Когда в динамике применяют теорию вариации постоянных и к характеристической функции $H$ присоединяетея возмущающая функция $Q$, которая. кроме переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, ножет также содержать явно время $t$, то систсма дифференциальных уравнений движения изменяется и эти лифференцильные уравнения превращаютея в следующие:
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}+\frac{\partial Q}{\partial p_{i}}, \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}-\frac{\partial Q}{\partial q_{i}} .
\]

Ксци 9 очень мала сравнитеньно с $H$, то можно значения $p_{i}$ и $q_{3}$ в „невозыущенной“ задаче (для $\mathrm{Q}=0$ ) принять за их приближенные значения в „возмуценной“ задаче и новые значения $p_{i}$ и $q_{i}$ представить так, что они сохранят грежнюю аналитическую форму, но на место прежних произвольных постоянных (или әлементов, говоря на языке астрономов) теперь войдут фунцци времени. Вместо того чтобы рассматривать величины $p_{i}$ и $q_{i}$ как искомые переменные, кағ это делаетея в „невозущщенной“ задаче, мы ищем в \”возмущенної \” те функции, которые становятея на место презних произвольных постоянных или әлементов, т. е. возмущенные элементы становятся переменными новой задачи. Это дает ту выгоду, что ды нолучаем как цервое приближение не функции времени, содержащие постоянные величины, а сами постоянные – дементы \”невозмущенной“ задачи.

Дело сводится тешерь к тому, чтобы составить дифференцпальные уравнения возмущенных элементов. Вспомним прежде всего гамилтонову форму интегралов \”невозмущенной“ задачи, т. е. рассмотренную в проплой лекции систему:
\[
\left.\begin{array}{l}
H=h, \quad H_{1}=h_{1}, \ldots H_{n-1}=h_{n-1} \\
H^{\prime}=h^{\prime}+t, H_{1}^{\prime}=h_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}=h_{n-1}^{\prime}
\end{array}\right\}
\]

и обозначим какоӥ-вибудь независящий от $t$ интеграл „невозмущенної\” ватххити через
\[
\check{c}=a
\]

где ? есть функция от переменных $q_{1} ; q_{2}, \ldots q_{n}, p_{1}, \ldots p_{n}$, на готорую произвольные шостоянные не огазали возмущающего действия, и а есть произвольная постоянная, так что 9 может быть представлена как функция $2 n-1$ переменных $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}, H_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}$ и $a$-как та же самая функция от $2 n-1$ постоянных $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}, h_{1}^{\prime}, \ldots h_{n-1}^{\prime}$. В ${ }_{n}^{\text {возму- }}$ щенной\” задаче $а$ уже не является боюъе постоянной, поэтому $\frac{d a}{d t}$ не будет
больше нулем, и при помоци дифференциаљвого уравнения (1) для $\frac{d a}{d t}$ но.учится выражение
\[
\begin{array}{c}
\frac{d a}{d t}=\sum_{i=1}^{i=n}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}} \frac{d q_{i}}{d t}+\frac{\partial \varphi}{\partial p_{i}} \frac{d p_{i}}{d t}\right)=\sum_{i=1}^{i=n}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}-\frac{\partial \varphi}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right)+ \\
+\sum_{i=n}\left(\frac{\partial \varphi}{\partial q_{i}} \frac{\partial Q}{\partial p_{i}}-\frac{\partial \varphi}{\partial p_{i}} \frac{\partial Q}{\partial q_{i}}\right)
\end{array}
\]

или, что то же,
\[
\frac{d a}{d t}=(H, \varphi)+(Q, \varphi)
\]

Так как $\varphi=a$ ест независящий от $t$ интеграл \”невозмущенной “ задачи, то $?$ удовлетворяет линейному уравнению в чаетных произволных $(H, \varphi)=0$ и выражение $\frac{d a}{d t}$ приведетея к такому:
\[
\frac{d a}{d t}=(\mathrm{Q}, \varphi) \text {. }
\]

Іравая часть этого равенства содержит кроме $t$, явно входящего в $Q$, еще $2 n$ переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}, p_{1}, p_{2} \ldots p_{n}$, вместо которых мы однако введем как новые переменные $2 n$ функций от них $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}, H^{\prime}, H_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}{ }_{n-1}$. Введение в $Q$ вовых переменных дает дия ( $Q, \varphi$ ) преобразовапие:
\[
(\underline{0}, \varphi)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{\partial Q}{\partial H_{k}}\left(H_{k}, \varphi\right)+\sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{\partial Q}{\partial H_{k}^{\prime}}\left(H_{k}{ }^{\prime}, \varphi\right)
\]

