существует, выполняетс условие (2), тогда пмеет место уравнение (1) в вышеприведенной форме. Левая часть этого уравпения интегрируема, и после интегрирования мы получаем:
\[
\sum m_{i}\left\{y_{i} \frac{d z_{i}}{d t}-z_{i} \frac{d y_{i}}{d t}\right\}=\alpha,
\]

ге обозначает постоянную интегрированя. Если снова ввести полярпые. координаты $r_{i}$ и $v_{i}$, то (3) примет форму:
\[
\sum m_{i} r_{i}^{2} \frac{d v_{i}}{d t}=\alpha
\]

В этом уравнении содержится шринцип сохранения плоцадей. Именно $r^{2} d v$, как иввестно, равняется удвоенному элементу площади в полярных коордипатах; таким образом, проинтегрировав еще раз уравнение (4) от 0 до $t$, получим теорему: ссли каждую из площадей, описываемых в плоскости УОZ проскцияли радиусов-векторов на эпу плоскость, умножить на массуу соответствующей материальной точки, то сумма таких пуоизведенй пропориональна елемени. Это и есть внаменитый шринци сохранения плоцадей. Как скагано, оп пмеет место, если $U$ и уеловные уравнения не изменяютея при вращении осей $y$ и в в плоскости вокруг оси $x$. Эта гинотеза для условных уравнений может быт аналитически выражена так, что для каждого условного уравнепи $f=0$ тождествешо выполняете уравнение
\[
\sum\left(z_{i} \frac{\partial f}{\partial y_{i}}-y_{i} \frac{\partial f}{\partial z_{i}}\right)=0 .
\]

То обстоятельство, что при только-что употребленном преобразованик $y d z-z d y=r^{2} d v$ входит только дифференциал величины $v$, является во чногих случаях очень важным обетоятельстом. Между прочия, пв этого преобравования вытекает, что выражение $y d z-z d y$, будучи помножено на однородную функцию – 2-го порядка от $y$ и $z$, будет полным днфферепциалоч, так как оно предетавится гак произведепие $d v$ на фунцци только от $v$.

В случае, кола $U$ и условные уравпения остаюте без изменения также шри човороте осей $x$ и $z$ вокруг оси $y$ и осей $x$ и $y$ вокруг $z$, имеются, громе уравнения (3), еще пва нодобъы, а именно:
\[
\begin{array}{l}
\sum m_{i}\left(z_{i} \frac{d x_{i}}{d i}-x_{i} \frac{d z_{i}}{d t}\right)=\beta ; \\
\sum m_{i}\left(x_{i} \frac{d y_{i}}{d t}-y_{i} \frac{d x_{i}}{d t}\right)=\gamma .
\end{array}
\]

Это имеет место, например, для $n$ евободно движущихся в пространстве тел, и потому в этом случае всегда имеются четыре интеграла: три интеграла площадей и один ннтеграл живой силы.

Чрезвычайно замечательно обстоятельство, на которое мы уже обратили внимание во введении, что из этих интегралов плоцадей пмеют место либо один, либо все три. То обстоятельство, что третья теорема площадей: всегда следует из двух других, мы шолучим как чисто вычислительный результат, как простое следствие некоторого математического тождества. Если имеют место все три интеграла площадей, то можно, не боясь нарушить общности решения, две ив постоянных $\alpha, \beta, \gamma$ взять равными нулю. В самоч деле, эти постоянные определяются в каждой задаче условными уравнениями, но каковы бы ни были эти последние, всегда можно так повернуть цоординатные оси, что в новой системе координат две из постоянных исчезнут. Деӥствительно, пүсть новые воординаты будут $\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}$; тогда общие формулы преобразования координат будут
\[
\begin{array}{l}
\xi_{i}=a x_{i}+b y_{i}+c z_{i}, \\
\eta_{i}=a^{\prime} x_{i}+b^{\prime} y_{i}+c^{\prime} z_{i}, \\
\zeta_{i}=a^{\prime \prime} x_{i}+b^{\prime \prime} y_{i}+c^{\prime \prime} z_{i} .
\end{array}
\]

