Формулы последних двух лекций ведут очень простым путем к упомянутому уже в двадцать второй лекции (стр. 155) и до сих пор считавшемуся невыполнимым определению кратчайшей линии на трехосном әллипсоиде. Такая диния описывается материальной точкой, принужденной оставаться на поверхности эллишсоида и двигающейся только под влиянием первоначального толчка, без воздействия какой-либо внешней силы, так что в этом случае силовая функция $U$ обращается в нуль.

Пусть $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ обозначают прямоугольные координаты движущейея точки, отнесенные к осям эллипсида; тогда то обстоятөльство, что точка принуждена оставаться на эллисоиде, выразится условным уравнением
\[
\frac{x_{1}^{2}}{a_{1}+\lambda_{1}}+\frac{x_{2}^{2}}{a_{2}+\lambda_{1}}+\frac{x_{3}^{2}}{a_{3}+\lambda_{1}}=1 .
\]

Дело сводится теперь к тому, чтобы представить $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ как функции двух новых переменных так, чтобы эти выражения, будучи подставлены в условное уравнение, удовлетворяли ему тождественно. Таковыми являются найденные нами выражения для $x_{1}{ }^{2}, x_{2}{ }^{2}, x_{3}{ }^{2}$ через $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$, если в них считать $\lambda_{1}$ постоянною, а $\lambda_{2}$ и $\lambda_{3}$ переменными. Мы выразим живую силу через величины $\lambda_{2}, \lambda_{3}$, заступающие теперь место переменных, ранее обозначенных через $q$, и через их производные $\lambda_{2}{ }^{\prime}=\frac{d \lambda_{2}}{d t}, \lambda_{3}{ }^{\prime}=\frac{d \lambda_{3}}{d t}$; затем введем вместо $\lambda_{2}{ }^{\prime}$ и $\lambda_{3}{ }^{\prime}$ новые геременные $\mu_{2}=\frac{\partial T}{\partial \lambda_{2}{ }^{\prime}}$ и $\mu_{3}=\frac{\partial T^{\prime}}{\partial \lambda_{3}{ }^{\prime}}$, соответствищие величинам, обозначенным через $p$, и положим $\mu_{2}=\frac{\partial T}{\partial \lambda_{2}^{\prime}}=\frac{\partial W}{\partial \lambda_{2}}$, $\mu_{3}=\frac{\partial T}{\partial \lambda_{3}{ }^{\prime}}=\frac{\partial W}{\partial \lambda_{3}}$. Таким образом $T$ получится выраженным через $\lambda_{2}, \lambda_{3}$, $\frac{\partial W}{\partial \lambda_{2}}, \frac{\partial W}{\partial \lambda_{3}}$, п тогда уравнение $T+\alpha=0$, которое можно писать также в форме $T=h$, если положить $\alpha=-h$, является для этой задачи уравнением в частных производных, определяющим $W$ как функцию от $\lambda_{2}, \lambda_{3}$. Если в уравнении (10) двадцать шестой лекции ограничить число переменных тремя, то для живой силы $2 T$ получится формула преобразования:
\[
2 T=x_{1}{ }^{\prime 2}+x_{2}{ }^{\prime 2}+x_{3}{ }^{\prime 2}=\frac{1}{4} M_{1} \lambda_{1}{ }^{\prime 2}+\frac{1}{4} M_{2} \lambda_{2}{ }^{2}+\frac{1}{4} M_{3} \lambda_{3}{ }^{\prime 2},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
M_{1}=\frac{\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)\left(\lambda_{1}-\lambda_{3}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)\left(a_{3}+\lambda_{1}\right)} ; \quad M_{2}=\frac{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)} ; \\
M_{3}=\frac{\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{3}-\lambda_{2}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)} ;
\end{array}
\]

но так как движение шроисходит на лдипсоиде, то $\lambda$; есть цостоянная величина, $\lambda_{1}{ }^{\prime}=0$ и
\[
2 T=\frac{1}{4} M_{2} \lambda_{2}{ }^{\prime 2}+\frac{1}{4}, M_{3} \lambda_{3}{ }^{\prime 2} .
\]