Кса мы введем новые переменные также и в ? и примем во внимание, ‘то $\varphi$ не зависит от одной из них, именно от $H^{\prime}$, и тавим образом $\frac{\partial \varphi}{\partial H^{\prime}}$ обрацается в нул, то мы получия для выражений $\left(H_{h}, \varphi\right),\left(H_{k}^{\prime}\right.$, с) слегующие преобразования:
\[
\begin{array}{c}
\left(H_{k}, \varphi\right)=\sum_{s=0}^{s} \frac{\partial \varphi}{\partial H_{s}}\left(H_{l}, H_{s}\right)+\sum_{s=1}^{n-1} \frac{\partial \varphi}{\partial H_{s}^{\prime}}\left(H_{l i}, H_{s}^{\prime}\right), \\
\left(H_{k}^{\prime}, \varphi\right)=\sum_{s=0}^{n-1} \frac{\partial \varphi}{\partial H_{s}}\left(H_{k}^{\prime}, H_{s}\right)+\sum_{s=1}^{n-1} \frac{\partial^{\prime}}{\partial H_{s}^{\prime}}\left(H_{k}^{\prime}, H_{s}^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Но по теореме, доказанной в прошлой лекии, все выражения ( $H_{k}, H_{s}$ ). $\left(H_{k}, H_{s}^{\prime}\right),\left(H_{k}^{\prime}, H_{s}\right),\left(H_{k}^{\prime}, H_{s}^{\prime}\right)$ обращаются в нуль, за исключением тех $\left(H_{k}, H_{s}^{\prime}\right),\left(H_{k}^{\prime}, H_{s}\right)$, в которых $k$ и $s$ пмеют одинаковые значения и ия этих выражений первые равны положительной единице, вторые отрицателной. ІІоэому выражения ( $\left.H_{k}, \varphi\right)$, ( $H_{k}^{\prime}$, ‘) прнобретают следующий простой вит:
\[
\begin{array}{c}
\left(H_{k}, \varphi\right)=\frac{\partial \varphi}{\partial H_{l}{ }^{\prime}} \\
\left(H_{k_{i}}^{\prime}, \varphi\right)=-\frac{\partial \varphi}{\partial H_{k}} .
\end{array}
\]

Веледетвие этого равенство (4) переходит в такое:
\[
(Q, \rho)=\sum_{k=1}^{k=n-1} \frac{\partial Q}{\partial H_{k}} \frac{\partial \varphi}{\partial H_{k}^{\prime}}-\sum_{k=0}^{k=n-1} \frac{\partial Q}{\partial H_{k}^{\prime}} \frac{\partial \varphi}{\partial H_{k}}
\]

и уравнение ( $\left.3^{*}\right)$, дает для $\frac{d a}{d t}$ окончательно слелующее значение:
\[
\frac{d a}{d t}=\sum_{k=1}^{k=1} \frac{\partial \Omega}{\partial H_{k}} \frac{\partial \varphi}{\partial H_{k}^{\prime}}-\sum_{k=0}^{k=n} \frac{\partial Q}{\partial H_{k}^{\prime}} \frac{\partial \varphi}{\partial H_{k}} .
\]
и – $\frac{\partial \rho}{\partial H_{k}}$, т. е. на выражения, не содержацие явно $t$, так как $t$ не входит в $\varphi$. В этом и состоит знаменитал теорема Iуассона.

Еели мы придадим форнуле (5) специальный вид, подетавдяя внесто \” величины $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}, H_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}$ и одновременно вместо $a$-соответственно величины $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}, h_{1}^{\prime} \ldots h_{n \rightarrow 1}^{\prime}$, то получим при $k=0,1, \ldots n-1$ фориуни:
\[
\frac{d h_{l_{i}}}{d t}=-\frac{\partial \Omega}{\partial H_{k^{\prime}}},
\]

и п.ня $l i=1,2, \ldots n-1$
\[
\frac{d h_{k}^{\prime}}{d t}=\frac{\partial Q}{\partial H_{k}} .
\]
вадачи, через коториӥ вводитея время, т. е. интеграл
\[
H^{\prime}=h^{\prime}-+t .
\]

Так кан тенерь $h^{\prime}-1$ становитен на место а и $h^{\prime}$ на место : то уравнение (3) преврацаетея в спедующее:
\[
\frac{d h^{\prime}}{d t}+1=\left(H, H^{\prime}\right)+\left(Q, H^{\prime}\right),
\]

