Все наши предыдущие исследования касались систем дифференциальных уравнений, в которые входят только производные первого порядка. Сиетемы такого рода можно рассматривать как частный сдучай тех систем в которые входят цроияводные люоого порядка. Но обратно, увеличением числа переменных можно привести систему с проивводными выспего порядка к системе, содержащей только проивводные первого порядка, так что первая есть частный случай второй. Сначала мы будем заниматься ттим приведением любой системы $к$ другой, в которую входят производные только первого порядка. Іусть имеется система $i$ дифференциальнх уравнений с $i+1$ переменными $t, x, y, z \ldots$, где $t$ расматриваетея как независимая, а $x, y$, $z, \ldots$ – как зависимые переменные. Іусть наивыспий порядок производных, которые входят в эти цифференциальные уравнения, будет $m$-ый дая $x$, $n$-ый для $y, p$-ый для $z$ и т. д. Іредположим далее, это данные дифференциальные уравнения можно репить относительно этих высших производных, тав что они прихут следующую форму:
\[
\frac{d^{m} x}{d t^{m}}=A, \quad \frac{d^{n} y}{d t^{n}}=B, \quad \frac{d^{p} z}{d t^{p}}=C, \ldots,
\]

где высшие проивводные, входящие в $A, B, C \ldots$, будут $m-1$-ая пая $x$, и-1-ая для $y, p-1$-ая для $z$ и т. д. Тогда это будет канонической формой дифференциальных уравнений, для которой и надо проиввести все исследования. $К$ этой канонической форме (1) не всегда можно непосредственно привести каждую данную систему; например этого нелья стелать, если в одно из данных уравнений не входят высшие производные
\[
\frac{d^{n} x}{d t^{m}}, \frac{d^{n} y}{d t^{n}}, \frac{d^{p} z}{d t^{n}} .
\]

Тогда к исключению надо присоединить дифференцирование. Іредподожнм например, что в уравнении, о котором идет речь, наивысшие пронзводные будут
\[
\frac{d^{m-\mu} x}{d t^{m-\mu}}, \frac{d^{n-
u} y}{d t^{n-1}}, \frac{d^{p-\pi} z}{d t^{p-\pi}}, \ldots
\]

и что $\mu \leqslant v \leqslant \pi \leqslant \ldots$; тогда продифференцируем $\mu$ раз по $t$ и востользуемся полученным такия образом уравнением для исключения $\frac{d^{m} x}{d t^{m}}$ из остальных уравнений. Если между уравнениями, полученныи после этого исключения, снова найдетея одно, в которое не входит ни одна из выстих производных от $y, a, \ldots$, то это уравнение надо снова дифференцвровать п т. д. Если это рассуждение и достаточно, ұля того, чтобы показать, тұо ириведение к канонической форме возможно в каждом случае, то оно всё же не дает предварительно никакого общего метода для этого приведения. Установить такой метод было бы преврасной задачей; *) она совпадает с задачей определения числа проввольны постоянных, которые содержатся в интегралах данной системы дифференциальных уравнений; это число получится непосредственно из канонической формы, именно оно равно $m+$ $+n-p+\ldots$ Задача опедедения стедени уравнения, получающегося в результате исключения из данной системы алгебрапческих уравнений, имеет поэтому некоторое сходетво с той, о которой идет речь.

Особенный случай канонической формы есть тот, в вотором мы исключаем все переменные $y, z, \ldots$ кроме двух $t$ и $x$ и располагаем по производным от $x$ по $t$. Но это исключение не необходимо ддя наших рассмотрений; нам нужно тольк, как сказано, предположить дифференциальные уравнения приведенными $\mathrm{i}$ форме (1), где наивыспие производные в $A, B$,

Iредположив это, введем $m+n+p+\ldots-i$ новых переменных именно:
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime}=\frac{d x}{d t}, x^{\prime \prime}=\frac{d x^{\prime}}{d t}, \ldots x^{(m-1)}=\frac{d x^{(m-2)}}{d t} ; \\
y^{\prime}=\frac{d y}{d t}, \quad y^{\prime \prime}=\frac{d y^{\prime}}{d t}, \ldots y^{(n-1)}=\frac{d y^{(n-2)}}{d t} ; \\
z^{\prime}=\frac{d z}{d t}, z^{\prime \prime}=\frac{d z^{\prime}}{d t}, \ldots z^{(p-1)}=\frac{d z^{(p-2)}}{d t} ; \\
\end{array}
\]