Отюда следует, что
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial T}{\partial \lambda_{2}{ }^{\prime}}=\frac{1}{4} M_{2} \lambda_{2}{ }^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial \lambda_{2}}, \quad \frac{\partial T}{\partial \lambda_{3}{ }^{\prime}}=\frac{1}{4} M_{3} \lambda_{3}{ }^{\prime}=\frac{\partial W}{\partial \lambda_{3}} \\
\lambda_{2}{ }^{\prime}=\frac{4}{M_{2}} \frac{\partial W}{\partial \lambda_{2}}, \lambda_{3}{ }^{\prime}=\frac{4}{M_{3}} \frac{\partial W}{\partial \lambda_{3}}
\end{array}
\]

и мы получим для $2 T$ выражение
\[
2 T=\frac{4}{M_{2}}\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{2}}\right)^{2}+\frac{4}{M_{3}}\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{3}}\right)^{2} .
\]

На основании жтого искомое уравнение в частных производылх имеет вид:
\[
\begin{array}{l}
T=2 \frac{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right)}\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{2}}\right)^{2}+ \\
-2 \frac{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}{\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{3}-\lambda_{2}\right)}\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{3}}\right)^{2}=h
\end{array}
\]

или
\[
\begin{array}{c}
\frac{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{2}}\right)^{2}- \\
-\frac{\left(a_{1}+\lambda_{9}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}{\lambda_{3}-\lambda_{1}}\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{3}}\right)^{2}=\frac{1}{2} h\left(\lambda_{2}-\lambda_{5}\right) .
\end{array}
\]

Это уравнение в частных производных опять распадается само собою на два обыкновенных дифференциальных уравнения, из которых каждое содержит төлько одну независимую переменную; при этои в правой части опять одновременно прибавляем и вычитаем произвольную постоянную. Таким образом получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{1}}\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{2}}\right)^{2}=\frac{1}{2} h\left(\lambda_{2}+\beta\right), \\
\frac{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}{\lambda_{3}-\lambda_{1}}\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{3}}\right)^{2}=\frac{1}{2} h\left(\lambda_{3}+\beta\right) .
\end{array}
\]

Коэффициент при $\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{2}}\right)^{2}$ положителен, так как из трех ивожителей числителя только первый отрицателен и ( $\lambda_{2}-\lambda_{1}$ ) также отрицательно, поэтому $\frac{1}{2} h\left(\lambda_{2}+\beta\right)$ должно быть положительным; напротив, коәффициент при $\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{3}}\right)^{2}$ отрицателен так как оба первые множителя числителя отрицательны и знаменатель $\lambda_{3}-\lambda_{1}$ также, следовательно $\frac{1}{2} h\left(\lambda_{3}+\beta\right)$ должно быть отрицательным. Но постоянная $h$ положительна, так как она равна половине живой силы, т. е. по своей природе положительной величине. Так как поэтому $\lambda_{2}+\beta$ должно быть положительным, а $\lambda_{3}+\beta$ отрицательным, то иы ихееи неравенства:
\[
\begin{array}{c}
\beta+\lambda_{2}>0, \beta+\lambda_{3}<0 \\
-\lambda_{2}<\beta<-\lambda_{3},
\end{array}
\]

и эти два условия совместны, так как $\lambda_{2}>\lambda_{3}$.

Мы нолучаем из вышенаписанных обыкновенных цифференциальных травнений следующее полное решение уравнения в частных производных (1):
\[
\begin{aligned}
W= & \sqrt{\frac{1}{2} h} \iint d \lambda_{2} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}+\beta\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}}+ \\
& \left.+\int d \lambda_{3} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{3}+\beta\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}}\right\} .
\end{aligned}
\]

Отсюда получится для кратчайшей линии на трехосном эллипсоиде уравнение $\frac{\partial W}{\partial \beta}=$ const или
\[
\begin{array}{l}
\int d \lambda_{2} \sqrt{\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)\left(\beta+\lambda_{2}\right)}}+ \\
+\int d \lambda_{3} \sqrt{\frac{\lambda_{3}-\lambda_{1}}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)\left(\beta+\lambda_{3}\right)}}=\text { const. }
\end{array}
\]

