Гипотеза относительно вариаций, совместная во всех обстоятельствах с условными уравнениями, заключается в том, что для всех значений $i$
\[
\delta x_{i}=\frac{d x_{i}}{d t} d t, \quad \delta y_{i}=\frac{d y_{i}}{d t} d t, \quad \delta z_{i}=\frac{d z_{i}}{d t} d t .
\]

Если мы введем эти значения вариаций в символическое уравнение (2) второй лекции, которое имеет место в случае существования силовой функции, то $\delta U$ перейдет в $d U$, и мы полүчим после деления на $d t$ :
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \frac{d x_{i}}{d t}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \frac{d y_{i}}{d t}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \frac{d z_{i}}{d t}\right\}=\frac{d U}{d t} .
\]

Это уравнение можно непосредственно интегрировать; его интегралом служит выражение:
\[
\frac{1}{2} \sum m_{i}\left\{\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}=U+h,
\]

гие $h$ – произвольная постоянная интегрирования. Еели мы обозначим элемент пути, проходимый массою $m_{i}$ за время $d t$ через $d s_{i}$, а ее скорость через $v_{i}$, то будем иметь:
\[
\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d t}\right)=\left(\frac{d s_{i}}{d t}\right)^{2}=v_{t}^{2}
\]

и предыдущее уравнение примет вид:
\[
\frac{1}{2} \sum m_{i} v_{i}^{2}=U+h .
\]

Әто теорема живой силы. эЖивой силой точи называетея квадрат ее скорости, умноженный на ее массу; живая сила системы равна сумме живых сил отдельных материальных точек. Поэтому можно уравнение (1) словами выразить так: половина живой силы системь равна силовой функуии, увеличенной на некоторую постоянную.

Принцип сохранения живой силы, каљ показывает вывод, не вависит от уеловных уравнений и в этом, главным образом, и состоит его значение. Он имеет место, когда существует силовая фунция; распирение случаев, в которых может быть введена эта функция, должно было вести за собой также расшространение этого принцина. Поэтому, согласно нашему прежнему замечанию, именно Даниил Бернулли поднял этот принцип до его теперешчего общего значения, в то врема каљ до него этот принцип знали только для притяжений к нешодвижным центрам.

Вычитанием двух уравнений (1), имеющих место для двух различных моментов времени, можно исключит постоянную $h$ и получить теорему: \”Если система передвигается с одного места на другое, то полуразность между живой силой системы для начала и для понуа равна разности между значениями силовой функии для тех же моментов\”. Такпм образом, измененке живой силы вависит только от начального и конечного вначения силовой функции, промежуточные же ее состояния не оказывают на него никакого влияния. Чтобы это сделать более наглядным, предположим, что точка двигаетея по произвольной привой от данной начальной точки к данной конечной точке; если теперь начальная скорость дана, то и конечная скорость будет одна и та же, какова бы ни была кривая, их соединяюцая. Скорость прп этом, конечно, должна быть взята по направдению касательной в сторону действительно происходящего движения. Цри этом в расчет не принимается та часть скорости, которая уничтожаетея сопротивлением кривой, когда первоначально сообщенный точке толчок действует не по направлению касательной к кривой. Эта невависимость от формы пробегаемого пути имеет место также и для системы. Кап следствие, отсюда получается теорема: \”Если движение системь тапово, что она может вернуться в первоначальное положение, то при возврацении жпвая сила также будет прељжей\”; при этом предшолагается, что принци живой силы вообще имеет место. В названип принципа слово \”сохранение\” относится как раз в этой незавнсимости от формы гроходимого пути или, что то же, от условных уравнений (так как иии опредедяетея форма проходимого пути).

Происхождение выражения „живая сила“ объясняется тем вначепием, которое этот принцп имеет в мащиноведении, основой которого он стал со времени Карно. В этой дисциплие установлено, что половина живой силы, т. е. $\frac{1}{2} \sum m_{\imath} v_{\imath}^{2}$ равна работө мапины пли, как выражаютея в этих практических вещах, $\frac{1}{2} \sum m_{i} v_{i}^{2}$ есть то, что оплачивается в манине. Дело обстопт так. В машиноведении принимают как принци, поскольку ве берется в расчет трение, что работа требуется то.ько для передвижения массы в пацравлении действующей на нее силы (притом в сторону обратную ее действию), в то время как движение в направлении, перпендикулярном этому, пропсходит без работы. Далее предшолагают что работа машины измерлется произведением движущей силы на путь который пройден приводимой ею в движение массой.