Постоянные $a, b, c, a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}, a^{\prime \prime}, b^{\prime \prime}, c^{\prime \prime}$ удовлетворяют между прочим следуюиим девяти уравнениям:
\[
\begin{aligned}
b^{\prime} c^{\prime \prime}-b^{\prime \prime} c^{\prime}=a, \quad c^{\prime} a^{\prime \prime}-c^{\prime \prime} a^{\prime}=b, \quad a^{\prime} b^{\prime \prime}-a^{\prime \prime} b^{\prime}=c, \\
b^{\prime \prime} c-b c^{\prime \prime}=a^{\prime}, \quad c^{\prime \prime} a-c a^{\prime \prime}=b^{\prime} \quad a^{\prime \prime} b-a b^{\prime \prime}=c^{\prime}, \\
b c^{\prime}-b^{\prime} c=a^{\prime \prime}, \quad c a^{\prime}-c^{\prime} a=b^{\prime \prime}, \quad a b^{\prime}-a^{\prime} b=c^{\prime \prime} .
\end{aligned}
\]

Шринияая во внимание эти уравнения, имеем:
\[
\begin{aligned}
\eta_{i} \frac{d \zeta_{i}}{d t}-\zeta_{i} \frac{d \eta_{i}}{d t}=a & \left(y_{i} \frac{d z_{i}}{d t}-z_{i} \frac{d y_{i}}{d t}\right)+b\left(z_{i} \frac{d x_{i}}{d t}-x_{i} \frac{d z_{i}}{d t}\right)+ \\
& +c\left(x_{i} \frac{d y_{i}}{d t}-y_{i} \frac{d x_{i}}{d t}\right),
\end{aligned}
\]

поэтому
\[
\sum m_{i}\left(\eta_{i} \frac{d \zeta_{i}}{d t}-\zeta_{i} \frac{d \eta_{i}}{d t}\right)=a \alpha+b \beta+c \gamma .
\]

Отсюда впдно, что если интегралы шлощадей для какой-нибудь системи координат имеют место во всех трех коорцинатных шлоскостях, то они имеют место для каждой системы координат. *) Представим новую шостоянную
*) Рассмотренные интегралы площадей, которые относятея к системе координат с неподвияным началом, нельзя применить ‘к солнечной системе, так как. в мировом простганстве нет ни одной неподвижной точк. Но легко убедитьсяs положив
\[
x_{i}=\underline{x}+A ; \quad y_{i}=\mathrm{v}_{i}+B ; \quad z_{i}=\hat{\jmath}_{i}+C,
\]

где $A, B, C$ – коордпнаты центра тяжести (третья лекция), что интегралы площадей (3), (5), (6) все же будут иметь место, если вместо $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ подставить соота ветственно $\underline{x}_{i},
u_{i}, z_{i}$, и в то же время $\alpha, \beta, \gamma$ нзменить на
\[
\begin{array}{l}
M\left(\beta^{(0)} \gamma^{\prime}-\gamma^{(0)} \beta^{\prime}\right) \\
M\left(\gamma^{(0)} \alpha^{\prime}-\alpha^{(0)} \gamma^{\prime}\right) \\
M\left(\alpha^{(0)} \beta^{\prime}-\beta^{(0)} \alpha^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом әти интегралы площадей годлтся такжө для случая, когда за начало координат принят равномерно и прямолинейно двнгающийся центр тяжести.

$a \alpha+b \beta+c \gamma$ в другой форме. Обозначим углы, которые ось обравует с осями $x, y, z$, через $l, m, n$; тогда
\[
a=\cos l, \quad b=\cos m, \quad c=\cos n .
\]

Еели положим еще
\[
\frac{\alpha}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}}=\cos \lambda, \frac{\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}}=\cos \mu, \frac{\gamma}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}}=\cos
u,
\]

то получим:
\[
a \alpha+b \beta+c \gamma=\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}(\cos l \cos \lambda+\cos m \cos \mu+\cos n \cos
u),
\]

Но так как $\cos ^{2} \lambda+\cos ^{2} \mu+\cos ^{2}
u=1$, то $\lambda$, $\mu$, можно рассматривать как углы, которые некоторая огределенная шрямая $L$ образует с осями $x, y, z$. Обозначим угол, который эта шрямая образует с осью $\xi$, через $V$; тогда
\[
\cos l \cos \lambda+\cos m \cos \mu+\cos n \cos
u=\cos V
\]

и, следовательно,
\[
a \alpha+b \beta+c \gamma=\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}} \cos V .
\]