Для времени мы имеем уравнение $\tau-t=\frac{\partial W}{\partial \alpha}=-\frac{\partial W}{\partial h}$, или, так как $W$ зависит от $h$ только через множитель $\sqrt{h}$ и веледетвие этого $\frac{\partial W}{\partial h}=\frac{1}{2 h} W$, тo
\[
t-\Sigma=\frac{1}{2 h} W
\]

Еели $s$ означает дугу кратчайшей линии, отсчитанную от точки, в которой находилась движущаяся точка в чомент времени $\tau$, то теорема живой силы дает $T=\frac{1}{2}\left(\frac{d s}{d t}\right)^{2}=h ; \quad d s=\sqrt{2 h} d t$,
\[
s=\sqrt{2 h}(t-\tau) .
\]

Отсюда, сравнивая с (4), получим для дуги $s$ равевство $s=\frac{1}{\sqrt{2 h}} W$ или
\[
\begin{aligned}
s= & \frac{1}{2}\left\{\int d \lambda_{2} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}+\beta\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}}+\right. \\
& \left.+\int d \lambda_{3} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{3}+\beta\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}}\right\}
\end{aligned}
\]

таким образом произведено также спрямление кратчайшей линии.
Так одним взглядом на уравнение в частных пропзводных иы репили задачу, которая до сих пор считалась неразрешимой. Хотя прияенение подстановки составляет существенное требование для этого решения, но метод приведения к уравнению в частных производных также значительно облегчает дело. Действительно, когда Миндинг хотел применить опубликованную мною подстановку, он встретил на обычном пути интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения трудности, поторые он по собственному признанию не мог бы преодолеть, если бы ему не был уже известен данный мною результат. ${ }^{1}$

Іри помощи этой же шодстановки, давшей нам уже репение многих трудных задач, мы можем также разрешить задачу проектирования карт для трехосного эллинсоида. Из различных способов изображения кривой поверхности на плоскости, как это нужно для карт, предпочтителен тот сцособ
${ }^{1}$ Cp. Crelles Journal, т. XX, стр. 325.

ироекции, при котором бесконечно малые элененты остаются подобными. Эту проекцию многосторонне изучал Јамберт в прошлом столетии, с чем можно ближе познакомиться по его математическим статьям. Заинтересованный этим, тогдашний коллега Ламберта, Лагранж предпринял исследование этого предмета и достиг полного решения для всех поверхностей вращения. Копенгагенское общество, позже назначившее премию за решение этой задачи для всех кривых поверхностей, премпровало стать, присланную Гауссом. В этой последней нет никакого упоминания о работе Јагранжа, к которой оставалось только немного прибавить.

Руководящая идея при решении вадачи проектирования карт следующая. Если мы соединим точку, лежацую на поверхности, с бесконечно близкими точками и то же самое проделаем с соответствующими точками на шлоскости, то для того, чтобы бесконечно малые элементы были подобны, соответствующие длины должны быть гропорционяльны, и обратно, если соответствующи длины пропорциональны, то бесконечно малые алементы подобны. Эту пропорцнональность надо выразить аналитически.

IІусть координаты $x, y, z$ точки на поверхности даны как функции двух величин: $p$ и $q$; тогда квадрат әлемента дуги какой-нибудь кривой на поверхности будет представлен выражением
\[
d s^{2}=d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}=A d p^{2}+2 B d p d q+C d q^{2} .
\]

Квадрат соответствующего элемента пуги на плоскости есть
\[
d \sigma^{2}=d u^{2}+d v^{2},
\]

гце $u$ и $v$ обозначают прямоугольные координаты на шлоскости. Для того чтобы теперь бесконечно малые длины были пропорциональны друг другу, должно быть $d \sigma^{2}=m d s^{2}$, где $m$ может быть какой-нибудь функцией от $p$ и $q$. Соответстве между величинами $u, v$ и $p, q$ должно быть следовательно таким, чтобы имело место уравнение
\[
d u^{2}+d v^{2}=m\left(A d p^{2}+2 B d p d q+C d q^{2}\right),
\]