тогда можно все эти уравнения вместе с уравнениями (1) иредставить в ве следующей систешы:
\[
\left\{\begin{array}{c}
d t: d x: d x^{\prime}: \ldots: d x^{(n-1)} \\
: d y: d y^{\prime}: \ldots: d y^{(n-1)} \\
: d z: d z^{\prime}: \ldots: d z^{(p-1)} \\
. \cdot . \cdot . \cdot .
\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}
1: x^{\prime}: r^{\prime \prime}: \ldots: A \\
: y^{\prime}: y^{\prime \prime}: \ldots: B \\
: z^{\prime}: z^{\prime \prime}: \ldots: C \\
. . \ldots . .
\end{array}\right\}
\]

Если применим к этой системе общую теорию, то получим следующее дифференциальное уравнение для множителя:
\[
0=\frac{d \lg M}{d t}+\frac{\partial A}{\partial x^{(m-1)}}+\frac{\partial B}{\partial y^{(n-1)}}+\frac{\partial C}{\partial z^{(p-1)}}+\ldots
\]

IІоэтому чожно найти $M$ во всех случаях, в которых сума
\[
\frac{\partial A}{\partial x^{(m-1)}}+\frac{\partial B}{\partial y^{(n-1)}}+\frac{\partial C}{\partial z^{(p-1)}}+\cdots
\]
) Якоби сам решил эту задачу; указания на это находятся в его етатье относительно множнтеля (Журнал Крелля, Bd. XXIX, стр. 369), где упоминается об ожндаемой далее ствтье, которая должна быть посвящена этому предмету. Из двух посмертно найденных мемуаров относительно рассматриваемой задачи, один, который содержит очень полное изложение результатов (De aequationum differentialium systemate non normali ad formam normalem revocando), прнсоединен к первому изданию этих лекции; другой, содержащий докавательства, напечатан в $64-$ томе Математнческого журнала (De investigando ordine systematis aequationum differentialium vulgarium cujuscunque).

Оба мемуара натли себе место в 5-м томе полного собравия сочнвений Jacobi. (Iтрим. К.ебйи.)

есть полный дифференциал. Есан напрнмер
\[
\frac{\partial A}{\partial x^{(m-1)}}+\frac{\partial B}{\partial y^{(n-1)}}+\frac{\partial C}{\partial z^{(p-1)}}+\ldots=0,
\]
qго, в частности, будет всегда, когда $A$ не содержит $\frac{d^{m-1} x}{d t^{m-1}}, B$ не содержит $\frac{d^{n-1} y}{d t^{n-1}}, C$ не содержит $\frac{d^{p-1} z}{d t^{p-1}}$ и т. д., то имеен
\[
M=\text { const. }
\]

н можез поэтому, согласно нащей теории, поскольку дифференциальные уравнения (1) приведены к дифференциальному уравнению первого порядка с двучя переменными, найти интегрирующий множитель этого последнего. уравнения.

Это рассуждение не имело бы очень болыного интереса, если бы такие сыүчаи не встречались на практике. Но на самом деле они имеют место. Именно, коль скоро движение свободной сиетемы материальных точек зависит только от ее конфигурации, так что сопротивление среды не иривимается в расчет, дифференциальные уравнения движения будтт:
\[
m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=X_{i} ; \quad m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=Y_{i} ; \quad m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=Z_{i},
\]

тде $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$ не содержат первых производных; поэтому имеен
\[
\frac{\partial X_{i}}{\partial x_{i}^{\prime}}=0 ; \cdot \frac{\partial Y_{i}}{\partial y_{i}^{\prime}}=0 ; \quad \frac{\partial Z_{i}}{\partial z_{i}^{\prime}}=0,
\]

так что
\[
\frac{d \lg M}{d t}=0 ; \quad M=\text { const. }
\]

и принци последнего множителя в этом случае приложим. Но он находит еще приложөние, как это мы покажөм позке, даже для системы, ограниченной какими-нибудь связями.

Особенного рассмотрения заслуживает тот случай, когда в дифференциальных уравнениях, представленных в канонической форме
\[
\frac{d^{m} x}{d t^{m}}=A, \quad \frac{d^{n} y}{d t^{n}}=B, \quad \frac{d^{p} z}{d t^{p}}=C, \ldots,
\]

величины $A, B, C \ldots$ не содержат $t$. В этом случае $t$ можно совсем исключить и притом просто таким образом, что в дифференциальных уравнениях, данных в форме (3), опускаем с девой стороны $d t$, а с правой – соответствүющий езу член 1. Таким образом получаем систему, порядок которой на единицу меныше, именно равен $m+n+p+\ldots$ – 1. Если пропнтегрировать эту систему и выразить вместе с тем все переменные, следовательно также п $x^{\prime}$, через одну, напричер через $x$, то $t$ получится, как уже выше упомявуго, из қифференциального уравнения
\[
d x-x^{\prime} d t=0 .
\]

Такия образом имеем:
\[
d t=\frac{d x}{x^{\prime}} ; \quad t=\int \frac{d x}{x^{\prime}}+C .
\]

Такви образом $t$ находвтея простой квадратурой.