Горизонтальное передвижение тяжести, таким образом, не рассматривается как работа, и тодьво ее поднятие будет работой, измеряющейся произведением поднятого груза на ту высоту, на которую он поднят. Это та работа, которая оплачиваетея, например, при забивке свай.

В системе материальых точек каждая из них есть точка приложения действующей на нее силы. В то время как при движении системы эти топки ірилюжения смещаютя, действующие на них силы также сиещаются. Но смещение точек приложения пропсходит вообще не в направлении действующих на них сил, а под невоторым г ним углом; поэтому, чтобы понучить работу системы, надо силу множить не на пройденный путь, а на проекцию пройденного, пути на направление силы.
На точку $m_{i}$ дейетвукт силы:
\[
m_{i} \frac{d^{2} x_{t}}{d t^{2}}, \quad m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}, \quad m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}},
\]

и притом они действуют параллельно координатным осям. Смещение $m_{i}$ за элемент времени $d t$ есть $d s_{i}$, проекци его на координатные оси будут соответственно $d x_{i}, d y_{i}, d z_{i}$; поэтом работа, ватраченная на продвижение точки $m_{i}$ за элемент времени $d t$, равна:
\[
m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} d x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} d y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} d z_{i}\right\}
\]

При движении всей системы работа, произведенная за элемент времени $d t$, будет:
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} d x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d l^{2}} d y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} d z_{i}\right\}=\frac{1}{2} d\left(\sum m_{i} v_{i}^{2}\right),
\]

откуда получаем для работы за время от $t_{0}$ до $t_{1}$ выражение:
\[
\frac{1}{2}\left\{\sum m_{i} v_{\left.i t=t_{1}\right)}^{2}-\sum m_{i} v_{\left.i t=t_{0}\right)}^{2}\right\} .
\]

Твким образом, полуразность начального и конечного значений суммы $\Sigma m_{i} v_{i}^{2}$ есть мера работы системы. Это есть истинное основание того обстоятельства, что Лейбниц ввел для этой суммы название „живая сила“, 0 происхождевии которого было много споров.

В случае, когда силовая функция есть однородная функция и мы имеем дело со ерободной системой, можно теореме живых сил, заключаюейся в уравнении (1), придать очень интересную форму. Пусть $U$-однородная фушкция $k$-го измерения; тогда, как известно,
\[
\sum\left(x_{i} \frac{\partial U}{\partial x_{i}}+y_{i} \frac{\partial U}{\partial y_{i}}+z_{i} \frac{\partial U}{\partial z_{i}}\right)=k U .
\]

Если мы пмеем дело со свободной системой, то можем положить
\[
\delta x_{i}=x_{1} \omega, \quad \delta y_{i}=y_{i} \omega, \quad \delta z_{i}=z_{i} \omega,
\]

где $\omega$ обозначает бесконечно малую величину и тогда, принимая во внимание уравнение, вытекающее из однородности $U$, получаем:
\[
\delta U=k U \cdot \omega .
\]

Поэтому наше символическое уравнение [уравнение (2) второй лекции] будет:
\[
\sum m_{i}\left(x_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}+y_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}+z_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}\right)=k U,
\]

где общий множитель ю отброшен. Если ны тешерь прибавим сюда ураввение (1), умпоженное на 2 , то получим:
\[
\begin{aligned}
\sum m_{i}\left\{x_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}+\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2}\right. & \left.+y_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}+\left(\frac{d y_{i}}{d t}\right)^{2}+z_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}+\left(\frac{d z_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}= \\
& =(k+2) U+2 h,
\end{aligned}
\]

или
\[
\sum m_{i} \frac{d}{d t}\left(x_{i} \frac{d x_{i}}{d t}+y_{i} \frac{d y_{i}}{d t}+z_{i} \frac{d z_{i}}{d t}\right)=(k+2) U+2 h,
\]
и.іи еще:
\[
\frac{1}{2} \sum m_{i} \frac{d^{2}}{d t^{2}}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)=(k+2) U+2 h,
\]

