Предметом настоящих лекций будет исследование тех преимуществ, которые можно извлечь при интегрировании дифференциальных уравнений движения ив особой формы этих уравнений. В \”Анналитической механике\” можно найти все, что касается задачи составления п преобравования дифференциальных уравнений, но для их интегрирования сделано очень мало. Упомянтая задача едва поставлена; единственно, что можно к этому отнести, есть метод вариации постоянных – метод приближений, который покоится на особенной форме дифферепциальных уравнений, встречающихся в механике.

Среди болыного количества задач, ставящихся в механике, мы будем рассматривать только те, которые относятся к системе $n$ материальных точек, т. е. $n$ тел, размерами которых можно пренебреть и массу которых предполагают находящейся в центре тяжести. Далее мы будем рассматривать только те задачи, при которых движение зависит только от взаимного расюоложения точек, а не от их скорости. Благодаря этому исключаются все задачи, при которых принимается в расчет сопротивление.

Сначала мы установим дифференциальне уравнения движения такой системы, а затем укажем приложимые $\mathrm{k}$ ней принцшы. Этими принципами являются:
1. Принцип сохранения пвижения центра тяжести.
2. IIринцип сохранения живой силы.
3. Іринциш сохранения шлощадей.
4. Іринцип наименьпего действия ит, тучше сказать, наимещьшей затраты силы.

Первые три из этих прищциов дают интегралы составленной системы дифференциальных уравнений; госледний не дает никакого интеграла, но дает спмволическую формулу, которая объединяет систему дифференциальных уравнений. Однако этот принцип не менее важен, чем остальны и Лагранж вначале даже вывел из него все свои результаты в механике. Позже, когда он захотел их строго обосновать, он отказался от принциша наименьшего действия и принял за основапие своих выводов принпип виртуальных скоростей. *)

Таким образом, принцип паименышего действия, бывиий источником всех новых результатов, был трактован, как недостаточный.

Л присоединил новый прищип механики, который согласуется с принцинами сохранения живой силы и сохранения плоцадей в том отнопении, что тоже дает интеграл, но в остальном он совершенно другой природы. Во-первых, он является более общим, чем они, так как он имеет место всякий раз, когда дифференциальные уравнения содержат одни координаты; во-вторых, в то время, как те принципы дают первые интегралы в форме: функция от координат и их производных равна некоторой цостоянной, т. е.
*) Сначала в сочинении о либрации луны, премированном Парижской Академией, а затем в „нналитической механике\”.

интегралы, из дифференцирования которых проистекают уравнения, обращающиеся шри исшольовании данных дифференциальных уравнений тождественно в нуль, – новый принци дает последний интеграл в предположении, чо предыдущие интегралы известны. Ищенно, если сделать предиольжение, тто задача механики свелась к дифференциальному уравнению первого порядка с двумя переменными, то, согласно с этим принципом, можно найти множитель этого уравнения.

Гаким образом в тех случаях, когда остальные принциы сводят задачу к дифференциальном уравнению первого порядка, новый принци решает ее полостыо. Сюда принадлежит задача притяжения точки неподвижныи центром, иричем закон притяжения произволен; далее следует притяжение к двум пеподвижным цедтрам, в предположении, что имеет место притяжепие по закону Ньютона, и наконец, вращение вокруг точк тела, не подверженного действию внешних сил. Цри притяжении к двум нешодвижным центрам, проме применения старых принципов, совершенно необходии еще интеграл, найденный Эйлером особым искусственным приемом; при помощи әтого ннтеграла задача сводитея к дифференцильночу уравнению первого порядка с двумя переменными. Но это уравнение крайне сложно и его интегрирование есть одно из величайших уастерских творений Эйлера. Іри помощи нового принина множитель этого уравнепия получается саи собой.

Особенно надо отметить те классы задач, для которых одновременно имеют често принци живой силы и принцип наименышего действия. Гамильтон замети. что в этом случае задача может быть сведена к нелннейному щифференциальному уравнению в частных производных первого порядка. Если найдено одно его полное решение, то получаюте тотчас все интегральные уравнения. Функцию, определенную этим дифференциальным уравнением в частных производных, Гамильтон называет характеристической функцией.

Iрекрасное соотнопение, найденное Іамищтовом, было несколью недостушо и туманно, вследствие того, то он свою характеристическую функцию заставил зависеть еще от второго дифференциального уравнения в частных производных. Присоединение этого уеловия усложняет ненужным образом все открытие, так как более точное иселедование цоказывает, что второе дифференциальное уравнение в частных производных совершенно из.типне.

Мы введем ды определенности следующие тернины: интегралы обыкновенных дифференциальных уравнений мы будем называть интегралами или ннтегральными уравнениями, интегралы же уравнений в частных производных – решениями. Далее, для системы дифференциальых уравнений иы будеи различать интегралы и интегральные уравнения. Интегралаин пуст, будут те первые интегралы, которые имеют форму: функция от ноординат и их производных равна постоянной, и ее гроизводная при использовании данной систены дифференциальных уравнений обращается тождественно в нуль без помощи других интегралов; интегральными уравненияии называются все остальные интегралы. Таким образом принципы живой силы и площадей дают в этом смысле интегралы, а не интегралыне уравнения.