Если теперь мы имеем множитедь $M$, свободный от $t$ (сюда в частности принадлежит случай, когда
\[
\frac{\partial A}{\partial x^{(m-1)}}+\frac{\partial B}{\partial y^{(n-1)}}+\frac{\partial C^{\prime}}{\partial z^{(p-1)}}+\ldots \ldots \ldots=0
\]

и следовательно $M=$ const.), то это значение $M$ дает последний множитель системы ( $m+n+p+\ldots-1)$-го порядка, из которой исвлючено $t$; таким обравом можно произвести оба последние интегрирования. Наоборот, если имеется только одно значение $M I$, содержапее $t$, то отсюда нельзя извлечь пикакой пользы для $(m+n+p+\ldots-1)$-го интегрирования, но только для $(m+n+p+\ldots)$-го, которое дает значение $t$ и уже сведено к одной квадратуре; притом эта польза состоит в том, что можно избежать и этой квадратуры и определить $t$, решая некоторое уравнение. В самом деле, на основании первого из уравнений (4) прощлой, лекции мы имеем для множителя $M$ системы $n$-го порядка с переменными $x, x_{1}, \ldots x_{n}$, обозначенної через (3), следующую формулу:
\[
\dot{M X}=\tilde{\omega} \boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} \ldots \frac{\partial f_{n}}{\partial x_{n}},
\]

где $f_{1}=\alpha_{1}, f_{2}=\alpha_{2}, \ldots f_{n}=\alpha_{n}$ шредставляют собой интегралы этоӥ снетемы, а $\tilde{\omega}$ есть функция от $f_{1}, f_{2}, \ldots f_{n}$, и так как эти величины при помощи интегралов системы обращаютея в постоянные, то о обозначает постоянную. Применим это к системе (6). Если
\[
f_{1}=\alpha_{1}, f_{2}=\alpha_{2}, \ldots f_{m+n+p+\ldots-1}=\alpha_{m+n+p}+\ldots-1
\]

представляют интегралы приведенной системы, полчченной из (6) исключением $t$, и если
\[
f=t-\int \frac{d x}{x^{\prime}}=\text { const. }
\]

есть последний интеграл системы (6), доставляющий значение $t$, то из формулы (7) получится для множителя $M$ системы (6) следующая формула:
\[
M=\tilde{\omega} \Sigma \pm \frac{\partial f^{\prime}}{\partial x} \frac{\partial f_{1}}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x^{\prime \prime}} \cdots \frac{\partial f_{m-1}}{\partial x^{(m-1)}} \frac{\partial f_{m}}{\partial y} \ldots \frac{\partial f_{m+n-1}}{\partial y^{(n-1)}} \frac{\partial f_{m+n}}{\partial z} \ldots \frac{\partial f_{m+n+p-1}}{\partial z^{(p-1)}} \ldots ;
\]

ддя этого надо только вместо $x, x_{1}, \ldots x_{n}$ подставить $t, x, x^{\prime}, \ldots x^{(m-1)}, y$, $y^{\prime}, \ldots y^{(n-1)}, z, z^{\prime}, \ldots z^{(p-1)} \ldots$ и, в силу этого, вуесто $X$ подставить единищу. Но мы нмеен $f=t-\int \frac{d x}{x^{\prime}}$, где $x^{\prime}$ есть данная функция от $x$; поэтому
\[
\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{1}{x^{\prime}}, \frac{\partial f}{\partial x^{\prime}}=0, \frac{\partial f}{\partial x^{\prime \prime}}=0, \ldots \frac{\partial f}{\partial z^{(p-1)}}=0 \text { п т. д. }
\]

в вместе с этим
\[
M=\text {-const. } \cdot \frac{1}{x^{\prime}} \sum \pm \frac{\partial f_{1}^{\prime}}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x^{\prime \prime}} \ldots \frac{\partial f_{m+n+p-1}}{\partial z^{(p-1)}} \ldots
\]