где $\sqrt{m}$ обозначает отношение подобия.
Этому дифференциальному уравнению мы можем удовлетворить следующим образом. Разбиваем выражение $A d p^{2}+2 B d p d q+C d q^{2}$ на два линейных множителя
\[
\begin{array}{l}
\sqrt{A} d p+\left(\frac{B}{\sqrt{A}}+\sqrt{C-\frac{B^{2}}{A}} \sqrt{-1}\right) d q \\
\sqrt{A} d p+\left(\frac{-B}{\sqrt{A}}-\sqrt{C-\frac{B^{2}}{A}} \sqrt{-1}\right) d q
\end{array}
\]

и представляем себе $m$ разложенным на иножители $a+b \sqrt{-1}$ и $a-b \sqrt{-1}$; тогда вышенаписанное дифференциальное уравнение может быть разбито на два следующие:
\[
\begin{array}{l}
d u+d v \sqrt{-1}=(a+b \sqrt{-1})\left\{\sqrt{A} d p+\left(\frac{B}{\sqrt{A}}+\sqrt{C-\frac{B^{2}}{A}} \cdot \sqrt{-1}\right) d q\right\}, \\
d u-d v \sqrt{-1}=(a-b \sqrt{-1})\left\{\sqrt{A} d p+\left(\frac{B}{\sqrt{A}}-\sqrt{C-\frac{B^{2}}{A}} \cdot \sqrt{-1}\right) d q\right\} .
\end{array}
\]

Если теперь можно определить $a$ и $b$ так, что правые части этих уравнений станут полными дифференциалами, то после интегрирования $u$ и $v$ получатея как функции от $p$ и $q$. Определить же интегрирующий множитель $a \pm b \sqrt{-1}$ это значит проинтегрировать дифференциальные уравнения:
\[
\begin{array}{l}
0=\sqrt{A} d p+\left(\frac{B}{\sqrt{A}}+\sqrt{C-\frac{B^{2}}{A}} \cdot \sqrt{-1}\right) d q, \\
0=\sqrt{A} d p+\left(\frac{B}{\sqrt{A}}-\sqrt{C-\frac{B^{2}}{A}} \cdot \sqrt{-1}\right) d q,
\end{array}
\]

и это интегрирование есть та задача, к решению которой мы в заключение приходим. Если $B=0$, то должны быть пайдены множители $a+b \sqrt{-1}$ и $a-b \sqrt{-1}$, делающие интегрируеными выражения
\[
\sqrt{A} d p+\sqrt{C} \sqrt{-1} d q \text { и } \sqrt{A} d p-\sqrt{C} \sqrt{-1} d q,
\]

п тогда $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ есть отношение подобия.
Если поверхность есть трехосный эллипсоид, то, вводя величины $\lambda_{1}, \lambda_{2}$, $\lambda_{3}$, из коих $\lambda_{1}$ полагается постоянной, мы получим, вследствие уравнения (2) двадцать седьмой лекции, для элемента дүги вакой-либо кривой, на нем лежащеї, выражение:
\[
\begin{array}{c}
d s^{2}=A d \lambda_{2}{ }^{2}+C d \lambda_{3}{ }^{2}=\frac{1}{4} \frac{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)} d \lambda_{2}{ }^{2}+ \\
+\frac{1}{4} \frac{\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{3}-\lambda_{2}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)} d \lambda_{3}{ }^{2},
\end{array}
\]

и следовательно надо найти множители, которые делают интегрируемым выражения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}} d \lambda_{2}+ \\
+\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{3}-\lambda_{2}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}} V=1 d \lambda_{3}, \\
\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{2}-\lambda_{3}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}} d \lambda_{2} \cdots \\
-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\left(\lambda_{3}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{3}-\lambda_{2}\right)}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}} V=1 d \lambda_{3} \text {. } \\
\end{array}
\]

Этими мпожителями для обоих выражений будет $\frac{2}{\sqrt{\lambda_{2}-\lambda_{3}}}$; поэтому имеем $a=\frac{2}{\sqrt{\lambda_{2}-\lambda_{3}}}, b=0$, и дифференцильные уравнения, которые дают сөотпошение между $u, v$ п $p, q$, получатся в виде:
\[
\begin{array}{l}
d u+d \cdot V \overline{-1}=\sqrt{\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}} d \lambda_{2}+ \\
+\sqrt{\frac{\lambda_{1}-\lambda_{3}}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}} \sqrt{-1} d \lambda_{3} ; \\
d u-d v V=1=\sqrt{\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}} d \lambda_{2}- \\
-\sqrt{\frac{\lambda_{1}-\lambda_{3}}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}} \sqrt{-1} d \lambda_{3} . \\
\end{array}
\]

