Важнейший шаг вперед в преобразовании дифференциальных уравнений движения, после появления первого издания Аналитической механики, сделал Шуассон в статье о методе вариации постоянных, которая помецена в 15 -й тетради Политехнического журнала. Здесь Пуассон вводит вчесто величин $q^{\prime}$ величины $p=\frac{\partial T}{\partial q^{\prime}}$; как уже выше отмечено, $T$ есть однородная функция второй степени от величин $q^{\prime}$, коэффицненты которой зависят от $q$ и потому $p$ будут линейными функцими величин $q^{\prime}$. Таким образом для огределения $p$ имеются $k$ уравнений вида $p_{i}=\omega_{i}$, где $\omega_{i}$ линейна относительно $q_{1}{ }^{\prime}, q_{2}{ }^{\prime}, \ldots q_{k}{ }^{\prime}$. Еели эти $\dot{k}$ линейных уравнений решать относительно величин $q^{\prime}$, то получатся уравнения вида $q_{i}^{\prime}=K_{i}$, где $K_{i}$ есть линейное выражение относительно $p$, козффициенты которого зависят от $q$. Эти значения $q_{i}^{\prime}$ мы подставляем в уравнение (9) предыдущей лекции, т. е. в уравнение
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=\frac{\partial(T+U)}{\partial q_{i}}=\frac{\partial T}{\partial q_{i}}+\frac{\partial U}{\partial q_{i}},
\]

где $\frac{\partial U}{\partial q_{i}}$ содержит только величины $q$, в то время как $\frac{\partial T}{\partial q_{i}}$ будет, кроме того, функций величин $q^{\prime}$ и при том однородной функцией второй стешени относительно этих величин. Если мы положим теперь $q_{i}^{\prime}=K_{i}$, то $\frac{\partial T}{\partial q_{i}}$ будет однородной функцией второй степепи от величин $p_{i}$. Таким образом предыдущее уравнение примет форму:
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=P_{i},
\]

где $P_{t}$ выражается через $p$ и $q$ и будет второй стешени относительно $p$. Эти уравнения, будучи скомбинированы с уравнениями $q_{i}^{\prime}=\frac{d q_{i}}{d t}=K_{i}$, дают:
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=K_{i} ; \quad \frac{d p_{i}}{d t}=P_{i} .
\]

Это та форма, к которой Пуассоп приводит уравнения движения; здесь $K_{t}$ и $P_{1}$ не содержат никаких других переменных величин кроме $p$ и $q$. Эта система $2 k$ уравнений обладает замечательным свойствами, именно
\[
\frac{\partial K_{i}}{\partial p_{i^{\prime}}}=\frac{\partial K_{i^{\prime}}}{\partial p_{i}} ; \quad \frac{\partial K_{i}}{\partial q_{i^{\prime}}}=-\frac{\partial P_{i^{\prime}}}{\partial p_{i}} ; \quad \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{i^{\prime}}} \Longrightarrow \frac{\partial P_{i^{\prime}}}{\partial q_{i}},
\]

причем первая грушша дается Пуассоном в вынешриведенном месте в точно таком же виде, в то время как остальные непосредетвенно вытекают из его результатов.

Кравнения (2) показывают, что величины $K_{i}$ п $P_{i}$ следует рассматривать как частные проивводные оджой и той же функции по величинам $p_{i}$ и $-q_{i}$.

Этого замечания, непосредственно выгекающего из уравнений (2), Пуассон не делает и тем более он не разыскиват, этой функции. Опрецелил ее впервые Гамильтон, и благодаря введению его характеристической функции веё преобразование чрезвычайно унроцаетея. $К$ этому преобразованию при ходим почти само собой, если хотим из второй лагранжевой формы дифференциальных уравнений, данной в предыңџцей лекцип, вывести теорену живой силы, что сделать не совсем просто. Теорема живой силы, если принять во внимание также тот случай, когда силовая функция $U$ содержит явно время, имеет вид:
\[
T^{\prime}=U-\int \frac{\partial U}{\partial t} d t+\text { const }
\]