Іравая часть этого равенства есть в то же вречя множитель свободной от $t$ енстемы ( $m+n+p+\ldots-1$ )-го порядка; действительно, для множнтелн этой скстемы, воторый будет обозначен через $\mu$, получим, применяя равенство (7), формулу:
\[
\mu x^{\prime}=\text { const. } \cdot \boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial f_{1}}{\partial x^{\prime}} \frac{\partial f_{2}}{\partial x^{\prime \prime}} \ldots \frac{\partial f_{m+n+p-1}}{\partial z^{(p-1)}} \ldots,
\]

где $\mu$, как это само собой разумеетея, есть выражение, свободное от $t$. Ми имеем таким образом
\[
H=\text { const. } \mu,
\]

и так как по предположению $M$ содержит $t$, то $t$ подучится репение этого уравнения. Между тем мы знаем, благодаря уже известном нам опредедению
\[
t=\int \frac{d x}{x^{\prime}}+\text { const. }
\]

что постоянная соединена с $t$ аддитивно; чтобы такое соединение $t$ с постоянной вытекало также из предыдущего уравнения дяя $M$, необходимо, чтобы $M$ нмело форму
\[
e^{n t} N \text {, }
\]

где $N$ не зависит от $t$. Тогда получаем логарифмированием:
\[
m t=\lg \frac{\mu}{N}+\lg \text { const. }
\]

Таким образом, если $A, B, C, \ldots$ не содержат переменной $t$, то $M$, если оно в свою очередь не содержит $t$, даст предпоследнеө интегрированне. Если, напротив, $M$ содержит переменную $t$, то благодаря знанию $M$ можно избежать одной квадратуры, которая иначе была бы необходима для опрецеления $t$.

K первому случаю принадлежат дифференциальные уравнения (5), имеющие место для движения системы $n$ материальных точек, так вак известное нам значение их множителя $M=$ const. не вависит от $t$. Дифференщиальне уравнения (5) образуют систему $6 n$-го порялка, которая по нашему методу выравится через $6 n+1$ переменных $x_{i}, x_{i}^{\prime}, y_{i}, y_{i}^{\prime}, z_{i}, z_{i}^{\prime}, t$. Ғсли для этой системы известно $6 n-2=v$ интегралов, не содержамих неременной $t$,
\[
f_{1}=\alpha_{1}, f_{2}=x_{2}, \ldots f_{.}=\alpha_{\gamma},
\]

так что все зависимые переменные хожно выразить через две, готя бы через $x_{1}$ и $y_{1}$, для которых нмеет место дифференцильное уравнение первого порядка
\[
x_{1}^{\prime} d y_{1}-y_{1}^{\prime} d x_{1}=0,
\]

которое надо еще проинтегрировать, то хожно определить пнтетрврющий множитель $R$ этого последнего уравнения. Обозначим те $6 n-2=v$ перененных, которые останутся из 6 п переменных $x_{i}, x_{i}^{\prime}, y_{i}, y_{i}^{\prime}, z_{i}, z_{i}^{\prime}$ nocseисключения $x_{1}$ н $y_{1}$, через $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{v}$; тогда
\[
R=\Sigma \pm \frac{\partial p_{1}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial p_{2}}{\partial \alpha_{2}} \ldots \frac{\partial p_{,}}{\partial \alpha_{,}},
\]

где џредположено, что вместо переменных $p_{1}, p_{2}, \ldots p$, подстав.нены их значения, нолучающиеся ив интегралов $f_{1}=\alpha_{1}, f_{2}=\alpha_{2}, \ldots f_{2}=\alpha_{1}$. Если данные $
u$ интегральных уравнений не репены ни относительно переменных $p_{1}$, $p_{2}, \ldots p_{y}$, ни относительно произвольных постоянных $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{y}$ и если они обознатены через
\[
\tilde{\omega}_{1}=0, \quad \tilde{\omega}_{2}=0, \ldots \tilde{\omega}_{y}=0,
\]

то на основании теоре м относнтельно фунццновалных определителей, нзажевных в тринадцатой лекции, дая интегрируюцего множителя $R$ пөлуунтея дробь:
\[
r=\frac{\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial \tilde{\omega}_{1}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial \tilde{\omega}_{2}}{\partial \alpha_{2}} \cdots \frac{\partial \tilde{\omega}_{v}}{\partial \alpha_{v}}}{\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial \tilde{\omega}_{1}}{\partial p_{1}} \frac{\partial \tilde{\omega}_{2}}{\partial p_{2}} \cdots \frac{\partial \tilde{\omega}_{v}}{\partial p_{v}}} .
\]

