Мы щереходим теперь к доказательству общих цринцишов, которые ямеют место для вышерассмотренных механических задач. Первый из них (ср. первую лекцию) есть принцип сохранения движения центра тяжести.

Возьмем сначала простейший случай, когда существует силовая функция; тогда мы имеем:
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{t}}{d t^{2}} \delta x_{i}+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \delta y_{i}+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}} \delta z_{i}\right\}=\delta U .
\]

Іредноложим, что как $U$, так и условные уравнения завиеят только от разностей кординат, так что они не изменяютея, если все $x$ возрастают па олну и ту же величину, равно њак если это происходит со всеми $y$ или со всеми $z$. Тогда предшодожение:
\[
\begin{array}{l}
\delta x_{1}=\delta x_{2}=\ldots=\delta x_{n}=\lambda \\
\delta y_{1}=\delta y_{2}=\ldots=\delta y_{n}=\mu \\
\delta z_{1}=\delta z_{2}=\ldots=\delta z_{n}=
u
\end{array}
\]

согласуетея с тсловными уравнениями Іри этом цредноложении мы получаем:
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \lambda+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \mu+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}
u\right\}=\sum \frac{\partial U}{\partial x_{i}} \lambda+\sum \frac{\partial U}{\partial y_{i}} \mu+\sum \frac{\partial U}{\partial z_{i}}
u^{2} .
\]

Но правая тасть равна нулю. В самоч деле, так как по пашему предположенио $U$ зависит толью от разностей координат, то можно, ноложив
\[
x_{1}-x_{n}=\xi_{1}, \quad x_{2}-x_{n}=\xi_{2}, \ldots x_{n-1}-x_{n}=\xi_{n-1},
\]

щредставить величину $U$, поскольку она завнеит от координат $x$, в форже:
\[
U=F\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n-1}\right) .
\]

Тогда
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial U}{\partial x_{11}}=\frac{\partial F}{\partial \xi_{1}}, \frac{\partial U}{\partial x_{2}}=\frac{\partial F}{\partial \xi_{2}}, \ldots, \frac{\partial U}{\partial x_{n-1}}=\frac{\partial F}{\partial \xi_{n-1}}, \\
\frac{\partial U}{\partial x_{n}}=-\frac{\partial F_{1}}{\partial \xi_{1}}-\frac{\partial F}{\partial \xi_{2}}-\ldots-\frac{\partial F}{\partial \xi_{n-1}},
\end{array}
\]

гак что:
\[
\frac{\partial U}{\partial x_{1}{ }^{s}}+\frac{\partial U}{\partial x_{2}}+\ldots+\frac{\partial U}{\partial x_{n}}=\sum \frac{\partial U}{\partial x_{i}}=0
\]

п точно так же
\[
\sum \frac{\partial U}{\partial y_{i}}=0, \quad \sum \frac{\partial U}{\partial z_{i}}=0
\]

Поэтому напе уравнение (1) цреобразуется в оледующее:
\[
\sum m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \lambda+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \mu+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}
u\right\}=0 .
\]

И так кап это уравнение должно иметь место для всех вначений $\lambda, \mu,
u$, то
\[
\sum m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=0, \quad \sum m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=0, \quad \sum m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=0 .
\]

Если мы теперь положим
\[
\sum m_{i}=M, \quad \sum m_{i} x_{i}=M A, \quad \sum m_{i} y_{i}=M B, \quad \sum m_{i} z_{i}=M C,
\]

так что $A, B, C$ будут, как иввестно, координатами центра тяжести системы, то можно вместо. щредыдущих уравнений нашисать следующие:
\[
\frac{d^{2} A}{d t^{2}}=0, \quad \frac{d^{2} B}{d t^{2}}=0, \quad \frac{d^{2} C .}{d t^{2}}=0 .
\]