я так как имеет место равенетво $\left(H, H^{\prime}\right)=1$, то мы получаем:
\[
\frac{d h^{\prime}}{d i}=\left(\mathrm{Q}, H^{\prime}\right) \text {. }
\]
†то уравнение в точности вида ( $\left.3^{*}\right)$, тольно иа место $a$ и $\varphi$ входят $h^{\prime}$ и $H^{\prime}$. Если в равенство (4) подставить также $I^{\prime}$ на место , то выражение $\left(\Omega, H^{\prime}\right.$ ) становитен равным частной производной $\frac{\partial Q}{\partial H}$ и мы поэтому оконтательно поиччаем:
\[
\frac{d h^{\prime}}{d t}=\frac{\partial S}{\partial H},
\]
т. е. равенетво (7) имеет место также для $k=0$.

Равенства (2), которые для \”невозицценної задачп ивображают систему ее интегралов, дая „возмущенной“ являютея толью уравнениями. опреде. того, чтобы выражать старые иеремениые $q_{1}, q_{2} \ldots q_{n}, p_{1}, \ldots p_{n}$ или их фувкции $H, H_{1}, \ldots I_{n-1}, H^{\prime}, H_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}$ через новые переменные. Ксли чроивести иу подетановку в возмущющей фунции, стедовательно заменить в ней $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}, H^{\prime}, H_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}$ через $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}, h^{\prime}+t$, $h_{1}{ }^{\prime}, \ldots h_{{ }_{n-1}}^{\prime}$, так что 8 будет функцией от $2 n+1$ переменных $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$, $h^{\prime}, h_{1}^{\prime}, \ldots h_{n-1}^{\prime}$ и $t$, то производные $\frac{\partial Q}{\partial H_{k}}, \frac{\partial Q}{\partial H_{k}^{\prime}}$ переходят в $\frac{\partial Q}{\partial h_{k}}, \frac{\partial Q}{\partial h_{k}^{\prime}}$, и мы получаем для переменных, которые входят в „возмущенную“ задачу, на иесто постоянных \”невозмущенной“, стедующие дифференцильные урав. нения:

ђта система инеет ту же салую форму, что и дифференциальне уравнения „вижения „невозмущенной“ задачи, только на место переменных $q_{1}$, $q_{2}, \ldots q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ и нх функции $H$ входят переменные $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$. $h^{\prime}$; $h_{1}^{\prime} \ldots h_{n-1}^{\prime}$ и функция – $Q$, из воторых последняя содержит еще кроме того явно время $t$. Поэтому интегрирование этой системы, согласно прежнит общии рассчотрениям, 1 равнозначно с определением полного репения уравнения в частных производных
\[
\frac{\partial S}{\partial t}-\underline{0}=0
\]

которое, носле того как переменние $h^{\prime}, h_{1}^{\prime}, \ldots h_{n-1}^{\prime}$ будут ааменены производными $\frac{\partial S}{\partial h}, \frac{\partial S}{\partial h_{1}}, \ldots \frac{\partial S}{\partial h_{n-1}}$, орределит $s^{\times}$как функцию от $1, h, h_{1} \ldots h_{n-1}$.

Установленные здесь дифференциальные уравнения \”возмущений“ задачи согласуютея с дифференциальыми уравнениями, данными Јагранжем и Лапдасом, в том, что возмущевные элементы являютея искомыми шеременными и что правые части дифференциальных уравнений выражаются через производные от возмущающей функции по возмущепным эдементам. Но здесь вообе входят в каждое дифференциаюное уравнение все производнне возмущающей функции, к коэффициентами при них являютея выражения вида ( $\psi, \psi$ ); образование которых очень затруднительно. bолее подробное изложение этого можно найти в аналитической механике Јагранжа, в которой с огромныи искусетвоц сокращена растянутость необходимых вычислений, а также в астропомическон ежегоднике Әнке за 1837 год. В пролить 15 выражений вида ( $\%, \psi$ ).

Только благодаря тоғу, что мы взяи эементы „невовмуценной\” задачи как раз в форме, которую даєт метод Гаминтона, мы смога так ушростить дифференциальные уравнения, что в каждое из них входит только ьдна производная от возмущающей фупкци и что коэффициент при этой проивводной приводится к положительной ищи отрицательной единице. Этот выбор элементов имеет огромню важность; поэтому при определении движения планет ио методу Гамильтона мы подробно выясни.и геометрическое значение введенных там произвольных постоянных.