Іри сделанвом выше предиоложении, что интегральные уравнения решены относительно произвольных постоянных, надо положить $\tilde{\tilde{\omega}}_{i}=f_{i}-\alpha_{i}$; тога числитель дроби сведетея к единице и интегрируюциї множитель будет:
\[
R=\frac{1}{\Sigma \pm \frac{\partial f_{1}}{\partial p_{1}} \frac{\partial f_{2}}{\partial p_{2}} \ldots \frac{\partial f_{v}}{\partial p_{v}}} .
\]

Ђолее общий саучай, в котором стоящий в чистителе вышенаписанной дроби определитель значительно упрощается, есть тот, когда $\tilde{\omega}$ содержит только $\alpha_{1}$, $\tilde{\omega}_{2}$-только $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ и т. Д. и вообще $\tilde{\omega}_{i}$-только $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{i}$; тогда оиределитель
\[
\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial \tilde{\omega}_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial \tilde{\omega}_{2}}{\partial x_{2}} \ldots \frac{\partial \tilde{\omega}_{v}}{\partial x_{v}}
\]

еведется к одному чиену
\[
\frac{\partial \tilde{\omega}_{1}}{\partial \alpha_{1}} \frac{\partial \tilde{\omega}_{2}}{\partial \alpha_{2}} \ldots \frac{\partial \tilde{\omega}_{y}}{\partial \alpha_{y}} .
\]

Тақая форма интегральных уравненяй, конечно, всегда может быть достигнута постеценным искичением. Аналогичный случай для знаменателя $R$ есть тот, когда $\tilde{\omega}_{1}$ из всех перененных $p_{1}, p_{2}, \ldots p_{v}$ содержит только одну $p_{1}$, $\vec{\omega}_{2}$ – только $p_{1}$ и $p_{2}$ и т. д., $\tilde{\omega}_{i}$ – только $p_{1}, p_{2} \ldots p_{i}$. Тогда определитель
\[
\boldsymbol{\Sigma} \pm \frac{\partial \tilde{\omega}_{1}}{\partial p_{1}} \frac{\partial \tilde{\omega}_{2}}{\partial p_{2}} \ldots \frac{\partial \tilde{\omega}_{v}}{\partial p_{v}}
\]

сведется к одной чиен:
\[
\frac{\partial \tilde{\omega}_{1}}{\partial p_{1}} \frac{\partial \tilde{\omega}_{2}}{\partial p_{2}} \cdots \frac{\partial \tilde{\omega}_{
u}}{\partial \boldsymbol{p}_{v}} .
\]

Если мы знаем не v полных интегралов, $a \vee$ частных, т. е. таких, в которых постоянным $\alpha_{1}, \ldots \alpha_{v}$ приданы частные значения, то, хотя мы можем составить определитель в знаменателе $R$, но в числителе эторо сдедать не можем, так как для этого надо было бы знать, в какой форме ностоянные входят в интегралы. Но если установлено, что до того, как пронзвольным постоянным приданы частные звачения, в $\tilde{\omega}_{1}$ входила тольво $\alpha_{1}$ в $\tilde{\omega}_{2}$ – только $\alpha_{1}$ н $\alpha_{2}$ и т. Д., в $\tilde{\omega}_{1}$ – только $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots \alpha_{1}$, то для того, чтобы быть в состоянии образовать определитель в числителе $R$, требуется тодько знать форму, в которой $\alpha_{1}$ содержалась в $\tilde{\omega}_{1}, \alpha_{2}-$ в $\tilde{\omega}_{2}, \ldots \alpha_{i}-$ в $\tilde{\omega}_{i}$, $\alpha_{v}$ – в $\tilde{\omega}_{y}$. Напротив, нам не надо знать, как $\tilde{\omega}_{2}$ зависит от $\alpha_{1}$, $\tilde{\omega}_{3}$-от $\alpha_{1}$, $\alpha_{i}, \ldots, \tilde{\omega}_{i}$ – от $\alpha_{1}, \alpha_{2} \ldots \alpha_{i-1}$, тақ как ны видели, тто весь определитель приводится к одному чиену $\frac{\partial \tilde{\omega}_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial \tilde{\omega}_{2}}{\partial x_{2}} \cdots \frac{\partial \tilde{\omega}_{2}}{\partial \alpha_{4}}$. Этот сдучай имеет место пи интегрирөвании обыкновенного дифференциатьно уравнения высшего порядга, если шредположено, что каждое интегрирование можно провести полностью, но тогда, чтобы интегрировать дальше, надо придать произвольной шостоянной некоторое частное значенне.