или, после дифференциования,
\[
\frac{d(T-U)}{d t}+\frac{\partial U}{\partial t}=0
\]
(етр 35$)$.
Чтобы вывести атот резултат из второй лагранжевой формы дифференциальных уравнений
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=\frac{\partial(T+U)}{\partial q_{i}} ; \quad p_{i}=\frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}
\]
[содержащейся в уравнении (9) восьмой лекции], рассуждаем следующим обравом. Так как ‘ $T$ ‘ есть однородная фунцция второй степени от величин $q^{\prime}$, то, как известно, имеем
\[
2 T=q_{1}^{\prime} \frac{\partial T}{\partial q_{1}{ }^{\prime}}+q_{2}^{\prime} \frac{\partial T}{\partial q_{2}{ }^{\prime}}+\ldots+q_{1}^{\prime} \frac{\partial T}{\partial q_{k}^{\prime}}=\sum q_{i}^{\prime} p_{i}
\]

ต.งน
\[
T=\sum q_{i}^{\prime} \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}-T,
\]

а отеюда получаем, взяв полный дифференциал,
\[
d T^{\prime}=\sum q_{i}{ }^{\prime} d-\frac{\partial T}{\partial q_{i}{ }^{\prime}}+\sum \frac{\partial T}{\partial q_{i}{ }^{\prime}} d q_{i}{ }^{\prime}-\sum \frac{\partial T^{\prime}}{\partial q_{i}^{\prime}} d_{q_{i}{ }^{\prime}}-\sum \frac{\partial T}{\partial q_{i}} d q_{i}
\]

или, так как вторая и третья суми взаимно униттожаютея,
\[
d T=\sum q_{i}^{\prime} d \frac{\partial T}{\partial q_{i}^{\prime}}-\sum \frac{\partial T}{\partial q_{i}} d q_{i}=\sum q_{i}^{\prime} d p_{i}-\sum \frac{{ }^{\prime} T}{\partial q_{i}} d q_{i} ;
\]

это равенство есть тождество. Подставим здесь вместо $d \frac{\partial T}{\partial q_{i}{ }^{\prime}}=d p_{i}$ его значение из уравнения (9) предыдущей лекции и разделим на $d t$; тогда получим:
\[
\frac{d T}{d t}=\sum \frac{\partial(T+U)}{\partial q_{i}} q_{i}^{\prime}-\sum \frac{\partial T}{\partial q_{i}} \frac{d q_{i}}{d t}=\sum \frac{\partial U}{\partial q_{i}} q_{i}^{\prime}=\frac{d U}{d t}-\frac{\partial U}{\partial t} .
\]

Таким образом изеем:
\[
\frac{d(T-U)}{d t}+\frac{\partial U}{\partial t}=0,
\]

что̀ и требовалось доказать.
Тождество (3) легко приводит к характеристической функци Гамильтона. Именно, при составлении частных производных $\frac{\partial T^{\prime}}{\partial q_{i}}$ и $\frac{\partial T^{\prime}}{\partial q_{i}^{\prime}}=p_{i}$, входящих в правую часть уравнения (3) (последние величины входят только под знаком дифференциала), $T$ рассматривается как функция от величин $q$ и $q^{\prime}$. Если мы теперь введем, при помощи уже выше упомянутых линейвых уравнений $q_{i}^{\prime}=K_{i}$, величины $p_{i}$ вместо $q_{i}^{\prime}$, то $T$ превратится в функцию величин $p$ и $q$; пропзводные от $T$ по $p_{i}$ и $q_{i}$, образованные при такой гипотезе, мы обозшачим для отличия через $\left(\frac{\partial T^{i}}{\partial p_{i}}\right)$ и $\left(\frac{\partial T}{\partial q_{i}}\right)$; тогда
\[
d T=\sum\left(\frac{\partial T}{\partial \boldsymbol{p}_{i}}\right) d p_{i}+\sum\left(\frac{\partial T}{\partial q_{i}}\right) d q_{i}
\]

