Мы щереходим тешерь к доказательству общих цринцинов, которые ямеют место для вышерассмотренных механичесьих задач. Первый из них (ср. первую лекцию) есть принцип сохранения движения центра тяжести.

Возьмем сначала простейший случай, когда существует силовая функция; тогда мы имеем:
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{t}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{t}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{t}\right\}=\delta U .
\]

Іредноложим, что как $U$, так и условные уравнения завиеят только от разностей кординат, так тто они не изменяютея, если все $x$ возрастают на олну и ту же величину, равно как если это происходит со всеми $y$ или со всеми $z$. Тогда предшодожение:
\[
\begin{array}{l}
\delta x_{1}=\delta x_{2}=\ldots=\delta x_{n}=\lambda \\
\delta y_{1}=\delta y_{2}=\ldots=\delta y_{n}=\mu \\
\delta z_{1}=\delta z_{2}=\ldots=\delta z_{n}=
u
\end{array}
\]

согласуетея с тсловныи уравнениями Іри этом цредноложении мы получаем:
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \lambda+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \mu+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}
u\right\}=\sum \frac{\partial U}{\partial x_{i}} \lambda+\sum \frac{\partial U}{\partial y_{i}} \mu+\sum \frac{\partial U}{\partial z_{i}}
u^{2} .
\]

Но правая тасть равна нулю. В самом деле, так как по пашему предположенио $U$ зависит тольо от разностей кординат, то можно, ноложив
\[
x_{1}-x_{n}=\xi_{1}, \quad x_{2}-x_{n}=\xi_{2}, \ldots x_{n-1}-x_{n}=\xi_{n-1},
\]

щредставить величину $U$, поскольку она завнеит от координат $x$, в форже:
\[
U=F\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n-1}\right) .
\]

Тогда
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial U}{\partial x_{1 !}}=\frac{\partial F}{\partial \xi_{1}}, \frac{\partial U}{\partial x_{2}}=\frac{\partial F}{\partial \xi_{2}}, \ldots, \frac{\partial U}{\partial x_{n-1}}=\frac{\partial F}{\partial \xi_{n-1}}, \\
\frac{\partial U}{\partial x_{n}}=-\frac{\partial F_{1}}{\partial \xi_{1}}-\frac{\partial F}{\partial \xi_{2}}-\ldots-\frac{\partial F}{\partial \xi_{n-1}}
\end{array}
\]

гак что:
\[
\frac{\partial U}{\partial x_{1}{ }^{z}}+\frac{\partial U}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial U}{\partial x_{n}}=\sum \frac{\partial U}{\partial x_{i}}=0
\]

प точно так же
\[
\sum \frac{\partial U}{\partial y_{i}}=0, \quad \sum \frac{\partial U}{\partial z_{i}}=0 .
\]

Поэтому наше уравнение (1) цреобразуется в следующее:
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \lambda+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \mu+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}
u\right\}=0 .
\]

И так как это уравнение должно иметь место для всех вначений $\lambda, \mu,
u$, то
\[
\sum m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=0, \quad \sum m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=0, \quad \sum m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=0 .
\]

Если мы теперь положим
\[
\sum m_{i}=M, \quad \sum m_{i} x_{i}=M A, \quad \sum m_{i} y_{i}=M B, \quad \sum m_{i} z_{i}=M C,
\]

так что $A, B, C$ будут, как известно, координатами центра тяжести системы, то можно вместо. предыдущих уравнений написать следующие:
\[
\frac{d^{2} A}{d t^{2}}=0, \quad \frac{d^{2} B}{d t^{2}}=0, \quad \frac{d^{2} C}{d t^{2}}=0 .
\]

Эти уравнения после интегрирования дают:
\[
A=\alpha^{(0)}+\alpha^{\prime} t, \quad B=\beta^{(0)}+\beta^{\prime} t, \quad C=\gamma^{(0)}+\gamma^{\prime} t,
\]
т. е. центр тяжести пвигаетея по прямой линии, уравнение которой в текущих координатах $A, B, C$ имеет вид
\[
\frac{A-\alpha^{(0)}}{\alpha^{\prime}}=\frac{B-\beta^{(0)}}{\beta^{\prime}}=\frac{C-\gamma^{(0)}}{\gamma^{\prime}},
\]

и двигается но ней с постоянной скоростью
\[
\sqrt{\alpha^{\prime 2}+\beta^{\prime 2}+\gamma^{\prime 2}} \text {. }
\]

В общем случае, когда силовая функция нө сүществует, вместо уравнения (1) имеется следующее:
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \lambda+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \mu+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}
u\right\}=\sum X_{i} \lambda+\sum Y_{i} \mu+\sum Z_{i v}
\]

н так как оно ицеет место дла всех значений $\lambda$, $\mu,
u$, то
\[
\sum m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=\sum X_{i}, \sum m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=\sum Y_{i}, \quad \sum m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=\sum Z_{i}
\]

яли, если ввести координаты центра тяжести, то
\[
M \frac{d^{2} A}{d t^{2}}=\sum X_{i}, \quad M \frac{d^{2} B}{d l^{2}}=\sum Y_{i}, \quad M \frac{d^{2} C}{d t^{2}}=\sum Z_{i},
\]
т. е. центр тяжести двигается так, как будто все действующие в системе силы передесены параллельно самим себе в центр тяжести п как будто в то же время в центре тяжести сосредоточены все массы.

Если таким образом паралледьно перенесенныө силы будут в евоем новом положении в равновесии, т. е., если
\[
\sum X_{i}^{*}=0, \quad \sum Y_{i}=0, \quad \sum Z_{i}=0,
\]

то на центр тяжести не действуют никаке ускоряющие силы. Это пмеет место, если в системе действуют только взаимные притяжения, тақ ках тогда действие и противодействие, будучи перенесены в одну и ту же точку приложения, взаимно уничтожаются (этот елучай уже рассмотрен выше, так как тогда всегда существует снловая функция); но это не имеет места, коль скоро в задачу входят неподвижные центры.

Все вышесказанное имеет место конечно только тогда, когда условные уравневия зависят только от разностей координат $x, y$ и $z$. Подобный случай дает веревочный многоугольник, если пренебреть эолщиной веревки. Для того, чтобы в этом случае силовая фунцция также зависела только от равностей координат, мы должны предположить, что ковцы веревки не закрепдены, так как иначе эти точки будут входить в вадачу как неподвижные центры. Для совершенно свободной системы уравнения (4) годятся, конечно, при всех обстоятельствах. Есяи существует силовая фувццл, зависящая не только от разностей гоорпикат, чи бывает, когда имеютея неподвижные центры или постоянные силы, то в таком случае имеют место уравнения (4), а не уравнения (2).

В выражении: \”Прищип сохранения движения центра тяжести\” слово сохранение выражает то, что уравнения движения цевтра тяжести сохраняют свой вид, как будто бы не было никаких условных уравнений. Если, например, цредставить себе, что у веревочпого многоугольника соединение точек оцущево, то уравнения движения центра тяжести не изменятея, так как они не вавиеят от уеловных уравнений. Ивменение будет только в том, что суммы $\sum X_{i}, \Sigma Y_{i}, \sum Z_{i}$ получат другие значения, поскольку коордннаты отдельных точек будут другими фунциями от времени. Но если, кроме того, эти суммы будут постоянными, что, например, имеет место, когда систека подвержена только силе тяжести, то условные уравнения совсем не изменяют движения центра тяжести.