или, если мы ноложим:
\[
x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2}=r_{i}^{2}
\]

п умножим на 2 :
\[
\frac{d^{2}\left(\sum m_{i} r_{i}^{8}\right)}{d t^{2}}=(2 k+4) U+4 h .
\]

Выражение $\sum m_{i} r_{i}{ }^{2}$ может быть замечательным образом преобразовано, именно так, что будут входить уже не расстояния всех тсчег от начала коордипат, но расстояния точек цруг от друга и расстояние центра тяжести от начала координат. Лреобразования такого рода являютея излюбленными формудами Лагранжа. То, о котором идет речь, получается следующим образом.
Легко видеть, что
\[
\left(\sum m_{i}\right)\left(\sum m_{i} x_{i}^{2}\right)-\left(\sum m_{i} x_{i}\right)^{2}=\sum m_{i} m_{i^{\prime}}\left(x_{i}^{2}+x_{i^{\prime}}{ }^{2}-2 x_{i} x_{i^{\prime}}\right),
\]

гле сумма с правой стороны распространяется тольк на различные значения $i$ п $i^{\prime}$, причем каждая их комбипация принимается в расчет тольо один раз. Подобные же уравнення имеются дия $y$ и $z$ сложив әти три уравнения поаучим:
\[
\begin{array}{c}
\left(\sum m_{i}\right)\left(\sum m_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)\right)-\left(\sum m_{i} x_{i}\right)^{2}-\left(\sum m_{i} y_{i}\right)^{2}-\left(\sum m_{i^{i}}\right)^{2}= \\
=\sum m_{i} m_{i}\left\{\left(x_{i}-x_{i^{\prime}}\right)^{2}+\left(y_{i}-y_{i^{\prime}}\right)^{2}+\left(z_{i}-z_{i^{\prime}}\right)^{2}\right\}
\end{array}
\]

Введем теперь, как это делали раньше, кординаты центра тяжести п положим:
\[
\sum m_{i}=M, \quad \sum m_{i} x_{i}=M A, \quad \sum m_{i} y_{i}=M B, \quad \sum m_{i} z_{i}=M C,
\]

далее обозначим расстояне точек $m_{i}, m_{i^{\prime}}$ друг от друга через $r_{i, i}$; тогда
\[
M \sum m_{i} r_{i}^{2}-M^{2}\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}\right)=\sum m_{i} m_{i^{\prime}} r^{2}{ }_{i: i^{\prime}} .
\]

В это равенетво надо подетавит, как и раныне:
\[
A=\alpha^{(0)}+\alpha^{\prime} t, \quad B=\beta^{(0)}+\beta^{\prime} t, \quad C=\gamma^{(0)}+\gamma^{\prime} t .
\]

После этой подстапови и двукратного дифференцирования по времени голутпм:
\[
\frac{d^{2}\left(\sum m_{i} r_{i}^{2}\right)}{d t^{2}}=2 M\left(a^{\prime 2}+\beta^{\prime 2}+\gamma^{\prime 2}\right)+\frac{d^{2}\left(\sum m_{i} m_{i^{\prime}}{ }^{2}{ }_{i, l^{\prime}}\right)}{M d l^{2}}
\]

и внося это в уравнение (2), найдем, что
\[
\frac{d^{2}\left(\sum m_{i} m_{i^{\prime}} \gamma^{2}{ }_{i, i^{\prime}}\right)}{M d t^{2}}=(2 k+4) U+4 h-2 M\left(\alpha^{\prime 2}+\beta^{\prime 2}+\gamma^{\prime 2}\right) .
\]

Наконец, если шоложить
\[
4 h-2 M\left(\alpha^{\prime 2}+\beta^{\prime 2}+\gamma^{\prime 2}\right)=4 h^{\prime},
\]

To
\[
\frac{d^{2}\left(\sum m_{i} m_{t^{\prime}} r^{2}{ }_{t, i}{ }^{\prime}\right)}{M d t^{2}}=(2 k+4) U+4 k^{\prime} .
\]