Отеюда еледует:
\[
\begin{array}{c}
u=\int d \lambda_{2} \sqrt{\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)}}, \\
n=\int d \lambda_{3} \sqrt{\frac{\lambda_{1}-\lambda_{3}}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}} .
\end{array}
\]

и отномение подобия есть
\[
\sqrt{m}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\frac{2}{\sqrt{\lambda_{2}-\lambda_{3}}} ;
\]

на определенную таким обравом величину $\sqrt{m}$ должны умножаться длины на нлинсоиде для шолучения соответствуюцих длин на плоскости.

Формулы, которые мы нашли для кратчайпей линии на трехосном элипсоиде, претерпевают существенное изменение в случае эллипсоида вращения. При этом надо рассматривать два случая: шервый случай сплюснутого ефероида, у которого равны между собой обе больиие оси, где таким образом $a_{2}=a_{3}$, второй случай удлиненного сфероида, у которого равны между собою обе меньшие оси, где таким образом $a_{2}=a_{1}$. Из этих двух случаев мы рассмотрим только первый, так как последиий может быть рассмотрен совершенно аналогично. Поступаем при этом по известному способу, предшолагая сначала $a_{2}$ и $a_{3}$ бесконечно мало отличающимисн друг от друга и только в заключение заставляя их совнасть друг с другом. Итак пусть сначала
\[
\dot{a}_{3}=a_{2}+\omega,
\]

г, $е$ обозначает бесконечно-малую величину. Согласно общим рассуждениям $\lambda_{3}$ лежит между $-a_{2}$ и – $a_{3}$, а в рассматриваемом случае между $-a_{2}$ и -.- $\left(a_{2}+\omega\right)$; поэтому можно положить
\[
\lambda_{3}=-\left(a_{2}+\omega \sin ^{2} \varphi\right) .
\]
т. e.
\[
\begin{array}{l}
a_{2}+\lambda_{3}=-\omega \sin ^{2} \varphi, \\
a_{3}+\lambda_{3}=\omega-\omega \sin ^{2} \varphi=\omega \cos ^{2} \varphi . \\
d \lambda_{3}=-\omega \cdot 2 \sin \varphi \cos \varphi d \varphi .
\end{array}
\]

Отсюда следует:
\[
\frac{d \lambda_{3}}{\sqrt{-\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}}=-2 d \varphi .
\]

Мы должны это подставить в уравнение кратчайшей нинин, т. в. уравнение
\[
\begin{array}{c}
\int d \lambda_{2} \sqrt{\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)\left(\beta+\lambda_{2}\right)}}+ \\
+\int d \lambda_{3} \sqrt{\frac{\lambda_{3}-\lambda_{1}}{\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)\left(\beta+\lambda_{3}\right)}}=\text { const. }
\end{array}
\]

Из мненителей, стоящих в первом интеграле под знаком корня, $a_{2}+\lambda_{2}$ и $a_{3}+\lambda_{2}$ будут равны друг другу, интеграл превращаетея ноэтому в элинтический. Второй же переходит в следующий:
\[
-2 \sqrt{\frac{a_{2}+\lambda_{1}}{\left.a_{2}\right)\left(\beta-a_{2}\right)}} \int d \varphi=-2 \sqrt{\frac{a_{2}+\lambda_{1}}{\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(\beta-a_{2}\right)}} \ddot{\psi}^{2}
\]

и уравнение (3) принимает форму:
\[
\int \frac{d \lambda_{2}}{a_{2}+\lambda_{2}} \sqrt{\frac{\lambda_{2}-\lambda_{1}}{\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(\beta+\lambda_{2}\right)}}-2 \sqrt{\frac{a_{2}+\lambda_{1}}{\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(g-a_{2}\right)}} \varphi=\text { const. }
\]

Выражения координат для точек поверхности трехосного эллипсоида были:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=\sqrt{\frac{\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)}{\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(a_{1}-a_{3}\right)}}, \\
x_{2}=\sqrt{\frac{\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)}{\left(a_{2}-a_{1}\right)\left(a_{2}-a_{3}\right)}} \\
x_{3}=\sqrt{\frac{\left(a_{3}+\lambda_{1}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}{\left(a_{3}-a_{1}\right)\left(a_{3}-a_{2}\right)}}
\end{array}
\]