Вместо того чтобы вводить переменные $h_{k}$ и $h_{k}^{\prime}$ внесто шерноначальных переменных $p_{i}$ и $q_{i}$ в систему обыкновенных дифференциальных уравнений и, такич образом, окольным путем приходить і уравнению в частных
1 См. двадцатую лекцню, стр. 137.

производных $\frac{\partial S}{\partial t}-Q=0$, мы поставим себе в почледүющем задачу осуществить введение новых переменных непосредственно в уравнение в частых ироизводных
\[
\frac{\partial V}{\partial t}+H+\Omega=0
\]

которое отпоситея к задаче вовущения, выраженной в ее первоначальных геременных.
Предшолагая, что дыя уравнения в частных производных
\[
\frac{\partial V_{0}}{\partial t}+H=0,
\]

принадлжащего \”невозмущенной“ задаче, известно полное решение $V_{0}$, требующееся для определения новых переменных $h_{h}$ и $h_{k}{ }^{\prime}$, мы перейдем от уравнения в частных проияводных (9) непосредетвенно к уравнению в чаетных производных
\[
\frac{\partial S}{\partial t}-Q=0 .
\]

Уравнение в частных производных (9), в котором величины $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ заменены частными троизводными $\frac{\partial V}{\partial q_{1}}, \frac{\partial V}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial q_{n}}$, равновначно с уравнениен в полных цифференциалах
\[
d V=-(H+Q) d t+p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots-p_{n} d q_{n},
\]

гие в $H$ и снова на месте $\frac{\partial V}{\partial q_{1}}, \frac{\partial V}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial V}{\partial q_{n}}$ етоят $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$.
Вводя, как новые перененные, функии, которые в \”невозмуценной“ задаче обращаются в произвольные шостоянные, мы должны осуществить подстановку той же природы, как рассмотренная в двадцать первой лекци, но более общую, тем та. В рассматриваемом случае, так же, как и там, не одько надо ввеси вмегю независимых переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, и вместо искомой их фунқции $V$ новые перененние, но новые переменные доджны проме того зависеть от $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$, т. е. от взятых по $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$ производных функций $V$. Іреобразование, о котором идет речь, гроизводитея слецүющим образом:

Дия \”невозмущенної\” задачи мы имеен уравнение в частых ироизводных
\[
\frac{\partial V_{0}}{\partial t}+H=0
\]

которое в ,цвццать первої текции 1 подетановкой
\[
V_{0}=W-h t
\]

мы привели і уравнению
\[
H=h \text {. }
\]

Нолпе решение $W$ этого уравнения в частных проивводных есть функция от $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, содержапая кроме $h$ еще $n-1$ произвольных постоянных
1 Cтp. 144.

$h_{1}, h_{2}, \ldots h_{n-1}$. Если уы его напли, то система интегральных уравнений „невозмущеняой“ задачи будет иметь вид:
\[
\begin{array}{ll}
\frac{\partial W}{\partial q_{1}}=p_{1}, & \frac{\partial W}{\partial q_{2}}=p_{2}, \ldots \frac{\partial W}{\partial q_{n}}=p_{n}, \\
\frac{\partial W}{\partial h}=t+h^{\prime}, & \frac{\partial W}{\partial h_{1}}=h_{1}{ }^{\prime}, \ldots \frac{\partial W}{\partial h_{n-1}}=h_{n-1}^{\prime} .
\end{array}
\]
\”Так как в \”невознущенной\” задаче $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$ являютен постоянныик, то $W$ удовлетворяет уравнению в полных дифференциалах
\[
d W=p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n} .
\]

В задаче возмуцения напротив на место ироизвольных постоянных входят функци времени; $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$ делаются переменными, и к полному дифференцилу $W$ присоединяетея сумма
\[
\begin{array}{c}
\partial W d h+\frac{\partial W}{\partial h} d h_{1}+\ldots+\frac{\partial W}{\partial h_{n-1}} d h_{n-1}=\left(l+h^{\prime}\right) d h+ \\
+h_{1}^{\prime} d h_{1}+h_{2}^{\prime} d h_{2}+\ldots+h_{n-1}^{\prime} d h_{n-1} .
\end{array}
\]

Таким образом в задаче возмунения имеем
\[
\begin{array}{c}
d W=p_{1} d q_{1}+p_{2} d q_{2}+\ldots+p_{n} d q_{n}+\left(t+h^{\prime}\right) d h+ \\
-h_{1}^{\prime} d h_{1}+h_{2}^{\prime} d h_{2}+\ldots+h_{n-1}^{\prime} d h_{n-1} .
\end{array}
\]