В уравнении (3) величины $r_{i}$ обозначают радиусы векторы материальных точек системы, отсчитанные от начала координат, $\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}$ есть радиус вектор центра тяжести, отсчитанный оттуда же; эти величины поэтому меняются, коль скоро переносится начало координат. Величипы $r_{i, t^{\prime}}$, напротив, независимы от выбора начала координат, так как они обозначают расстояния двух точек системы друг от друга. Возьмем центр тяжести за начало координат; тогда $A^{2}+B^{2}+C^{2}=0 ;$ в то же время обозначим радиусы векторы, отсчитандые от центра тяжести, через $\rho_{i}$; тогда уравнение (3) перейдет в
\[
M \sum m_{i_{i} i^{2}}=\sum m_{i} m_{i^{\prime} r^{2}{ }_{i, i^{\prime}}}
\]

Если из этого уравнения и из уравнения (3) исключить
\[
\sum m_{i} m_{i} r^{2}{ }_{i, i},
\]

то получим:
\[
\sum m_{i} r_{i}^{2}=\sum m_{i} \rho_{i}^{2}+M\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}\right),
\]
т. е. сумма $\sum m_{i} r_{i}^{2}$, взятая цля какой-нибудь точки (если эта точка рассматривается как начало координат), равна такой же сумме для центра тяжести, сложенной с суммой масс всех материальных точек, умноженной на квадрат расстояния взятой точки от центра тяжести. Отеюда видим, что $\sum m_{i} r_{i}^{2}$ будет минимумом для цевтра тяжести и что эта величина растет пропорционально квадрату расстояния от центра тяжести; поэтому $\sum m_{i} r_{i}{ }^{2}$ принимает постоянное значение для всех точек, лежащих на поверхности шара, имеющего своим центром ценгр тяжести. Подобная же теорема имеет место для плоскости, где геометричесинм местом точек, для которых $\sum m_{i} r_{i}^{2}$ остаетея постоянной, является круг.

Формулу (6) мы можем доказать также негосредственно. В самом деле, перенесем напу прежню, совершенно произвольную систему координат параллельно самой себе, так чтобы новое начало координат лежало в центре тяжести, и обозн»чиу в новой координатной снстеме координаты наших $n$ материальных точек через $\xi_{1}, \eta_{1}, \zeta_{1} ; \xi_{2}, \eta_{2}, \zeta_{2} ; \ldots, \xi_{n}, \eta_{n}, \zeta_{n}$; тогда мы имеем для всякого $i$ :
\[
x_{i}=\xi_{i}+A, \quad y_{i}=\eta_{i}+B, \quad z_{i}=\zeta_{i}+C,
\]

тде $A, B, C$, как координаты центра тяжести, определяются уравнениями:
\[
\sum m_{i}=M, \quad \sum m_{i} x_{i}=M A, \quad \sum m_{i} y_{i}=M B, \quad \sum m_{i} v_{i}=M C .
\]

Поэтому
\[
\begin{array}{l}
\sum m_{i} r_{i}^{2}=\sum m_{i} x_{i}^{2}+\sum m_{i} y_{i}^{2}+\sum m_{i} z_{i}^{2}= \\
=\sum m_{i} \xi_{i}^{2}+2 A \sum m_{i} \xi_{i}+A^{2} \sum m_{i}+ \\
+\sum m_{i} \eta_{i}^{2}+2 B \sum m_{i} \eta_{i}+B^{2} \sum m_{i}+ \\
+\sum m_{i} \zeta_{i}^{2}+2 C \sum m_{i} \zeta_{i}+C^{2} \sum m_{i} .
\end{array}
\]

Ho
\[
M A=\sum m_{i} x_{i}=\sum m_{i} \xi_{i}+\sum m_{i} A=\sum m_{i} \xi+M A,
\]

поэтому
\[
\sum m_{i} \xi_{i}=0
\]

также
\[
\sum m_{i} \eta_{i}=0, \quad \sum_{i} m_{i} \epsilon_{i}=0
\]

Отсода мы получаем
\[
\sum m_{i} r_{i}^{2}=\sum m_{i}\left(\xi_{i}^{2}+\eta_{i}^{2}+\zeta_{i}^{2}\right)+M\left(A^{2}+B^{2}+C^{2}\right),
\]

мто совпадает с формулой (6).