Таким образом, постоянная интеграла площадей для шыоскости $\eta$, 6 будет равна радикалу $\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}$, умноженному на косннус угла, который ось $\xi$ образует с прямой $L$, гостроенной вышеуказанным образом. То же самое имеет, конечно, место для двух других интегралов площадей в новой системе кордынат, только вместо угла $V$ падо брать углы $V^{\prime}$ и $V^{\prime \prime}$, которые прямая $L$ образует с осями $\eta$ и $\zeta$. Цусть теперь ось $\xi$ совнадает с прямой $L$; тогда $V=0, V^{\prime}=90^{\circ}, V^{\prime \prime}=90^{\circ}$, і потому $\cos V=1, \cos V^{\prime}=0$, $\cos V^{\prime \prime}=0$. Отсода видно, что постоянные интегралов площадей для плосгостей $\xi, \eta$ и $\xi, \zeta$ действительно обращаются в нуль, и в то же время цостоянная пнтеграла шлоцадей для плоскости $\eta$, ६ будет равна
\[
\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}}
\]
т. е. равна максимуну, которого она вообще может достигнуть, так кад все ее значения заключаются в общей форме
\[
\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}} \cos V .
\]

Маплас назвал опрепеленную таким обралом плоскость $\eta$, непзиеєяемой плоскостью; оп думал, что ею монно восшодевоваться для выяскепия вопроса, шропсходили ли в солнепной системе толчи в течение тысячелетий, так как эти толчки должны были бы изменить ее положение. Обратно, если два пзмерепия, произведенные в различное время, дают различные положеиия пля этой нлоскости, то в течение этого времени должпы были нроивойти толчки. Но это еще наимедее важное применение неизменяемой плоскости. Нашишем дл новых коордипат снова прежние буквы $x, y, z$, так что плоскоеть $y, z$ будет пепзменяемой, тогда мы имеем трп интеграла площадей:
\[
\begin{array}{c}
\sum m_{i}\left(y_{i} \frac{d z_{i}}{d t}-z_{i} \frac{d y_{i}}{d t}\right)=\varepsilon ; \quad \sum m_{i}\left(z_{i} \frac{d x_{i}}{d t}-x_{i} \frac{d z_{i}}{d t}\right)=0 ; \\
\sum m_{i}\left(x_{i} \frac{d y_{i}}{d t}-y_{i} \frac{d x_{i}}{d t}\right)=0,
\end{array}
\]

इде
\[
\varepsilon=\sqrt{\alpha^{2}+\beta^{2}+i^{2}} .
\]

Для случая қвух тел можно дать этим интегралам площадей интересное геометрическое значепие.

В этом случае имеен:
\[
\begin{array}{l}
m_{1}\left(y_{1} \frac{d z_{1}}{d t}-z_{1} \frac{d y_{1}}{d t}\right)+m_{2}\left(y_{2} \frac{d z_{2}}{d t}-z_{2} \frac{d y_{2}}{d t}\right)=\varepsilon, \\
m_{1}\left(z_{1} \frac{d x_{1}}{d t}-x_{1} \frac{d z_{1}}{d t}\right)+m_{2}\left(z_{2} \frac{d x_{2}}{d t}-x_{2} \frac{d z_{2}}{d t}\right)=0 \\
m_{1}\left(x_{1} \frac{d y_{1}}{d t}-y_{1} \frac{d x_{1}}{d t}\right)+m_{2}\left(x_{2} \frac{d y_{2}}{d t}-y_{2} \frac{d x_{2}}{d t}\right)=0 .
\end{array}
\]

Исключая $m_{1}$ и $m_{2}$ из двух последних уравнений, получим:
\[
\left(z_{1} \frac{d x_{1}}{d t}-x_{1} \frac{d z_{1}}{d t}\right):\left(x_{1} \frac{d y_{1}}{d t}-y_{1} \frac{d x_{1}}{d t}\right)=\left(z_{2} \frac{d x_{2}}{d t}-x_{2} \frac{d z_{2}}{d t}\right):\left(x_{2} \frac{d y_{2}}{d t}-y_{2} \frac{d x_{2}}{d t}\right) \text {. }
\]

Эта пропорция имеет простое геометрическое значение. В самом деле, представим себе, что к кривой, описанной $m_{1}$ проведена касательная в $m_{1}$, через эту касательную и через начало координат проведена плоскость $E_{1}$ и к этой цлоскости в начале координат восставлена нормаль $N_{1}$. Пуеть восинусы углов, воторые эта нормаль образует с координатными осями, будут $p_{1}, q_{1}, r_{1}$; тогда для точки $\grave{m}_{1}$ ичеем уравнения
\[
\begin{array}{c}
p_{1} x_{1}+q_{1} y_{1}+r_{1} z_{1}=0, \\
p_{1} d x_{1}+q_{1} d y_{1}+r_{1} d z_{1}=0,
\end{array}
\]