Это уравнение удовлетворяета тождественно интегральныи уравнениями, если рассматривать прежние постоянные как переменные, т. е. если это будут интегральные уравнения задачи возмущения, а не \”не возмущенной“ задачи. Итак, в этом случае рассматриваемое уравнение будет тождеством, Поэтому уравнение в полных дифференциалах (12) для $\dot{d} V$ не изменится, если мы из него вычтем равенство (13) для $d W$. Если мы возъмем разность с обратным знаком, то получим:
\[
\begin{array}{c}
d(W-V)=(H+Q) d t+\left(t+h^{\prime}\right) d h+h_{1}^{\prime} d h_{1}+ \\
+h_{2}^{\prime} d h_{2}+\ldots+h_{n-1}^{\prime} d h_{n-1} .
\end{array}
\]

Но шри посредстве ингегральны уравнений задачи возмущения будет также тождественно $H=h$, следовательно члены $H d l+t d h$, стоящие в правой части, соединятея в один члеп $d(h t)$. Перенеся эт величину в левую част, мы получим
\[
d(W-h t-V)=\mathrm{Q} d t+h^{\prime} d h+h_{1}^{\prime} d h_{1}+\ldots+h_{n-1}^{\prime} d h_{n \ldots 1},
\]

и если мы положим
\[
W-h t-V=V_{0}-V=s ;
\]

To
\[
d s=0 d t+h^{\prime} d h+h_{1}^{\prime} d h_{1}+\ldots+h^{\prime}{ }_{n-1} d h_{n-1},
\]

и это уравнение в полных дифференциалах равновначно е выненолученным уравнением в частных шроизводных
\[
\frac{\partial S}{\partial t}-\mathbf{Q}=0
\]

в котором величины $h^{\prime}, h_{1}^{\prime}, \ldots h_{n-1}^{\prime}$ должны быт заменены ироизводныи $\frac{\partial S}{\partial h}, \frac{\partial S}{\partial h_{1}}, \ldots \frac{\partial S}{\partial h_{n \cdots 1}}$. Наконец уравнение в частыи пропводных (11) өсть то, в которому приводится систена обыкновенных дифференциальных уравнений (8). Итак, мы пришли кратчайпим путем к той же системе дифференциальных уравнений
\[
\begin{aligned}
\frac{d h}{d t} & =-\frac{\partial Q}{\partial h^{\prime}}, \frac{d h_{1}}{d t}=-\frac{\partial Q}{\partial h_{1}}, \ldots \frac{d h_{n-1}}{d t}=-\frac{\partial Q}{\partial h_{n-1}^{\prime}}, \\
d h^{\prime} & =\frac{\partial Q}{\partial h}, \frac{d h_{1}^{\prime}}{d t}=\frac{\partial Q}{\partial h_{1}}, \ldots \frac{d h_{n-1}^{\prime}}{d t}=\frac{\partial Q}{\partial h_{n-1}},
\end{aligned}
\]

которую мы раньше нашли другим способом.
Эта система дифференциальных уравнений обладает тем преимущеэтвом, что первую поправку элементов мы находим простыми ввадратурами. Она получится, если рассматривать в $Q$ элементы вак постоянные н придавать им те вначения, которые они имели в \”невозиущенной“ задаче. Тогда $Q$ будет функцией только от времени $t$ и исправленные алементы получатся простыми квадратурами. Определение высших поправок является трудной задачей, которой мы здесь не можем касаться.

Существует еще другая замечательная система формул, которая получается также при введении в качестве эементов постоянных $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$, $h^{\prime}, h_{1}{ }^{\prime}, \ldots h_{n-1}^{\prime}$. Из двух главных форм, в которых можно цредставить интегральные уравнения, мы рассматривали до сих пор ту формч
\[
\begin{array}{c}
H=h, H_{1}=h_{1}, \ldots H_{n-1}=h_{n-1}, \\
H^{\prime}=h^{\prime}+t, H_{1}^{\prime}=h_{1}^{\prime} \ldots H_{n-1}^{\prime}=h_{n-1}^{\prime},
\end{array}
\]