Подобная же формула получится для дифференцилов. В самом деле из наших предыдущих формул следуют дифференцильные формулы:
\[
\begin{array}{c}
d x_{i}=d \xi_{i}+d A, \quad d y_{i}=d r_{i}+d B, \quad d \varepsilon_{i}=d \xi_{i}+d C, \\
\sum m_{i} d \xi_{i}=0, \quad \sum m_{i} d r_{i}=0, \quad \sum m_{i} d r_{i}=0
\end{array}
\]

и отсода мы получим
$\sum m_{i}\left(d x_{i}{ }^{2}+d y_{i}{ }^{2}+d z_{i}{ }^{2}\right)=\sum m_{1}\left(d \xi_{i}{ }^{2}+d r_{i i}{ }^{2}+d \zeta_{i}{ }^{2}\right)+M\left(d A^{2}+d L^{2}+d C^{2}\right)$
или, если мы разделим на $d t^{2}$,
\[
\begin{array}{c}
\sum m_{i}\left\{\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}= \\
=\sum m\left\{\left(\frac{d \xi_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \eta_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \zeta_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}+M\left\{\left(\frac{d A}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d B}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d C}{d t}\right)^{2}\right\}
\end{array}
\]
т. е. абсолютнал живая сила системы равна относительной живой силе этой системы по отношепию к центру тяжести (или, как говорят, вокруг центра тяжести), сложенной с абсолютной живой сплой цента тяжести. Подтому ас́солютная живая сила спстемы всегда больше, чем ее отьосительная живая спла вокруг центра тяжести.

Относительную живую силу вокруг центра тяжести можно ввести в теорему живых сил. Эта теорема выражалась уравнением:
\[
\frac{1}{2} \sum m_{i}\left\{\left(\frac{d x_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y_{1}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d z_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}=U+h
\]

Если левую часть этого урагкевия преобраговаль ири помощи уравнения (7). то получим:
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2} \sum m_{i}\left\{\left(\frac{d \xi_{i}}{d t}\right)^{3}+\left(\frac{d \eta_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \zeta_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}= \\
=U+h-\frac{1}{2} M\left\{\left(\frac{d A}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d B}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d C}{d t}\right)^{2}\right\},
\end{array}
\]

но
\[
h-\frac{1}{2} M\left\{\left(\frac{d A}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d B}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d C}{d t}\right)^{2}\right\}=h-\frac{1}{2} M\left(\alpha^{\prime 2}+\beta^{\prime 2}+\gamma^{\prime 2}\right),
\]

а это выражение мы обозначили ранее через $h^{\prime}$.
ІІоэтому
\[
-\frac{1}{2} \sum m_{i}\left\{\left(\frac{d \xi_{i}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d n_{1}}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d \zeta_{i}}{d t}\right)^{2}\right\}=U+h^{\prime} .
\]

Таким образом, теорема живых сил имеет место как для абсолитной, тап и для относительной живой силы вокруг центра тяжести; меняется при этом только постоянная $h$ в $h^{\prime}$. Кроме того не надо забывать, что здесь предполагается возможность применения приципа сохрапения движения центра тяжести, так как на этом предшоложении поконтся подстановка
\[
\alpha^{\prime 2}+\beta^{\prime 2}+\gamma^{\prime 2}
\]

вместо
\[
\left(\frac{d A}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d B}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d C}{d t}\right)^{2} .
\]

Заметим, между прочим, что результат (8) можно предвидеть. В самом деле, гогда имеет место принци сохранения движения центра тяжести, тогда $U$ и условные уравнения зависят только от разностей координат; такия образом эти выражения остаются без изменения, если подотавить $\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{1}$ вместо
\[
x_{i}, y_{i}, z_{i},
\]

где
\[
x_{i}=\xi_{i}+A, \quad y_{i}=\eta_{i}+B, \quad z_{i}=\zeta_{i}+C .
\]

Далее, мы имеем
\[
\frac{d^{2} A}{d t^{2}}=0, \quad \frac{d^{2} B}{d t^{2}}=0, \quad \frac{d^{2} C}{d t^{2}}=0,
\]