жоторые можно написать в форме двойной пропорции, именно:
\[
p_{1}: q_{1}: r_{1}=\left(y_{1} d z_{1}-z_{1} d y_{1}\right):\left(z_{1} d x_{1}-x_{1} d z_{1}\right):\left(x_{1} d y_{1}-y_{1} d x_{1}\right) .
\]

Точно так же, сделав аналогичное построение для точви $m_{2}$, определих плоскость $E_{2}$, соответствующую плоскости $E_{1}$, и нормаль $N_{2}$, соответствуюаую нормали $N_{1}$, и найда этим путем косинусы $p_{2}, q_{2}, r_{2}$, получим:
\[
p_{2}: q_{2}: r_{2}=\left(y_{2} d z_{2}-z_{2} d y_{2}\right):\left(z_{2} d x_{2}-x_{2} d z_{2}\right):\left(x_{2} d y_{2}-y_{2} d x_{2}\right) .
\]

Отсюда вытекает, что уравнения (8) при помощи величин $p_{1}, q_{1}, r_{1}, p_{2}, q_{2}, r_{2}$ можно нашисать так:
\[
q_{1}: r_{1}=q_{2}: r_{2}
\]

геометрическое значение этого уравнения найти очень просто. Уравнен ия црямых $N_{1}$ и $N_{2}$ именот вид:
\[
\frac{x}{p_{1}}=\frac{y}{q_{1}}=\frac{z}{r_{1}} \text { и } \frac{x}{p_{2}}=\frac{y}{q_{2}}=\frac{z}{r_{2}}
\]

потому уравнения их проекций на плоскость $у z$ будут:
\[
\frac{y}{q_{1}}=\frac{z}{r_{1}} \quad \text { и } \quad \frac{y}{q_{2}}=\frac{z}{r_{2}} .
\]

Но, так как $q_{1}: r_{1}=q_{2}: r_{2}$, то оба эти үравнения тождеотвенны, т. е. $N_{1}$ и $N_{2}$ илеют одну и ту же прэекцио на плоекость $y z$, т. е. $N_{1}$ и $N_{2}$ лежат в одной плоскости, перпендикулярной в $y z$ и содержащей ось $x$, так вак $N_{1}$ и $N_{2}$ проходят через начало коррдинат. Отсюда вытекает для плоскостей $E_{1}$ и $E_{2}^{2}$ что они пересекают плоскость $y$, $z$ шо одной и той же прямой. Таким образом, для свободного движения двјх масс $m_{1}$ и $m_{2}$ имеем следующую reорену:

IІредположим, что в $m_{1}$ ч $m_{2}$ проведены касательные $\boldsymbol{x}$ путям обеих точек и через эти касательные и чентр тяжести системы (последний служит началом координат) проведены плоскости; тогда эти плоскости жересекут неизменяемую плоскость (плоскость $y$, z) по одной и той же прямой.

Это геометрческое значение установлено Іуансо. Д дал интересноє его применение к задаче трех тел. *)

Так же как из теоремы живой снлы была выведена устойчивость мировой системы относительно ее размеров, так и принци площадей может служить тому, чтобы доказать ее устойчивость относителино формы ее путей. Ринее упомянутый вывод должен был погавать, что большие оси эллисов, по которым двигаютея планеты, не могут превзойти известных границ; точно так же из теоремы площадей можно вывести, что эксцентриситеты могу; изменяться тольк между известными границами, а от этого зависят формы путей. Но кроме недостатка ранее уномянутого вывода, именно, что при цринятии в расчет высших степеней все же входят вековне члены, т. е. такие, цоторые содержат время вне периодиеских фунцнй синуса и косинуса, носледний вывод страдает неполнотой, а именно он годитея тольк для небесных тел со сколько-иибуд значительными масами. Действително. в уравнении, из которого вытекает результат, о котором идет речь, отдельные члены умножаюте на масы небесных тел, а потому тела с малыми нассами влияот так незначительно на все уравнение, что отеюда велья сделать никакого заключенн относительно их юкентриситетов. В сммом деле, устойчивоеть формы пути не имеет места для комет; она не имеет неста также и ды малых планет, например для Меркурия, которого масса тақ незначительна, что она до сих пор оцепивалае только по догадкым, а первая попыта вывести ее из наблюдений, сделаңная Әнке, была возуожна только из-ва чрезвычайной близости кометы, названной его имевеч. « Мерьурию.