в которой уравнения репены относительно цроиввольных постоянных $h_{k}$ и $h_{k t}{ }^{\prime}$, а величины $H_{k}$ и $H_{k}^{\prime}$ являютея функциями только переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$, $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$. Вторая главная форма та, в которой $2 n$ переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}$ $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ представляютея как фунцции от $t$ и от постоянных $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}$. $h^{\prime}, h_{1}^{\prime}, \ldots h_{n \ldots 1}^{\prime}$. Смотря по тому, выбираем ли мы ту или другую форму, мы имеем в теории возмущения дело либо с частными производными величин $H_{k}$ и $H_{k}^{\prime}$ по переменным $q_{i}$ и $p_{i}$, либо с пронзводными переменных $q_{i}$ и $p_{t}$ по произвольным постоянным $h_{k}$ и $h_{k}{ }^{\prime}$, т. е. мы должны либо, как это дела.т Іууассон, брать производные по переменным от функций, которым равны элементы, либо, как это делал Лагранж, брать производные от переменных по элементам. В каждом случае приходится составлять систему $4 n^{2}$ производшых. Постоянные $h_{k}$ и $h_{k}{ }^{\prime}$, которые мы получаем благодаря представлению интегральных уравнений в форме Гамильтона, кроме уже указанных замечательных свойств, имеют теперь еще то свойство, что обе системы производных будут либо равны, либо противоположны по знаку.
В самом деле, по терреме, доказанной в прошой лекции, мы ихеем:
\[
\left.\begin{array}{c}
\left(H_{i}, H\right)=0, \quad\left(H_{i}, H_{1}\right)=0 \ldots\left(H_{i}, H_{i-1}\right)=0 \\
\left(H_{i}, H_{i}\right)=0,\left(H_{i}, H_{i+1}\right)=0 \ldots\left(H_{i}, H_{n-1}\right)=0 \\
\left(H_{i}, H^{\prime}\right)=0, \quad\left(H_{i}, H_{1}^{\prime}\right)=0 \ldots\left(H_{i}, H_{i-1}^{\prime}\right)=0 \\
\left(H_{i}, H_{i}^{\prime}\right)=1, \quad\left(H_{i}, H_{i+1}^{\prime}\right)=0 \ldots\left(H_{i}, H_{n-1}^{\prime}\right)=0 .
\end{array}\right\}
\]

В этих $2 n$ уравнениях содержатся линейно $2 n$ частных щроизводных or $H_{i}$ :
\[
\frac{\partial H_{i}}{\partial q_{1}}, \quad \frac{\partial H_{i}}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial H_{i}}{\partial q_{n}}, \quad \frac{\partial H_{i}}{\partial p_{1}}, \quad \frac{\partial H_{i}}{\partial p_{2}}, \ldots \frac{\partial H_{i}}{\partial p_{n}},
\]

воторые мы рассматриваем как неизвестные для этой системы. Коэффициентами этих $2 n$ ненввестных в уравнениях (14) являютея $2 n$ величин
\[
-\frac{\partial H}{\partial p_{1}}, \quad-\frac{\partial H}{\partial p_{2}}, \ldots-\frac{\partial H}{\partial p_{n}}, \quad \frac{\partial H}{\partial q_{1}}, \frac{\partial H}{\partial \underline{g}_{2}}, \ldots \frac{\partial H}{\partial q_{n}}
\]

и соответствующие величины, получаемые при дифференцировании функций $H_{1}$, $H_{2}, \ldots H_{n-1}, H^{\prime}, H_{1}^{\prime}, \ldots H_{i-1}^{\prime}, H_{i}^{\prime}, H^{\prime}{ }_{i+1}, \ldots H_{n-1}^{\prime}$. В правой части уравнений (14) везде стоит нуль, с единственным исключением того уравнения, коэффициентами которого являются проивводные от $H_{l}^{\prime}$ и у которого правая часть равна единице.

Такую же самую систему линейных уравнений, т. е. систему, в поторой воэффициенты и правые части те же самые, мы получим для проивводных от $-p_{1},-p_{2}, \ldots-p_{n}, \quad q_{1}, \quad q_{2}, \ldots q_{n}$, взятых по $h_{?}^{\prime}$. Действительно интегралы
\[
\begin{array}{l}
H=h, \quad H_{1}=h_{1}, \quad H_{2}=h_{2}, \ldots H_{i}=h_{i}, \ldots H_{n-1}=h_{t-1}, \\
H^{\prime}=t+h^{\prime}, \quad H_{1}^{\prime}=h_{1}^{\prime}, \quad H_{2}^{\prime}=h_{2}^{\prime}, \ldots H_{i}^{\prime}=h_{i}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}=h_{n-1}^{\prime} \\
\end{array}
\]