поэтому
\[
\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=\frac{d^{2} \xi_{i}}{d t^{2}}, \quad \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=\frac{d^{2} \eta_{i}}{d t^{2}}, \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=\frac{d^{2} \zeta_{i}}{d t^{2}} .
\]

Таким образом символическое уравнение:
\[
\sum m_{i}\left(\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{i}\right)=\delta U,
\]

и условные уравнения имеют место и тогда, когда вместо $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ подетавлены величины $\xi_{i}, \eta_{i}, \zeta_{i}$, т. е. эти уравнения годятся как для абсолютного, так и для относительного движения вокруг центра тяжести. То же должно быть с вытекающим отсюда следствие, 一 теоремой живой силы, причем постоянная интегрирования может, конечно, меняться, что и на самом деле имеет место.

Из вышеприведенного рассуждения видно, что в случае, когда применим принцип сохранения движения центра тяжести, необходимо определить тодько относительное движение системы вокруг центра тяжести. После этого надо найти движение центра тяжести, и простым сложением этих двух движений получится абсолютное движение системы.

Солнечная система дает пример задач такой категории. Но мы знаем только ее относительное движение. У нас отсутствуют данные для определения движения центра тяжести, так как для этого должны были бы сущеетвовать настоящие неподвижные звезды, что очень сомнитедьно, и эли звезды должны были бы находитьея ог нас так близко, что их парал.ыне по отношению к линии длиною 40 милионов миль (большая оэь земной орбиты) до известной стешени уог бы быть принят в расчет. Аргеландер в новейшее время пыталея по идее, данной старшим Тершелем, определить отнопения $\alpha^{\prime}: \beta^{\prime}: \gamma^{\prime}$ [смотри уравнение (3) третьей лекции], т. е. направление движения цевтра тяжести, но это определение покоится на допуцениях.

Возвращаемся теперь снова к уравнению (4), которое, в случае когда $U$ есть опнородная функция $k$-ого шоряда, содержит прннцип сохранения живой силы в интересной форме:
\[
\frac{d^{2}\left(\sum m_{i} m_{i} r_{i}^{\prime}, i^{\prime}\right)}{M d t^{2}}=(2 k+4) U+4 h^{\prime} .
\]

Вместо этого, принимая во внимание уравнение (5), можно написать
\[
\frac{d^{2}\left(\sum m_{i} p_{i}^{2}\right)}{d i^{2}}=(2 k+4) U+4 h^{\prime},
\]

где $\rho_{i}$ – векторы, выходлщие из ценгра тяжеэти. Для солнечной системь $k=-1$; так что имеем
\[
\frac{d^{2}\left(\sum m_{t} \rho_{i}^{2}\right)}{d t^{2}}=2 U+4 h^{\prime}
\]

\[
U=\sum \frac{m_{i} m_{i}}{r_{i,} x^{\prime}} .
\]

Относительно этого уравнения можно привести много рассуждений. Если бы притяжение было обратно пропорционально не квадрату рагстояния, но его жубу, то предыдущее уравнение можно было бы интегрировать. Действительно, в этом случае быно бы $k=-2,2 k+4=0$, так что, если для сожращения обозначить $\sum m_{i} p_{i}^{2}$ через $R$, то
\[
\frac{d^{2} R}{d t^{2}}=4 h^{\prime} \text {. }
\]

Но тогда солнечная система распалась бы, так как двукралое интегрирование дает
\[
R=2 h^{\prime} t^{2}+h^{\prime \prime} t+h^{\prime \prime \prime},
\]

и с возрастанием времени $R$ возрастал бы бесконечно. А так кан $R=$ $=\sum m_{i}{ }^{2}$, то по крайней мере одно тело солнечной системы должно было бы удаляться на бесконечпое расстояние от ее центра тяжести.