Если в взимшы притяжениям материалиных точек присоединяотся еще притяжения қ неподвижным центрам, то принци площадей перестает иметь место, если тольо эти цептры не лежат на одюой прямой. Еели возьнем эту прямую за ось $x$, то теорема площадей будет применима в плогкости $y, z$, в то время как в двух остальных шлоскостях она не имеет места. В самом деле, рассмотри натериальую точку $m_{i}$ и представим себе плоспость $E_{i}$, проведенную через нее параллельно плоскости $y, z$. Равнодействующая всех притяжений, которые испытывает точка $m_{i}$ от всех нешодвиж-ных центров, расположенных по оси $x$, будет направлена от этой точи к некоторой определеной точке оси $x$; поэтому можно разложить эту силу на две, из которих одна проходит через точку $m_{i}$ шараллельпо оси $x$, другал же направлена от точки $m_{i}$ к точке пересечешия плоскости $E_{i}$ е бюю $x$ и помому лежит в эой плосюсти. Шоследнюю силу обозначим через $Q_{i}$ и
\[
Q_{i} \cos v_{i}
\]

а составляющая, параллельная осп $z$, равпа
\[
Q_{i} \sin v_{i}
\]

Поэтому в сищволиеском уравнении двнжения и прептеы $\delta U$ прлсоединяетея еце выражение
\[
\sum Q_{1}\left(\cos v_{i} \delta y_{1}+\sin v_{t} \delta z_{i}\right)
\]

Таки образом мы подучим, если под $U$ подразумевать толко ту част ситовой функци, которая шроисхонит от взацмного цратяжения точек, равенетво

*) Crelles Journal, Bd. 26, p. 11ó. Math. Werke, Bd. I., p. 30.

или, если положить, кан выше,
\[
\delta x_{i}=0, \quad \delta y_{i}=-r_{i} \sin v_{i} \delta v=-z_{i} \delta v, \quad \delta \partial z_{i}=r_{i} \cos v_{i} \hat{v}=y_{i} \hat{\partial},
\]

благодаря чему исчезнет $\delta U$, — равенство
\[
\sum m_{i}\left(y_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}-z_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}\right)=0
\]

воторое посте интегрирования дает:
\[
\sum m_{i}\left(y_{i} \frac{d \hat{\omega}_{i}}{d t}-z_{i} \frac{d y_{t}}{d t}\right)=\alpha
\]
т. е. принци сохранения площадей имеет место для плоскости, цернендикулярной к прямой, содержащей все неподвижные центры. Таким образом, в этом случае имеем два интеграла: интеграл живой силы и оцин иптеграл плоцадей. Если же в задаче имеется несколюо неподвижных центров, не лежапих на одной прямой, то не существует больше никакого интеграла площадей и имеется только интеграл принцина живой силы.

Если цредположить, проме того, что центры не неподвижны, но имеют собственное движение, независимое от других материальных точек системы, так что это движение есть данная функция времени, то и принцип живой снлы также не применим. Гакие случаи в природе встречаютея; сюда принадлежит, например, притжжение кометы солнцем и Юпитером, если рассматривать ороиты солнца и Юпитера как данные, а комеку как материальвую точк, которая не имеет на эти орбиты никакого влияния. Здесь, как скавано, перестает действовать принцип живой силы, так как он покоитея существенно на том, что для расстояния $r$ материальной точки $(x, y, z)$ от центра $(a, b, c)$ выполняется дифференцильное уравнение
\[
d r=\frac{x-a}{r} d x+\frac{y-b}{r} d y+\frac{z-c}{r} d z .
\]

Но это дифференциальное уравнение имеет место в предположении, что. $a, b, c$ постоянные, и оно перестает существовать в нашем случае, а вместе с вим и принцип живой силы. Іравда, силы, цействующие на отдельные тощи, все-таки можно представить как частные производные некоторой функции $\tau$, но эта функция содержит тенерь явно, кроме координат, еще и время, вслелствие чего тенер уже ке будет
\[
\frac{d U}{d t}=\sum\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}} \frac{d x_{i}}{d t}+\frac{\partial U}{\partial y_{i}} \frac{d y_{i}}{d t}+\frac{\partial U}{\partial z_{i}} \frac{d z_{i}}{d t}\right)
\]