етанут тождествами, если мы предположим подставленными в них вместо переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ их выражения через $t$ и $2 n$ проивводьных постоянных. Поэтому от них можно брать частные производные по саждой проиввольной постоянной, и после дифференцирования по $h_{i}^{\prime}$ полуqится система уравнений
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{\partial H}{\partial h_{i}^{\prime}}=0, \quad \frac{\partial H_{1}}{\partial h_{i}^{\prime}}=0, \ldots \frac{\partial H_{i, 1}}{\partial h_{i}^{\prime}}=0, \\
\frac{\partial H_{i}}{\partial h_{i}^{\prime}}=0, \quad \frac{\partial H_{i+1}}{\partial h_{i}^{\prime}}=0, \ldots \frac{\partial H_{n-1}}{\partial h_{i}^{\prime}}=0, \\
\frac{\partial H^{\prime}}{\partial h_{i}^{\prime}}=0, \quad \frac{\partial H_{1}^{\prime}}{\partial h_{i}^{\prime}}=0, \ldots \frac{\partial H_{i-1}^{\prime}}{\partial h_{i}^{\prime}}=0, \\
\frac{\partial H_{i}^{\prime}}{\partial h_{i}^{\prime}}=1, \quad \frac{\partial H_{i+1}^{\prime}}{\partial h_{i}^{\prime}}=0, \ldots \frac{\partial H_{n-1}^{\prime}}{\partial h_{i}^{\prime}}=0,
\end{array}\right\}
\]

в которых первое, например, в раскрытой форме выглядит так:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial H}{\partial p_{1}} \frac{\partial p_{1}}{\partial h_{i}{ }^{\prime}}+\frac{\partial H}{\partial p_{2}} \frac{\partial p_{2}}{\partial h_{i}{ }^{\prime}}+\ldots+\frac{\partial H}{\partial p_{n}} \frac{\partial p_{n}}{\partial h_{i}{ }^{\prime}}+\frac{\partial H}{\partial q_{1}} \frac{\partial q_{1}}{\partial h_{i}{ }^{\prime}}+ \\
+\frac{\partial H}{\partial q_{2}} \frac{\partial q_{2}}{\partial h_{i}{ }^{\prime}}+\cdots+\frac{\partial H}{\partial q_{n}} \frac{\partial q_{n}}{\partial h_{i}{ }^{\prime}}=0 .
\end{array}
\]

Эта еистема отличается от системы (14) только тем, что на месте прежних ненввестных
\[
\frac{\partial H_{i}}{\partial q_{1}}, \frac{\partial H_{i}}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial H_{i}}{\partial q_{n}}, \frac{\partial H_{i}}{\partial p_{1}}, \frac{\partial H_{i}}{\partial p_{2}}, \ldots \frac{\partial H_{4}}{\partial p_{n}}
\]

теперь стоят величины
\[
-\frac{\partial p_{1}}{\partial h_{i}{ }^{\prime}},-\frac{\partial p_{2}}{\partial h_{i}{ }^{\prime}}, \ldots-\frac{\partial p_{n}}{\partial h_{i}{ }^{\prime}}, \frac{\partial q_{1}}{\partial \tilde{h}_{i}{ }^{\prime}}, \frac{\partial q_{2}}{\partial h_{i}{ }^{\prime}}, \ldots \frac{\partial q_{i n}}{\partial h_{i}{ }^{\prime}} .
\]

Но, еели в двух системах динейных уравнений коэффициенты и постолнные qлены соответственно равны между собой, то равны также и неиввестные, если только определитель системы, т. е. в расматриваемом случае выражение
\[
\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial H}{\partial q_{1}} \frac{\partial H_{1}}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial H_{n-1}}{\partial q_{n}} \frac{\partial H^{\prime}}{\partial p_{1}} \frac{\partial H_{1}^{\prime}}{\partial p_{2}}, \ldots \frac{\partial H_{n-1}^{\prime}}{\partial p_{n}}
\]