Іодобные же рассуждения показывают, что дия действительного случая солнечной системы, т. е. для притяжения, обрално шропорионального квадрату расстолния, постоянная $h^{\prime}$ должна быть отрицательна, если солнечная система должна быть устойчивой. В самом деле, поскольку в солнечной системе действуют только притягивающие силы, силовая функция $U$ по самой своей природе должна быть положительной величиной. Хочя Бессель сделал типотезу, что солнце обладает по отнощению к кометаи отталивающей силой, и таким образом объяснил то явление, что хвосты всех комет отклоняютея от солнца, однано в этом еще вовсе нет уверенности п пока при общих рассмотрениях нужно отказаться от этой отталкивающей силы. Ноэтому $U$ наверное будет положительной величиной. Іредположив это, мы получим, мнтегрируя уравнение
\[
\frac{d^{2} R}{d t^{2}}=2 U+4 h^{\prime}
\]
8 границах от 0 до $t$,
\[
\frac{d R}{d l}-R_{0}{ }^{\prime}=\int_{0}^{t}\left(2 U+4 h^{\prime}\right) d t
\]

дли, если $\alpha$ обовначает наименышее значение $U$ между грапицами 0 и $t$,
\[
\frac{d R}{d t}-R_{0}{ }^{\prime}>\left(2 \alpha+4 h^{\prime}\right) t,
\]

где $R_{0}{ }^{\prime}$ есть значение $\frac{d R}{d t}$ при $t=0$. Второе интегрирование этого уравнения в границах от 0 .до $t$ дает, если $R_{0}$ есть значение $R$ при $t=0$,
\[
R-R_{0}-R_{0}{ }^{\prime} t>\left(\alpha+2 h^{\prime}\right) t^{2}
\]

мии
\[
R>R_{0}+R_{0}{ }^{t}+\left(\alpha+2 h^{\prime}\right) t^{2} .
\]

Здесь $\alpha$ наверное положительная величина, так как $U$ по своей природе положительна. Если бы теперь $2 h^{\prime}$ было ноложительным, $\alpha+2 h^{\prime}$ тоже было бы положительным и, таким образом, $R$ при возрастании $t$ возрастало бы бесконечно, т. е. солнечная система не была бы устойчива; итак, $2 h^{\prime}$ должно
быть отрицательным. Но его числовое значение не должно превышать напбольшего значения, которое принимает $U$ между 0 и $t$, так как иначе все әлементы интеграла $2 \int_{0}^{t}\left(U+2 h^{\prime}\right) d t$ были бы отрицательны; поэтому зожно было бы положить
\[
\frac{d R}{d t}-R_{0}{ }^{\prime}<-2 \beta t,
\]

где $\beta$ еєть положительная величина, именно наименьнее численное значение, которое принимает $U+2 h^{\prime}$ между 0 и $t$. Далее, интегрирование дает
\[
R<R_{0}+R_{0}{ }^{\prime} t-\beta t^{2},
\]
т. е. $R$ приближалось бы при возрастании $t$ к отрицательной бесконечности, что невозможно, так как $R$ обозначает сумм квадратов. Все эти рассуждения можно обобщить в одно утверждение, что в границах интегрирования $U+2 h^{\prime}$, если предноложить устойчивость солнечной системы, не может иринимать только положительные или только отрицательные звачения. $U+2 h^{\prime}$ должно, таким образом, все время колебаться от ноложительных значений к отрицательным, туда и обратно, т. е. $U$ должно все время колебаться вокруг $-2 h_{1}^{\prime}$. Но эти колебания $U$ должны быть зақлючены в определенных конечных границах; в самом деле предноложим, что к некоторому времепн $U$ делаетел бесконечно большим; это может слуиться только вследетвие того, что два тела ґодходят бесконечно близко друг к другу в виду равенства $U=\sum \frac{m_{i} m_{i^{\prime}}}{r_{i, i^{\prime}}}$. Так как тогда их взаимное притяжение сделается бесконечно большим, то они никогда больше не смогут разъединиться; таким обравом, с этого времени остаетея некоторое определенное $r_{i, i^{\prime}}=0$, вместе с этим $U=\infty$; далее, если мы распространим интегрирование на промежуток, ваключающий рассматриваемое время, то $\iint\left(U+2 h^{\prime}\right) d t^{2}$, а вместе с ним п $R$, будут шринимать бесконечно большие значения, каково бы ни было $h^{\prime}$. Таким образом другие тела солнечной системы должны были бы удалиться в бесконечность, а вместе с этим должно было бы нарушиться равновесне. Итак, $U$ долкно колебаться вокруг $2 h^{\prime}$ и әти колебания ваключены между определенными конечными границами. Пример такого говедения дают периодические функции с постоянным членом, равным – $2 h^{\prime}$. Это подтверждается формулами эллиптического движения. В них $U=\frac{1}{r},-2 h^{\prime}=\frac{1}{a}$ (отбрасывая постоянный множитель, общий у этих двух величин), так что $y$ должно колебаться около $a$, что происходит на самом деле; далее, разложение $\frac{1}{r}$ шо ередней аномалии должно содержать постоянный член $\frac{1}{a}$, и то также на самом деле имеет место. При взаимном шритяжении двух тел отрицательные значения $h^{\prime}$ дают эллиптическое движение, $h^{\prime}=0$ соответствует параболическому и положительные значения $h^{\prime}$ дают гишерболическое двнжение, что также согласно с нашими результатами.