и в щравой части прибавится еще частная проивводная $\frac{\partial U}{\partial t}$, так что
\[
\sum\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}} \frac{d x_{i}}{d t}+\frac{\partial U}{\partial y_{i}} \frac{d y_{i}}{d t}+\frac{\partial U}{\partial z_{i}} \cdot \frac{d z_{i}}{d t}\right)=\frac{d U}{d t}-\frac{\partial U}{\partial t} .
\]

Дифференцильное уравнеиие теоремы живых сил имело вид
\[
\sum m_{i}\left(\frac{d x_{i}}{d t} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}+\frac{d y_{i}}{d t} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}+\frac{d z_{i}}{d t} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}\right)=\sum\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}} \frac{d x_{i}}{d t}+\frac{\partial U}{\partial y_{i}} d t+\frac{\partial U}{\partial z_{i}} \frac{d z_{i}}{d t}\right) .
\]

Это уравнение интегрируемо, если правую часть можно заменить через $\frac{d U}{d t}$. Но теперь мы донины замепить ее через $\frac{d U}{d t}-\frac{\partial U}{\partial t}$ и ноэтому не можем больше интегрировать.

Если в уравнении
\[
\sum m_{i}\left(\frac{d x_{i}}{d t} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}+\frac{d y_{i}}{d t} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}+\frac{d z_{i}}{d t} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}\right)=\frac{d U}{d t}-\frac{\partial U}{\partial t}
\]

предположить фуикцию $U$ равложенной на сумму $U+V$, где $V$ явно содержит время, а $U$ его явно не содержит, то получится
\[
\sum m_{i}\left(\frac{d x_{i}}{d t} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}+\frac{d y_{i}}{d t} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}+\frac{d z_{i}}{d t} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}\right)=\frac{d U}{d t}+\frac{d V}{d t}-\frac{\partial V}{\partial t} .
\]

то и есть то уравнение, которое получается вместо дифференциального уравнения принципа живой силы, но тешерь оно уже не дает никакого интеграла. Точно так же не имеет места теперь и приндип площадей; таким образом нет пи одного іринцнца, который давал бы интеграл. Однако, я заметил, что существует одна гипотеза относительно движения центров, притом гинотеза очень близкая к только что упомянутому действительному случаю, при шринятии которой пз комбинации обопх цринциов можно получить интеграл. Гинотеза состоит в том, что преднолагают центры движущимися по ьругам с одинаковой угловой скоростью вокруг одной и той же оси, так что координаты какого-нибудь центра $(a, b, c)$ будут
\[
a=\text { const, } b=\beta \cos n t, \quad c=\beta \sin n t,
\]

мде $n$ для всех центров имеет одно и то же значение, а ось $x$ есть обца ось вращения. Это, в самом деле, очень близко согласуетея с тем случаем, қоторый мы имеем в природе, так как солнце и Юпитер двигаютея по эклиптике вокруг их общего центра тяжести по эллинеат с очепь малым эксцентриситетом (приблизительно $=\frac{1}{20}$ ), и эти әллипсы ноэтому можно рассмахривать как круги. Их время обращения опинаково велико, и если его положить равным ‘ $T$, то для огределения $n$ получите уравнение $n T=2 \pi$.

Исследуем теперь, что в этом случае получится из дифференциально уравнения принциа площадей. Если мы, для общности, кроме центров возьмем не одну матернальную точку, а қелую систему точек, то силовая функция будет состонть из двух комшексов членов. Первый комплеке происходит от взаимного притяжения материальных точег и заключает члены вида
\[
\frac{m_{i} m_{i^{\prime}}}{\sqrt{\left(x_{i}-x_{i^{\prime}}\right)^{2}+\left(y_{i}-y_{i^{\prime}}\right)^{2}+\left(z_{i}-z_{i^{\prime}}\right)^{2}}}
\]

или, если мы снова, как в шредыдущен, введем $r_{i}$ и $v_{i}$, вида
\[
\frac{m_{i} m_{i^{\prime}}}{\sqrt{\left(x_{i}-x_{i^{\prime}}\right)^{2}+r_{i}^{2}+r_{i^{\prime}}{ }^{2}-2 r_{i} r_{i^{\prime}} \cos \left(v_{i}-v_{i^{\prime}}\right)}} .
\]