Благодаря открытию Гамильтона система интегральных уравнениі задач механики получила замечательную форму. Именно, если характеристичесвую фунцци дифференцировать по произвольным постолнныи, воторые она содержит, то получатся интегральные уравнеция данной оистеиы днфференциальных уравнений. Это аналогично теореме Лагранжа, согласно которой дифференцильные уравнения задачи в том случае, когда имеет место принцип наименьшего действия, могут быть представлены как частные проивводные одной величины. Однако, Гамильтон хотя и установил ту форму интегральных уравнений, $о$ воторой идет речь и которую эти уравнения принимают при посредстве характеристической функции, но он ничего не сделал для разыскания этой последней. Этим мы и займемся и с помощью полученных результатов изучим: притяжение к неподвижнону центру, притяжение к двум неподвижным центрам и движение точки, не подверженной силе тяжести, по трехосному эллипоиду (определение этого движения совпжает с нахождением кратчайшей линии на эллипсоиде).

Соотношение, отьрытое Гамильтоном, дает новые зақлючения относительно нетода нариации постоянных. Этот метод покоится на нижеследующем: интегралы системы дифференциальных уравнений динамики содержат пзвестное число произвольных постоянных, значения которых в каждом отдельнои случае определятся через начальные положения и начальные скорости движущихся точек. Если эти последние получают во время движения толчви, то благодаря этому изменяются тольво значения постоянных, а форма интегральных уравнений остается та же. Например, если планета қвижется по эллису вокруг солнца и получает во время движения толчок, то она будет после этого двигаться по новому эллипсу или, может быть, по гищерболе, во всяком случае по коническону сечению, а форма уравнений остается та же. Елли такие толчьи происходят не моментально, а продолжаются непрерывно, то явление можно рассматривать так, как будто шостоянные изменяются нешрерывно и притом таким образом, что эти изменения в точдости изображают действие возиущающих сил. Эта теория вариации постоянных предетавитея в течение напего псследования в новом свете.

Ірннцип сохранения живой силы охватывает бодышой власс задач, х которым в частности принадлежит задача трех тел или более общая задача движения $n$ тел, которые взаимно притягиваютея.

Чем больше мы проникаем в природу сил, тем больше мы сводам все к взаимным шритяжениям и отталкивания и тем важнее становится задача определения двнження $n$ взаимно притягивающихся тел. Эта задача принадлежит в категории тех задач, $\kappa$ которым приложима наша теория, т. е. которые приводятся к интегрированию уравнения в тастных производных, откуда ясна необходимость изучения этих уравнений. Но в течение 30 лет*; занимаются только линейными дифференциальными уравнениями в частных производных, в то время как для нелинейных не сделано ничего. Для трех переменных задачу репил уже Лагранж; для болыпего числа переменных IIфафф представии, хотя п имеющую достоинства, но несовершенную работу. По Пфаффу для решения уравнения в частных производных надо сначала проинтегрировагь снстему обыкновенных дифференциальных уравненнй; после интегрирования этой последней составляют новую систему дифференциальных уравнений, которая содержит двумя переменными меныше; эту системч снова интегрируют ит. д. и таким образом интегрируют, наконец, уравненне в частных производных. Согласно с этим, Гамильтон, шриведя дифференциальное уравнение двнжения к уравнению в частных производных, свел задачу к более трудной, так как по Пфаффу интегрирование уравнения ; частных шроизводных требует интегрирования ряда систем обыкновенных дифференциальых уравнений, в то время как механическая задача требует интегрирования только одной системы обыкновенных дифференциальных гравнений. Поэтому больпее значение имело здесь обратное приведение, при юомощи которого уравнение в частных производных сводится к одной ситтеме дифференциальных уравнений. Первая система Пфаффа совпадает как раз с той, которая получается в механике и можно показать, что остальшые системы тогда не пужны. Очень часто приведение одной задачи к дру-
*) Әти лекцни были прочитаны зимой 1842/43 г. (Iрим. Клебиа).

гой нодет быль произведено в обранном порядке, как это имеет место в рас сматриваемом случае. В тапих приведения важно соотношение, которое устанавдиваетея между двумя задачами. Соотношение, о котором здесь идет речь, укавывает, что всякое достижение в теории уравнепий в частных производных ведет за собой тагже и достижение в механике.

Более глббокое изучение дифферешиальных уравнений механики показывает, что число интегрирований всегда может быть сведено к половине нервоначального их числа, в то время как вторая половина заменяется квацратурами. Существует заметательная теорема, юоторая показывает, что между интегралами имеет место качественное различие. Именно, в то врезя как некоторые интегралы имеют значение только как квадратуры, существџют другие, готорые содержат в себе все остальные.

Эта теорема формулируется следующим образом: „Если, кроме интеграла, данного принципом живой силы, известны еще два интеграла уравнеший динамики, то из этих двух можно получить третий\”. Примером тому служат так называемые теоремы площадей относительно трех координатных шлоскостей; если две из них имеют место, то третья выводится из них.

Если по приведенной общей теореме из двух интегралов пайден третий, то из этого последнего и одного из прежних находится четвертый и т. д. пока не вернемся к одному из данных. Существуют интегралы, которые при этой операции исчершывают всю систему интегральных уравнений, в то время как для других цикл замыкаетел раньше. Смысл этой основной теоремы, известной уже в течение 30 лет, был в сущности скрыт. Она была открыта Пуассоном и была также известна Лагранжу, который полњзовалея ею как вспомогательной теоремой во второй части \”Аналитической механикн\”, ноявившейся только после его смерти. *) Но этөй теореме придавалось всегда совершенно иное значение; она должна была только потазывать, что в некотороу разложении известные чдены не зависят от времепи, и увидеть в ней ее теперешнее значение было не так легко. В этой теореме валожен в то же время фундамент для интегрирөвания дифференциальных уравпепий в частных производных первого порядка.
*) Mec. anal. sect. VII, 60. 61 (Band II, стр. 70 и след., изд. 3-е);