в сяучае «дюснутого сфероида они будут иметь вид:
\[
\begin{array}{l}
x_{1}=\sqrt{\frac{a_{1}+\lambda_{1}}{a_{1}-a_{2}}} \sqrt{a_{1}+\lambda_{2}}, \\
r_{2}=\sqrt{\frac{a_{2}+\lambda_{1}}{a_{2}-a_{1}}} \sqrt{a_{2}+\lambda_{2}} \sin , \\
r_{3}=\sqrt{\frac{a_{2}+\lambda_{1}}{a_{2}-a_{1}}} \sqrt{a_{2}+\lambda_{2}} \cos \varphi . \\
\end{array}
\]

Так как общие формулы для $x_{2}$ и $x_{3}$ переходят одна в другую ири переетановке $a_{2}$ и $a_{3}$, то при поверхностном рассмотрепии можно было бы подумать, что при $a_{2}=a_{3}$ будет также $x_{2}=x_{3}$; но, как мы видия, это никоим \”бразом не случитея. Формулы, которне имеют тогда место, будут те же, юоторые получатся, если координаты $x_{1}$ и $\sqrt{x_{2}{ }^{2}+x_{3}{ }^{2}}$ меридиана сфероида выразить через $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ при шомощи подстановки, шригопной ти шлоскости, а ,ля долготы на сфероиде ввести угол $\varphi$.

Для ранее рассмотренного проектирования карт при прияенении к сфероиду также получаютея особепные формулы. Этот особенный случай проекции носит навание стерографиеской; характеристическое его свойство, что гомологичше крпвые на поверхности и на плоскости пересекаются пол одинаковыми улламп, есть тольк другое выражение подобия бесконечно малых элементов.

Уравнение в частных производных, интегрирование которого дано нам уравнение кратчайщих линий на эллисоиде, имело форму
\[
\frac{f\left(\lambda_{2}\right)\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{2}}\right)^{2}-f\left(\lambda_{3}\right)\left(\frac{\partial W}{\partial \lambda_{3}}\right)^{2}}{\lambda_{2}-\lambda_{3}}=\text { const. }
\]
ye
\[
f(\lambda)=\frac{\left(a_{1}+\lambda\right)\left(a_{2}+\lambda\right)\left(a_{3}+\lambda\right)}{\lambda-\lambda_{1}} .
\]

В правой части равенства стоит постоянная, потому тто мы предполагаем движущуюея точку не подверженной никакой силе, кроме первоначального толчка. Мы можем поставить себе теперь вошрос…-каковы должны быт, силы, действующие на точку, чтобы вытекающая отсюда форма вышестоящего дифферешцианного уравнения допускала тот же метод интегрирования, иоторый ұы применяли до сих пор. Общая форма, к которой должна приводиться для атой цели силовая функция, будет, как легко видеть, иметь вид
\[
\frac{\chi\left(\lambda_{2}\right)+\psi\left(\lambda_{3}\right)}{\lambda_{2}-\lambda_{3}},
\]