не обращается в нуль. Но такой случай не может иметь места, так как иначе $2 n$ величин $H, H_{1}, \ldots H_{n-1}, H^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}$ не были бы независимыми друг от друга фувкциями $2 n$ переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots p_{n}$ и система интегралов была бы недостаточна для определения этих $2 n$ переменпых как функций от $h, h_{1}, \ldots h_{n-1}, h^{\prime}+t, h_{1}^{\prime} \ldots h_{n-1}^{\prime}$. Поэтому обе системы пеизвестных равны между собой, т. е. мы имеем
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{\partial q_{1}}{\partial h_{i}^{\prime}}=\frac{\partial H_{i}}{\partial p_{1}}, \quad \frac{\partial q_{2}}{\partial h_{i}^{\prime}}=\frac{\partial H_{i}}{\partial p_{2}}, \cdots \frac{\partial q_{n}}{\partial h_{i}^{\prime}}=\frac{\partial H_{i}}{\partial p_{n}}, \\
\frac{\partial p_{1}}{\partial h_{i}^{\prime}}=-\frac{\partial H_{i}}{\partial q_{1}}, \quad \frac{\partial p_{2}}{\partial h_{i}^{\prime}}=-\frac{\partial H_{i}}{\partial q_{2}}, \cdots \frac{\partial p_{n}}{\partial h_{i}^{\prime}}=-\frac{\partial H_{i}}{\partial q_{n}} .
\end{array}\right\}
\]

С этой системой формул, происходящей от сравнения систем (14) и (15), можно сопоставить другую, выводимую из нее простой перестановкой. В самом деле, системы (14) и (15) дают снова верные системы уравиений, если для всех значений значка $i$ подсгавить вместо величин без птриха $H_{i}, h_{i}$ соответствующие взятые с отрицательным знаком величины с одним штрихом – $H_{i}^{\prime}$, – $h_{i}^{\prime}$ и, напротив, на место величин с одним штрихом $H_{i}^{\prime}, h_{i}^{\prime}$ поставить соответствующие – взятые с положительным знаком величины без птриха $H_{i}, h_{i}$. Этот способ перестановки должен быть поэтому применим также к системе (16), и мы получаем из нее новую систему формул:
\[
\left.\begin{array}{lll}
\frac{\partial q_{1}}{\partial h_{i}}=-\frac{\partial H_{i}^{\prime}}{\partial p_{1}}, & \frac{\partial q_{2}}{\partial h_{i}}=-\frac{\partial H_{i}^{\prime}}{\partial p_{2}}, \cdots & \frac{\partial q_{n}}{\partial h_{i}}=-\frac{\partial H_{i}^{\prime}}{\partial p_{n}} \\
\frac{\partial p_{1}}{\partial h_{i}}=\frac{\partial H_{i}^{\prime}}{\partial q_{1}}, & \frac{\partial p_{2}}{\partial h_{i}}=\frac{\partial H_{i}^{\prime}}{\partial q_{2}}, \ldots \frac{\partial p_{n}}{\partial h_{i}}=\frac{\partial H_{i}^{\prime}}{\partial q_{n}}
\end{array}\right\}
\]

Мы соедивим системы формул (16) и (17) в следующие четыре уравнення
\[
\frac{\partial q_{k}}{\partial h_{i}^{\prime}}=\frac{\partial H_{i}}{\partial p_{k}}, \quad \frac{\partial q_{k}}{\partial h_{i}}=-\frac{\partial H_{i}^{\prime}}{\partial p_{k}} ; \quad \frac{\partial p_{k}}{\partial h_{i}^{\prime}}=-\frac{\partial H_{i}}{\partial q_{k}^{\prime}}, \quad \frac{\partial p_{k}}{\partial h_{i}}=\frac{\partial H_{i}^{\prime}}{\partial q_{k}}
\]

и выразим полученный результат следующей теоремой: 1
Допустим, что посредством представленных в гамильтоновой форме снетел интегралов
\[
\begin{array}{c}
H=h, \quad H_{1}=h_{1}, \ldots H_{n-1}=h_{n-1}, \\
H^{\prime}=h^{\prime}+t, \quad H_{1}^{\prime}=h_{1}^{\prime}, \ldots H_{n-1}^{\prime}=h_{n-1}^{\prime}
\end{array}
\]

с одной стороны постоянные $h_{k}, h_{k}^{\prime}$ выражены через переменные $p_{i}, q_{i}$ \” время $t$, с другой стороны эти переменные $p_{i}$ и $q_{i}$ выражены из тех же уравнений через постоянные и время $t$; тогда частные производные от постоянных по переменным $p_{i}, q_{i}$, взятые при первом способе выражения, и частные производные от переменных $p_{i}, q_{i}$, взятые по постоянным при последнем способе выражения, попарно равжые между собой, если не мринимать во внимание знака.
1 дта теорема сооб́и 21 ноября 1838 г. беріинекой академии (см. Моnatsberichte, 1838 , стр. 178 ).