Эти уравнения после интегрирования дают:
\[
A=\alpha^{(0)}+\alpha^{\prime} t, \quad B=\beta^{(0)}+\beta^{\prime} t, \quad C=\gamma^{(0)}+\gamma^{\prime} t,
\]
т. е. центр тяжести двигается по прямой линии, уравнение которой в текущих воординатах $A, B, C$ имеет вид
\[
\frac{A-\alpha^{(0)}}{\alpha^{\prime}}=\frac{B-\beta^{(0)}}{\beta^{\prime}}=\frac{C-\gamma^{(0)}}{\gamma^{\prime}},
\]

и двигается по ней с постоянной скоростью
\[
\sqrt{\alpha^{\prime 2}+\beta^{\prime 2}+\gamma^{\prime 2}} \text {. }
\]

В общем случае, когда силовая функция не существует, вместо уравнения (1) имеется следующее:
\[
\sum_{i=d} m_{i}\left\{\frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}} \lambda+\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}} \mu+\frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}},\right\}=\sum X_{i} \lambda+\sum Y_{i} \mu+\sum Z_{i}^{
u},
\]

н так как оно илеет место дла всех значений $\lambda, \mu,
u$, то
\[
\sum m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d l^{2}}=\sum X_{i}, \quad \sum m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=\sum Y_{i}, \quad \sum m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=\sum Z_{i}
\]

или, если ввести координаты центра тнжести, то
\[
M \frac{d^{2} A}{d l^{2}}=\sum X_{i}, \quad M \frac{d^{2} B}{d l^{2}}=\sum Y_{i}, \quad M \frac{d^{2} C}{d t^{2}}=\sum Z_{i},
\]
т. е. центр тяжести двигается так, как будто все действующие в системе силы переяесены параллельно самим себе в центр тяжести и как будто в то же время в центре тяжести сосредоточены все массы.

Если таким образом паралледьно перенесенныө силы будут в своем новом положении в равновесии, т. е., если
\[
\sum X_{i}=0, \quad \sum Y_{i}=0, \quad \sum Z_{i}=0,
\]

то на центр тяжести не действуют никакие ускоряющие силы. Это имеет место, если в системе действуют только взаимные притяжения, так ка тогда действие и противодействие, будучи перенесены в одну и ту же точку приложения, взаимно уничтожаются (этот случай уже расемотрен выше, тав как тогда всегда существует силовая функция); но это не имеет места, коль скоро в задачу входят неподвижные центры.

Все вышесказанное имеет место конечно только тогда, когда условные уравнения зависят толико от разностей гоординат $x, y$ и $z$. Подобный случай дает веревочный многоугольник, если пренебреть молщиной веревки. Для того, чтобы в этом случае силовая функция также вависела только от равностей координат, мы должны предположить, что ковцы веревки не закрепдены, так как иначе эти точки будут входить в вадачу как неподвижные центры. Для совершенно свободной системы уравнения (4) годятся, конечно, при всех обстоятельствах. Есяи существует силовая фувкцил, зависящая не только от разностей коорпнат, чо бывает, когда имеютея неподвижные цевтры или цостоянные силы, то в таком случае имеют место уравнения (4), а не уравнения (2).

В выражении: „Прищип сохранения движения центра тяжести\” слово сохранение выражает то, что уравнения движения цевтра тяжести сохраняют свой вид, как будто бы не было никаких условных уравнений. Если, например, цредставить себе, что у веревочпого многоугольника соединение точев оцущево, то уравнения движения центра тяжести не пзменятея, так как они не завиеят от уеловных уравнений. Ивменение будет только в том, что суммы $\sum X_{i}, \Sigma Y_{i}, \sum Z_{i}$ получат другие значения, поскольку коордннаты отдельных точек будут другими фунццими от времени. Но если, кроме того, эти суммы будут постоянными, что, например, имеет место, когда систека подвержена только силе тяжести, то условные уравнения совсем не изменяют движения центра тяжести.