так как тогда делается возможным разделение на два обыкновенных дифференциальных уравнения. Но из этой аналитической формы в общем случае нельзя вывести никакого механического значения; мы рассотрим только один случай, который допускает такое значение, именно случай, когда силовая функция имеет форму $\lambda_{2}+i_{3}$, каковое выражение допускает приведение к форме $\frac{\lambda_{2}{ }^{2}-\lambda_{3}{ }^{2}}{\lambda_{2}-\lambda_{3}}$ и следовательно принадлежит к рассматриваемой категории. Этот случай соответствует той механической задаче, когда точка, двигающаяся по поверхности элипсоида, подвержена спл, притягивающей ее к цевтру пропорционально расстоянию этой точки от центра. В самом деле, в этом случае сила, действующая на точку в направлении радиуса-вектора $r$, выходящего из цептра, равна $k r$; следовательно силовая функция будет $\frac{1}{2} k r^{2}=\frac{1}{2} k\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)$. Если мы тенерь вспомним общие выражения дЛя $x_{1}{ }^{2}, x_{2}{ }^{2}, \ldots x_{n}{ }^{2}$ через $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots \lambda_{n}$, данные в двадцать шестой лекции [равенство (2)], т. е. выражения
\[
\begin{aligned}
x_{m}^{2} & =\frac{\left(a_{n}+\lambda_{1}\right)\left(a_{m}+\lambda_{2}\right) \ldots\left(a_{m}+\lambda_{n}\right)}{\left(a_{m}-a_{1}\right)\left(a_{m}-a_{2}\right) \ldots\left(a_{m}-a_{m-1}\right)\left(a_{m}-a_{m+1}\right) \ldots\left(a_{n}-a_{n}\right)}= \\
& =\frac{a_{m}{ }^{n}+\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\ldots+\lambda_{n}\right) a_{m-1}{ }^{n}+\ldots+\lambda_{1} \lambda_{2} \ldots \lambda_{n}}{\left(a_{m}-a_{1}\right)\left(a_{m}-a_{2}\right) \ldots\left(a_{m}-a_{m-1}\right)\left(a_{m}-a_{m+1}\right) \ldots\left(a_{n}-a_{n}\right)},
\end{aligned}
\]

то из известных теорем относительно простейших дробей следует замечательная формула
\[
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n}+\lambda_{1}+\lambda_{2}+\ldots+\lambda_{n} .
\]

Для $n=3$ будем иметь
\[
x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3} .
\]

В рассматриваемом нами случае $\lambda_{1}$ есть постоянвая величина, так что иы по.тучаем для силовой функци выражение
\[
\frac{1}{2} k\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)=\frac{1}{2} k\left(\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)+\text { const, }
\]

следовательно в этом случае уравнение в частны производных интегрируется с такою же легкостью, как и раньше.

Это рассмотрение можно еще расщирить и предположить, что присоединенная сила не направлена более к центру эллипсоида. В только что рассмотренном случае $k r$ была сила, действующая на точку по направлению радиуса вектора, поэтому ее составляющие по координатным осям были $k x_{1}$, $k x_{2}, k x_{3}$. Если мы придадим тешерь координатам различные коэффициенты $m_{1}, m_{2}, m_{3}$, то интегрирование будет также еще возможным, если эти велициџы подчинить некоторому условию. В самом деле, если составляющие по направлению координатных осей будут $m_{1} x_{1}, m_{2} x_{2}, m_{3} x_{3}$, то силовая функция выразится так:
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{2}\left(m_{1} x_{1}^{2}+m_{2} x_{2}^{2}+m_{3} x_{3}^{2}\right)=\frac{1}{2} m_{1} \frac{\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)\left(a_{1}+\lambda_{2}\right)\left(a_{1}+\lambda_{3}\right)}{\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(a_{1}-a_{3}\right)}+ \\
+\frac{1}{2} m_{2} \frac{\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)\left(a_{2}+\lambda_{2}\right)\left(a_{2}+\lambda_{3}\right)}{\left(a_{2}-a_{1}\right)\left(a_{2}-a_{3}\right)}+\frac{1}{2} m_{3} \frac{\left(a_{3}+\lambda_{1}\right)\left(a_{3}+\lambda_{2}\right)\left(a_{3}+\lambda_{3}\right)}{\left(a_{3}-a_{1}\right)\left(a_{3}-a_{2}\right)}
\end{array}
\]

следовательно она может быть представлена в виде
\[
A+B\left(\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)+C \lambda_{2} \lambda_{3}
\]

и ноэтому будет иметь надлежамую форму, если $C^{\prime}$ исчезнет, т. е. если будет иметь место уравнение:
\[
\frac{m_{1}\left(a_{1}+\lambda_{1}\right)}{\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(a_{1}-a_{3}\right)}+\frac{m_{2}\left(a_{2}+\lambda_{1}\right)}{\left(a_{2}-a_{1}\right)\left(a_{2}-a_{3}\right)}+\frac{m_{3}\left(a_{3}+\lambda_{1}\right)}{\left(a_{3}-a_{1}\right)\left(a_{3}-a_{2}\right)}=0 .
\]

Если значения $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ удовлетворяют этому условному уравнению, то шрименим прежний метод интегрирования.