Второй комплек происходит от шритяжения центров и содержит члевы вида:
\[
\frac{m_{i}^{u}}{\sqrt{\left(x_{i}-a\right)^{2}+\left(y_{i}-b\right)^{2}+\left(z_{i}-c\right)^{2}}}
\]

или, если мы здесь также введем $r_{i}$ и $v_{t}$ и то же время положия $b=\beta \cos n t, c=\beta \sin n t$, вида
\[
\frac{m_{i}{ }^{\mu}}{\sqrt{\left(x_{i}-a\right)^{2}+r_{i}^{2}+\beta^{2}-2 r_{i} \beta \cos \left(v_{i}-n t\right)}} \text {. }
\]

Оба комлекса остаюте без ивменения, если все $t_{i}$ увелнчить на одну и ту же величину и в то же время увеличить $l$ на $n$-ую часть этой величивн, т. е., если для всякого значения $i$ положить
\[
\hat{o} v_{i}=n \dot{\delta} t,
\]

ваковые вариации в напем случае будут виртуальными. Обозначим первый компленс членов черев $U$, а второй черев $V$.
В этом случае в общем символическом уравнении
\[
\sum m_{i}\left(\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{i}\right)=\sum\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial U}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial U}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right)
\]

войдет $U+V$ вместо $U$ и таким образом правая его часть будет равна
\[
\sum\left(\frac{\partial U}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial U}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial U}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right)+\sum\left(\frac{\partial V}{\partial x_{i}} \delta x_{i}+\frac{\partial V}{\partial y_{i}} \delta y_{i}+\frac{\partial V}{\partial z_{i}} \delta z_{i}\right) .
\]

Так как $t$ не входит явно в $U$, то первая сумма равна $\delta U$; но в $V$ входит $t$ во всяком случае явно, поэтому, чтобы вторая сумма дала полностью $\delta V$, ей нехватает еңе члена $\frac{\partial V}{\partial t} \delta t$, т. е. она равна $\delta V-\frac{\partial V}{\partial t} \delta t$, и мы имеем
\[
\sum m_{i}\left(\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{i}\right)=\delta U+\delta V-\frac{\partial V}{\partial t} \delta t .
\]

Но данные выше вариации таковы, что для них $U$ и $V$ остаются неизчевными, поэтому мы имеем $\delta U=0$ и $\delta V=0$. Далее,
\[
\delta x_{i}=0, \quad \delta y_{i}=-r_{i} \sin v_{i} \delta v_{i}=-n z_{i} \delta t, \quad \delta z_{i}=r_{i} \cos v_{i} \delta v_{i}=n y_{i} \delta t,
\]

так что
\[
n \sum m_{i}\left(y_{i} \frac{d^{2} z_{t}}{d t^{2}}-z_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}\right)=-\frac{\partial V}{\partial t} .
\]

Это и есть то уравнение, которое в напем случае заменяет дифференциальпое уравнение принцита площадей; $V$ есть агрегат членов формы (В), где ш должно быть одно и то же во всех членах, все же остальные величины могут принимать различные значения при переходе от одного члена к другому. Ранее мы имели уравғение (9)
\[
\sum m_{i}\left(\frac{d x_{i}}{d t} \frac{d^{2} x_{t}}{d t^{2}}+\frac{d y_{i}}{d t} \frac{d^{2} y_{4}}{d t^{2}}+\frac{d z_{i}}{d t} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}\right)=\frac{d U}{d t}+\frac{d V}{d t}-\frac{\partial V}{\partial t}
\]

или:
\[
\frac{1}{2} \sum m_{i} \frac{d}{d t}\left\{\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}=\frac{d U}{d t}+\frac{d V}{d t}-\frac{\partial V}{\partial t} .
\]

Łсли из этого уравнения вычесть уравнение (10), то получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2} \sum m_{4} \frac{d}{d t}\left\{\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}- \\
-n \sum m_{1}\left(y_{t} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}-z_{t} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}\right)=\frac{d U}{d t}+\frac{d V}{d t}
\end{array}
\]

или, интегрируя,
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2} \sum m_{1}\left\{\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{t}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}- \\
-n \sum m_{i}\left(y_{1} \frac{d z_{i}}{d t}-z_{1} \frac{d y_{4}}{d t}\right)=U+V+h^{\prime \prime} .
\end{array}
\]