и следовательно, на основании уравнения (3),
\[
\sum\left(\frac{\partial T}{\partial p_{i}}\right) d p_{i}+\sum\left(\frac{\partial T}{\partial q_{i}}\right) d q_{i}=\sum q_{i}^{\prime} d p_{i}-\sum \frac{\partial T}{\partial q_{i}} d q_{i} .
\]

Так как это равенство должно быть тождеством, то из него следует, что
\[
\begin{array}{c}
\left(\frac{\partial T}{\partial p_{i}}\right)=q_{i}^{\prime}, \\
\left(\frac{\partial T}{\partial q_{i}}\right)=-\frac{\partial T}{\partial q_{i}} .
\end{array}
\]

Уравнение (4) показывает, что между величинами $p$ и $q^{\prime}$ имеет место некоторая взаимность; действительно, сопоставляя с ранее полученным уравнением $\frac{\partial T}{\partial q_{i}{ }^{\prime}}=p_{i} ;$ найдем
\[
\frac{\partial T}{\partial q_{i}{ }^{\prime}}=p_{i} ; \quad\left(\frac{\partial T}{\partial p_{i}}\right)=q_{i}{ }^{\prime},
\]
т. е. соотношение, подобное тому, которое имеетея в теории поверхностей второго порядка. Если мы подставим найденное значение $\frac{\partial T}{\partial q_{i}}$ из уравнения (5) в уравнение (9) цредыдущей лекции, то получим
\[
\frac{d p_{t}}{d t}=-\left(\frac{\partial T}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial U}{\partial q_{t}} .
\]

Но, так как $U$ совсем не содержит $p$ и $q^{\prime}$, то
\[
\frac{\partial U}{\partial q_{i}}=\left(\frac{\partial U}{\partial q_{i}}\right)
\]

так что
\[
\frac{d p_{i}}{d t}=-\left(\frac{\partial(T-U)}{\partial q_{i}}\right) .
\]

Далее, тақ как $U$ не содержит $p$, то уравнение (4) можно также написать в виде:
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\left(\frac{\partial(T-U)}{\partial p_{i}}\right) .
\]

Тапим образом, если положить
\[
T-U=H,
\]

то получится:
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\left(\frac{\partial H}{\partial p_{i}}\right) ; \quad \frac{d p_{i}}{d t}=-\left(\frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right),
\]

откуда видно, что $H=T-U$ есть харацтеристическая функция. Ив этих уравнений сама собою получаетея теорема живой силы, так как из обоих уравненнй (7) следует, что
\[
\left(\frac{\partial H}{\partial p_{i}}\right) \frac{d p_{i}}{d t}+\left(\frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right) \frac{d q_{i}}{d t}=0,
\]

и если иы просуммируем это выраљенде по всем $\dot{\text {, }}$, то получим
\[
\frac{d H}{d t}-\frac{\partial H}{\partial t}=0,
\]
т. е. теорему живої силы.

Так как само собой разумеется, что в уравнениях (7) величины $p$ и $q$ надо рассматривать как переменные, то можно отбросить скобки у проивводпых, и тогда получим:
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}} ; \quad \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}} ; \quad H=T-U .
\]

і более общем случае, когда ие существует силовой фунцци, на месте $\frac{\partial U}{\partial q_{1}}$ стоит выражение
\[
Q_{i}=\sum\left(X \frac{\partial x}{\partial q_{i}}+Y \frac{\partial y}{\partial q_{i}}+Z \frac{\partial z}{\partial q_{i}}\right),
\]

где сума распростравяетел па все $x, y, z$ и таким обравом вместо уравнений (8) получатся еле,ующие:
\[
\frac{d q_{i}}{d t}=\frac{\partial T^{\prime}}{\partial p_{i}} ; \quad \frac{d p_{i}}{d t}=-\frac{\partial T}{\partial q_{i}}+Q_{i} .
\]

Если условных уравпениї нет, то величины $q$ совпадают с коордипатаин; первое из уравнениї (8) становится тождеством, второе переходит в систему
\[
m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial x_{i}} ; \quad m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial y_{i}} ; \quad m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=\frac{\partial U}{\partial z_{i}},
\]

которая представняет из себя первоначальную форму уравнешиї движения.