Теорему, что $U$ колеблется около-2 $h^{\prime}$ или $U+2 \hbar^{\prime}$ около нуля, можнө выразить еще так, что $2 U+2 h^{\prime}$ колеблется около $U$; но согласно уравнению (8) $2 U+2 h^{\prime}$ есть живая сила (вокруг центра тяжести); таким образом, значение живой силы колеблетея вокруг значевия силовой функции. Если в системе все расстояния очень велики, то силовая фунция очень мала, то же будет по теореме живой силы с этой последней. Вместе с этим будут также очень малы скорости, ил чем болыне растут расстоння, тем меныше становятея скорости; на этом основываетея устойчивость.

В этих рассуждениях и ич шодобных лежит верно знамениты исследоваџий Лапласа, Јаграща и Іуассона относительно устойчивости мировой системы. Имепно, существут теорема: если предполонит элементы орбты какой-нибудь шланеты шеременными и разложить болиую ось шо времени, то оно войдет только как аргумент периодических фунций, никаких членов только для малых эксцентриситетов и для первой степени массы. Лагранж распространил ее *) олни росчерлом пера на любые эксцецтриситеты. Паконец, Іуасеон показал, **) что она применима также тогда, когга принияется в раслет вторая стешень масен; :та рао́ота одна из прекраснейпих его работ. Еели принят в расчет также третью стенень массы, то время войдет уже вне щериодических фунций, но все еще будет па них уможатьст; если еще припимаетея в расчет и четвертая степень, то время войдет уже не умноженным на шериодические функции. Таким обравом, для третьей стелени ревультат дал бы все еще колебания вокруг некоторого среднего зпачения, го для $t=\infty$ бесконечно болыие, а при шрнятии в расчет четвертой стешени подобшы колебаний вообще болые не имеетел. Подобый же резултат получаем при малых колебания; ири приятин в расчет выспих стененей отклонений приходим к выводу, что малые пмудысы с возрастаниез $t$ прнводят к все большим колебаниям.

Но все эти результаты, строго говоря, ничего не доказывают. Тействительи, когда препебрегант внсшии степеняи отклонений, то иреднолазшачениї $t$. По:тому не слеловало бы удивлятисл даже тогда, если бы уже дия шервой и второй степени масеы время вхопино бы вне периогических фуницй; в саном деле, право разлагать и отбрасывать выспие стенени массы основано тольк на предположении, тто $t$ не превосходит пзвестой границы. Таким образом мы двнаемся в некотором круге.

Наглдныӥ пример элог дает маятик. Іолокение, года тялелая точка находится вертикальо над точкой привеса, дает неустойчивое равновесие маятника. Мы подучаем здесь времл вне сиуса и косинуса и заключаем отсюда по праву, что бескошечно малый ингуис дает копечное двнженне; но было бы очень опибочпо из того обстоятельста, что время входит вне шернопически фукций, заключать, что движение маятника не шериодично, так как в этом случае тяжена точа вращаетса иериодически вокруг своей точки привеса. Также ошибочно было бы из того результата, который нодучится цри шринятии в расчет высших стененей массы в солнечой сиетеме. заключить, что оға не уетойчива.
*) Mém. de l’Institut, 1808.
**) Journal de l’école polytechnique, cah. 15.